CAPÍTULO I
O que é Vetor?
Considerações:
O conceito de vetor é entendido quando se estuda as Estruturas Algébricas apresentadas nos cursos de Álgebra.
Tomando-se um conjunto V (podendo ser conjunto de matrizes, polinômios, números complexos, funções lineares, etc) e sobre ele definindo-se uma operação interna chamada de adição, podemos verificar a existência de alguma das propriedades tais como: associativa, comutativa, elemento neutro, elemento inverso aditivo (oposto). Podemos, também, definir sobre V uma operação externa chamada de multiplicação por escalar com propriedades que veremos abaixo.
Uma operação é chamada de interna de V se opera dois elementos de V e tem resultado em V e chamada de externa se opera um elemento de V com outro do conjunto K, diferente de V, e tem resultado em V.
O conjunto V, munido das operações de adição ou de adição e multiplicação por escalar (elemento de K), terá uma determinada Estrutura Algébrica de acordo com as propriedades que possuir.
--- EXEMPLO 1.1
Seja V o conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 e K o conjunto de números reais.
Sejam as matrizes 1 2 3 4 a a A a a , 1 2 3 4 b b B b b , 1 2 3 4 c c C c c , 0 0 0 0 0
, com ai,bi e ci, 1, 2,3, 4
i , reais e as operações habituais de adição de matrizes (operação interna) e multiplicação de número real por matriz (operação externa):
A: 1 2 1 2 1 1 2 2
3 4 3 4 3 3 3 4
a a b b a b a b
A B
a a b b a b a b
M: 1 2 3 3 ka ka kA ka ka
, o número real k é chamado de escalar, kK Verificam-se as propriedades:
1) Adição (+) :
A1 : Associativa A(BC) ( AB)C, A B C, , V (“” lê-se: todo ou qualquer) Exemplo numérico:
A(BC) 1 0 2 4 0 5
3 2 0 1 1 3
=
1 0 2 9 3 2 1 4
(AB)C= 1 0 2 4 0 5
3 2 0 1 1 3
=
3 4 0 5 3 3 1 3 = 3 9 4 6
A2 : Elemento neutro: 0V, pois A 0 0 A A, A V Exemplo numérico:
0 1 0 0 0 3 2 0 0 A
= 1 0
3 2
=A =
0 0 1 0 0 0 3 2
= 0A A3 : Elemento inverso aditivo (oposto)
A V existe ( A) V tal que A ( A)( A) A 0 Exemplo numérico:
A ( A) 1 0 3 2 + 1 0 3 2 = 0 0 0 0
= 0 e (A) A
1 0 3 2 + 1 0 3 2 = 0 0 0 0
= 0 A4 : Comutativa A B B A, A B, V
Exemplo numérico: AB= 1 0 2 4
3 2 0 1
= 3 4 3 3 =
2 4 1 0 0 1 3 2
=BA
2) Multiplicação (.) :
M1 : A V e , , tem-se .( . )A
.A Exemplo numérico:
( ) 0
1 0 0
.( . ) . . .
3 2
3 2 3 2
A
=
1 0 . 3 2 =
.A M2 : A V e , , tem-se
.A .A.AExemplo numérico:
0
1 0 0 0 1 0 1 0
. . .
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
M3 : A B, V e , tem-se .(AB).A.B Exemplo numérico:
.(AB) . 1 0 2 4 3 2 0 1 =. 3 4 3 3 =
3 4 2 0 4
3 3 3 0 2
=
= 0 2 4
3 2 0
1 0 2 4
.
3 2 0 1
O conjunto V munido das operações A de adição e M de multiplicação por escalar têm a estrutura algébrica de ESPAÇO VETORIAL. Neste caso, os elementos de V são chamados de Vetores e, portanto, as matrizes de ordem 2 são vetores.
Assim, podemos construir Espaços Vetoriais de polinômios, números complexos, funções lineares, etc, com suas respectivas operações A e M. E, nestes casos, polinômios, números complexos, funções lineares, etc, são vetores também.
--- 1. ESPAÇO VETORIAL FORMADO DE SEGMENTOS DE RETA
Vamos apresentar um Espaço Vetorial V sobre , onde cada elemento de V é um conjunto especial de segmentos de reta (segmentos eqüipolentes).
Faremos algumas analogias utilizando o conjunto Q dos números racionais para melhor entendermos os elementos de V e as suas operações de adição e multiplicação por escalar.
1.1. CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO V
Consideremos uma reta
l
e sejam A e B dois de seus pontos. Teremos, então, osegmento de reta AB.
Necessitamos do elemento oposto de AB para garantir a propriedade do elemento
inverso da adição a ser definida. Isto pode ser conseguido associando-se ao segmento AB
um sentido de A para B e indicado por AB. Diz-se que AB é segmento orientado de
origem A e extremidade B.
Se A não coincide com B, então
BA
é o segmento orientado de origem B eextremidade A e tem sentido oposto de AB. Desse modo o segmento orientado AB é
distinto de
BA
. Assim, denotamos queBA
= AB.Necessitamos também do elemento neutro para a adição.
Admitiremos, para contornar este problema, o segmento nulo, que são segmentos orientados da forma AA (ou BB), onde a origem destes segmentos coincide com a
extremidade. Notação: AA= BB = ... =0.
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real positivo ou zero que é a sua medida em relação à unidade estabelecida. O número é o comprimento do segmento orientado. O comprimento do segmento
l
B
A
Vamos entender, agora, como devem ser os elementos de V.
Sejam
AB
eCD
não nulos. Diz-se que os segmentos orientados
AB
eCD
têm mesma direção (ou que são paralelos) se os segmentos de reta AB e CD são paralelos (incluio caso das retas suportes de AB e CD coincidirem).
Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se possuírem mesma direção.
mesmo sentido Fig 1.2 sentidos contrários
Observamos que dois segmentos orientados AB e CD coincidem se, e só se,
coincidem A com C e B com D.
Definição 1.1
Consideremos todos os segmentos orientados que possuem mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de AB (existem infinitos). Diz-se que cada um destes
segmentos é eqüipolente ao AB.
O conjunto dos segmentos que são equipolentes a um dado segmento orientado constitui uma classe de equivalência (ver nota abaixo).
Define-se que dois segmentos nulos são equipolentes. Notação de segmentos equipolentes: AB
CD.Nota: Podemos fazer analogia entre um conjunto de segmentos equipolentes e um conjunto de números racionais de mesmo valor: Se tomarmos, por exemplo, o número 1
2 veremos
infinitos outros de igual valor (2
4, 36, 48, ... ) formando uma classe de equivalência
semelhante ao que ocorre com os segmentos equipolentes a AB.
Exemplificando: Considere a figura abaixo
a) AB é eqüipolente a CD. (mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento)
B D E I
H
a) AB é eqüipolente a CD. (possuem mesma direção, mesmo sentido e comprimento)
b) AB não é eqüipolente a EF. (sentido oposto)
c) AB não é eqüipolente a GH. (comprimentos diferentes)
d) AB não é eqüipolente a I J. (direções diferentes)
Pode-se afirmar, pela eqüipolência, que: Se AB
CD e os pontos A, B, C e D nãoestão alinhados, então os pontos A, B, D e C, nesta ordem, são vértices consecutivos de um
paralelogramo.
Fig 1.4
Existe uma infinidade de segmentos orientados que diferem em tamanhos, direções ou sentidos. Cada um destes diferentes segmentos representa uma classe de equivalência formada com os seus respectivos equipolentes. Fig 1.5.
Entendemos, deste modo, que o conjunto V é constituído por conjuntos de classes de equivalência de segmentos equipolentes.
Os segmentos AB, CD, EF, 0, ....etc, distintos em tamanho, direção ou sentido,
são representantes de classes de equivalência.
Então, V = {AB, AB, CD, CD,
0
, EF, ... , XY, ... }NOTAÇÃO: As classes de equivalência de segmentos orientados são usualmente denotadas por AB, CD, EF,
0
, ... ou por (v AB ), (v CD ), (v EF ),0
, ... ou , então,por u, v,
w
, ... .AB
CD
EF I J
FE EF
0
. . . XY
Fig 1.5 B D
A B C D
A C
Analogamente, o conjunto
Q
dos números racionais é formado por classes de equivalência de números racionais. Fig 1.6.Exemplificando: 1
2 é representante da classe de equivalência 1 2,
2 4,
3 6,
4 8, ...
1
3 é representante da classe de equivalência 1
3,
2 6,
3 9,
4 12, ...
Fig 1.6
O conjunto V é formado por infinitas classes de equivalência de segmentos equipolentes, quer sejam considerados os segmentos orientados sobre uma reta, um plano ou espaço.
a) Reta: V1
A B C D F E r
Fig 1.7 b) Plano: V2
c) Espaço: V3
1 2
1 3
1 2
5 3
0
5 3
5
. . .
Q
y B
D E C
A
F
x
Definição 1.2
Chama-se módulo (norma ou comprimento) de uma classe v ao comprimento de
qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de v por v.
Se v= 1, então a classe
v
diz-se unitária (ou unidade). Se v= 0, então v éa classe nula.
A direção de uma classe AB é dada pela direção da reta que contém o segmento AB e o sentido da classe AB pelo sentido do segmento orientado de A para B.
Não é definido a direção e o sentido da classe 0. Definição 1.3
Diz-se que as classes u e v não-nulas têm mesma direção (são paralelas),
indica-se por u//v , se um representante de u é paralelo a um representante de v.
Sendo u//v, as classes u e v têm o mesmo sentido ou sentidos contrários se,
respectivamente, seus representantes possuírem mesmo sentido ou sentidos contrários. A classe
BA
é chamada de oposta de AB. É conveniente considerar que a classenula 0 ( 0=AA= BB= ...) é oposta de si mesma.
A notação AB deve indicar a classe (ou o segmento orientado)
BA
oposta deAB
. Assim, u= AB= v AB(), u= AB=
BA
=v BA()=v(AB)= v AB() e 0= 0.z
C D
A B E
F
y
Definiremos abaixo as operações A de adição e M de multiplicação por escalar sobre o conjunto V dos segmentos orientados, satisfazendo as propriedades citadas para se ter um espaço vetorial.
Nestas condições, cada classe de segmentos equipolentes de V será chamada de VETOR.
1.1.1. ADIÇÃO DE CLASSES DE EQUIVALENCIA DE SEGMENTOS EQUIPOLENTES DE V (VETORES) : A = (+)
Dadas as classes de segmentos equipolentes u e v.
Definição 1.4
Considere um segmento orientado representante da classe
u
com origem num ponto O. A sua extremidade estará num ponto P. Tome um representante dev
que tenha origem em P. A sua extremidade estará num ponto Q do plano OPQ.A classe de equivalência do segmento orientado
OQ
é chamada de soma de u e v
, representada por u+v.
u+ v =
OP
+PQ
=OQ
A operação de adição acima definida não depende da escolha dos representantes das classes u e v. Tomando-se outro ponto 'O , distinto de O, e um representante ' 'O P
de u e outro representante de
v
com origem em P', cuja extremidade é Q', teremos osegmento orientado O Q' ' que também é um representante de u+
v
. u+v
= O P' ' + P Q' ' =O Q
' '
Nota:
A adição de classes de equivalência de segmentos equipolentes pode, por analogia, ser comparada com a adição das classes de equivalência de números racionais.
u v u
v
P
u v
u
vO P Q
O u+v Q u+ v
Consideremos, por exemplo, as classes 1 2 e
1
3 de racionais.
A substituição de representantes das classes u e v para se obter a soma u+ v a
partir do ponto O pode ser comparada com a substituição de 1
2 e 1
3 pelos representantes 3 6 e 2
6 para se obter a classe 1 1
2 3 , ou seja,
1 1 3 2 5
2 3 6 6 6.
O fato da soma
u
+ v ser obtida a partir de qualquer outro ponto O’, nãodependendo da escolha dos representantes de u e v, é interpretada, nos racionais, pela
obtenção da soma 1 1
2 3 , utilizando-se outros representantes: 6 12+
4 12 ,
9 18+
6 18 , etc.
1.1.1.1. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: A = (+) A1 : Associativa: u
, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w)
Sejam u = AB, v = BC e w = CD elementos de V.
(u + v) + w = (AB+BC) + CD e u + (v + w) = AB+ (BC+CD)
= AC + CD = AB + BD
= AD ( I) = AD (II)
Comparando ( I ) e (II), vemos que (u + v) + w = u + (v + w)
A2 : Elemento neutro: 0
Existe 0 V tal que u V, u + 0 = 0 + u = u.
Sejam u = AB e 0 = BB = AA elementos de V.
u + 0 = AB + BB = AB =
u
e 0 + u = AA + AB = AB = u.Portanto, + 0 = 0 + = . C
v
B
w
Fig 1.10 (u + v) (
v
+ w)u
(u + v) + w = u + (v + w)
A3 : Elemento inverso aditivo (oposto):
u
V, existe (u) V tal que u + (u) = (u) + u = 0.
Sejam u = AB e (u) = AB = BA elementos de V.
u + (u) = AB + BA = AA = 0 e (u) + u = BA + AB = BB = 0.
Portanto, u + (u) = (u) + u = 0.
A4 : Comutativa: u
, v V, u +
v
= v + u.Sejam u = AB e
v
= BC elementos de V.Temos que u + v = AB + BC = AC ( I )
Seja D um ponto tal que AB
CD. Logo, u = AB = CD. (
ver Fig 1.11)Temos que v + u = BC + CD = BD (II)
Sendo AB CD e AC BD (lados opostos de um paralelogramo), segue
que de ( I ) e (II) que
u + v = v + u.
1.1.2. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR UMA CLASSE DE V : M = ()
Serão utilizadas letras gregas minúsculas: , , , ... para representar números reais. Os números reais são também chamados de escalares.
A multiplicação de um número real por uma classe de V é também uma classe de V Definição 1.5
Seja v V e . A classe (.v) é produto de por v tal que:
a) Se = 0 ou
v
= 0, então .v
= 0.B v + u D
u v u u + v
b) Se 0 e
v
0, então i) .v
//v
.ii) .v e v têm mesmo sentido se >0 e sentidos opostos se < 0.
iii) . v = v.
Nota: Entendemos da definição acima que ao multiplicarmos um segmento orientado por 3 , o segmento obtido terá a mesma direção e mesmo sentido do primeiro e comprimento três vezes maior. Mas, multiplicando-se por (3) o segmento obtido terá a mesma direção e sentido oposto ao primeiro e comprimento três vezes maior.
Fato análogo percebe-se com os números racionais. Multiplicando-se um racional por 3 , o racional obtido tem mesmo sinal do primeiro e módulo três vezes maior. Mas, multiplicando-se por (3) o número obtido tem sinal oposto ao primeiro e módulo três vezes maior.
1.1.2.1. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO: M = (.) M1 : , e v
V , . (.v) = ( ) . v
Exemplificando: Sejam = 2, = 3 e 3. v
2. (3. v)
( 2 . 3) . v
Fig 1. 12 M2 : e u
,v V , . (u +
v
) = . u + . vExemplificando: Sejam = 2,
Fig 1.13
Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes (lados respectivamente paralelos). v
u v
B B’ u v 2 .u 2 .v
A u + v C A’ C’
M3 : , e u
V , (+).u = . u + . u
Exemplificando: Sejam = 2 e = 3 e
2 . u
3 . u
(2 + 3). u
Fig 1.14 M4 : 1 e u
V, 1. u = u
As classes 1. u e u têm o mesmo módulo, direção e sentido. Logo, são iguais.
Portanto, satisfeitas as propriedades, (V, +, . ) é um espaço vetorial sobre . E, daí, cada uma das classes de equivalência de segmentos equipolentes u, v, w, ... são
chamadas de VETORES.
1.1.3. VETOR NULO E VETOR UNITÁRIO
Retomando a definição 1.2, vemos que o vetor vé unitário se v= 1 ou que v é
vetor nulo se v= 0.
1.1.4. VETORES PARALELOS
Pela definição 1.3, dois vetores não nulos são paralelos se possuírem mesma direção não importando os seus sentidos.
Definição 1.6
Dois vetores não nulos w e v são paralelos se existir um número real tal que
w = .v
Nota:Vemos, neste caso, que um deles é múltiplo escalar do outro. Se os vetores possuírem mesmo sentido, então é positivo, mas se os vetores possuem sentidos opostos, então é negativo.
u
v v
w = .v, >0 w = .v, <0
Temos que 0 = 0.
v
, para todov
V . Logo, estendendo a definição, pode-se dizer que o vetor nulo é paralelo a todo vetor de V.1.1.5. VERSOR DE UM VETOR NÃO NULO Seja v um vetor não nulo de V.
Definição 1.7
Chama-se versor de v ao vetor de modulo unitário com mesma direção e sentido
de v.
Se u é versor de v, então u e vsão paralelos. Logo, existe o número real
1
v
tal que
u
= . v = v v .u v v 1
v v
1.1.6. VETORES COPLANARES
Consideremos um conjunto com mais de um vetor de V. Definição 1.8
Diz-se que dois ou mais vetores são coplanares se existir um plano que possui representantes de cada um destes vetores.
É imediato entender que dois vetores quaisquer não nulos são coplanares. u v
u v
Fig 1.16 v
1.1.7. ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
Considerando-se que dois vetores u e vnão nulos são coplanares, podemos tomar
seus respectivos representantes OA e OB de mesma origem. Definição 1.9
Chama-se ângulo entre os vetores u e v não nulos ao menor dos ângulos
formados pelas semi-retas OA e OB .
Nota: Sendo o ângulo entre os vetores não nulos ue v, ( , )u v ,então 0o 180o.
Se 0o, então //
u v e ambos têm o mesmo sentido. Se 180o, então //u v e
possuem sentidos opostos.
Os vetores não nulos uevsão ditos ortogonais se 90o. Indicamos por uv.
1.1.8. VETOR DIFERENÇA
Sejam u e v dois vetores de V.
Chama-se vetor diferença dos vetores u e v do espaço vetorial V ao vetor u v tal que
u
v
= u + (v).
Fig 1.19
A diagonal AC do paralelogramo representa o vetor u + v e a diagonal DB
representa o vetor diferença u v.
v v B v C
u u u +
v
u v u + v u vA D
A u
Fig. 1.17 v
O B
v
O u v v O u O u
Nota: Se o segmento da diagonal do paralelogramo fosse dado por BD, ao invés de DB,
então o vetor diferença seria v u.
--- EXEMPLO 1.2
1) Obtenha o vetor resultante da soma indicada nas figuras abaixo
Temos que AB BC CD DE AE e AB BC CD AD .
A construção mostra que a extremidade de um vetor coincide com a origem do outro, logo o segmento que possui a origem do primeiro e a extremidade do último é o vetor resultante. Então, na Fig 1.20 o vetor resultante é AE e na Fig 1.21 é AD.
2) Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual a sua metade.
Sejam M e N os pontos médios dos lados AC e BC do triângulo ABC. O segmento orientado MN representa o vetor resultante das somas:
MN MC CN ( I ) MN MA AB BN ( II )
C B
D A
E Fig 1.20
B D
A
C Fig 1.21
C
M N
2MN MC MA AB CN BN ( III )
Visto serem opostos os segmentos MC e MA, também, os segmentos BN e CN, segue que:
MC + MA = 0 e CN + BN = 0 ( IV ) Substituindo ( IV ) em ( III ) tem-se 2MN AB ( V ) A relação (V) evidencia que MN é paralelo a AB, pois AB é resultado do produto do número real 2 por MN, e que o módulo de AB é o dobro de MN, conforme pretendíamos demonstrar.
3) Mostre que num quadrilátero qualquer (de um plano) os pontos médios dos seus lados são vértices de um paralelogramo.
O quadrilátero ABCD tem M, N, O e P como pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.
Considerando a diagonal AC do quadrilátero ABCD, vemos pelo exemplo 2 acima, que os segmentos orientados MN e OP são paralelos a AC. Logo, MN e OP são paralelos entre si. Temos também que MN OP , pois são iguais a metade de AC . Considerando a diagonal BD do quadrilátero ABCD e, pelo mesmo raciocínio, temos que os segmentos PM e NO são paralelos e têm módulos iguais.
O quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados de ABCD tem lados opostos paralelos e, respectivamente, de mesmo comprimento, logo, é um paralelogramo. 3) Prove que as diagonais de um paralelogramo interceptam-se nos seus pontos médios.
D
O
C P
N A B
M Fig 1. 23
D C
M N Fig 1.24
Seja ABCD um paralelogramo com M sendo o ponto médio da diagonal AC e N ponto médio da diagonal BD.
O segmento orientado MN representa o vetor resultante das somas: MN MA AB BN ( I ) MN MC CD DN ( II ) Adicionando-se os respectivos membro de ( I ) e ( II ), temos:
2MN MA MC AB CD BN DN ( III ) Visto serem opostos os segmentos MA e MC, os segmentos BN e DN e, também, AB e CD, segue que:
MA + MC = 0, BN + DN = 0 e AB CD 0 ( IV ) Substituindo ( IV ) em ( III ) tem-se 2MN 0 . Logo, MN 0 e, daí, MN. Portanto, os pontos médios das diagonais do paralelogramo coincidem.
4) Se M e N são os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio ABCD, conforme figura abaixo, então
MN AB DC 2
O segmento orientado MN representa o vetor resultante das somas: MN MA AB BN ( I ) MN MD DC CN ( II ) Adicionando-se os respectivos membro de ( I ) e ( II ), temos:
2MN MA MD AB DC BN CN ( III )
Visto serem opostos os segmentos MA e MD, também, os segmentos BN e CN, D C
M N
A B
MA + MD = 0 e BN + CN = 0 ( IV ) Substituindo ( IV ) em ( III ) tem-se 2MN AB DC ( V )
Segue da relação (V) que MN AB DC 2
Entende-se, também, que o comprimento do segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é a média aritmética dos comprimentos dos seus lados paralelos.
5) Seja M o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Supondo que u CA e v CB,
pede-se determinar o vetor CM como função dos vetores u e v.
Se M é ponto médio de AB, então AM MB . Portanto, AM é oposto de BM. O segmento orientado CM representa o vetor resultante das somas:
CM CA AM ( I ) CM CB BM ( II )
Adicionando-se os respectivos membros de ( I ) e ( II ), temos: 2CM CA CB AM BM ( III )
Visto serem opostos os segmentos AM e BM, segue que: AM BM 0 ( IV ) Substituindo ( IV ) em ( III ), tem-se 2CM CA CB ( V )
Segue da relação (V) que CM CA CB 2
. Daí, CM 2
uv
.
6) Considere o triângulo ABC. O ponto M esta a 2/3 de A para B. Supondo que u CA e CB
v
, pede-se determinar o vetor CM como função dos vetores u e v.
C
Fig 1.26
A M B
C
Fig 1.27
Se M esta a 2/3 de A para B, então AM 2.MB e BM AM 2
( I ) O segmento orientado CM representa o vetor resultante das somas: CM CA AM ( II )
CM CB BM ( III )
Adicionando-se os respectivos membro de ( II ) e ( III ), temos: 2CM CA CB AM BM ( IV )
Substituindo ( I ) em ( IV ), tem-se 2CM CA CB AM AM 2
. Logo, AM
2CM CA CB 2
( V )
Temos que AB AC CB u v e AM 2 AB 2( )
3 3 u v
(VI) Substituindo (VI) em (V), segue que 2CM 1( )
3
u v u v
. Portanto, CM 2
3 3
u v
7) Considere o hexágono regular ABCDEF. Sabendo-se que AB u e AF v, obter AE
em função dos vetores u e v.
Outro modo:
1) AE AB BE AB 2.BO AB 2.AF u 2v
2) AE AD DE 2.AO DE 2.[AF FO] DE 2.[ v u] u 2v u
3) AE AB BC CD DE Tem-se que:
AB u, BC AO AF FO v u, CD AF v, DE AB u
Portanto,
C
B D O
A E
F Fig 1.28 Temos que
AE AF FE , onde
AF v e
FE AO AF FO v u
Portanto,
8) Seja o paralelogramo ABCD. Considere o ponto X á 1/3 de A para D e o ponto Y tal que C esta a 2/3 de D para Y. Sendo u AB e vAD, escrever o vetor XY em função de u e
v
.
--- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.1
1) Obtenha, utilizando propriedades, o vetor resultante nos exercícios abaixo a) AB BC CD R. AD
b) AB AC R. CB c) RB CM RM R. CB d) XB RB DR XR R RD e) ZR CD RC DZ R. 0 f) BD LC LD R. BC g) BD AD DB CA R. DC
2) Considerando a figura do paralelogramo ABCD, complete cada uma das igualdades:
g) v DB ... h) AC u ... i) BM ... v
j) AD DC CB BA ...
R. a) DC, b) BC, c) MC, d) MD, e) AC, f) DB, g) u, h) v , i) MC, j) 0
Temos que XY XD DY 2 AD 3 DC
3 2
2 3 3 v 2 u
Y
B C
A X D Fig 1.29
B C
M
A D Fig 1.30
3) As fig 1.31 e fig 1.32 nos sugerem que o vetor resultante c dado em função de a e b é:
R. Fig1.31: 2 2
a
c b
e Fig 1.32:
2
b c a
4) Seja o paralelogramo ABCD. Considere o ponto F tal que D é ponto médio de AF e o ponto E médio de BC. Sendo u AB e v AD, obter EF em função dos vetores u e
v
.
R. EF 3 2v u
5) Sejam os pontos A, B, C e D do espaço. Considere o ponto Y a 1/4 de A para D e X tal que B está a 3/4 de C para X. Sendo u AB, vAC e w AD, obter o vetor XY em
função de u, v e w.
R. XY 4 1 1 3u 3v 4w
6) Sejam os pontos A, B, C e D do espaço. Considere o ponto F tal que A é ponto médio de FB e G a 1/4 de C para D. Sendo u AB, vCB e w CD, obter o vetor FG em
função de u, v e w.
R. FG 2 1 4
u v w
7) Sejam os pontos A, B, C e D do espaço. Considere X ponto médio de AB e Y tal que D esta a 1/3 de Y para C. Sendo u AB, vBC e w DC, obter o vetor XY em
função de u, v e w.
R. XY 1 3
2u v 2w
8) Considere os pontos A, B, C e D do espaço. Os pontos R e S tais que B é ponto médio de AR e S esta a 3/4 de C para D. Sendo u AB, v AC e w AD, obter o vetor RS em
função de u, v e w.
R. RS 2 1 3
4 4
u v w
a
c
O b
Fig 1.31
a
c
O b
9) Considere os pontos A, B, C e D do espaço. Os pontos M e N tais que A esta a 2/3 de M para C e B esta a 2/3 de D para N. Sendo u AB, v BC e w AD, obter o vetor
MN
em função de u, v e w.
R. MN 7 2 1
2u v 2w
10) Num triângulo ABC tem-se que M , N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e AC. Mostre que AN BP CM 0 .
11) Sejam A, B, C e D vértices consecutivos de um trapézio. Sabendo-se que M é ponto médio da diagonal AC e N ponto médio da diagonal BD, prove que MN 1[AD BC]
2
. 12) Marque nas figuras abaixo a soma u v w dos vetores u, v e w indicados
R. Fig 1.33: AC, Fig 1.34: AH e Fig 1.35: AG E
w
v
D C
u
A B Fig 1.33
H G w
E F v
D C u
A B Fig 1.34
H G E F
w
D C v
u
