Notas de aula: Derivadas (13-24/04/15)
C´alculo em uma Vari´avel - Profa. Vanessa Paschoa
Consideramos duas quantidades, podendo ser representadas pelas vari´aveis x e y, de modo que a vari´avel y dependa de x. Escrevemos que y = f (x), que quer dizer que y ´e fun¸c˜ao de x. Desejamos ent˜ao estudar como uma varia¸c˜ao em um n´umero x0 do
dom´ınio de f produz uma varia¸c˜ao em y0 = f (x0), mais especificamente, queremos
comparar a diferen¸ca entre os valores de f , f (x0 + ∆x) − f (x0), com a diferen¸ca
(x0+ ∆x) − x0 = ∆x, para valores de ∆x → 0.
A figura abaixo ilustra o gr´afico de uma fun¸c˜ao f , x0 um n´umero do dom´ınio de
f fixado com imagem f (x0) e tamb´em x0+ ∆x com imagem f (x0+ ∆x).
Consideremos inicialmente o quociente f (x0+ ∆x) − f (x0)
(x0+ ∆x) − x
= f (x0+ ∆x) − f (x0)
∆x .
Este valor ´e chamado de taxa de varia¸c˜ao de f de x0 a x0+ ∆x.
Se pensarmos que os valores de f representam a posi¸c˜ao de um objeto com rela¸c˜ao a vari´avel de tempo ent˜ao essa taxa de varia¸c˜ao pode ser interpretada como a velocidade m´edia no intervalo [x0, x0+ ∆x]. Queremos ver o que acontece com a
taxa de varia¸c˜ao de f de x0 a x0+ ∆x para valores cada vez menores de ∆x, mais
precisamente no limite ∆x → 0, isto ´e, lim
∆x→0
f (x0+ ∆x) − f (x0)
∆x .
Pensando novamente que os os valores de f representam a posi¸c˜ao de um objeto ent˜ao esse limite pode ser interpretado como a velocidade instantˆanea em x0.
tem equa¸c˜ao
y = f (x0+ ∆x) − f (x0) ∆x
(x − x0) + f (x0)
Conforme tomamos valores de ∆x menores (mais pr´oximos de zero) ent˜ao as retas secantes que passam pelos respectivos pontos (x0, f (x0)) e (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x))
v˜ao se aproximando da reta tangente no ponto (x0, f (x0)).
Do mesmo modo, a equa¸c˜ao destas retas se aproxima da equa¸c˜ao da reta tangente. Portanto, a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (x0, f (x0)) ´e
y = lim ∆x→0 f (x0+ ∆x) − f (x0) ∆x (x − x0) + f (x0)
Defini¸c˜ao 1. Seja f uma fun¸c˜ao e x0 um n´umero de seu dom´ınio, chamamos de
derivada de f em x0, e denotamos por f0(x0) o valor
f0(x0) = lim ∆x→0
f (x0+ ∆x) − f (x0)
∆x ,
caso o limite exista.
Quando o limite acima existe dizemos que f ´e deriv´avel (ou diferenci´avel) em x0
e quando o limite acima n˜ao existe dizemos que f ´e n˜ao ´e deriv´avel (ou diferenci´avel) em x0. Se f for deriv´avel em todos os n´umeros x0 de um intervalo I ent˜ao dizemos
que f ´e deriv´avel (ou diferenci´avel) em I.
Podemos reescrever a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f em (x0, f (x0))
1
C´
alculo de derivadas e regras de deriva¸
c˜
ao
• Fun¸c˜ao constante, f (x) = c para todo n´umero real x. f0(x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) h = limh→0 c − c h = limh→0 0 h = limh→00 = 0 f (x) = c ⇒ f0(x) = 0
1.1 Derivadas de fun¸c˜oes potˆencias
• Potˆencia n natural, f (x) = xn para todo n´umero real x. f0(x) = lim h→0 (x + h)n− xn h = lim h→0 (xn+ n1xn−1h + n2xn−2h2+ · · · + n−1n x1hn−1+ hn) − xn h = lim h→0 n 1xn−1h + n 2xn−2h2+ · · · + n n−1x1hn−1+ hn h = lim h→0 n 1 xn−1+n 2 xn−2h + · · · + n n − 1 x1hn−2+ hn−1 =n 1 xn−1= nxn−1 f (x) = xn ⇒ f0(x) = nxn−1 • Potˆencia −n, f (x) = x−n= 1
xn para todo n´umero real x.
f0(x) = lim h→0 1 (x + h)n − 1 xn h = limh→0 xn− (x + h)n (x + h)nxn h = limh→0 xn− (x + h)n h (x + h)nxn = lim h→0 xn− (x + h)n h | {z } −(xn)0 lim h→0 1 (x + h)nxn | {z } 1 xnxn = −(x n)0 x2n = − nxn−1 x2n = −nx −n−1 f (x) = x−n ⇒ f0(x) = −nx−n−1
• Raiz n-´esima, f (x) = x1/n= √nx para todo n´umero real x. f0(x) = lim h→0 n √ x + h − √nx h (∗) = lim h→0 n √ x + h − √nx h · (√n x + h)n−1+ (√n x + h)n−2√nx + · · · + √n x + h(√nx)n−2+ (√nx)n−1 (√n x + h)n−1+ (√n x + h)n−2√nx + · · · + √n x + h(√nx)n−2+ (√nx)n−1 = lim h→0 (√nx + h)n− (√nx)n h ((√n x + h)n−1+ (√n x + h)n−2√nx + · · · + √n x + h(√nx)n−2+ (√nx)n−1) = lim h→0 x + h − x h ((√nx + h)n−1+ (√n x + h)n−2√nx + · · · + √n x + h(√nx)n−2+ (√nx)n−1) = lim h→0 1 (√n x + h)n−1+ (√n x + h)n−2√nx + · · · + √n x + h(√nx)n−2+ (√nx)n−1 = 1 (√nx)n−1+ (√nx)n−2√nx + · · · + √nx(√nx)n−2+ (√nx)n−1 = 1 n(√nx)(n−1) = 1 n (x1/n)(n−1) = 1 n x(n−1)/n = 1 n x(1−1/n) = 1 nx (1/n−1) f (x) = x1/n ⇒ f0(x) = n1x1/n−1 1.2 Regras de deriva¸c˜ao • (f + g)0= f0+ g0 (f + g)0(x) = lim h→0 (f + g)(x + h) − (f + g)(x) h = limh→0 f (x + h) + g(x + h) − (f (x) + g(x)) h = lim h→0 f (x + h) − f (x) + g(x + h) − g(x) h = lim h→0 f (x + h) − f (x) h + limh→0 g(x + h) − g(x) h = f0(x) + g0(x).
• (f − g)0= f0− g0 (f − g)0(x) = lim h→0 (f − g)(x + h) − (f − g)(x) h = limh→0 f (x + h) − g(x + h) − (f (x) − g(x)) h = lim h→0 f (x + h) − f (x) − g(x + h) + g(x) h = lim h→0 f (x + h) − f (x) h − limh→0 g(x + h) − g(x) h = f0(x) − g0(x). • (c g)0= c f0, c constante (cg)0(x) = lim h→0 c f (x + h) − c f (x) h = limh→0 c ( f (x + h) − f (x) ) h = c lim h→0 f (x + h) − f (x) h = c f 0 (x) • (f g)0= f0g + f g0 (f g)0(x) = lim h→0 (f g)(x + h) − (f g)(x) h = limh→0 f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x) h = lim h→0 f (x + h)g(x + h) =0 z }| { −f (x + h)g(x) + f (x + h)g(x) −f (x)g(x) h = lim h→0 f (x + h)(g(x + h) − g(x)) + (f (x + h) − f (x))g(x) h = lim h→0f (x + h) limh→0 g(x + h) − g(x) h + limh→0 f (x + h) − f (x) h h→0limg(x) = f (x)g0(x) + f0(x)g(x).
• f g 0 = f 0g − f g0 g2 f g 0 (x) = lim h→0 f g(x + h) − f g(x) h = limh→0 f (x + h) g(x + h) − f (x) g(x) h = lim h→0 f (x + h)g(x) − f (x)g(x + h) g(x + h)g(x) h = lim h→0 f (x + h)g(x) − f (x)g(x + h) h 1 g(x + h)g(x) = lim h→0 f (x + h)g(x) =0 z }| { −f (x)g(x) + f (x)g(x) −f (x)g(x + h) h 1 g(x + h)g(x) = lim h→0 (f (x + h) − f (x))g(x) + f (x)(g(x) − g(x + h)) h 1 g(x + h)g(x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) h g(x) + f (x) g(x) − g(x + h) h 1 g(x + h)g(x) = ( f0(x)g(x) + f (x)(−g0(x)) ) 1 g(x)g(x) = f 0(x)g(x) − f (x)g0(x) (g(x))2
1.3 Derivada de fun¸c˜ao exponencial e da fun¸c˜ao logaritmo
Para o c´alculo da derivada de fun¸c˜oes exponenciais, f (x) = ax a > 0, a 6= 1, usare-mos o seguinte limite fundamental.
Limite exponencial fundamental: Pode-se mostrar que a fun¸c˜ao (1 + w)1/w tem limite quando sua vari´avel w → 0 e o valor de seu limite ´e denotado por e e conhecido como constante de Euler.
lim
w→0(1 + w)
1/w = e
1.3.1 Derivada da fun¸c˜ao exponencial Seja f (x) = ax com a > 0 e a 6= 1.
C´alculo de lim h→0 ah− 1 h : - escrevemos ah− 1 = w e da´ı ah− 1 = w ah = w + 1 ln(ah) = ln(w + 1) h ln a = ln(w + 1) h = ln(w + 1) ln a e portanto, ah− 1 h = w ln(w+1) ln a = w ln a ln(w + 1) = ln a 1 wln(w + 1) = ln a ln (w + 1)w1
- note que quando h → 0 ent˜ao w = ah− 1 → 0 e da´ı lim h→0 ah− 1 h = limw→0 ln a ln (w + 1)w1 (∗) = ln a ln e = ln a (*) lim w→0ln (w + 1)w1 = ln lim w→0(w + 1) 1 w
pois ´e o limite de fun¸c˜ao composta com a fun¸c˜ao de fora cont´ınua. E como lim
w→0(w+1)
1
w = e concluimos que lim
w→0ln (w + 1)w1 = ln e = 1.
Voltando ao limite de f0(x), na express˜ao (1) temos f0(x) = axlim h→0 ah− 1 h = a xln a (ax)0= ln a ax Observa¸c˜oes:
- Note que a derivada da fun¸c˜ao exponencial ´e proporcional ao pr´oprio valor da fun¸c˜ao, em outras palavras, a taxa de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao exponencial ´e proporcional ao valor da fun¸c˜ao. Isto faz com que a fun¸c˜ao exponencial esteja relacionada a situa¸c˜oes em que ocorrem esse tipo de varia¸c˜ao, a taxa de varia¸c˜ao ´e proporcional ao valor da fun¸c˜ao. Como exemplos podemos citar o crescimento de popula¸c˜oes, taxa de decaimento radiativo (meia-vida) entre outros.
- Quando usamos a base a como sendo a constante de Euler e ent˜ao obtemos (ex)0 = ex. Neste caso, a taxa de varia¸c˜ao desta fun¸c˜ao ´e exatamente o valor da fun¸c˜ao. Isto torna esta fun¸c˜ao f (x) = ex muito especial, e com isto podemos relacion´
1.3.2 Derivada da fun¸c˜ao logaritmo
Ao inv´es de considerarmos qualquer base a > 0, a 6= 1 para a fun¸c˜ao logaritmo f (x) = logax, consideraremos apenas logex = ln x pois vale a seguinte rela¸c˜ao
logax = ln x ln a.
Ent˜ao se soubermos a derivada de ln x temos que (logax)0 = ln a1 (ln x)0.
(ln x)0 = lim h→0 ln(x + h) − ln x h = limh→0 ln x+hx h = limh→0 ln 1 + hx h = lim h→0 x xhln 1 +h x = lim h→0 1 xln 1 +h x hx = 1 xh→0limln 1 +h x hx
Escrevendo hx = w temos que h → 0 ⇐⇒ w → 0. Assim, lim
h→0ln 1 +h x hx = lim w→0ln 1 + w 1 w
= 1, como visto em (*). Da´ı, obtemos
(ln x)0 = 1 x Segue da observa¸c˜ao inicial que (logax)0= 1
ln a x.
1.4 Derivada de fun¸c˜oes trigonom´etricas
Para o c´alculo da derivada das fun¸c˜oes trigonom´etricas usaremos o seguinte limite fundamental.
Limite trigonom´etrico fundamental: Mostraremos a seguir que para h ∈ (−π/2, 0)∪ (0, π/2) vale que
cos h < sen h h < 1. Ent˜ao pelo Teorema do Confronto como lim
h→0cos h = cos 0 = 1 e limh→01 = 1 temos que
lim
h→0
sen h h = 1 que ´e chamado de limite trigonom´etrico fundamental.
Demonstra¸c˜ao de cos h < senh h < 1 para h ∈ (−π/2, 0) ∪ (0, π/2): [ a ser completado ]
Usando o limite fundamental tamb´em podemos calcular lim h→0 cos h − 1 h . lim h→0 cos h − 1 h = limh→0 (cos h − 1) h (cos h + 1) (cos h + 1) = limh→0 (cos h)2− 1 h(cos h + 1) = limh→0 −( sen h)2 h(cos h + 1) = lim h→0− sen h sen h h 1 (cos h + 1) = −0 · 1 · 1 2 = 0 lim h→0 cos h − 1 h = 0 1.5 Derivada de Seno ( sen x)0= lim h→0 sen (x + h) − sen x h = limh→0
sen x cos h + cos x sen h − sen x h
= lim
h→0
sen x(cos h − 1) + cos x sen h h = sen x lim h→0 cos h − 1 h + cos x limh→0 sen h
h = sen x · 0 + cos x · 1 = cos x ( sen x)0 = cos x 1.6 Derivada de Cosseno (cos x)0= lim h→0 cos(x + h) − cos x h = limh→0
cos x cos h − sen x sen h − cos x h
= lim
h→0
cos x(cos h − 1) − sen x sen h h = cos x lim h→0 cos h − 1 h − sen x limh→0 sen h
h = cos x · 0 − sen x · 1 = − sen x (cos x)0 = − sen x
1.7 Derivada das demais fun¸c˜oes trigom´etricas
Pode-se calcular a derivada se tan x = sen x/ cos x, sec x = 1/ cos x, cosec x = 1/ sen x e cotan x = 1/ tan x usando a regra de derivada de quociente.
(tan x)0 = (sec x)2
(sec x)0 = sec x tan x
(cosec x)0 = −cosec x cotan x (cotan x)0= −(cosec x)2
1.8 Regra da Cadeia
Se temos uma fun¸c˜ao h(x) que pode ser vista como uma fun¸c˜ao composta h(x) = f ◦ g(x) = f (g(x)) ent˜ao analisando a derivada desta fun¸c˜ao temos que
(f (g(x)))0= lim h→0 f (g(x + h)) − f (g(x)) h g(x+h)−g(x)6=0 = lim h→0 f (g(x + h)) − f (g(x)) g(x + h) − g(x) g(x + h) − g(x) h = lim h→0 f (g(z}|{ w x + h)) − f (g(x)) g(x + h) − g(x) g(x + h) − g(x) h