Capítulo 1. Limites nitos. 1.1 Limite nito num ponto

Capítulo 1

Limites nitos

1.1 Limite nito num ponto

Denição 1. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R tal

que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df.Dizemos que a função f

possui limite nito no ponto p se

existe um número real l tal que as imagens f(x) podem ser tomadas pró-ximas do valor l, o quanto se queira (o quanto se deseje), bastando para isso tomarmos valores de x ∈ Df (diferentes de p) sucientemente próximos do

valor p.

Equivalentemente, temos:

existe um número real l tal que tomando valores de x ∈ Df (diferentes de

p) próximos do valor p, as imagens f(x) tomam valores próximos do valor l. Além disso, quanto mais próximo os valores de x ∈ Df estão de p, então

mais próximos os valores de f(x) estão de l.

Neste caso, diremos que l é o limite da função f no ponto p e o denota-remos pelo símbolo

lim

x→pf (x) = l,

ou ainda,

f (x) −→ l, quando x −→ p. 1

Proposição 1. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R

tal que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df. Se a função f possui

limite l no ponto p, então esse limite está univocamente determinado.

1.2 A álgebra dos limites nitos num ponto

Proposição 2. Sejam funções f, g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f(x) e y = g(x), e p ∈ R tal que p ∈ D ou p é um ponto da extremidade de D. Se as funções f e g possuem limites nitos no ponto p, então:

i) a função soma f + g : D ⊆ R → R, x 7→ y = (f + g)(x), onde (f + g)(x) = f (x) + g(x),

possui limite nito no ponto p e lim

x→p(f + g)(x) = limx→pf (x) + limx→pg(x);

ii) a função produto por um escalar cf : D ⊆ R → R, x 7→ y = (cf)(x), onde

(cf )(x) = cf (x), para c ∈ R, possui limite nito no ponto p e

lim

x→p(cf )(x) = c limx→pf (x);

iii) a função produto fg : D ⊆ R → R, x 7→ y = (fg)(x), onde (f g)(x) = f (x)g(x),

possui limite nito no ponto p e lim

x→p(f g)(x) = limx→pf (x) limx→pg(x);

iv) se a função g(x) 6= 0, para todo x ∈ D, e limx−→pg(x) 6= 0, então a

função quociente f g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f g  (x), onde f g  (x) = f (x) g(x), possui limite nito no ponto p e

lim x→p f g  (x) = limx−→pf (x) limx−→pg(x) .

1.3. LIMITES E FUNÇÕES COMPOSTAS 3

1.3 Limites e funções compostas

Teorema 1. Sejam funções

f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x),

e

g : Dg ⊆ R → R, x 7→ y = g(x),

vericando a condição Im(f) ⊆ Dg.

Seja um ponto p ∈ R tal que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de

Df vericando as propriedades:

i) limx−→pf (x) = l;

ii) f(x) 6= l, para todo x ∈ Df.

Se o ponto l ∈ R satisfaz as condições:

iii) l ∈ Dg ou l é um ponto da extremidade de Dg;

iv) limy−→lg(y) = m,

então a função composta g ◦ f : Df → R, x 7→ y = (g ◦ f)(x), onde

(g ◦ f )(x) = g f (x)
, possui limite nito no ponto p e

lim

x→p(g ◦ f )(x) = m.

Teorema 2. As seguintes armações valem:

(i) Se P = P (x) é uma função polinômial e p é um número real arbitrário, então limx→pP (x) = P (p).

(ii) Se n é um inteiro positivo par e p é um número real não negativo arbitrário, então limx→p n

√

x = √np.

(ii) Se n é um inteiro positivo par e p é um número real arbitrário, então limx→p n

√

1.4 Teorema do confronto

Teorema 3. Sejam funções f, g, h : D ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), y = g(x) e y = h(x), e p ∈ R tal que p ∈ D ou p é um ponto da extremidade de D. Suponhamos que

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x),

para todo x ∈ D. Se as funções f e h possuem limites nitos no ponto p e lim

x→pf (x) = limx→ph(x) = l,

então a função g também possui limite nito no ponto p e lim

x→pg(x) = l.

Teorema 4. Sejam funções f, g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f(x) e y = g(x), e p ∈ R tal que p ∈ D ou p é um ponto da extremidade de D. Suponhamos que a função g seja limitada em D, isto é, possui a propriedade: existe um número real positivo M tal que,

|g(x)| ≤ M (−M ≤ g(x) ≤ M ),

para todo x ∈ D. Se a função f possue limite nito no ponto p e lim

x→pf (x) = 0,

então a função produto fg também possui limite nito no ponto p e lim

x→pf (x)g(x) = 0.

1.5 Limite lateral nito num ponto

Denição 2. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R tal

que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df. Dizemos que a função f

possui limite lateral a direita (respec., esquerda) nito no ponto p se

existe um número real l tal que as imagens f(x) podem ser tomadas pró-ximas do valor l, o quanto se queira (o quanto se deseje), bastando para isso tomarmos valores de x ∈ Df (diferentes de p) a direita (respec., esquerda)

1.6. A ÁLGEBRA DOS LIMITES LATERAIS FINITOS NUM PONTO 5 Equivalentemente, temos:

existe um número real l tal que tomando valores de x ∈ Df (diferentes de

p) a direita (respec., esquerda) do valor p e próximos de p, as imagens f(x) tomam valores próximos do valor l. Além disso, quanto mais próximo os va-lores de x ∈ Df estão de p, então mais próximos os valores de f(x) estão de l.

Neste caso, diremos que l é o limite lateral a direita (respec., esquerda) da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo

lim

x→p+f (x) = l (respec., lim_x→p−f (x) = l),

ou ainda,

f (x) −→ l, quando x −→ p+ (respec., f(x) −→ l, quando x −→ p−). Proposição 3. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R

tal que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df. Se a função f possui

limite lateral a direita (respec., esquerda) l no ponto p, então esse limite está univocamente determinado.

1.6 A álgebra dos limites laterais nitos num

ponto

Proposição 4. Sejam funções f, g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f(x) e y = g(x), e p ∈ R tal que p ∈ D ou p é um ponto da extremidade de D. Se as funções f e g possuem limites laterais a direita nitos no ponto p, então:

i) a função soma f + g : D ⊆ R → R, x 7→ y = (f + g)(x), onde (f + g)(x) = f (x) + g(x),

possui limite lateral a direita nito no ponto p e lim

x→p+(f + g)(x) = lim_x→p+f (x) + lim_x→p+g(x);

ii) a função produto por um escalar cf : D ⊆ R → R, x 7→ y = (cf)(x), onde

(cf )(x) = cf (x), para c ∈ R, possui limite lateral a direita nito no ponto p e

lim

iii) a função produto fg : D ⊆ R → R, x 7→ y = (fg)(x), onde (f g)(x) = f (x)g(x),

possui limite lateral a direita nito no ponto p e lim

x→p+(f g)(x) = lim_x→p+f (x) lim_x→p+g(x);

iv) se a função g(x) 6= 0, para todo x ∈ D, e limx−→p+g(x) 6= 0, então a

função quociente f g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f g  (x), onde f g  (x) = f (x) g(x), possui limite lateral a direita nito no ponto p e

lim x→p+ f g  (x) = limx−→p+f (x) limx−→p+g(x) .

Observação 1. A Proposição 4 também é válida quando substituimos a con-dição "lateral a direita"pela concon-dição "lateral a esquerda".

1.7 Caracterização do limite nito num ponto

Teorema 5. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R tal

que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df. A função f possui limite

nito l no ponto p, isto é,

lim

x→pf (x) = l

se, e somente se, função f possui os seus dois limites laterais (a direita e a esquerda) nitos e iguais a l nesse mesmo ponto p, isto é,

lim

x→p+f (x) = l = lim_x→p−f (x).

1.8 Continuidade

Denição 3. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R tal

que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df. Dizemos que a função f

1.8. CONTINUIDADE 7 i) p ∈ Df;

ii) existe o limite limx→pf (x);

iii) limx→pf (x) = f (p).

Proposição 5. Sejam funções f, g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f(x) e y = g(x), e p ∈ R tal que p ∈ D ou p é um ponto da extremidade de D. Se as funções f e g são contínuas no ponto p, então as funções soma f + g, função produto por um escalar cf e a função produto fg são também contínuas no ponto p. Além disso, se a função g(x) 6= 0, para todo x ∈ D, então a função quociente

f

g é também contínua no ponto p.

De fato, pois se limx→pf (x) = f (p) e limx→pg(x) = g(p),então

lim x→p(f + g)(x) = limx→pf (x) + limx→pg(x) = f (p) + g(p) = (f + g)(p); lim x→p(cf )(x) = c limx→pf (x) = cf (p) = (cf )(p); lim x→p(f g)(x) = limx→pf (x) limx→pg(x) = f (p)g(p) = (f g)(p); lim x→p f g  (x) = limx−→pf (x) limx−→pg(x) = f (p) g(p) = f g  (p).

Denição 4. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x) e I ⊆ Df um

intervalo. Dizemos que a função f é contínua no intervalo I se f é contínua em todo ponto p de I.

Teorema 6. Todas as funções polinômiais são contínuas em R. Teorema 7. Para todo número real a(6= 1) > 0 :

i) as funções exponênciais de base a são contínuas em R; ii) as funções logarítmicas de base a são contínuas em ]0, +∞].

Teorema 8. As funções trigonométricas seno e co-seno são contínuas em R.

1.9 Aplicações

Teorema 9. Os seguintes limites valem: lim x→0 ax− 1 x = logea, x→+∞lim  1 + 1 x x = e e lim x→0 sin x x = 1. Teorema 10. Se limx→pf (x) = 0, então

lim x→p sin f (x) f (x) = 1 e limx→p af (x) − 1 f (x) = logea.

1.10 Limite nito no innito

Denição 5. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e a ∈ R tal

que ]a, +∞[⊆ Df (respec., ] − ∞, a[⊆ Df). Dizemos que a função f possui

limite nito no innito +∞ (respec., −∞) se

existe um número real l tal que as imagens f(x) podem ser tomadas pró-ximas do valor l, o quanto se queira (o quanto se deseje), bastando para isso tomarmos valores crescentes (respec., decrescentes) de x ∈ Df,

suciente-mente grandes em valores absolutos. Equivalentemente, temos:

existe um número real l tal que tomando valores crescentes (respec., de-crescentes) de x ∈ Df,sucientemente grandes em valores absolutos ,as

ima-gens f(x) tomam valores próximos do valor l. Além disso, quanto maiores são os valores absolutos de x ∈ Df, então mais próximos os valores de f(x)

estão de l.

Neste caso, diremos que l é o limite da função f no ponto p e o denota-remos pelo símbolo

lim

x→+∞f (x) = l (respec., limx→−∞f (x) = l),

ou ainda,

1.11. A ÁLGEBRA DOS LIMITES FINITOS NO INFINITO 9 Proposição 6. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e

a ∈ R tal que ]a, +∞[⊆ Df (respec., ] − ∞, a[⊆ Df). Se a função f possui

limite l no innito +∞ (respec., −∞), então esse limite está univocamente determinado.

1.11 A álgebra dos limites nitos no innito

Proposição 7. Sejam funções f, g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f(x) e y = g(x), e a ∈ R tal que ]a, +∞[⊆ Df. Se as funções f e g possuem limites nitos no

innito +∞, então:

i) a função soma f + g : D ⊆ R → R, x 7→ y = (f + g)(x), onde (f + g)(x) = f (x) + g(x),

possui limite no innito +∞ e lim

x→+∞(f + g)(x) = limx→+∞f (x) + limx→+∞g(x);

ii) a função produto por um escalar cf : D ⊆ R → R, x 7→ y = (cf)(x), onde

(cf )(x) = cf (x), para c ∈ R, possui limite no innito +∞ e

lim

x→+∞(cf )(x) = c limx→+∞f (x);

iii) a função produto fg : D ⊆ R → R, x 7→ y = (fg)(x), onde (f g)(x) = f (x)g(x),

possui limite nito no innito +∞ e lim

x→+∞(f g)(x) = limx→+∞f (x) limx→+∞g(x);

iv) se a função g(x) 6= 0, para todo x ∈ D, e limx−→+∞g(x) 6= 0, então a

função quociente f g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f g  (x), onde f g  (x) = f (x) g(x), possui limite nito no innito +∞ e

lim x→+∞ f g  (x) = limx−→+∞f (x) limx−→+∞g(x) .

Observação 2. A Proposição 7 também é válida quando substituimos o sím-bolo +∞ pelo sísím-bolo −∞.

Capítulo 2

Limites innitos

2.1 Limite innito num ponto

Denição 6. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R tal

que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df.Dizemos que a função f

possui limite innito no ponto p se

podemos tomar valores crescentes (respec., decrescentes) das imagens f(x), o quanto se queira (o quanto se deseje), bastando para isso tomarmos valores de x ∈ Df (diferentes de p) sucientemente próximos do valor p.

Equivalentemente, temos:

tomando valores de x ∈ Df (diferentes de p) próximos do valor p, as

imagens f(x) tomam valores crescentes (respec., decrescentes). Além disso, quanto mais próximo os valores de x ∈ Df estão de p, maiores são os valores

de f(x), em valor absoluto.

Neste caso, diremos que +∞ (respec., −∞) é o limite da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo

lim

x→pf (x) = +∞ (respec., − ∞),

ou ainda,

f (x) −→ +∞ (respec., − ∞), quando x −→ p. 11

2.2 Limite lateral innito num ponto

Denição 7. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R tal

que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df. Dizemos que a função f

possui limite lateral a direita (respec., esquerda) innito no ponto p se podemos tomar valores crescentes (respec., decrescentes) das imagens f(x), o quanto se queira (o quanto se deseje), bastando para isso tomarmos va-lores de x ∈ Df (diferentes de p) a direita (respec., esquerda) do valor p e

sucientemente próximos de p. Equivalentemente, temos:

tomando valores de x ∈ Df (diferentes de p) a direita (respec., esquerda)

do valor p e próximos de p, as imagens f(x) tomam valores crescentes (res-pec., decrescentes). Além disso, quanto mais próximo os valores de x ∈ Df

estão de p, maiores são os valores absolutos de f(x).

Neste caso, diremos que +∞ (respec., −∞) é o limite lateral a direita (respec., esquerda) da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo

lim

x→p+f (x) = +∞ (respec., lim_x→p+f (x) = −∞),

(respec.,

lim

x→p−f (x) = +∞ (respec., lim_x→p−f (x) = −∞)).

2.3 Caracterização do limite innito num ponto

Teorema 11. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ R tal

que p ∈ Df ou p é um ponto da extremidade de Df. A função f possui limite

innito +∞ (respec., −∞) no ponto p, isto é, lim

x→pf (x) = +∞ (respec., − ∞).

se, e somente se, função f possui os seus dois limites laterais (a direita e a esquerda) innitos +∞ (respec., −∞) nesse mesmo ponto p, isto é,

lim

2.4. LIMITE INFINITO NO INFINITO 13

2.4 Limite innito no innito

Denição 8. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e a ∈ R tal

que ]a, +∞[⊆ Df (respec., ] − ∞, a[⊆ Df). Dizemos que a função f possui

limite innito no innito +∞ (respec., −∞) se

podemos tomar valores crescentes (respec., decrescentes) das imagens f(x), o quanto se queira (o quanto se deseje), bastando para isso tomarmos valo-res cvalo-rescentes (valo-respec., decvalo-rescentes) de x ∈ Df, sucientemente grandes em

valores absolutos.

Equivalentemente, temos:

tomando valores crescentes (respec., decrescentes) de x ∈ Df,

suciente-mente grandes em valores absolutos, as imagens f(x) tomam valores cres-centes (respec., decrescres-centes). Além disso, quanto maiores são os valores absolutos de x ∈ Df, maiores são os valores absolutos de f(x).

Neste caso, diremos que +∞ (respec., −∞) é o limite da função f no +∞ (respec., −∞) e o denotaremos pelo símbolo

lim

x→+∞f (x) = +∞ (respec., limx→+∞f (x) = −∞),

(respec.,

lim

Capítulo 3

Derivadas

3.1 Motivação

3.1.1 Velocidade instantânea de um móvel

Consideremos um móvel (m) deslocando-se numa via. Suponhamos que o espaço percorrido (s) pelo móvel, em função do tempo (t), seja dado por uma função s = s(t), que indica o espaço percorrido pelo móvel, decorrido t unidades de tempo. Dado um intervalo de tempo [t0, t], então denimos a

velocidade média de m, no intervalo [t0, t], como sendo o valor

s(t) − s(t0)

t − t0

.

A velocidade média de m, no intervalo [t0, t],nos da uma idéia da rapidez

(média) que o móvel deve deve ter, para percorrer o espaço s(t) − s(t0) no

intervalo de tempo t − t0.

No entanto, a velocidade média de um móvel (m) não nos informa o que possa ter ocorrido em cada momento, entre os tempos t0 e t. Para reduzirmos

esse problema, podemos diminuir o intervalo de tempo em questão. Assim, o valor lim t−→t0 s(t) − s(t0) t − t0 .

no indicará uma velocidade, relativo a um intervalo que se reduz a um único momento, a saber: o tempo t0.

Intuitivamente, esse valor indica uma velocidade instantânea num ponto, isto é, uma velocidade no tempo t0.

3.1.2 Reta tangente a um ponto de uma curva

Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ Df.

Figura 3.1: Reta tangente t, em um ponto (p, f(p)), do gráco de uma função f

3.2 Derivada num ponto

Denição 9. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ Df.

Dizemos que a função f possui derivada ponto p ou que é derivável no ponto p se existe o limite nito no ponto p, abaixo:

lim

x−→p

f (x) − f (p) x − p .

Nesse caso, denotaremos o valor do limite pelos símbolos f0(p), df (x)

dx (p) ou df dx(p).

3.3. REGRAS DE DERIVAÇÃO 17 Assim, f0(p) = lim x−→p f (x) − f (p) x − p  = df (x) dx (p)  .

Observação 3. 1) No cálculo da derivada de uma função num ponto p, tomando x − p = h, teremos x = p + h implicando em

f0(p) = lim x−→p f (x) − f (p) x − p = limh−→0 f (p + h) − f (p) h .

2) Em geral, substituimos o ponto p pelo ponto x, cando f0(x) = lim

h−→0

f (x + h) − f (x)

h .

Proposição 8. Seja uma função f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x), e p ∈ Df.

Se a função f é derivável no ponto p, então ela é contínua nesse ponto. Demonstração. De fato, lim x→pf (x) = limx→p f (x) − f (p)
+ f (p) = lim x→p  (x − p) f (x) − f (p) x − p  + f (p)  = 0 · f0(p) + f (p) = f (p).

3.3 Regras de derivação

Proposição 9. Sejam funções f, g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f(x) e y = g(x), e p ∈ D. Se as funções f e g são deriváveis no ponto p, então:

i) a função soma f + g : D ⊆ R → R, x 7→ y = (f + g)(x), onde (f + g)(x) = f (x) + g(x),

é derivável no ponto p e

ii) a função produto por um escalar cf : D ⊆ R → R, x 7→ y = (cf)(x), onde

(cf )(x) = cf (x), para c ∈ R, é derivável no ponto p e

(cf )0(p) = cf0(p);

iii) a função produto fg : D ⊆ R → R, x 7→ y = (fg)(x), onde (f g)(x) = f (x)g(x),

é derivável no ponto p e

(f g)0(p) = f0(p)g(p) + f (p)g0(p); iv) se a função g(x) 6= 0, para todo x ∈ D, então

a função quociente f g : D ⊆ R → R, x 7→ y = f g  (x),onde f g  (x) = f (x) g(x), é derivável no ponto p e f g 0 (p) = f 0 (p)g(p) − f (p)g0(p) [g(p)]2 .

Proposição 10. Valem as seguintes regras de derivações: i) xn 0 (p) = npn−1; ii) ax 0 (p) = apln a; iii) log_ax 0 (p) = 1 p ln a; iv) sin x 0 (p) = cos p; v) cos x 0 (p) = − sin p; vi) tan x 0 (p) = sec2p; vii) cot x 0 (p) = − csc2_p.

3.4. DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS 19

3.4 Derivadas de funções compostas

Teorema 12. Sejam funções

f : Df ⊆ R → R, x 7→ y = f(x),

e

g : Dg ⊆ R → R, x 7→ y = g(x),

vericando a condição Im(f) ⊆ Dg e p ∈ Df.

Se f é derivável no ponto p (∈ Df) e g é derivável no ponto f(p) (∈ Dg),

então a função composta g ◦ f : Df → R, x 7→ y = (g ◦ f)(x), onde

(g ◦ f )(x) = g f (x)
, _{para todo x ∈ D}f,

é derivável no ponto p e vale a seguinte regra de derivação (g ◦ f )0(p) = g0 f (p)
· f0(p).

Proposição 11. Valem as seguintes regras de derivações: i) fn_(x) 0 (p) = nf (p)n−1_{· f}0_(p); ii) af (x) 0 (p) = af (p)_{· f}0_{(p) · ln a;} iii) log_af (x) 0 (p) = f 0 (p) f (p) · ln a; iv) sin f (x) 0 (p) = cos f (p) · f0(p); v) cos f (x) 0 (p) = − sin f (p) · f0(p); vi) tan f (x) 0 (p) = sec2f (p) · f0(p); vii) cot f (x) 0 (p) = − csc2_{f (p) · f}0_(p).