André Gustavo Campos Pereira
Joaquim Elias de Freitas
Roosewelt Fonseca Soares
Cálculo I
D I S C I P L I N A
Limite de funções reais em um ponto
Autores
aula
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede” Governo Federal
Presidente da República
Luiz Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário de Educação a Distância – SEED
Carlos Eduardo Bielschowsky
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Reitor
José Ivonildo do Rêgo
Vice-Reitora
Ângela Maria Paiva Cruz
Secretária de Educação a Distância
Vera Lúcia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância- SEDIS
Coordenadora da Produção dos Materiais
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Projeto Gráfico
Ivana Lima
Revisores de Estrutura e Linguagem
Eugenio Tavares Borges Jânio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Revisora das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Revisoras de Língua Portuguesa
Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara
Revisores Técnicos
Leonardo Chagas da Silva Thaísa Maria Simplício Lemos
Revisora Tipográfica
Nouraide Queiroz
Ilustradora
Carolina Costa
Editoração de Imagens
Adauto Harley Carolina Costa
Diagramadores
Bruno de Souza Melo Dimetrius de Carvalho Ferreira Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo
Adaptação para Módulo Matemático
André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos
Colaboradora
Viviane Simioli Medeiros Campos
Imagens Utilizadas
Apresentação
N
a disciplina de Pré-Calculo, você trabalhou da aula 8 à aula 15 com uma das ferramentas mais importantes da Matemática: as funções. Viu por meio de exemplos a sua importância, entendeu sua definição, estudou seu comportamento (crescimento e decrescimento) e aprofundou tal estudo com exemplos mais importantes de funções: as polinomiais, a exponencial, a logarítmica e as trigonométricas. Aprendeu, por exemplo, quepara saber o que acontece com a função f : 15) → R
x → 2x no ponto 4 basta calcular a imagem de 4, ou seja, calcular f4) = 24 = 8, já que 415) =D. Nesta aula, não estaremos interessados em saber quem é 4), mas o que acontece com a função quando estamos “bem próximos de 4”. Vamos aprender sobre o limite de uma função.
Objetivos
Limites de uma função real
O que lhe vem à cabeça quando alguém fala em limite?
Observe estes exemplos, quando você está querendo estudar cálculo e um amigo não te deixa em paz, você olha para ele e diz “estou chegando no meu limite”, ou quando alguém está enchendo um copo e o líquido vai se aproximando da borda, normalmente dizemos que o líquido está chegando no limite do copo.
Nesses exemplos, o ponto limite foi atingido? Vamos verificar. Quando você falou com seu amigo, já pulou no pescoço dele? Parece que não, ou seja, você não atingiu seu limite, mas esteve próximo dele. No segundo exemplo, o líquido tinha subido até a borda do copo? Ainda não, mas estava se aproximando dela.
Pois bem, quando falamos do limite de uma função em um ponto , não estamos
ainda no ponto , mas nos aproximando desse ponto. Em outras palavras: não estamos
falando de f) mas dos valores de nos pontos bem próximos de .
Antes de tudo precisamos entender direitinho o que significa “pontos bem próximos de
”. Seja f : b c)R uma função e ab c).
Observe o gráfico seguinte. Nele podemos nos aproximar de por dois lados, tanto
pela direita, ou seja, por valores maiores que , quanto pela esquerda, ou seja, por
valores menores que .
Lembre-se de que num gráfico o ponto do domínio é marcado no eixo das abscissas
e o valor f) é marcado no eixo das ordenadas, conforme a Figura 1. Assim, para saber o
que acontece com o x)quando varia, assumindo valores próximos de , precisamos
nos concentrar apenas no eixo y através da imagem de tais pontos pela .
Vamos deixar a idéia de aproximar pela direita e pela esquerda mais clara. Usemos a Figura 1 como referência: dizer que um ponto se aproxima de pela esquerda, significa
que está assumindo valores cada vez mais próximos de e sempre menores que . Se
concordarmos em representar como uma quantidade positiva bem pequena, dizer, então, que um ponto se aproxima de pela esquerda é dizer que é da forma x=x. E “se aproximar” significa fazer esse valor ficar cada vez menor. De maneira análoga, dizer que se aproxima de pela direita é dizer que é da forma x=+ x e, novamente, “se aproximar” significa fazer esse valor ficar cada vez menor.
Assim, se queremos saber o que acontece com x) quando se aproxima de pela
direita, devemos estudar f(x) =f(+ x) com o cada vez menor. E se queremos
saber o que acontece com x) quando se aproxima de pela esquerda, devemos
estudar f(x) =f(x) com o cada vez menor.
Exemplo 1
Considere f dada por x) =x+ 2. O que acontece com x) quando
se aproxima:
a)
de 4 pela esquerda?b)
de 4 pela direita?Solução
a)
Queremos estudar o que acontece com x) quando se aproxima de 4 pela esquerda. Devemos então considerar = 4e observar se (x) =(4x)se aproxima de algum valor, à medida que fica cada vez menor. Calculemos, então:f(x) =f(4x) = (4x)+ 2 = 424x+ x+ 2
Atividade 1
Façamos agora o ficar pequeno.x= 01 f(4x) = 18801 + (01) = 17210000000000
x= 001 f(4x) = 188001 + (001)= 17920100000000
x= 0001 f(4x) = 1880001 + (0001)= 17992001000000
x= 00001 f(4x) = 18800001 + (00001)= 17999200010000
x= 000001 f(4x) = 188000001 + (000001)= 17999920000100
x= 0000001 f(4x) = 1880000001 + (0000001) = 17,999992000001
Note que (4x) está ficando cada vez mais próximo de 18.
b)
Queremos estudar o que acontece com x) quando se aproxima de 4 pela direita. Devemos então considerar x=+ x e observar se (x) =(4 + x) se aproxima de algum valor, à medida que fica cada vez menor. Calculemos, então:f(x) =f(4+x) = (4+x)+2 = 424x+x+2 = 16+8x+2 = 18+8x.
Façamos agora o ficar pequeno.
x= 01 f(4x) = 18 + 801 + (01) = 18810000000000
x= 001 f(4x) = 18 + 8001 + (001)= 18080100000000
x= 0001 f(4x) = 18 + 80001 + (0001)= 18008001000000
x= 00001 f(4x) = 18 + 800001 + (00001)= 18000800010000
x= 000001 f(4x) = 18 + 8000001 + (000001)= 18000080000100
x= 0000001 f(4x) = 18 + 80000001 + (0000001) = 18000008000001
Note que (4 + x) está ficando cada vez mais próximo de 18.
Agora é sua vez!!!
Considere f dada por x) =x+ 2x+ 4. O que acontece com
x) quando x se aproxima:
a) de 1 pela esquerda?
Muito bem, agora que já temos a idéia do que significa x) se aproximar de algum valor quando x se aproxima de um ponto dado, estamos prontos para entender as definições de limite à direita, limite à esquerda e limite de uma função.
Definição 2
Seja f R uma função e a tal que existe um intervalo c a)a d)A. Dizemos que o limite de x) quando x tende a pela direita
é igual a L, se ao tomarmos 0x da e, de todas as formas possíveis, o fizermos se aproximar de zero, obtermos que f(+ x) se
aproxima de L. Chamamos L de limite de x) quando x tende a a pela direita e denotamos isso por lim
xfx) =.
Definição 1
Seja f R uma função e a tal que existe um intervalo c a)A. Dizemos que o limite de x) quando x tende a pela esquerda é igual a L, se ao tomarmos 0x ac e, de todas as formas possíveis, o fizermos se aproximar de zero, obtermos que f(+ x) se aproxima de L.
Chamamos L de limite de x) quando x tende a a pela esquerda e denotamos por lim
xfx) =.
Definição 3
Seja f R uma função e a tal que existam intervalos c a)a d)A. Dizemos que o limite dex) quando x tende a é igual a
L, se os limites à esquerda e à direita de x) quando x tende a , existem e
são iguais a L. A esse valor comum chamamos o limite de x) quando x tende a , e denotamos por
lim
Algumas explicações se fazem necessárias neste momento.
n Por que na primeira definição precisamos que ter 0x ac?
Para garantirmos que x com pequeno pertence ao domínio da f e podermos assim calcular a imagem destes pontos f(x) sem problemas.
n Por que a frase: de todas as formas possíveis que fizer se aproximar de zero, obtermos que f(x) se aproxima de L.
Porque pode acontecer que ao fazermos se aproximar de zero da seguinte maneira:
x= 01,x= 001,x= 0001,x= 00001,x= 000001,x= 0000001,
f(ax)se aproxima deL
E ao fazermos se aproximar de zero da seguinte maneira:
x= 1/2,x= 1/4,x= 1/8,x= 1/16,x= 1/32,x= 1/64,
f(x) se aproxima de L1 com .
Quando tal situação ocorre não podemos dizer que o limite à esquerda é igual a L. Na verdade quando tal situação ocorre dizemos que não existe o limite à esquerda e conseqüentemente não existirá o limite, pois, pela definição de limite, precisamos que os limites laterais existam e sejam iguais. Como um deles não existe, a definição de limite não é satisfeita.
Exemplo 2
Seja f : ∞0)→R definida por fx) =sen x
. Verifique se existe ou não o limite à esquerda no ponto x=0.
Primeiramente, note que não podemos substituir o ponto x=0 na expressão da função, uma vez que a função não está definida no ponto 0 (esse ponto não pertence ao domínio da f).
Consideremos duas maneiras de se aproximar de zero.
1ª Maneira
x= 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1
32, para esses valores, temos
f(0x) =f(x) =sen
x
=
=sen(2), sen(4), sen(8), sen(16), sen(32), . . . f(0x) =f(x) =sen
x
=
Note que cada um desses valores é igual a zero, portanto temos que (0x) se aproxima de (na verdade, é igual a) 0.
2ª Maneira
x= 2 3, 2 7, 2 11, 2 15, 2
19, para esses valores temos
f(0x) =f(x) =sen x = sen
32
, sen
72
, sen
112
, sen
152
, sen
192
, . . .
Note que cada um desses valores é igual a um, portanto temos que (0x) se aproxima de (na verdade, é igual a) 1.
Ou seja, maneiras diferentes de se aproximar de x=0 está nos levando a (0x) se aproximando de valores diferentes. Ou melhor, não estamos tendo (0x) se aproximando sempre do mesmo valor independentemente da maneira como se aproxima de zero. Portanto pela definição, temos que o limite à esquerda não existe, pois, caso existisse, teríamos que ter que (0x) se aproximando sempre do mesmo valor independentemente da maneira como se aproxima de zero.
Mas, então, nunca conseguiremos calcular um limite, uma vez que teremos que testar todas as maneiras possíveis de se aproximar de zero?
Calma, não precisa ficar nervoso!!!
Os casos em que não existe o limite é que são complicados; quando o limite existe, esses cálculos não são, em geral, tão difíceis e alguns argumentos nos asseguram que não precisaremos passar o resto da vida fazendo se aproximar de zero de todas as formas possíveis. Vejamos alguns exemplos para constatar o que acabamos de dizer.
Exemplo 3
Verifique se o limite lateral à direita de f definida por x) =x+ 3 no ponto 2 existe. Caso exista, calcule-o.
Solução
Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem, comecemos com limite lateral à direita. Para mostrar que o limite lateral à direita existe, precisamos fazer se aproximar de zero e verificar o que ocorre com (2 + x). Calculemos (2 + x).
Atividade 2
1
2
Neste ponto é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual se aproxime de zero, (2 + x) sempre se aproximará de um mesmo valor.
Aqui, entra em ação dois argumentos simples:
n primeiro argumento: se posso fazer uma quantidade tão pequena quanto eu queira, então, qualquer múltiplo dessa quantidade também pode ser feito tão pequeno quanto eu queira, ou seja, se se aproxima de zero, então, x também se aproxima de zero, sendo K uma constante fixa;
n segundo argumento: se posso fazer uma quantidade tão pequena quanto eu queira, então, qualquer potência dessa quantidade também pode ser feita tão pequena quanto eu queira, ou seja, se se aproxima de zero, então, também se aproxima de zero, para qualquer n natural.
Com esses argumentos em mente, podemos afirmar que qualquer que seja a maneira pela qual se aproxime de zero, temos que 4+ também se aproxima de zero,
o que implica (2 + x) = 7 + 4x+ x se aproximar de 7. Como esse argumento
vale, qualquer que seja a forma pela qual se aproxime de zero, temos então, pela nossa definição, que o limite à direita de no ponto x=2 existe e vale 7, ou seja,
lim
x) = 7
Use os argumentos anteriormente enunciados para garantir que o limite à esquerda também existe e calcule-o. Verifique ainda se o limite de no ponto x = 2 existe.
Considere a função f : ∞0)∪0∞)→R definida por
x) = x
Atividade 3
Propriedades
Sejam f gAR e a tais que existem lim
xfx) = e xlimgx) =. Então, vale:
a)
limxfx) +gx)) = limxfx) + limxgx) =+M;
b)
limxfx)gx)) = limxfx)xlimgx) =M;
c)
limxfx)gx)) =
lim xfx)
lim xgx)
=M;
d)
Se limxgx) = = 0, então, vale xlim fx) gx) =
lim xfx)
lim xgx)
=
M ;
e)
limxfx)) =
lim xfx)
=L, sendo K uma constante.
Essa mesmas propriedades valem para o caso de limite à direita e limite no ponto a .
Enuncie as propriedades para os casos de limite à direita e limite no ponto a.
Atividade 4
Exemplo 4
Seja f R definida por fx) = para todo x, ou seja, é a função constante igual a K, e a é tal que existem intervalos c a)a d)A. Calcule os limites laterais de no ponto a, caso existam, e verifique se possui limite nesse ponto.
Solução
Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem; comecemos com limite lateral à direita no ponto a. Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a existe, precisamos fazer se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(+ x). Calculemos f(+ x).
f(a+ x) =
Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual se aproxime de zero, f(+ x) sempre se aproximará de um mesmo valor.
Ora, note que qualquer que seja o valor de temos que f(a+ x) =, ou seja,
f(+ x) já é um valor específico (não se aproxima), assim, temos que o limite lateral à
direita no ponto a existe e vale K.
Mostre que o limite lateral à esquerda no ponto a existe e também vale 3. Conclua com isso que o limite no ponto a também existe e vale K.
Exemplo 5
Seja f R definida por x) =x para todo x, e seja a tal que existem intervalos c a)a d)A. Calcule o limite lateral à direita de no ponto a.
Solução
Atividade 5
existe precisamos fazer se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(+ x).
Calculemos f(+ x).
f(+ x) =+ x.
Neste ponto, é que precisamos garantir que, qualquer que seja a forma de se aproximar de zero, f(+ x) sempre se aproximará de um mesmo valor.
Note entretanto que qualquer que seja a forma pela qual se aproxime de zero, a quantidade + x se aproxima de a. Dessa forma, temos então que o limite lateral à direita no ponto a existe e vale a.
Mostre que o limite lateral à esquerda no ponto a existe e também vale a. Conclua com isso que o limite no ponto a também existe e vale a.
Exemplo 6
Com base nos exemplos anteriores, mostre que se f R é definida por fx) =Kx+ para todo x, e a é tal que existem intervalos c a)a d)A, então, os limites laterais existem e o limite também existe.
Solução
Se definirmos g hAR por x) =x e hx) =, temos então que
fx) =Kx+ =Kgx) +hx). Pelos exemplos anteriores já vimos que lim
xgx) = e lim
xhx) = e, pelas propriedades, temos que xlimgx)) =
lim xgx)
=a
lim
xgx)) =
lim xgx)
=a, portanto,
Graficamente, a representação de limite em um ponto a é a seguinte: se caminharmos sobre o gráfico da função da forma (0 + x f(0 + x)), ou da forma (0x f(0x)), ambas com se aproximando de zero, chegaremos ao mesmo ponto. Ou seja, se considerarmos a distância entre esses dois pontos (vista em Geometria Analítica e Números Complexos), essa distância se aproxima de zero quando se aproxima de zero.
E este ponto comum será justamente o a fa)),certo?
Note que na definição de limite não pedimos que o ponto a, para o qual calculamos o limite, faça parte do domínio, ou seja, pode acontecer de não existir f).
Você deve estar pensando: “Agora complicou tudo de vez!”.
Não complicou nada, analise os exemplos gráficos abaixo e veja como é simples.
Exemplo 7
Considere a função f definida por fx) =
1 x 0
0 x= 0
1 x >0
. Se esboçarmos o gráfico dessa função, temos:
Gráfico 2
Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto = existe, precisamos fazer se
aproximar de zero e verificar o que ocorre com (0 + x). Calculemos (0 + x) =(x). Note que x 0, logo, (x) = 1.
Atividade 6
0 0
0 0
se aproxima de zero, temos (x) = 1, ou seja, (0 + x) = 1 assume um valor que não muda com a variação de , logo o limite à direita existe e é igual a 1.
Mostre que o limite à esquerda no ponto = existe e é igual a -1.
Como o limite à direita no ponto = é diferente do limite à esquerda no ponto = ,
concluímos que não existe o limite da função no ponto = .
Podemos também concluir a não existência desse limite observando o que acontece com a distância entre os pontos (a+ x f(a+ x)) e (ax f(ax)), à medida que se aproxima de zero (Gráfico 3).
Gráfico 3
A distância entre os pontos (a+ x f(a+ x)) e (ax f(ax)) é:
d((0 + x f(0 + x))(0x f(0x))) =d((x f(x))(x f(x))) =
(x(x))+ (f(x)f(x)) =4x+ (1(1)) =
√
4x+ 4 =4(x+ 1) = 2√x+ 1.
A quantidade final anterior é sempre maior que 2, pois + 1 é sempre maior
Atividade 7
1
2
pontos (0 + x f(0 + x)) e (0x f(0x)) não se aproxima de zero quando tende a zero, logo o limite não existe, como já tínhamos comprovado analiticamente (por meios de cálculos).
Note que outra coisa interessante aconteceu nesse exemplo: os limites laterais existiram, mas nenhum deles foi igual ao valor da função no ponto = , que vale 0) = 0. Ou seja, mesmo que os limites laterais existam, nenhum deles é obrigatoriamente igual ao valor da função no ponto (quando esta estiver definida no ponto).
Dados as funções e seus gráficos a seguir, verifique se os limites laterais nos pontos pedidos existem. Em caso afirmativo, calcule-os. Baseado nos limites laterais, verifique se o limite no ponto dado existe. Caso exista, verifique se o limite coincide com o valor da função no ponto dado.
O ponto: = . A função f definida por x) =x.
Gráfico 4
O ponto: = . A função f definida por
x) =
x x= 0
3
-3
3 3
Gráfico 5
O ponto: = . A função f definida por
fx) =
x x 3
x x≥3
Resumo
1
2
Nesta aula, vimos que existem duas formas de nos aproximarmos de um ponto na reta: por valores menores (à esquerda) ou por valores maiores (à direita). Tais formas de aproximação nos levaram à definição de limites laterais com os quais pudemos definir o limite de uma função real quando nos aproximamos do ponto em estudo. Vimos que o limite pode ser calculado inclusive em pontos nos quais a função não está definida e que, quando tratamos de limites, estamos interessados no valor da função em pontos próximos do ponto em estudo e não no ponto em si.
Auto–avaliação
Sabemos que, na maioria das vezes, uma função representa um fenômeno físico que está sendo estudado. Você conseguiria imaginar um fenômeno cujos limites laterais em algum ponto fossem diferentes? Iguais? Iguais, mas diferentes da função no ponto em questão?
Você conseguiria imaginar um fenômeno cujos limites laterais não existissem? Ou existissem, mas a função não fosse definida no ponto em questão?
Referências
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 1 v.
