Medida de Erdös: uma introdução

(1)

Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciˆ

encias

Departamento de Matem´

atica

Medida de Erd¨

os

Uma Indrodu¸

c˜

ao

Jo˜

ao Carlos Salvado da Costa Carmona e Silva

Disserta¸c˜

ao de Mestrado em Matem´

atica

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(3)

Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciˆ

encias

Departamento de Matem´

atica

Medida de Erd¨

os

Uma Indrodu¸

c˜

ao

Jo˜

ao Carlos Salvado da Costa Carmona e Silva

Disserta¸c˜

ao orientada pelo

Professor Doutor Pedro Miguel Nunes da Rosa Dias Duarte

Disserta¸c˜

ao de Mestrado em Matem´

atica

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(5)

Agradecimentos

Agrade¸co: `

A minha Mãe e aos meus Filhos, por tudo; a eles dedico isto. À Professora Odete Botelho, minha primeira Professora de matemática; sem ela não sei se algum dia teria querido aprender matemática. Ao Professor João Paulo Carvalho Dias pelo eterno apoio e incentivo que sempre me deu. Ao Pedro Miguel Duarte, aqui meu orientador, mas antes de mais meu amigo, pela forma empenhada com que me orientou neste tra-balho, a constante e paciente disponibilidade, os valiosos ensinamentos que não são apenas de agora. Devo-lhe também o esclarecimento de muitos pontos em que tropecei ao longo desta reda¸cão. Agrade¸co, de um modo geral, a todos os familiares, amigos, colegas e professores, que me apoiaram, incentivaram e ajudaram. Agrade¸co também `

a nos terra Mindelo que com a sua morabeza me proporcionou a necess´aria tranquili-dade. E finalmente agrade¸co `a Soraia que, demonstrando-me como se pode harmonizar beleza e complexidade, tanto me inspirou.

pingo

(6)

Resumo

Estas notas constituem uma introdu¸cão à medida de Erdös, determinada pela distri-bui¸cão da variável aleatória,

∞

X

i=0

xiλi

soma infinitas das vari´aveis aleat´orias x0, x1, x2, x3, · · · que podem tomar os valores 0

ou 1, de forma independente e com igual probabilidade; λ é um parâmetro real previa-mente fixado entre 0 e 1. Desde 1935 que se sabe que esta medida, independenteprevia-mente de λ, é absolutamente cont´ınua ou continuamente singular relativamente à medida de Lebesgue, sabendo-se também que, para λ < 1/2 a medida é singular e que para λ = p1/2 com n = 1, 2, 3, · · · a medida é absolutamente cont´ınua. Até ao fim dosn

anos 30 nada mais se esclareceu relativamente aos outros parâmetros mas conjeturava-se que originasconjeturava-sem também distribui¸cões absolutamente cont´ınuas. Porém em 1939 Erdös descobriu uma fam´ılia numerável de números maiores que 1/2 que dão origem a medidas singulares, e em 1940 provou que, numa vizinhan¸ca de 1, quase todos os parâmetros dão medidas absolutamente cont´ınuas. Conjeturou então que quase todos os parâmetros maiores que 1/2 originam medidas absolutamente cont´ınuas. Em 1958 Garsia exibiu outra classe numerável de parâmetros que concordava com essa conje-tura, a qual, veio a ser provada por Solomyak em 1995. Permanecem em aberto várias outras questões, nomeadamente, saber se existem outros parâmetros que originem me-didas singulares além dos encontrados por Erdös. Expõe-se de uma forma que pretende ser tão autónoma quanto poss´ıvel, os vários resultados supra referidos e outros. Há a preocupa¸cão de usar uma linguagem uniforme, previamente preparada, que permita desencadear os resultados numa sequência dedutivamente natural. Não tratamos aqui o recente resultado de Solomyak, que se reservou para uma continua¸cão natural deste trabalho onde a perspetiva assenta na varia¸cão do parâmetro, e não apenas na ob-serva¸cão pontual estática que aqui é feita.

Palavras-chave: Medida de Erdös, convolu¸cão infinita de Bernoulli, números de Pisot, números de Garsia.

(7)

Abstract

These remarks are meant as an introduction to the Erd¨os measure, which is determined by the distribution of the random variable

∞

X

i=0

xiλi

, the infinite sum of random variables x0, x1, x2, x3, · · · that can independently and

with equal probability take the values 0 or 1; λ ´e is a real parameter which is fixed beforehand at a value between 0 and 1. It has been known since1935 that this measure is, independently of λ ´e, absolutely continuous or continuously singular relative to the Lebesgue measure. It is also known that the measure is singular if λ < 1/2 and abso-lutely continuous if λ = p1/2 where n = 1, 2, 3, · · · . Up until the end of the thirtiesn

nothing further was concluded regarding the other parameters, although it was conjec-tured that they would generate absolutely continuous distributions as well. However, in 1933 Erd¨os discovered a numerable family of numbers greater than 1/2 that generate singular measures, and in 1940 he proved that in a neighbourhood of 1 almost every parameter generates absolutely continuous measures. He went on to conjecture that almost every parameter greater than 1/2 generates absolutely continuous measures. In 1958 Garsia showed another numerable parameter class which fulfilled the conjecture. The conjecture would be borne out only in 1995 by Solomyak. A few issues remain nevertheless open, in particular the possible existence of parameters other than the ones found by Erd¨os which generate singular measures. The abovementioned results as well as a few others are laid out here in hopefully as autonomous a way as possible. It is intended to use a consistent, preset language allowing generating the outcomes in a deductively natural sequence. Solomyak’s recent result is left out as it should form a natural continuation of this work designed to be based on the variation of the parameter rather than the static, single-point observation carried out here.

Key-words: Erd¨os measure, infinite Bernoulli convolutions, Pisot numbers, Garsia numbers.

(8)

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 O problema . . . 1

1.2 Alguma hist´oria . . . 2

1.3 G´enese . . . 3

1.4 Formula¸c˜ao matem´atica . . . 4

1.5 Nota¸cões, defini¸cões e conven¸cões . . . 7

2 Ferramentas 9 2.1 Os espa¸co 2n_{. . . .} ₉

2.2 As fun¸c˜oes λn e as suas imagens . . . 11

2.2.1 Dimens˜ao de Kλ . . . 12

2.2.2 As fatoriza¸c˜oes de λ_N . . . 14

2.3 As semelhan¸cas Si e o operador S . . . 15

3 A medida de Erd¨os 18 3.1 Os casos λ ≤ 1/2 . . . 19

3.2 Dinˆamica e ponto fixo: . . . 21

3.3 Densidade . . . 26

4 Crit´erios de singularidade ou regularidade 34 5 Apˆendice 45 5.1 Teoria da Medida . . . 45

5.2 Alg´ebricos inteiros . . . 51

5.3 Distribui¸c˜ao binomial . . . 55

5.4 Diversos . . . 56

(9)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 O problema

Estas notas tratam de somas, finitas ou infinitas, da forma:

λ0+ λ1+ λ3+ λ6+ λ11+ . . .

em que as parcelas s˜ao potˆencias λ0_{, λ}1_{, λ}2_{, λ}3_{. . . de um n´}_{umero real λ do intervalo}

(0, 1). Supomos que cada potência λipode ou não ocorrer na série, de forma aleatória e independente, com probabilidade 1/2. O problema consiste em conhecer como se distri-buem, probabilisticamente, os valores dessas somas assim formadas. Numa formula¸cão mais rigorosa, que adiante faremos, pretendemos conhecer, tanto quanto poss´ıvel, a medida de probabilidade na reta real definida por:

νλ(B) := P ( _∞ X i=0 xiλi ∈ B )

supondo que, para cada i, P {xi = 0} = P {xi = 1} = 1/2.

Sabe-se que, dependendo de λ, νλ ´e absolutamente cont´ınua ou continuamente

sin-gular relativamente à medida de Lebesgue, ou seja, não pode ter uma composi¸cão mista nem a presen¸ca de átomos. O problema consiste então em saber para que valores do parâmetro λ a medida νλ é uma coisa ou outra. No caso de λ ser suficientemente

pe-queno, e isso significa λ < 1/2, as somas ficam distintas umas das outras, distribuindo-se num intervalo da reta com lacunas que distribuindo-se reproduzem infinitamente, formando os

(10)

clássicos conjuntos de Cantor; neste caso λ apenas determina a escala, isto é o tama-nho relativo das lacunas, tanto menores quanto mais próximo λ está de 1/2. O Caso λ = 1/2 é um ponto de equil´ıbrio em que aquelas lacunas se reduzem a nada e as somas distribuem-se uniformemente no intervalo [0, 1]. No caso λ > 1/2 as somas come¸cam a repetir-se, para sequências de parcelas diferentes, criando zonas de sobreposi¸cão que também se vão reproduzir indefinidamente. Apesar de νλ ter uma distribui¸cão

equiva-lente à medida de Lebesgue para quase todos os λ > 1/2, há exce¸cões surpreendentes, isto é, valores de λ para os quais a medida νλ fica singular. Distinguir os valores de λ

que determinam um comportamento ou outro ´e um problema que permanece aberto h´a mais de 70 anos.

1.2 Alguma hist´

oria

Pelo menos desde os anos 30 do século passado que o comportamento desta distribui¸cão tem sido matéria de estudo, tendo ao logo destas décadas revelado aplica¸cões em várias ´

areas da matemática especialmente ligadas a análise harmónica, números algébricos, sistemas dinâmicos e teoria da dimensão. Por isso é vasta a literatura produzida sobre o assunto. Em [20] pode encontrar-se um resumo histórico dos principais resultados. Apesar de tudo o problema está longe de estar esgotado não só pelas inúmeras novas questões que tem suscitado, em liga¸cão a diversos outros problemas como também pela resistência de tantas outra que permanecem por esclarecer. Por isso o problema é repu-tado de dif´ıcil. Desde 1935 que Wintner e outros mostraram algumas das propriedades básicas da distribui¸cão νλ, nomeadamente que é sempre singular ou absolutamente

cont´ınua, de tipo puro; que os parˆametros inferiores a 1/2 s˜ao singulares e que 1/2 e as suas ra´ızes 1/√n

2 são regulares. Esses resultados e outros, como a crescente re-gularidade das densidades, faziam acreditar que a partir de 1/2 todos os parâmetros seriam regulares. Porém, logo em 39 Erdös descobriu, com enorme surpresa, que são singulares os todos parâmetros λ > 1/2 cujo cujo inverso seja um número de Pisot. Por outro lado, logo em 40 o próprio Erdos mostrou numa vizinhan¸ca de 1 quase todos os os parâmetros são regulares, embora sem explicitar nenhum. Até 1958 parâmetros regulares concretos apenas eram conhecidas as ra´ızes de 1/2, ano em que Adrano Gar-sia mostrou que uma certa caracter´ıstica oposta à que caracteriza os números de Pisot garante a regularidade da medida. Os por isso esses números foram acabaram por ser batizados como números de Garsia. Desde então que úmeros de Pisot e números de Garsia têm sido ampla e profundamente estudados havendo no entanto inúmeras questões em aberto em rela¸cão a ambos. Desde a´ı e durante quase 40 anos pouco se

(11)

adiantou sobre a questão essencial do problema, ou seja, quanto à classifica¸cão de novos parâmetros. Em 1995 Solomyak [16] provou que quase todos os parâmetro maiores que 1/2 são regulares. Apesar disso continua sem se saber existem outros singulares para além dos de Pisot ou, tão pouco, se são em quantidade numerável. Já em 1998 Mauldin e Simon [17] provaram que sendo absolutamente cont´ınua a medida é de facto equi-valente à medida de Lebesgue, naturalmente, restringida ao suporte daquela. Outro resumo de resultados e conjeturas pode encontrar-se nos slides de De-Jun Feng [22].

1.3 G´

enese

Não fosse o infinito discretamente presente nas reticências da expressão:

λ0+ λ1+ λ3+ λ6+ λ11+ . . .

e tudo seria menos complicado. Mas, por mais reduzida que seja a forma de o repre-sentar, o infinito é grande e encerra em si mistérios dificilmente acess´ıveis a seres de natureza finita. O infinito ocorre naturalmente ao esp´ırito humano quando observa sequências de acontecimentos que parece não acabarem. Habituado que está a que tudo tenha um fim e sendo da sua natureza arranjar solu¸cões para os problemas que se lhe deparam, trata de inventar uma coisa que ponha fim ao que parecia não terminar, e –algo contraditório– chama-lhe infinito. O infinito com que vamos lidar nasce assim mesmo, a partir de somas finitas:

λ0+ λ1+ λ3+ λ6+ λ11.

Somas a que podemos ir acrescentando mais e mais parcelas, em quantidade finita mas sem um limite estabelecido. A cada soma finita podemos acrescentar uma nova parcela, e assim sucessivamente. São assim essas somas finitas, cada uma obtida a partir da anterior, que nos conduzem àquilo a que chamamos soma infinita. Inevitável será tentar entendê-la através das próprias aproxima¸cões finitas que servem para a conceber. O caráter geracional das somas que, de alguma forma, se vão obtendo umas após as outras será um cunho indelével que se vai manifestar repetidas vezes num padrão evolutivo comum:

• Uma sucess˜ao intermin´avel de indiv´ıduos ωo, ω1, ω2, . . ., ωn, ωn+1 . . .,

existen-tes em algum habitat natural Ω, gerados a parir do original ω0, sucessivamente

atrav´es de um gerador dinˆamico, Γ, que reproduz cada ωn+1 como sucessor de

ωn:

(12)

• E um indiv´ıduo final, ω_N, resultado do apuramento da esp´ecie, ao qual os ωn se

vão assemelhando, e que, de tão perfeito, é reproduzido num igual a si mesmo:

ω_N= Γω_N

Se por um lado, para a compreensão das caracter´ısticas genéticas de ω_N, é fundamental atender à heran¸ca inevitavelmente transmitida pelos seus antepassados ωn, não menos

importante será atender à sua condi¸cão de clone de si próprio, facto que, por si só, lhe impõe caracter´ısticas peculiares.

Enfim, uma linguagem agora mais matemática, o cenário t´ıpico do teorema do ponto fixo de Banach que nos levará a procurar uma métrica, definida num espa¸co Ω que contém os ω0s, devidamente adaptada, quer dizer, para a qual Γ seja uma contra¸cão. Uma vez definido esse contexto temos as conclusões do teorema, nomeadamente, a uni-cidade do ponto fixo, a garantia de convergência da sucessão ωn independentemente da

escolha do objeto original ω0 e uma estimativa da rapidez da convergˆencia relacionada

com a razão da contra¸cão. Isso será especialmente útil para inferir propriedades para o ponto fixo ω_N, quer transmitidas pelas aproximadas ωn, em geral mais acess´ıveis, quer

impostas pela própria equa¸cão de ponto fixo. Observe-se desde já que nas situa¸cões em que vamos encontrar este padrão dinâmico, o ponto fixo é conhecido como tal à priori, não tendo qualquer interesse a conclusão de existência, geralmente o ponto forte dos teoremas de ponto fixo.

1.4 Formula¸

c˜

ao matem´

atica

O problema pode ser −e é− formulado e formalizado de diversas maneiras equivalentes dependendo das diversas abordagens e pontos de vista de que pode ser observado. Para introduzir a formula¸cão que aqui adotamos, come¸camos por uniformizar a expressão das somas:

λ0+ λ1+ λ3+ λ6+ λ11+ . . . na forma:

1.λ0+ 1.λ1+ 0.λ2+ 1.λ3 + 0.λ4+ 0.λ5+ 1.λ6+ . . . + 1.λ11+ . . .

em que todas as potˆencias de λ ocorrem, afetando-as do coeficiente 0 ou 1 consoante a respetiva parcela seja ou n˜ao considerada na soma. Por um lado uniformizamos a

(13)

representa¸c˜ao na forma geral: x0.λ0+ x1.λ1+ x2.λ2+ x3.λ3+ . . . ou abreviadamente, ∞ X i=0 xiλi,

e por outro lado isolamos o caráter aleatório do problema, exatamente nesta sequência de coeficientes, x0x1x2. . ., em que cada coeficiente xié 0 ou 1 e que supomos ocorrerem

de forma aleatória, independente e com igual probabilidade. Note-se que desta forma abarcamos também as somas finitas que correspondem simplesmente a sequências que são nulas a partir de certo ponto: x0x1x2. . . xn−10000 . . . e que podemos naturalmente

encarar apena como sequˆencias finitas x0x1x2. . . xn−1.

Vamos assim tratar o aspeto probabil´ıstico do problema justamente considerando as probabilidades associadas a acontecimentos que são representados por conjuntos de sequências daquelas, considerando que cada s´ımbolo 0 ou 1 ocorre com igual probabi-lidade e de forma independentes uns dos outros. Para sequências finitas, de compri-mento n, a hipótese de equiprobabilidade e independência e os conceitos rudimentares de probabilidades conduzem-nos imediatamente a que cada sequência de n s´ımbolos, x0x1x2. . . xn−1 é tão provável como qualquer outra, valendo então a Lei de Laplace:

P (A) = #A 2n ,

sendo A um qualquer conjunto de tais sequências de comprimento n, uma vez que o número total de sequências poss´ıveis é 2n, e ficando assim, neste caso, perfeitamente definido e quantificado o conceito intuitivo de probabilidade. Para sequências infinitas torna-se mais delicado definir e quantificar o que entendemos por probabilidade. Neste caso as mesmas hipóteses levam-nos também a concluir que cada sequência infinita é tão provável como qualquer outra não podendo então deixar de ser considerada de probabilidade nula, pois que de outra forma, por mais pequena que fosse essa probabili-dade, sendo igual para todas as sequências que por sua vez são em quantidade infinita, levaria a contrariar a condi¸cão básica de ser 1 a probabilidade total.

Com vista a encontrar uma defini¸cão matemática de probabilidade no espa¸co de todas as sequências infinitas de s´ımbolos 0 e 1, podemos argumentar do seguinte modo: Dado um conjunto A de sequências infinitas de 0’s e 1’s, podemos decompô-lo na união

(14)

disjunta dos dois conjuntos A0 e A1 constitu´ıdos, respetivamente, pelas sequˆencias de

A iniciadas por 0 e as iniciadas por 1:

A = A0∪ A1.

Depois, representando em geral por σ(B) o conjunto das sequências de B às quais foi suprimido o primeiro termo, e observando que uma sequência x0x1x2x3... está em

A se, e s´o se, x0 = 0 e x1x2x3... est´a em σ(A0) ou (exclusivamente) x0 = 1 e x1x2x3...

est´a em σ(A1), conclu´ımos que:

P (A) = 1

2P (σ(A0)) + 1

2P (σ(A1)),

ou seja, a fun¸cão de probabilidade, P , que queremos definir, verificará a equa¸cão de ponto fixo:

P (A) = P (σ(A0)) + P (σ(A1))

2 . (1.1)

De facto existe uma única medida de probabilidade no espa¸co daquelas sequências infinitas que satisfaz esta equa¸cão. Repare-se também que as probabilidades Pn_{, para}

as sequˆencias finitas de comprimento n, verificam a correspondente f´ormula recursiva:

Pn+1(A) = P

n_(σA

0) + Pn(σA1)

2 . (1.2)

Este é, por um lado, o contexto em que será matematizado o lado probabil´ıstico do problema, cuja formaliza¸cão necessária faremos na seçcão seguinte. O outro lado do problema surge pela introdu¸cão do fator λ que atuará pelo produto da sua expansão geométrica

λ0, λ1, λ2, . . . sobre as sequˆencias aleat´orias

x0x1x2. . . formando as somas: ∞ X i=0 xiλi

Agora o ambiente é simplesmente o campo dos números reais onde as somas são feitas, misturando o fator dinâmico das sequências aleatórias com o fator contrativo do número λ. Essa mistura traduz-se na aplica¸cão iterada das duas contra¸c˜_{oes em R}

(15)

S1 : t → 1 + λt

de forma aleatória, equiprovável e independente. Repare-se que as somas em causa são assim obtidas, por exemplo,

1 + λ2+ λ3 = S1S1S0S1(0).

E então o padrão dinâmico original da probabilidade de Bernoulli, presente nas fórmulas (1.1) e (1.2), há-de dar origem ao padrão dinâmico,

ξ → ξS −1 0 + ξS −1 1 2 (1.3)

e outros derivados deste. Na metáfora genética atrás usada, dir´ıamos que o problema contém dois genes: o primeiro, de Bernoulli, simbolizado por σ, sendo responsável por um comportamento dinâmico e aleatório relativamente simples de entender; o segundo, de Erdös, simblolizado por λ, responsável pelas semelhan¸cas contrativas podendo en-cerrar dentro de si e transmitir ao problema toda a complexidade que um simples número real pode conter.

1.5 Nota¸

c˜

oes, defini¸

c˜

oes e conven¸

c˜

oes

1. O s´ımbolo 2n _{ocorre aqui, e ocorrer´}_{a daqui em diante, tanto para representar o}

sub-conjunto de 2N _{em cima definido, como para representar o n´}_{umero natural 2 elevado}

ao expoente n. Esta ambiguidade representativa −ou, pelo menos, interpretativa− é pouco recomendada num texto de matemática. Contudo, acreditamos que tal confusão não será aqui motivo de ambiguidade, uma vez que nas instâncias em que o s´ımbolo ocorre o próprio contexto será esclarecedor da sua interpreta¸cão. A verdade é que, de um certo ponto de vista, esta confusão é até desejável, porquanto confere às fórmulas uma harmonia expressiva da harmonia dos seus significados.

2. Alguns objetos v˜ao ser definidos simultaneamente e de forma an´aloga sobre os conjuntos

n = {0, 1, 2, 3 . . . , n − 1} e N = {0, 1, 2, 3 . . .}. Nesses casos utilizamos a letra n como variável que tanto pode tanto ser um dos primeiros conjuntos finitos como o próprio N; referimos isso escrevendo abreviadamente n ≤ N. Tipicamente tais defini¸cões têm na sua origem rela¸cões do tipo:

(16)

e

ω_N= Γω_N

que se repercutir˜ao noutras da mesma forma e que unificamos na primeira, dizendo que ´e v´_{alida para n ≤ N, convencionando que N + 1 = N.}

3. Por vezes, para aliviar a nota¸c˜ao, e n˜ao havendo risco de ambiguidades, omi-timos o ´ındice N; por exemplo escrevemos apenas P em vez de PN_{, ou ν}

λ no lugar

de νλ_N. Dentro do mesmo esp´ırito, em contextos em que o parˆametro λ esteja fixado,

podemos abreviar a nota¸c˜ao omitindo a referˆencia a ele; por exemplo νn abreviando

νλn, Kn = Kλn, ou K = Kλ = KN= KλN.

4. Usaremos o s´ımbolos + e Σ para representar uni˜oes de subconjuntos disjuntos de 2N_{. ´}_{E uma nota¸c˜}_{ao sugestiva, especialmente quando as f´}_{ormulas se destinam a aplicar}

medidas (fun¸c˜_{oes aditivas). No entanto, entre subconjuntos de R, o s´ımbolo + ser´a} usado exclusivamente para representar a soma aritm´etica: A+B := {a+b : a ∈ A b ∈ B}.

5. Representamos a medida de Lebesgue em R por L e por LA a sua restri¸c˜ao a

um qualquer A ⊂ R, isto ´e,

LA(E) := L(A ∩ E).

Para o intervalo Iλ = [0, lλ], que ser´a definido adiante, interessa-nos a restri¸c˜ao

norma-lizada:

Lλ :=

LIλ

lλ

.

6. Para comodidade do leitor, inclu´ımos no apêndice muitas das defini¸cões comuns com que vamos lidar, enunciados de alguns resultados clássicos. Inclu´ımos também al-gumas demonstra¸cões de resultados eventualmente comuns dentro das respetivas áreas espec´ıficas. De um modo geral procurámos expurgar o texto as matérias necessária mas que não se prendem especificamente com o assunto em estudo, sejam referentes a teorias utilizadas ou cálculos de caráter técnico. Serve o apêndice também para indicar referências para resultados pontuais ou assuntos mais gerais de que fazemos uso. Para indicar ao leitor que uma parte do texto deve ser acompanhada da leitura da respetiva seçcão do apêndice assinalamo-lo com o s´ımbolo .

(17)

Cap´ıtulo 2

Ferramentas

2.1 Os espa¸

co 2

n

Para cada n ∈ N, 2n representa o espa¸co das sequˆencias finitas definidas em n = {0, 1, . . . , n − 1}

com valores em 2 = {0, 1}, que consideramos naturalmente inclu´ıdo em 2N_,

conside-rando as sequˆencias finitas prolongadas com zeros. Pn_´_{e a probabilidade uniformemente}

distribu´ıda sobre 2n_{, ou seja definida por:}

Pn(A) = #A 2n

para A ⊂ 2n_.

2N_´_{e o espa¸co das sucess˜}_{oes de definidas em N, com valores em 2 = {0, 1}, munido}

da topologia produto da topologia discreta em {0, 1}; da probabilidade PN _potˆ_encia

infinita da probabilidade uniforme em {0, 1}; da dinˆamica σ : 2N _{→ 2}N _{definida por}

(σx)i = xi+1, para x ∈ 2N. Com esta estrutura 2N ´e um espa¸co topol´ogico compacto,

metrizável, separável, completamente desconexo e sem pontos isolados; a probabili-dade, é uma medida de Borel regular, invariante e ergódica em rela¸cão e esta dinâmica, usualmente chamada shift de Bernoulli.

Defini¸c˜oes:

(18)

o cilindro de centro em x, ou seja, o conjunto das sequˆencias que come¸cam como x,

Cn(x) :=y ∈ 2N : y|n= x|n

onde x|n ´e a restri¸c˜ao de x a n = {0, 1, . . . , n − 1}.

os operadores σ−1₀ , σ₁−1 inversos direitos de σ,

σ₀−1(x) := 0x σ₁−1(x) := 1x onde 0x := 0x0x1. . . e 1x := 1x0x1. . .. a proximidade de x a y, D(x, y) := sup {n ∈ N : x|n= y|n} a distˆancia de x a y d(x, y) := 1 D(x, y)

A desigualdade triangular para d = 1/D ´e consequˆencia de

D(x, z) ≥ D(x, y) ∧ D(y, z) Com efeito, d(x, z) = 1 D(x, z) ≤ 1 D(x, y) ∧ D(y, z) = 1 D(x, y) ∨ 1 D(y, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) Assim, d = 1/D ´e uma pseudom´etrica em 2N _{que define a topologia produto em}

2N _{e para a qual as bolas de centro em x e raio 1/n, fechadas e abertas abertas}

respe-tivamente, isto é, incluindo ou não os pontos à distância 1/n de x, são extamente os cilindros:

Cn(x), Cn+1(x);

(19)

2.2 As fun¸

c˜

oes λ

n

e as suas imagens

Para λ ∈ (0, 1) e n ≤ N, definimos as fun¸c˜oes λn :2n→ R por:

λnx :=

X

i∈n

xiλi

No caso finito representamos por Kn a imagem de λn,

Kn:= λn(2n) e kn := #Kn

e por Iλn o menor intervalo que cont´em Kn, ou seja,

Iλn := [0, lλn] onde lλn :=

1 − λn 1 − λ No caso infinito pomos,

Kλ := λN(2N)

e

Iλ := [0, lλ] := [0, (1 − λ)−1]

´

E imediado verificar que estas imagens formam uma sucess˜ao crescente de conjuntos e que,

[

n∈N

Kn= Kλ ⊂ Iλ

Para a inclus˜ao S

n∈NKn ⊂ Kλ importa o facto de λN ser cont´ınua. De facto se

V ´_{e um aberto de R e x ∈ λ}−1

N V , ent˜ao, como se reconhece facilmente, para n ∈ N

suficientemente grande,

λ_N(Cn(x)) ⊂ λnx + λnIλ ⊂ V

o que prova a continuidade de λ_N. Assim, sendo λ_N cont´ınua num compacto, e sendo P uma medida de Borel regular tamb´em νλ ´e uma medida de Borel regular. (♦).

As fun¸c˜oes λ_Naqui definidas sobre 2N_{, aplicam-se naturalmente a qualquer sucess˜}_ao

limitada. Assim se Y ⊂ [0, M ]N_{e Y |}

n:= {x|n: x ∈ Y }, podemos generalizar a inclus˜ao

de cima:

λ_N(Y ) ⊂ λn(Y |n) + λnλN([0, M ]N)

e estabelecer a seguinte estimativa que ser´a usada adiante,

(20)

2.2.1 Dimens˜

ao de K

λ

Para λ ∈ (0, 1) definimos as m´etricas ρλ, dλ e δλ em 2N, por

dλ(x, y) = λN|x − y| (2.2)

ρλ(x, y) = |λNx − λNy| (2.3)

δλ(x, y) = λD(x,y) (2.4)

Note-se que, para λ ≥ 1/2, λ_N não é injetiva e por isso ρλ é apenas uma semi-métrica.

Mas, para λ < 1/2, a m´etrica ρλ ´e especialmente ajustada para estudar os efeitos de

λ_N na sua imagem, uma vez que ´e exatamente o transporte da m´etrica de [0, 1] para 2N

por meio daquela fun¸cão, ou seja, aquela para a qual λ_N é uma isometria (se λ = 1/2 este discurso carece de algumas observa¸cões que serão feitas quando nos detivermos nesse caso).

Destas defini¸c˜oes resultam facilmente as desigualdades que (juntamente com λ1/d _≤

d/(e. log λ−1)) asseguram as rela¸c˜oes:

ρλ 4 dλ ≡ δλ 4 d (2.5)

v´alidas para qualquer λ ∈ (0, 1). Para λ < 1/2, a desigualdade,

ρλ(x, y) ≥

1 − 2λ 1 − λ · λ

D(x,y) _(2.6)

implica também a equivalência métrica ρλ ≡ δλ, portanto

ρλ ≡ dλ ≡ δλ 4 d (2.7)

Apesar de δλ não dominar d, da defini¸cão de δλ = λ1/d, resulta claro que δλ e d são

uniformemente equivalentes, portanto as métricas referidas são todas uniformemente equivalentes entre si, mesmo com parâmetros λ diferentes, incluindo as métricas ρλ

com λ < 1/2.

Da defini¸c˜ao de δλ resulta imediatamente

δγ = δ_λq (2.8)

onde q = _{log λ}log γ, ou seja, γ = λq_{, igualdade que se repercute imediatamente `}_{as respetivas}

medidas de Hausdorff de qualquer dimens˜ao s ≥ 0,

Hs δγ = H

qs

(21)

Por outro lado de (2.5) e (2.7) saem, respetivamente, Hs ρλ H s dλ ≡ H s δλ H s d para qualquer λ, e Hs ρλ ≡ H s dλ ≡ H s δλ H s d

para λ < 1/2. Conjugado esta equivalˆencia com (2.9) temos tamb´em, Hs

dγ ≡ H

qs dλ

para quaisquer λ, γ.

Tendo em conta as equivalˆencias de cima, conclu´ımos que as m´etricas dλ e δλ, e

tamb´em ρλ, no caso λ < 1/2, determinam as mesmas dimens˜oes de Hausdorff (de

conjuntos ou medidas) as quais representaremos apenas em fun¸c˜ao do parˆametro λ, por

dimλ

Al´em disso de (2.9) temos a rela¸c˜ao, para quaisquer λ, γ,

dimλ =

log γ

log λdimγ (2.10) que nos permite calcular a dimens˜ao de Kλ. Com efeito, sendo λN uma contra¸c˜ao

relativamente a dλ, temos que, para A ⊂ 2N,

dim(λ_N(A)) ≤ dimλ(A)

e ent˜ao1, para λ ≥ 1/2, dimλ 2N ≥ dim Iλ = 1. Por outro lado, para λ < 1/2, λN

´e uma isometria relativamente a ρλ, e assim,

dim (Kλ) = dimλ 2N =

log 1/2

log λ dim12 2

N

donde se tira que dim1 2 2 N = 1 e ent˜ao, dim (Kλ) = log 1/2 log λ = dimλ 2 N

sendo a primeira igualdade v´alida para λ ≤ 1/2 mas a segunda para qualquer λ ∈ (0, 1). Adiante veremos que Kλ = Iλ no caso λ ≥ 1/2, pelo que, nesse caso, dim Kλ = 1.

1_{Adiante veremos que para λ ≥ 1/2 K}

λ = Iλ o que ali´as pode ser visto por mero c´alculo, sem

(22)

2.2.2 As fatoriza¸

c˜

oes de λ

_N

Agrupando as parcelas da s´erie em grupos de d > 1 parcelas,

λ_Nx =X i∈N xiλi = X i<d X n∈N xdn+iλdn ! λi = λdλd_Nx~d

sendo, ~xd∈ (2N)d o vetor de sequˆencias definido, para x ∈ 2N, n ∈ N e i < d, por

((~xd)i)n= xdn+i

e vendo λd N:= (λ

d₎

N a atuar sobre cada uma das d componentes de ~xd produzindo um

vetor de (K_λd)d, isto ´e, λd_N~xd i = λ d N((~xd)i). Esquematicamente: λd N λd λ_N: 2N ≈ (2N)d −→ (Kλd)d −→ K_λ

onde o s´ımbolo ≈ representa o isomorfismo 2N _{≈ (2}N₎d _{determinado por x ≈ ~}_x d,

relativamente ao qual,

PN

≈ (PN)d

quer dizer, a probabilidade transportada por este isomorfismo, de 2N _{para (2}N₎d_{, ´}_e

(PN₎d_.

Alternativamente, agrupando as parcelas da s´erie por ordem inversa, temos,

λ_Nx =X i∈N xiλi = X n∈N X i<d ~ xdn+1λi ! λdn = λd_Nλdx~d.

onde, agora, ~xd∈ (2d)N, ´e a sequˆencia de vetores definida, para i < d, n ∈ N, por

((~xd)n)i = xdn+i

e λd ´e visto como atuando sobre as infinitas componentes de ~xd produzindo uma

sequˆencia de Kd, isto ´e,

(23)

Esquematicamente: λd λd_N λ_N : 2N _{≈ (2}d₎N _{−→ (K} λd)N −→ Kλ, com PN ≈ (Pd)N.

Referir-nos-emos a estas duas decomposi¸cões ou fatoriza¸cões de λ_N, respetivamente, pelas expressões:

λ_N_{≈ λ}dλd_N

e

λ_N _{≈ λ}d_Nλd.

2.3 As semelhan¸

cas S

_i

e o operador S

Olhando para as somas, finitas ou infinitas, agora representadas pelas fun¸c˜oes λn,

observamos a rela¸c˜_{ao, para n ≤ N:}

λn+1x = λ1x + λλnσx

ou, em termos de fun¸c˜oes:

λn+1= λ1+ λλnσ (2.11)

a qual sugere a introdu¸c˜_{ao das semelhan¸cas contrativas em R, S}0 e S1 definidas por:

S0t := λt e S1t := 1 + λt

para t ∈ R. A composi¸c˜ao de uma sequˆencia de comprimento n destas duas semelhan¸cas representamos por

Sx:= Sx0Sx1. . . Sxn−1 (x ∈ 2

n₎

e facilmente se verifica que, para t ∈ R,

Sxt = λnx + λnt.

Em particular, como já observámos na introdu¸cão,

(24)

e substituindo t por B ⊂ R, temos

SxB = λnx + λnB. (2.12)

De outro ponto de vista, estas semelhan¸cas s˜ao afinal conjugados dos operadores σ₀−1 e σ₁−1, no sentido de que:

λn+1σ0−1 = S0λn

e

λn+1σ1−1= S1λn.

Da mesma forma, a uni˜ao dos dois S = S0∪ S1, vistos como operadores de conjuntos,

ou seja, definida por:

S(B) := S0(B) ∪ S1(B)

para B ⊂ R, ´e conjugado de σ−1, exatamente no mesmo sentido: λn+1σ−1 = Sλn.

Daqui resulta que, para A ⊂ 2N_,

λn+1σ−1(A) = Sλn(A),

e então, se A é σ−invariante, temos a rela¸cão dinâmica com o operador S, de recursi-vidade e ponto fixo:

λn+1(A) = Sλn(A).

Em particular, para A = 2N_{, sai:}

Kn+1= S(Kn)

As iteradas de S assumem a forma:

Sn(B) = [ x∈2n Sx(B) = [ x∈2n (λnx + λnB) = Kn+ λnB. Em particular, Sn_(K 0) = Kn.

Consideramos agora no espa¸co K, constitu´ıdo pelos subconjuntos compactos e n˜ao vazios de Iλ, a m´etrica de Hausdorff, definida por:

(25)

Obtemos assim um espa¸co métrico compacto [6]. Para esta métrica S é uma λ−contra¸cão,

d(SX, SY ) ≤ λd(X, Y ) como se verifica com base nos seguintes factos:

i) d(λX, λY ) = λd(X, Y ) ii) d(1 + λX, 1 + λY ) = λd(X, Y ) iii) d(∪iXi, ∪iYi) ≤ sup i d(Xi, Yi)

Verificando (iii), temos, sup x∈∪Xi d(x, ∪Yi) = sup i sup x∈Xi d(x, ∪Yi) ≤ sup i sup x∈Xi d(x, Yi) ≤ sup i d(Xi, Yi) e analogamente sup y∈∪Yi d(∪Xi, y) ≤ sup i d(Xi, Yi)

o que prova (iii).

Assim, sendo S uma contra¸cão, tem um único ponto fixo em K, que como vimos atrás é justamente Kλ. Além disso temos:

Sn(X) → Kλ

para qualquer X ∈ K, e, em particular,

Kn→ Kλ

Se X ⊂ Iλ é outro ponto fixo de S, não vazio e não compacto, tendo em conta que

SX = SX, temos que X tamb´em ´e ponto fixo de S, logo X = Kλ. Assim fica provada

a igualdade j´a anunciada:

Kλ =

[

n∈N

Kn,

uma vez que aquela união dos Kné ponto fixo de S. Podemos também concluir agora

(26)

Cap´ıtulo 3

A medida de Erd¨

os

Para n ≤ N, definimos as proje¸c˜oes de Pn _{por meio das fun¸c˜}_{oes λ}

n sobre Kn:

νλn := P

n

λ−1_n

O caso n = N, objeto destas notas é a medida de Erdös, ou Convol¸cão Infinita de Bernoulli, que representamos por:

νλ

Observamos j´a que:

Spt(νλ) = Kλ

isto porque, se V ´e um aberto tal que V ∩ Kλ 6= ∅, ent˜ao, tomando x ∈ λ−1_N V e

como vimos a prop´osito da continuidade, para n suficientemente grande, νλ(V ∩ Kλ) ≥

P (Cn(x)) = 2−n> 0.

Adiante, na sec¸c˜ao 3.2, veremos que, para qualquer probabilidade de Borel, em Iλ,

µ, as iteradas Tn_{µ convergem fracamente para ν}

λ (♦), onde T ´e um certo operador

para o qual νλ ´e ponto fixo, em particular veremos que,

νn* νλ

e portanto,

νn(B) → νλ(B)

para qualquer B ⊂ Iλ cuja fronteira tenha medida νλ nula. No entanto tem interesse

estabelecer diretamente esta convergˆencia para certos conjuntos B entre os quais se incluem os intervalos [a, b) ⊂ Iλ.

(27)

Escrevemos:

yn → y−

para dizer que yn → y com yn ≤ y para n suficientemente grande, e dizemos que

B ⊂ R é aberto à direita, ou fechado à direita, se, respetivamente, yn → y− ∈ B

implica yn ∈ B para n suficientemente grande, ou B 3 yn → y− implica y ∈ B.

Obviamente que abertos são abertos à direita e fechados são fechados à direita. Um exemplo simples de aberto e fechado à direita são os intervalos da forma (a, b]. Tendo em conta que λnx → (λNx)

−_{, podemos estabelecer a inclus˜}_ao

λ−1

N B ⊂ lim inf_n→∞ λ −1 n (B)

quando B é aberto à direita. Então, aplicando P , vem

νλ(B) ≤ lim inf n→∞ νn(B). Analogamente se vˆe que, lim sup n→∞ νn(B) ≤ νλ(B)

no caso de B ser fechado `a direita. No caso de B ser simultaneamente aberto e fechado `

a direita, as duas desigualdades fundem-se em:

νλ(B) = lim

n→∞νn(B)

Assim se vê, que νλ * νλn. Esta a convergência é válida, mais geralmente, para

con-juntos B tais que νλ(∂B) = 0.[14]

3.1 Os casos λ ≤ 1/2

O caso λ = 1/2: Designemos, λ_N por Λ, isto ´e,

Λ : 2N_{→ [0, 2]} x −→ Λx = ∞ X i=0 xi2−i

Neste caso, x é uma representa¸cão binária de Λx. Λx = Λy implica x = y, exceto se xi = 1 e yi = 0 para todo o i > D(x, y). A um tal y chamaremos d´ızima finita

(28)

e, a um tal x, d´ızima infinita imprópria associada a y. Repare-se que, no presente contexto, não consideramos imprópria a d´ızima x = 11111 . . . porque Λx = 2 não tem d´ızima finita que o represente através Λ. Assim, para cada z ∈ [0, 2], existe um único x ∈ 2N_{, tal que Λx = z, exceto se z ∈ (0, 2) for a imagem de uma d´ızima finita e}

da respetiva d´ızima impr´opria. Representamos por I o subconjunto de 2N _{das d´ızimas}

infinitas impróprias. Assim, a restri¸cão de Λ a 2N₋I é uma bije¸cão sobre [0, 2]. A

imagem de P (restringida a 2N₋I) por esta bijeçcão é exatamente L

1/2. Isso porque, ΛCn(x) = Λn(x) + 2−n[0, 2] donde que L1/2(ΛCn(x)) = P (Cn(x)) o que determina L1/2Λ = P e ν1/2 = L1/2.

Por outro lado, ρ1/2é também a métrica transportada de [0, 2] para 2N−I por Λ, donde

que,

P = Hρ1 2

Note-se que o conjunto das d´ızimas finitas é numerável −logo de probabilidade nula− razão pela qual não nos preocupamos em distinguir Λ ou P das suas restri¸cões a 2N₋I.

Ou seja, do ponto de vista da medida os espa¸cos 2N _{e [0, 2] podem ser identificados}

por meio de Λ, apesar de Λ não ser injetiva. O mesmo já não se pode dizer do ponto de vista da topologia: 2N _{(com a sua topologia) e portanto 2}N₋I são completamente

desconexos, este n˜ao compacto, em contraste com [0, 1].

O caso λ < 1/2:

Neste caso resulta de (2.6) que λ_N ´e injectiva sendo por isso um homeomorfismo entre 2N _{e K}

λ, que por ser a uni˜ao de duas suas semelhan¸cas de raz˜ao inferior a 1/2

Kλ = S0(Kλ) ∪ S1(Kλ)

tem de ter medida de Lebesgue nula, portanto νλ ⊥ L e νλ ´e cont´ınua, isto ´e νλ(y) = 0

para qualquer y ∈ Kλ, porque ´e isomorfa a P que ´e cont´ınua.

Os conjuntos Sn_{[0, 1] = K}

n+ λn[0, 1] formam uma sucess˜ao decrescente de compactos

não vazios cuja interse¸cão é um compacto não vazio, ponto fixo de S, logo Kλ =

\

n∈N

(29)

Por outro lado, cada Kn+ λn[0, 1] ´e a uni˜ao disjunta dos 2nintervalos y + λn[0, 1], com

y ∈ Kn. Assim, para y ∈ Kλ e x ∈ 2N, λNx = y significa que a sequˆencia x codifica a

posi¸c˜ao de y na interse¸c˜ao de cima, no sentido de que, para cada n, y ∈ λnx+λn[0, 1], ou

seja Kλ é o clássico conjunto de Cantor de razão 2λ, do qual já calculámos a dimensão

de Hausdorff:

dim Kλ =

log(1/2) log λ .

Ficam assim esclarecidos os casos λ ≤ 1/2, quanto à questão principal do problema, ou seja a rela¸cão de singularidade ou continuidade absoluta de νλ com a medida de

Lebesgue. Apesar disso, no que se segue salvo indica¸cão expressa, não limitamos λ sem necessidade objetiva. Assim tentamos manter uma visão geral da dependência de νλ

em rela¸cão ao parâmetro λ por vezes reencontrando resultados já observados de outros pontos de vista.

3.2 Dinˆ

amica e ponto fixo:

Da seguinte rela¸c˜ao para as imagens inversas,

λ−1_n+1(B) = (σ₀−1λ−1_n S₀−1)(B) + (σ₁−1λ−1_n S₁−1)(B)

para n ≤ N e B ⊂ R, ou seja, em termos de operadores de conjuntos, λ−1_n+1 = (σ₀−1λ−1_n S₀−1) + (σ₁−1λ−1_n S₁−1)

sai, aplicando Pn+1_{, a correspondente rela¸c˜}_{ao de dinˆ}_{amica e ponto fixo para as medidas:}

νn+1 =

νnS0−1+ νnS1−1

2 , (3.1)

evidenciando o padr˜ao aludido em (1.3), que nos leva a considerar o operador:

ξ → T ξ := ξS −1 0 + ξS −1 1 2 .

Este operador surge assim atuando sobre fun¸cões de conjuntos, neste caso medidas, mas imediatamente se reconhece que, de igual modo, pode aplicar-se a fun¸cões reais de variável real. Num caso e noutro as semelhan¸cas S_i−1 são vistas da foram corres-pondente. Interessa-nos, para já, olhar para T com essa liberdade, admitindo que se aplique a fun¸c˜_{oes definidas para alguns subconjuntos ou pontos de R, podendo tomar}

(30)

valores em todo o intervalo [−∞, +∞], produzindo assim objetos do mesmo tipo, defi-nidos no maior dom´ınio em que a expressão fa¸ca sentindo, excluindo-se assim os casos de indetermina¸cão tipo ∞−∞. Trata-se claramente de um operador ”linear”monótono (sem aspas quando restringido a espa¸cos vetoriais), isto é:

T (ξ + η) = T ξ + T η

T (tξ) = tT ξ ξ ≤ η ⇒ T ξ ≤ T η, cujas iteradas assumem a forma:

Tnξ = 1 2n

X

x∈2n

ξS_x−1.

Notando que (3.1) abrange o caso limite, n = N, vemos que νλ ´e ponto fixo de T ,

T νλ = νλ.

O facto de νλ ser ponto fixo de T , garante a ausência de átomos a medida de Erdös e

tamb´em a seguinte lei de equil´ıbrio: νλ L implica Lλ νλ.

Claro que, por linearidade, qualquer múltiplo de νλ é também ponto fixo de T . Por

outras palavras, restringindo T ao espa¸co vetorial das medidas complexas sobre R, podemos dizer que 1 é valor próprio de T e que νλ é um vetor próprio associado.

Adiante, com o aux´ılio de uma m´etrica conveniente1_{, veremos que o subespa¸co pr´}_oprio

associado ao valor próprio 1 se reduz à reta gerada por νλ, o que usaremos já para

para provar a lei 0-1. Enunciamos e demonstramos estas importantes propriedades da medida de Erdös no teorema seguinte, após ver algumas propriedades básicas do operador T .

Proposi¸c˜_{ao 1. Seja µ uma medida em R.} i) (T µ)(R) = µ(R)

ii) Spt(T µ) = S(Spt(µ))

iii) T µ L ⇔ µ L.

(31)

iv) T µ ⊥ L ⇔ µ ⊥ L.

v) Se µ ´e de Borel, finita e de suporte compacto, ent˜ao:

T µ = µ ⇔ µ = µ(R)νλ.

Demonstra¸c˜ao: i) Trivial.

ii) Para um aberto V ⊂ R. V ⊂ ΩT µ ⇔ S0−1(V ) ∪ S

−1

1 (V ) ⊂ Ωµ ⇔ V ⊂ S0(Ωµ) ∩ S1(Ωµ)

portanto,

ΩT µ = S0(Ωµ) ∩ S1(Ωµ)

tomando complementares temos a igualdade para os suportes.

iii) A implica¸c˜ao ⇐ ´e imediata. A rec´ıproca ⇒: L(A) = 0 ⇒ L(S0A) = 0 ⇒

T µ(S0A) = 0 ⇒ µ(A) = 0.

iv) ⇐: Se L(A) = 0 e µ(R − A) = 0, ent˜ao L(S(A)) = 0 e 2(T µ)(R − S(A)) = µ(S₀−1_{(R − S(A))) + µ(S}₁−1_{(R − S(A))) = µ(R − S}₀−1_{S(A)) + µ(R − S}₁−1S(A) ≤ µ(R − A) + µ(R − A) = 0.

⇒: Se L(A) = 0 e (T µ)(R − A) = 0, ent˜ao µ(S0−1(R − A)) = µ(R − S −1

0 (A)) = 0 e

L(S₀−1(A)) = 0.

v) Podemos supor, sem perda de generalidade, que mu tem suporte contido em Iλ.

Para verificar esta propriedade (trivial no caso µ = 0) basta dividir µ por µ(R), ter em conta a linearidade de T e a unicidade do ponto fixo de T no espa¸co M a seguir tu Teorema 1. Para qualquer λ ∈ (0, 1):

Lei de Pureza: νλ n˜ao tem ´atomos.

Lei de Equil´ıbrio: νλ Lλ se, e s´o se, Lλ νλ.

(32)

t u Pureza:

Claramente 0 não é átomo de νλ. Se a > 0 fosse um átomo de medida máxima, então

tendo em conta que

νλ(a) =

νλ(S0−1a) + νλ(S1−1a)

2

S₀−1a = λ−1_{a tamb´}_{em seria um ´}_{atomo de medida m´}_{axima; e assim tamb´}_{em λ}−i_{a seriam}

´

atomos, mas tal n˜ao pode ser porque λ−ia > 1 depois de certa ordem.

Equil´ıbrio:

Suponhamos que νλ Lλ. Em primeiro lugar observamos que existe l < lλ tal

que L(A) ≤ l para todos os A ⊂ Iλ que anulam νλ. Se assim n˜ao fosse, tomando

complementares em Iλ, ter´ıamos uma sucess˜ao Bn⊂ Iλ tal que νλ(Bn) = 1 e L(Bn) →

0, contrariando a hip´otese νλ L. Seja ent˜ao um A ⊂ Iλ um boreliano com νλ(A) = 0

e t um ponto qualquer de Iλ. Como Sn(Iλ) = Iλ, para cada n ∈ N existe xn ∈ 2n tal

que t ∈ Sxn(Iλ) =: En.

diamounssuit Calculando a densidade de LA em t, DL(t)

LA(En) L(En) = L(A ∩ En) λn_l λ = L(Sxn(S −1 xn(A) ∩ Iλ)) λn_l λ = L(S −1 xn(A) ∩ Iλ) lλ ≤ l lλ < 1.

A primeira desigualdade em cima justifica-se pelo facto de νλ ser ponto fixo de T , e

portanto de todos os Tn_{, pois, tendo em conta a express˜}_{ao das iteradas de T , ν}

λ(A) = 0

obriga a νλ(Sx−1(A)) = 0, para todo o x ∈ 2n, e, consequentemente, L(S −1

x (A) ∩ Iλ) ≤ l.

Conclui-se ent˜ao que, para quase todo o t ∈ Iλ,

DLA(t) < 1.

Mas, por outro lado, sabemos que DLA(t) = 1, para quase todo o t ∈ A, pelo que

L(A) = 0, provando, como quer´ıamos, que Lλ νλ. A implica¸c˜ao rec´ıproca resulta

da dicotomia a seguir.

0-1:

Considerando a decomposi¸c˜ao de Lebesgue de νλ relativa a Lλ,

(33)

com νac L e νs⊥ L, aplicando T vem

νac+ νs= T νac+ T νs

com T νac L e T νs ⊥ L. Ent˜ao, pela unicidade da decomposi¸c˜ao, temos que νac e

νs s˜ao pontos fixos de T , logo proporcionais a νλ e ent˜ao, necessariamente, νac = νλ e

νs = 0 ou vice-versa, νs = νλ e νac = 0. No caso n˜ao singular a continuidade absoluta

implica a equivalência como já se viu na lei anterior. tu A métrica L em M

Seja M o conjunto das medidas de probabilidade de Borel, (definidas em R) de suporte contido em Iλ. Em M define-se a m´etrica L, conhecida por m´etrica de

Monge-Kantorovich, tamb´em referida em alguma literatura como m´etrica de Hutchinson, do seguinte modo: L(µ, ν) := sup Z Iλ φdµ − Z Iλ φdν : φ ∈ Lip1(Iλ, R) onde, Lip1(Iλ, R) := φ ∈ RIλ : |φ(t) − φ(s)| ≤ |t − s|, ∀t, s ∈ Iλ .

Esta métrica define em M a topologia da convergência fraca, relativamente à qual M é um espa¸co métrico compacto [19],[18], [15], [9]. Relativamente a esta métrica, T é uma λ-contra¸cão. Com efeito, para φ ∈ Lip1_{(R, R) e Lip (ψ) = λ, temos λ}−1φψ ∈ Lip1_{(R, R), e} Z Iλ φd(µψ−1) = λ Z Iλ λ−1φψdµ.

Usando esta igualdade com ψ = S0, S1, conclu´ımos que,

L(T µ, T ν) ≤ λL(µ, ν)

Assim sabemos que o ponto fixo νλ de T ´e o ´unico em M e que

Tnµ → νλ

para qualquer µ ∈ M.

Representamos por M e M⊥ os subconjuntos de M formados pelas medidas

absolutamente cont´ınuas e pelas medidas singulares, respetivamente, relativamente à medida de Lebesgue. Decorre da proposi¸cão anterior que T aplica M em sim mesmo e que aqueles subconjuntos de M são invariantes para T .

(34)

3.3 Densidade

♦ Tendo presente a teoria da deriva¸cão de medidas, nomeadamente os teoremas Radon-Nikodim, da decomposi¸cão de Lebesgue e afins, sabemos que para qualquer medida positiva de Radon em R, µ, a sua derivada Dµ(t) está definida para quase todo o t ∈ R, sendo uma fun¸cão mensurável. Assim D define um operador que transforma essas medidas em fun¸cões mensuráveis, positivas e localmente somáveis, que tem como inverso direito o operador de integra¸cão que a cada fun¸cão mensurável, positiva e localmente som´_{avel, definida em quase todos os pontos de R (e identificadas se diferem} apenas em conjuntos de medida nula), faz corresponder o seu integral indefinido R f , isto é, a medida positiva definida por

A → Z

A

f dL

para A ⊂ R mensurável à Lebesgue. A imagem deR é exatamente o espa¸co daquelas medidas que são absolutamente cont´ınuas em rela¸cão à medida de Lebesgue, pelo que a restri¸cão de D a este espa¸co é uma bije¸cão cujo inverso é este operador de integra¸cão. Estamos essencialmente interessados em aplicar estes resultados ao estudo da medida de Erdös conjuntamente com a dinâmica T e a métrica L, pelo que restringimos desde já o operador D ao espa¸co M e o operador R à imagem daquele, isto é ao espa¸co da fun¸cões, de L1_(I

λ) n˜ao negativas de norma-L1 igual a 1, o qual representamos por D.

Temos ent˜ao, esquematicamente:

D : M → D Z : D → M µ ∈ M ⇔ Z Dµ = µ µ ∈ M⊥ ⇔ Dµ = 0. Com a bije¸c˜ao M D ←→ R D

podemos transportar ou traduzir objetos ou estruturas de um espa¸co para o outro, por exemplo, como νλ é o único ponto fixo de T em M, podemos concluir já que

νλ ∈ Mse, e somente se, o conjugado de T por meio desta bije¸c˜ao tem ponto fixo em

(35)

trasportada para em D. Ora, derivando uma medida µ transformada por T obtemos, D(T µ) = (Dµ)S −1 0 + (Dµ)S −1 1 2λ = λ −1 T Dµ ou seja, DT = λ−1T D

portanto o resultado de transportar T , como dinˆamica em M, para D ´e justamente

o denominado operador de Perron:

Q := λ−1T

para a qual o integral de Lebesgue sobre R ´e um invariante, Z R Qf dL = Z R f dL.

A m´etrica L, transportada para D, ´e dada por:

M (f, g) = sup Z

Iλ

φ(f − g)dx : φ ∈ Lip1(Iλ, R)

que determina tamb´em a seguinte convergˆencia fraca em D:

fn * f se, e s´o se, Z Iλ φfn→ Z Iλ φf

para toda a fun¸c˜ao φ ∈ C(Iλ).

Neste contexto podemos enunciar várias caracteriza¸cões da continuidade absoluta ou singularidade da medida de Erdös:

Proposi¸c˜ao 2.

νλ ∈ M ⇔ Dνλ 6= 0 ⇔ Q tem ponto fixo em D

(36)

Transformada de Fourier:

♦ Adiante iremos usar a transformada de Fourier de νλ ou Dνλ para estudar a

natureza da medida, particularmente para reproduzir a demonstra¸cão de Erdös da singularidade dos inversos de números de Pisot. Além disso, é um facto interessante em si mesmo a possibilidade de as determinar explicitamente e a forma aparentemente simples que revestem. Para tal comecemos por ver o efeito da transformada de Fourier sobre o operador T .

Se µ ´_{e uma medida complexa de Borel em R, um c´alculo simples usando a mudan¸ca} de vari´avel (5.1), mostra que,

c

T µ(t) =_bµ(λt)1 + e

−it

2 . (3.2)

Como νλ ´e ponto fixo de T vemos que,

b

νλ(t) =νbλ(λt) ·

1 + e−it 2 . Iterando esta equa¸c˜ao, vem,

b νλ(t) =νbλ(λ n t) · n−1 Y k=0 1 + e−itλk 2 ,

e tendo em conta queν_bλ ´e cont´ınua, e que νbλ(0) = νλ(R) = 1, vem,

b νλ(t) = ∞ Y k=0 1 + e−itλk 2 . (3.3)

Um c´alculo similar pode ser feito para dDνλ, aparecendo dDνλ(0) = kDνλk1 em vez de

b νλ(0) = νλ(R) = 1, obtendo-se ent˜ao, d Dνλ(t) = kDνλk1· ∞ Y k=0 1 + e−itλk 2 . (3.4)

Esta fórmula também pode ser obtida a partir de (3.3), uma vez que, tendo em conta as defini¸cões, temos por um lado,

b f = \ Z f ,

(37)

e, por outro lado, R Dνλ = 0 ou R Dνλ = νλ, consoante seja λ singular ou regular

respetivamente. Repare-se que kDνλk1 ´e 1 ou 0 conforme o parˆametro λ seja regular

ou singular, podendo assim funcionar como indicatriz da sua natureza.

Aproxima¸c˜ao:

Caso Dνλ ∈ D,

Qnf * Dνλ

para qualquer f ∈ D. Em particular, de acordo com (3.1), as medidas discretas νn s˜ao

as iteradas por T a partir de ν0, pelo que,

νn* νλ.

Afim de usar a deriva¸c˜ao tem interesse considerar medidas absolutamente cont´ınuas em vez de medidas singulares, para aproximar νλ. Para isso podemos tomar como ponto

de partida qualquer medida de M. Tem interesse, naturalmente, tomar a medida de

Lebesgue restringida a Iλ e normalizada,

Lλ := (1 − λ)LIλ

e a sua derivada,

DLλ = (1 − λ)χIλ

onde χIλ ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica de Iλ.

Para calcular pontualmente as iteradas de DLλ por meio de Q, resolvemos a

condi¸c˜ao S_x−1t ∈ Iλ em ordem a x, para x ∈ 2n e t ∈ R,

S_x−1t ∈ Iλ ⇔ t ∈ SxIλ

⇔ t ∈ λnx + λnIλ (3.5)

⇔ λnx ∈ t − λnIλ

⇔ x ∈ λ−1_n (t − λnIλ).

Pelo que, sendo In(t) := t − λnIλ,

X x∈2n χIλ S −1 x (t) = #λ −1 n (In(t)) (3.6)

(38)

e ent˜ao, dividindo por 2n_λn_l

λ e notando que L(In(t)) = λnlλ, temos,

(QnDLλ) (t) =

νn(In(t))

L(In(t))

.

Sabemos que QnDLλconverge fracamente para Dνλ, mas esta igualdade sugere que

possa convergir tamb´em pontualmente. Para estudar esse limite pontual consideramos os limites inferior e superior da sucess˜ao,

fn(t) := (QnDLλ) (t) = νn(In(t)) L(In(t)) , (3.7) f (t) := lim inf n→∞ fn(t) e F (t) := lim sup_n→∞ fn(t).

Trata-se claramente de fun¸c˜oes mensur´aveis, com valores em [0, ∞], nulas fora de Iλ e

que, como resulta lema 3-(i), est˜ao em L1_{. Representamos ent˜}_{ao as suas normaliza¸c˜}_oes

em L1 _{por g e G respetivamente isto ´}_{e, g := f /||f ||}

1 se f 6= 0 e g = 0 se f = 0. Assim

g 6= 0 implica g ∈ D; idem para G.

Seguindo as ideias do recente preprint de Tom Kempton [25] compilamos na pro-posi¸cão seguinte algumas propriedades e rela¸cões das fun¸cões f, F, g e G com Dνλ.

Proposi¸c˜ao 3.

i) S˜ao v´alidas as desigualdade pontuais,

0 ≤ f ≤ F ≤ 2Dνλ ≤ 2lλkDνλk∞· f

ii) Tem-se sempre,

kf k1 ≤ 1 e kF k1 ≤ 2

e se (sup_nfn) ∈ L1, ent˜ao tamb´em

1 ≤ kF k1

iii) G = Dνλ

(39)

Demonstra¸c˜ao:

i) As duas primeiras desigualdades são óbvias. Quanto à terceira, usamos o seguinte argumento atribu´ıdo a Peres:

Para x ∈ 2N _{e m ≥ n, temos,} λnx ∈ In(t) ⇒ λmx ∈ In(t) + λnIλ =: Jn(t) ent˜ao, #λ−1_m (Jn(t)) ≥ #λ−1n (In(t)) · 2m−n νm(Jn(t)) ≥ νn(In(t)) 2νm(Jn(t)) L(Jn(t)) ≥ νn(In(t)) L(In(t)) ,

agora fazendo primeiro m → ∞,

2νλ(Jn(t)) L(Jn(t))

≥ fn(t)

e depois n → ∞, obtemos a terceira desigualdade,

2Dνλ(t) ≥ F (t).

Quanto à última, tendo em conta que Q é linear monótono e que Dνλ é seu ponto fixo,

da desigualdade, Dνλ(t) ≤ lλkDνλk∞· DLλ(t) resulta, Dνλ(t) = (QnDνλ)(t) ≤ lλkDνλk∞· fn(t) e ent˜ao, Dνλ(t) ≤ lλkDνλk∞· f (t).

ii) A primeira e ´ultima desigualdades decorrem meramente do lema de Fatou, e kF k1 ≤ 2 decorre de (i).

iv) g ´e ponto fixo de Q, porque, por um lado,

Qf = Q lim inf n→∞ (fn) ≤ lim inf n→∞ (fn+1) = f

(40)

e, por outro lado, Z R Qf = Z R f

logo, f e, portanto g, s˜ao pontos fixos de Q. Mas tendo em conta a unicidade do ponto fixo a menos de escala e que, f ≤ 2Dνλ, tem de ser g = 0 ou g = Dνλ; e sendo g 6= Dνλ

tem de ser kDνλk∞= ∞ em virtude da ´ultima desigualdade em (i). Isto prova (iv).

iii) Analogamente a g se vˆe que G = 0 ou G = Dνλ, mas neste caso G = 0 implica

Dνλ = 0, porque G = 0 significa que fn(t) →= em quase todo o t ∈ IΛ; mas tamb´em

fn converge fracamente para Dνλ o que obriga a que Dνλ = 0, como resulta do lema

(5) em apˆendice. tu

Nota:

Na seçcão 5 de [25] é formulada uma conjetura, separando o caso singular do absolu-tamente cont´ınuo, que, na nota¸cão aqui usada, se traduz unificadamente em:

f = F = Dνλ ?

Ora, no caso singular, podemos responder afirmativamente a essa conjetura; isso de-corre das três primeiras desigualdades da al´ınea (i) da proposi¸cão 3. No caso regular a conjetura mantém interesse e, a ser verdadeira, implicará também que temos sempre g = G = Dνλ, portanto, a condicionante g = 0 e Dνλ ∈ L/ ∞ da al´ınea (iv) na

proposi¸c˜ao 3 ser´a imposs´ıvel.

Kempton estabelece a liga¸cão destas no¸cões com a no¸cão de contagem das β-expansões (β = λ−1) de números reais,

t =X

i∈N

xiλi

contexto em que se define a quantidade,

Nn(t)

como sendo o n´umero de sequˆencias x ∈ 2n _prolong´_{aveis a 2}N _{como λ-expans˜}_{ao de t,}

isto ´e,

X

i∈N

(41)

Essa liga¸cão é estabelecida através da igualdade,

Nn(t) = #λ−1n (In(t)) (3.8)

que resulta da equivalˆencia em (2.7),

t ∈ λnx + λnIλ ⇔ x ∈ λ−1n (In(t))

Em [23] (Teoremas 1.1 e 1.3) Feng e Sidorof provam (algo mais geral) que, sendo λ−1 um n´umero de Pisot,

lim

n→∞

n

pNn(t) < 2λ (3.9)

para quase todo o t ∈ Iλ, que a seguir usaremos para provar a singularidade destes

(42)

Cap´ıtulo 4

Crit´

erios de singularidade ou

regularidade

Vamos finalmente estabelecer alguns crit´erios que determinam a natureza de νλ ser

singular ou equivalente a Lλ:

(C1) Se λ−1 < 2 é um número de Pisot, então νλ ⊥ Lλ

(C2) Se λ−1 é um número de Garsia então νλ ≡ Lλ

(C3) Se νλ ≡ Lλ ent˜ao νλ1/d ≡ L_λ, ∀d ∈ N

(C4) Se νλ ⊥ Lλ ent˜ao νλd ⊥ L_λ, ∀d ∈ N

(C5) Se (sup_nfn) ∈ L1 ent˜ao νλ ≡ Lλ (fn definido em 3.7)

(C6) Se existem d ∈ N e B ⊂ Kd tais que,

b < a e b a_{(1 − b)}1−a aa_{(1 − a)}1−a · λ d_{· k} d< 1 ent˜ao νλ ⊥ Lλ, onde b := #B kd a := #A 2d A := λ −1 d (B).

(43)

Antes de entrar nas demonstra¸cões destes critérios vamos fazer alguns comentários.

(C1) é o critério estabelecido por Erdos em [3] que deu origem ao problema de que se ocupam estas notas. Adiante incluiremos duas demosntra¸cões: uma adaptada da demonstra¸cão original de Erdös, via transformada de Fourier, mas sobre Dνλ em vez

de νλ; e outra, aparentemente nova, baseada na estimativa do limite (3.9) e no lema (3).

(C2) é o critério estabelecido por Adriano Garsia [5] que deu origem à classifica¸cão dos números que hoje têm o seu nome. Estes dois primeiros critérios, permanecem os ´

unicos em que se consegue determinar, em casos concretos, a natureza da medida de Erdös. Permanece em aberto a questão de saber se existem parâmetros singulares no intervalo (1/2, 1) que não sejam inversos de números de Pisot. Como a demonstra¸cão deste critério é baseado na proposi¸cão 4.2, temos de facto as desigualdades,

νλ ≤ rλlλLλ kDνλk∞ ≤ rλ

Exemplos de números de Garsia são as ra´ızes de 2 e as ra´ızes dos polinómios da forma, zn+p− zn_{− 2}

com n ∨ p ≥ 2. Em [24] pode encontrar-se dezenas de exemplos e muitas propriedades destes n´umeros.

(C3) foi estabelecido autonomamente dentro destas notas, decorrendo como co-rolário da fatoriza¸cão λ_N _{≈ λ}dλd_N. Ilustra assim uma aplica¸cão desta fatoriza¸cão e

aplica-se imediatamente ao caso λ = 1/2 provando que os parˆametros p1/2 s˜ao regu-d

lares, facto provado inicialmente por A. Wintner [1] e que também é assegurado por (C2) uma vez que esses parâmteros são inversos de números de Garsia.

(C4) é apenas o contra-rec´ıproco de (C3) e poderia ter interesse aplicar a parâmetros singulares com algumas potência no intervalo (1/2, 1). No entanto os único parâmetros singulares atualmente conhecidos são os inversos dos números de Pisot, cujas potências mantêm a mesma qualidade, nada adiantando aplicar-lhes este critério.

(C5) Tem interesse enunciá-lo por ser corolário imediato do lema 3 embora desco-nhe¸camos algum caso diferente de 1/2 que satisfa¸ca a sua hipótese.

(C6) é o famoso critério de Garsia apresentado simultaneamente com (C2) em [5]. Garsia afirma que se λ−1 é um número de Pisot então a hipótese deste critério é satis-feita, dizendo que isso pode ser facilmente deduzido do lema 2.5 desse artigo. Assim

(44)

sendo este critério aplicar-se-á aos números de Pisot generalizando (C1). Infelizmente não consegui alcan¸car essa dedu¸cão e na literatura consultada em que o facto é referido apenas encontrei o eco das palavras de Garsia. Socorrendo-me da ajuda de alguns especialistas na matéria, e apesar das indica¸cões que gentilmente me foram dadas, con-tinuei sem compreender a dedu¸cão a que Garsia se refere. Perante este impasse, Pedro Duarte teve a amabilidade de me escrever os comandos que fez correr no programa Mathematica c para pesquisar conjuntos B ⊂ 2d _{que satisfizessem a hip´}_{otese de (C6)}

para o parâmetro λ = (√5 − 1/2)/2 e d ≤ 18, mas o resultado indicou a inexistência de tais conjuntos. Possivelmente existirão para d > 18 mas o crescimento exponencial do volume de cálculo torna impraticável essa pesquisa com os meios mecânicos dispon´ıveis.

Demonstra¸c˜oes de (C1):

(a) ♦ A demonstra¸c˜ao de Erd¨os: Fazendo t = −2πλ−n em (3.4), temos, Dνdλ(−2πλ −n ) = kDνλk1· n Y k=0 1 + e2πiλk−n 2 = kDνλk1· ∞ Y k=1 1 + e2πiλ−k 2 · ∞ Y k=0 1 + e2πiλk 2 ≥ kDνλk1· ∞ Y k=1 1 + e2πiλ−k 2 · ∞ Y k=0 1 + e2πiλk 2

sendo o produto destes trˆes fatores necessariamente nulo porque, dDνλ(t) → 0

quando |t| → ∞. Mas, como veremos, o terceiro fator é sempre positivo e o segundo também é positivo no caso de λ−1 ser um número de Pisot, obrigando a kDνλk1 = 0,

ou seja, λ singular. Vejamos ent˜ao: por um lado, temos em geral,

1 − 1 + ei2πθ 2 ≤ 1 − 1 + e i2πθ 2 ≤ 2π|Z − θ|,

onde |Z − θ| representa a distância de θ a Z. A última desigualdade pode explicar-se por simples interpreta¸cão geométrica. Ora no primeiro produto, sendo α = λ−1 um n´_{umero de Pisot, sabemos que existe r < 1 tal que |Z−α}k| < rk

para todo o k ∈ N ([3]; e no segundo simplesmente |Z − λk_{| = λ}k_{. Resta observar que em ambos os produtos}

(45)

algébrico inteiro, é irracional ou inteiro. Assim, pelo lema 6 os produtos são positivos.tu

(b) demonstra¸c˜ao alternativa:

Das defini¸c˜oes de fn e νn e de (3.8) vem,

Nn(t) = 2nλnlλfn(t) (4.1) e aplicando 3.9 temos, n q lim n→∞fn(t) < 1

para quase todo o t ∈ Iλ, o que implica F = 0, e ent˜ao, pela proposi¸c˜ao 3, Dνλ = 0,

portanto λ ´e singular. tu

Demonstra¸c˜ao de (C2) - prepara¸c˜ao:

A prova de (C2) é baseada, em parte, nas propriedades assintóticas de certas carac-ter´ısticas das distribui¸cões finitas νλn que determinarão a natureza de νλ. Esta análise

parte da forma como as imagens de λn se distribuem sobre a a reta, nomeadamente a

quantifica¸c˜ao das sobreposi¸c˜oes ou afastamento desses pontos, para o que introduzimos as seguintes

Defini¸c˜oes:

Representamos por εn = εn(λ) e δn = δn(λ), respetivamente, os afastamentos

m´ınimo e m´aximo de pontos consecutivos de Kλn,

1 _M

n = Mn(λ) ´e o valor m´aximo

das probabilidade νn(t) com t ∈ Kn,

mn := n p Mn rn := Mn εn mλ := lim inf n→∞ mn rλ := lim infn→∞ rn

Dizemos que um parâmetro λ ´_{e injetivo se, para cada n ∈ N, a fun¸cão λ}né injetiva. Há

algumas rela¸c˜oes imediatas entre todas estas caracter´ısticas que importa real¸car desde

1_{Isto ´}_{e, o m´ınimo e m´}_{aximo das distˆ}_{ancias de pontos de #K}

λnentre os quais n˜ao h´a outros pontos

(46)

j´a:

A injetividade de λ ´e obviamente equivalente a qualquer das trˆes igualdades:

kn = 2n Mn= 2−n mn = 1/2,

v´_{alidas para para todo o n ∈ N.}

Como 0 e λn−1 _s˜_{ao os dois primeiros pontos de K}

n, temos,

εn≤ λn−1.

Naturalmente que temos a correspondente desigualdade para δn, mas neste caso

pode-mos determinar exatamente o seu valor, dependendo de ser λ ≤ 1/2 ou λ ≥ 1/2, tepode-mos respetivamente, δn= 1 − 2λ + λn 1 − λ ou δn= λn−1.

Isso pode ser verificado indutivamente, tendo em conta que Kn+1= λKn∪ (1 + λKn).

Porque Kn⊂ Iλn = [0, lλn], temos claramente,

εn(kn− 1) ≤ lλn ≤ δn(kn− 1)

o que ´e ´util para estabelecer o seguinte enquadramento de kn no caso λ > 1/2,

c

λn ≤ kn ≤

C εn

para determinadas constantes positivas, C e c, que não interessa agora otimizar. Adi-ante veremos que, sendo λ−1 um número de Pistot, verifica-se uma estimativa do tipo, εn ≥ cλλn, donde se tira que kn tem um crescimento assintótico equivalente a λ−n.

Lema 1. Para qualquer λ ∈ (0, 1),

lim

n→∞Mn(λ) = 0.

(47)

Sejam y, yn∈ [0, 1] tais que νn(yn) = Mn e yn → y; e sejam a, b tais que a < y < b.

Para n suficientemente grande yn∈ (a, b] e por isso

νn(a, b] ≥ Mn

tomando o limite superior, vem

νλ(a, b] ≥ lim sup n→∞

Mn

fazendo a, b → y, e tendo em conta que νλ(y) = 0, sai o resultado. tu

Lema 2. Para qualquer intervalo [a, b] ⊂ Iλ,

νλ[a, b] ≤ rλ(b − a) (4.2) Demonstra¸c˜ao: ´ E claro que, #(Kn∩ (a, b]) ≤ (b − a) εn + 1 e ent˜ao, νn(a, b] ≤ Mn εn (b − a) + Mn

de onde, tomando limites, obtemos (4.2). tu

Deste lema resulta como corolário imediato o seguinte critério de regularidade, ba-silar na prova de (C2), correspondente ao teorema 1.2 em [5] embora enfraquecendo a hipótese2

Proposi¸c˜ao 4. Se rλ < ∞ ent˜ao, νλ ≡ Lλ.

Al´em disso tem-se νλ ≤ rλlλLλ e kDνλk∞≤ rλ.

2_{De facto a quantidade 2}n_m

n(Epr) em [5] corresponde a 1/rn se λ injetivo como ´e o caso; assim a

(48)

Outra consequência importante de (4.2), também usada na demonstra¸cão de (C2), obtém-se fazendo [a, b] = Iλ em (4.2):

0 < 1 − λ ≤ rλ (4.3)

Mas em geral nada impede que seja rλ = ∞, o que acontece seguramente nos

parˆametros singulares.

♦ Os dois lemas seguintes estabelecem rela¸cões relativas aos conceitos agora defi-nidos, no caso de α := λ−1 ser um número algébrico inteiro. Tais rela¸cões dependem propriedades de natureza aritmética determinadas pelo conjunto dos conjugados de Galois de α. Estes conceitos algébricos, e as propriedades fundamentais de caráter geral de que vamos fazer uso, estão expostos no apêndice ou na bibliografia a´ı referida. Aqui introduzimos algumas defini¸cões mais espec´ıficas e outras criadas ad hoc com vista a aliviar as expressões.

Dado um inteiro alg´ebrico, α:

Polinómio m´ınimo de α, denotado por pα, é o (único) polinómio mónico de grau

m´ınimo entre os que anulam α.

Conjugados de α s˜ao as restantes ra´ızes de pα:

Cα := {z ∈ C : pα(z) = 0 ∧ z 6= α}

Entre os conjugados de um algébrico inteiro, α, será essencial a fazer a parti¸cão:

C_α− := {β ∈ Cα : |β| < 1}

C_α0 := {β ∈ Cα : |β| = 1}

C_α+ := {β ∈ Cα : |β| > 1}

Produtos de todos os elementos de um conjunto finito representaremos com o simbolo de produto, por exemplo:

Y

C_α− := Y

β∈Cα−

β.

O produto do conjunto vazio ´e a unidade e, recorde-se que, como consequˆencia da fatoriza¸c˜_{ao em C[z],}