Sistema de Numeração Posicional

(1)

Sistema de Numeração Posicional

(sistema decimal → Radix = 10)

10 símbolos numéricos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ex: 57.328 em decimal

total 57328 em decimal

8×100=00008

0

8

2×101=00020

1

2

3×102=00300

2

3

7×103=07000

3

7

5×104=50000

4

5

Numeral×RadixPosição

(2)

Sistema de Numeração Posicional

(Radix = 4)

4 símbolos numéricos: 0,1,2,3

ex:13302 em quaternário = 498 em decimal

2×40=002

0

2

0×41=000

1

0

3×42=048

2

3

3×43=192

3

1×44₌₂₅₆

4

1

(3)

Sistema de Numeração Posicional

(Radix = 2)

2 símbolos numéricos: 0,1

ex:10010 em binário = 18 em decimal

total 18 em decimal

0×20 = 0×01 = 00

0

1×21 = 1×02 = 02

1

0×22 = 0×04 = 00

2

0

0×23 = 0×08 = 00

3

0

1×24 ₌₁_{×16 = 16}

4

1

(4)

Conversão Radix 10 para Radix N

1. Divida o número decimal por N e guarde o resto

2. O quociente da divisão anterior é dividido novamente por N e o resto guardado

3. Repita o passo 2 até que o quociente seja zero

4. O resto da primeira divisão produz o dígito

(5)

Exemplo: Conversão Radix 10 para Radix

4

498 em decimal = 13302 em quaternário

4 – mais significativo

1

1 ÷ 4 = 0

3

7 ÷ 4 = 1

2

3

31 ÷ 4 = 7

1

0

124 ÷ 4 = 31

0 – menos significativo

2

498 ÷ 4 = 124

Posição Resto

(6)

Exemplo: Conversão Radix 10 para Radix 2

47 em decimal = 111101 em binário

5 – mais significativo

1

1 ÷ 2 = 0

4

0

2 ÷ 2 = 1

3

1

5 ÷ 2 = 2

2

1

11 ÷ 2 = 5

1

23 ÷ 2 = 11

0 – menos significativo

1

47 ÷ 2 = 23

Posição Resto

(7)

Exemplo: Conversão Radix 10 para

Radix 2

47 em decimal = 111101b

1 0

1 1

Numeral

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

RadixPosição

0 1

2 3

4 5

Posição

MSB

Most Significant Bit

LSB

(8)

Sistema Hexadecimal

Radix 16

Fornece um número mais compacto do que utilizando a notação binária ou decimal

(9)

Sistema Hexadecimal

Radix 16

• Exemplo:

111110100b = 1F4h

4 hexa F hexa

1 hexa

4 F

1

0100 1111

0001

primeiro grupo de quatro bits

segundo grupo de quatro bits

terceiro grupo de quatro bits

(10)

Exemplo: Conversão decimal para hexadecimal

384.714 em decimal = 5DECA em hexa

5DECAh

4 - MSD 5 = 5

5 ÷ 16 = 0

3 13 = D

93 ÷ 16 = 5

2 14 = E

1.502 ÷ 16 = 93

1 12 = C

24.044 ÷ 16 = 1.502

0 – LSD 10 = A

384.714 ÷ 16 = 24.044

Posição Resto

(11)

Número Fracionário em Binário

Exemplo: 1101,1011b = 13,6875

2- 4

2- 3

2- 2

2- 1

, 20 21 22 23 2Posição

0,6875 = 13,6875

+

13

1 × 0,0625 = 0,0625

1 × 1 = 1

1 × 0,125 = 0,1250

0 × 2 = 0

0 × 0,25 = 0,0000

1 × 4 = 4

1 × 0,5 = 0,5000

1 × 8 = 8

(12)

Número Fracionário em Hexadecimal

Exemplo: 3E,4FCh = 62,3115234375

16- 3

16- 2

16- 1

,

160

161

2Posição

Total = 62,3115234375

0,3115234375 62

12 × 1/4096

14 × 1 = 14

+ 15 × 1/256

+ 3 × 16 = 48

4 × 1/16 Parte Fracionária Parte Inteira

1/4096 1/256

1/16

,

1 16

-3 -2

-1

,

0 1

Posição

C F

4

,

E 3

(13)

Adição Binária de 1 bit

0 1

1 0

+ 0

+ 1

0

1

0

1

carry

vai um

carry

vai um

carry

vai um

carry

(14)

Adição Binária de N bits

exemplo 8 bits

01011111b + 10111101b

256 + 28

(15)

Subtração Binária de 1 bit

0 1

1 0

- 0

- 1

0

1

0

1

0

borrow borrow

(16)

Subtração Binária de N bits

exemplo 8 bits

10111101b – 01011111b

0 + 94

1 2 4 8 16 32 64 128 256 2posição = 94 = 0 1 1 1 1 0 1 0 0 94 1 1 1 1 1 0 1 0 = 95 1 0 1 1 1 1 0 1 = 189 0 1 1 1 1 0 1 0 borrow

(maior – menor)

(17)

Subtração Binária de N bits

exemplo 8 bits

10111101b – 01011111b

0+94 1 2 4 8 16 32 64 128 256 2posição =+94 = 0 1 1 1 1 0 1 0 0

+ 94

1 1 1 1 1 0 1 0 = + 95

1 0 1 1 1 1 0 1 = + 189

0 1 1 1 1 0 1 0 borrow

(18)

Números Binários com Sinal

• Os números binários são naturalmente sem sinal

• Como então discernir se um determinado número binário é positivo ou negativo?

• Há duas formas de expressar números com sinal:

(19)

Representação em Sinal-Magnitude

• O bit mais significativo (MSB) é utilizado para indicar o sinal do número

• O restante dos bits é utilizado para representação direta em binário da magnitude do número

(20)

Representação em Sinal-Magnitude : -7 a +7

0000

0111

0011

1011

1111 1110

1101

1100

1010

1001

1000

0110 0101

0100 0010 0001

+0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7 -0

-1 -2

-3 -4

-5

-6

-7

(21)

Números Complementares

• Usualmente os computadores e as calculadoras

não utilizam o sistema sinal-magnitude pois a implementação dos circuitos aritméticos é mais complexa

• Um sistema alternativo, chamado de

representação em números complementares permite implementações mais simples

• Números complementares permitem a realização de subtração através da operação de adição

• Sendo números finitos, os números

(22)

Adição de Números e Overflow

• A matemática complementar funciona

corretamente desde que o resultado da

adição

não exceda os limites

definidos na

criação do sistema

• Caso o resultado da adição

ultrapasse os

limites

estabelecidos ocorre uma condição

(23)

Adição e Overflow

• Overflow ocorre somente quando dois

números positivos ou dois números

negativos (complementares) são somados

• Adições envolvendo um número positivo e

um número negativo (complementar)

sempre resultam em respostas corretas

• Para resolver problemas de overflow é

(24)

Sistema em Complemento de Dois

• Para exemplificar, vamos assumir que o

maior número

necessário aos nossos

propósitos é o positivo

011 e o

menor

número

o negativo 100

• Cada número no sistema utiliza o

bit

mais

significativo para indicar

o sinal

do mesmo

• Números entre

000 e 011 são positivos

(25)

0

1

Bits Representando a Magnitude

Número Positivo:

Magnitude na forma Binária Direta

Bit de Sinal

Número Positivo: Bit de Sinal = ₀

1

0

1

Bits Representando a Magnitude

Número Negativo:

Magnitude na forma Complemento de Dois da respectiva magnitude na Forma Direta

Bit de Sinal

Número Negativo: Bit de Sinal = ₁

= + 3

=

–

3

(26)

Obtendo o Complemento de Dois

• O complemento de dois um número é obtido subtraindo-se a respectiva magnitude na

(27)

• Exemplo: Coloque negativo 3 na forma complementar de dois

23 _{= 8 =}₁₀₀₀

3d=11b

1 2

4 8

1 0

1

sub 1

0 0

0 1

1 1

1

borrow

(28)

(29)

Números Negativos

Decimal Convencional

Complemento de Dois Bit de Sinal

Números Positivos

Decimal Convencional

Forma Binária Direta Bit de Sinal

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1

– 4

0

– 3

1

– 2

0

– 1

1

0

+ 1

1

+ 2

0

+ 3

(30)

Obtendo o Complemento de Dois

de Outra Maneira

• O complemento de dois um número pode ser obtido também invertendo-se cada bit da

respectiva magnitude na forma binária direta, também chamado de complemento de 1, e adicionando-se 1 ao LSB deste complemento

(31)

• Exemplo: Coloque negativo 3 na forma complementar de dois

3d=11b

1 2

4

1 0

1

add 1

0 0

1

0 0

carry

sinal

complemento de um de 011b =

(32)

Representação em Complemento de Um:

-7 a +7

0000

0111

0011

1011

1111 1110

1101

1100

1010

1001

1000

0110 0101

0100 0010 0001

+0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7 -7

-6 -5

-4 -3

-2

-1

-0

(33)

Representação em Complemento de Dois:

-8 a +7

0000

0111

0011

1011

1111 1110

1101

1100

1010

1001

1000

0110 0101

0100 0010 0001

+0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

(34)

Soma de Dois

Números Positivos:

Overflow

0000

0111

0011

1011

1111

1110

1101

1100

1010

1001

1000

0110 0101

0100 0010 0001

+0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

5 + 3 =

0101 + 0011 = 1000 = -8

adição:

sentido horário _{Esta adição de dois}

números positivos

produz

um número negativo

(35)

Soma de Dois

Números Negativos:

Overflow

0000

0111

0011

1011

1111

1110

1101

1100

1010

1001

1000

0110 0101

0100 0010 0001

+0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-6 - 4 =

1010 + 1100 = 0110 = +6

subtração:

sentido anti-horário

Esta adição de dois números negativos produz

um número positivo

(36)

Multiplicação Binária

1

=

1 ×

1

0

=

0 ×

1

0

=

1 ×

0

=

0 ×

(37)

Multiplicação Binária

0 1

1 1

1 30 =

1 0

1

+

1 0

1

0 0

0

0 1

1 6 =

×

1 0

1 5 =

1 2

4 8

16

(38)

0

0 = 5

1 0

0

1 0

1

0 1

1

0 1

1

1 1

_ 1 0

1 1

_

0 0

0

30 ÷ 6

(39)

Decimal Codificado em Binário

• O código

BCD

(

B

inary

C

oded

D

ecimal) é

utilizado para representar dígitos decimais

de 0 a 9

• O mesmo pode representar números

decimais de

vários dígitos

, sendo

cada

dígito

representado por um

grupo de 4 bits

(40)

Exemplo: Display de 7 segmentos

1o _{dígito BCD}

Decodificador BCD →7 segmentos

Decodificador BCD → 7 segmentos

1001 0111 0010

2o _{dígito BCD}

(41)

Adição BCD

0000 0111 0011 1011 1111 1110 1101 1100 1010 1001 1000 0110 0101 0100 0010 0001 0 1 2 3 4 5 6 7 x x x x x x 9 8 adição: sentido horário

Soma menor ou igual a 9 sempre é correta

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 Números Proibidos

5 + 3 = 8

(42)

Adição BCD

0000 0111 0011 1011 1111 1110 1101 1100 1010 1001 1000 0110 0101 0100 0010 0001 0 1 2 3 4 5 6 7 x x x x x x 9 8 adição: sentido horário 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

7 + 3 = 0

Para corrigir adiciona-se

6 ao resultado inválido

(43)

0

Adição BCD de Múltiplos Dígitos

1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 + + 0 6 1 3 6 7 9 + 0 1

+ ₀ ₁

0 0 0 1 1 1

o carry é transportado do 1o _{dígito para o 2}o _dígito

0 1

+ ₀ ₁

0 1 1 0

1 1

o carry é transportado do 2o _{dígito para o 3}o _dígito

1 1

1o _{dígito BCD}

2o _{dígito BCD}