Cap11 Sec6

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Capítulo 11

Sequências e Séries

Infinitas

11.6

Convergência Absoluta e os

Testes da Razão e da Raiz

Nesta seção, aprenderemos sobre a

convergência absoluta de uma série e os testes determinantes.

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CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Dada qualquer série Σ a_n , podemos

considerar a série correspondente

cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original.

1 2 3 1

...

a

a

a

a

=

+

+

+

∑

Uma série Σ a_n é dita absolutamente convergente se a série de valores

absolutosΣ |a_n | é convergente.

Definição 1 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

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Observe que, se

Σ

a

termos positivos, então

|a

| = a

ƒ Assim a convergência absoluta é a mesma coisa que a convergência nesse caso.

A série

é absolutamente convergente porque

é uma p-série convergente ( p = 2).

1 2 2 2 2 1

( 1)

1

1

1

1

...

2

3

4

n

−

= −

+

−

+

∑

∑

∑

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Sabemos que a série harmônica alternada

é convergente.

ƒ Veja o Exemplo 1 da Seção 11.5.

1 1

( 1)

1

1

1

1

...

2

3

4

n

−

_{= − + − +}

∑

Mas não é absolutamente convergente, porque a série de valores absolutos

correspondente é:

ƒ Que é a série harmônica (p-série com p = 1) e é, portanto, divergente. 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 n n n n n − ∞ ∞ = = − = = + + + +

∑

∑

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CONVERGÊNCIA CONDICIONAL

Uma série Σ a_n é chamada

condicionalmente convergente se ela for

convergente, mas não for absolutamente convergente.

O Exemplo 2 mostra que a série harmônica alternada é condicionalmente convergente.

ƒ Então, é possível uma série ser convergente, porém não absolutamente convergente.

ƒ Contudo, o próximo teorema mostra que a convergência absoluta implica convergência.

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Se uma série Σ a_n for absolutamente

convergente, então ela é convergente.

Teorema 3 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Observe que a desigualdade

é verdadeira porque

|a

| é

a

ou

–a

0

≤

a

+

a

≤

2

a

Teor. 3—Demonstração CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

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Se Σ a_n for absolutamente convergente,

então Σ |a_n | é convergente.

ƒ Então, Σ 2|a_n| é convergente.

ƒ Portanto, pelo Teste da Comparação, Σ (a_n + |a_n|) é convergente.

Teor. 3—Demonstração CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Dessa forma,

é a diferença de duas séries convergentes e é, portanto, convergente.

(

)

a

=

a

+

a

−

a

∑ ∑

∑

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Determine se a série

é convergente ou divergente.

2 2 2 2

1

cos

cos1

cos 2

cos 3

...

1

2

3

n

n

=

+

+

+

∑

Essa série tem termos positivos e negativos, mas não é alternada.

ƒ O primeiro termo é positivo.

ƒ Os próximos três são negativos ƒ Os três seguintes são positivos. ƒ Os sinais trocam irregularmente.

2 2 2 2

1

cos

cos1

cos 2

cos 3

...

1

2

3

n

n

=

+

+

+

∑

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Podemos aplicar o Teste da Comparação à série de valores absolutos:

2 2 1 1

cos

cos

n

n

n

n

=

∑

∑

Como |cos n| ≤ 1 para todo n, temos:

ƒ Sabemos que Σ 1/n2 _{é convergente (p-série}

com p= 2).

ƒ E assim, Σ (cos n)/n2 é convergente pelo Teste

da Comparação. 2 2

cos

n

₁

n

≤

n

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Então a série dada

Σ

(cos n)/n

absolutamente convergente e, portanto, convergente pelo Teorema 3.

EXEMPLO 3 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

O teste a seguir é muito útil para determinar se uma série dada é absolutamente

convergente.

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O TESTE DA RAZÃO

Se

então a série é absolutamente

convergente (e portanto convergente). 1

lim

1

a

L

a

= <

∑

Se ou

então a série é divergente. 1 n n

a

∑

O TESTE DA RAZÃO Caso ii

1

lim

1

a

L

a

= >

lim

a

a

= ∞

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Se

o Teste da Razão não é conclusivo; isto é, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou divergência de Σ a_n . 1

lim

1

a

a

=

OBSERVAÇÃO

A parte (iii) do Teste da Razão diz que, se

o Teste da Razão não dá nenhuma informação.

1

lim

/

1

n→∞

a

a

=

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Por exemplo, para a série convergente Σ 1/n2_{, temos:} quando 2 2 1 2 2 2 1 ( 1) 1 _{( 1)} 1 1 1 1 n n a n n a n n n + ₌ + ₌ + = → ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

OBSERVAÇÃO Caso iii

Enquanto para a série divergente Σ 1/n, temos:

quando

n

→ ∞

OBSERVAÇÃO Caso iii

1

1

1

1

₁

1

1

1

1

a

_n

n

a

n

n

₌

+

₌

+

=

→

+

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Portanto, se , a série Σ a_n

pode convergir ou divergir.

ƒ Nesse caso, o Teste da Razão falha e devemos usar outro teste.

1

lim

/

1

n→∞

a

a

=

Teste a série

quanto a convergência absoluta.

ƒ Usamos o Teste da Razão com a_n = (–1)n _n3 /

3n, como na sequência. EXEMPLO 4 3 1

( 1)

3

n

−

∑

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( 1)

(

1)

(

1)

3

3

( 1)

3

3

1

1

3

1

1

1

1

1

3

3

n

a

n

n

a

n

n

n

n

−

+

+

=

=

⋅

−

+

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

=

_⎜

+

_⎟

→ <

⎝

⎠

ƒ Então, pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente e, portanto, convergente.

EXEMPLO 4 O TESTE DA RAZÃO

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Teste a convergência da série

ƒ Como os termos a_n = nn/n! são positivos, não

precisamos dos símbolos de valor absoluto.

1

!

n

n

∑

quando

ƒ Veja a Equação 3.6.6, no Volume I.

ƒ Como e > 1, a série dada é divergente pelo Teste da

n → ∞ EXEMPLO 5 O TESTE DA RAZÃO 1 1 ( 1) ! ( 1)( 1) ( 1)! ( 1) ! 1 1 1 n n n n n n n a n n n n a n n n n n n e n + + ₌ + _{⋅ =} + + _⋅ + + + ⎛ ⎞ = ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎛ ⎞ = +_{⎜ ⎟} → ⎝ ⎠

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OBSERVAÇÃO

Embora o Teste da Razão funcione no

Exemplo 5, um método mais simples é usar o Teste para Divergência.

ƒ Como

segue que a_n não tende a 0 quando n → ∞. ƒ Portanto a série dada é divergente pelo Teste

para Divergência. ! 1 2 3 n n n n n n n a n n n ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = = ≥ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

O teste a seguir é conveniente para ser aplicado quando ocorrem potências de n. Sua demonstração é similar à do Teste da Razão e será pedida no Exercício 37.

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O TESTE DA RAIZ

Se

então a série é absolutamente

convergente (e, portanto, convergente).

lim

1

a

= <

L

a

∑

Se

ou

então

a série

é

divergente.

lim

a

= ∞

a

∑

O TESTE DA RAIZ Caso ii

lim

1

n

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Se

o Teste da Raiz não é conclusivo.

lim

1

n

n→∞

a

=

TESTE DE RAIZ

Se , então a parte (iii) do Teste da Raiz diz que o teste não dá informação.

ƒ A série Σ a_n pode convergir ou divergir.

lim

1

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TESTE DE RAIZ VERSUS TESTE DE RAZÃO

Se L = 1 no Teste da Razão, não tente o Teste da Raiz, porque L será novamente 1.

E se L = 1 no Teste da Raiz, não tente o Teste da Razão, pois ele também falhará.

TESTE DE RAIZ

Teste a convergência da série

ƒ Então, a série dada converge pelo Teste da Raiz.

EXEMPLO 6 1

2

3

3

2

n

n

+

⎛

⎞

⎜

₊

⎟

⎝

⎠

∑

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REARRANJOS

A questão de uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente

convergente tem importância na questão sobre se somas infinitas se comportam ou não como somas finitas.

Se rearranjarmos a ordem dos termos em

uma soma finita, então é claro que o valor da soma permanecerá inalterado.

ƒ Mas esse não é sempre o caso para uma série infinita.

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Por um rearranjo de uma série infinita

Σ

a

,

simplesmente mudando a ordem dos termos.

ƒ Por exemplo, um rearranjo de Σ a_n

poderia começar como a seguir:

a₁ + a₂ + a₅ + a₃ + a₄ + a₁₅ + a₆ + a₇ + a₂₀ + …

Ocorre que se

Σ

a

absolutamente convergente com soma s, então qualquer rearranjo de

Σ

a

mesma soma s.

Contudo, qualquer série condicionalmente convergente pode ser rearranjada para dar uma soma diferente.

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Para ilustrar esse fato, vamos considerar a série harmônica alternada:

ƒ Veja o Exercício 36 da Seção 11.5.

1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8

1

− + − + − + − + =

...

ln 2

Equação 6 REARRANJOS

Se multiplicarmos essa série por ½, obteremos:

1 1 1 1 1

2

− + − + =

...

ln 2

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Inserindo zeros entre os termos dessa série, teremos: Equação 7 1 1 1 1 1 2 4 6 8 2

0

+ + − + + + − + =

0

0

0

...

ln 2

Agora adicionamos as séries nas Equações 6 e 7 usando o Teorema 11.2.8: 3 1 1 1 1 1 3 2 5 7 4 2

1

+ − + + − + =

...

ln 2

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Observe que a série em (8) contém os

mesmos termos que em (6), mas rearranjados de modo que um termo negativo ocorre

depois de cada par de termos positivos.

As somas dessas séries, contudo, são diferentes.

ƒ De fato, Riemann demonstrou que se Σ a_n for uma série condicionalmente convergente e r for qualquer número real, então existe um

rearranjo de Σ a_n que tem uma soma igual a r.

Uma demonstração desse fato é delineada no Exercício 40.