Quest˜ao 1 Calcule os limites:
(a) lim
x→0
x−sen(x) x+ sen(x).
x→0lim
x−sen(x)
x+ sen(x) = lim
x→0
x(1−sen(x)/x) x(1 + sen(x)/x) = lim
x→0
1−sen(x)/x
1 + sen(x)/x = 1−1 1 + 1 = 0.
(b) lim
x→0+
x+ 4 x2+x.
x→0lim+ x+ 4
x2+x = lim
x→0+
x(1 + 4/x)
x(x+ 1) = lim
x→0+
1 + 4/x x+ 1 =∞.
(c) lim
x→∞
cos (π/x2)
x .
x→∞lim
cos (π/x2)
x = lim
x→∞cos(π/x2)·1
x = 0, pois cos(π/x2) ´e uma fun¸c˜ao ltda. e lim
x→∞
1 x = 0.
(d) lim
x→1
sen(πx) x−1 .
x→1lim
sen(πx) x−1 = lim
u→0
sen(π(u+ 1))
u = lim
u→0
sen(πu) cosπ+ sen(π) cos(πu)
u = lim
u→0
−sen(πu)
u =
u→0lim
−πsen(πu)
πu =−π.
Fazendo a mudan¸ca u = x−1 e uma vez em que sen(a+b) = senacosb+ senbcosa, senπ = 0 e cosπ =−1.
Quest˜ao 2 Determine o valor de L, caso exista, para que as fun¸c˜oes abaixo sejam cont´ınuas:
(a) f(x) =
x3−x
x , x6= 0, L, x= 0.
Observe que f ´e cont´ınua em todo x6= 0, pois ´e uma fun¸c˜ao racional cujo denominador n˜ao se anula. Para f ser cont´ınua em x = 0, devemos ter lim
x→0f(x) = f(0), para f ser cont´ınua emx= 0. Da´ı, note que
x→0limf(x) = lim
x→0
x3−x
x = lim
x→0
x(x2−1)
x = lim
x→0x2−1 =−1.
Assim, se L=−1, segue que f ser´a cont´ınua em x= 0.
(b) g(x) =
x2, x < 1, L, x= 1, 1/x2, x > 1.
Analogamente, observe quef ´e cont´ınua em todo x6= 1 e parax= 1, temos lim
x→1−f(x) =
x→1lim−x2 = 1 e lim
x→1+f(x) = lim
x→1+1/x2 = 1. Portanto, se f(1) = 1, isto ´e, L= 1, segue que f ´e cont´ınua.
Quest˜ao 3 Determine o dom´ınio das fun¸c˜oes abaixo:
(a) f(x) =
r x2 x2−1.
Temos duas restri¸c˜oes aqui. A primeira sendo xx2−12 ≥ 0 e a segunda x2 −1 6= 0. Da segunda tiramos que x 6= ±1. J´a da primeira, observe que x2 ≥ 0, para todo x real e, dessa forma, o sinal dex2/(x2−1) ´e o mesmo sinal de x2−1. Ou seja, para que x2x−12 ≥0, devemos ter x2 −1≥ 0. Isto nos d´a x ≤ −1 ou x ≥1. Unindo as duas partes, obtemos que D(f) = (−∞,−1)∪(1,∞) =R\[−1,1].
(b) g(x) =√ x−√
5−2x.
Novamente, temos duas restri¸c˜oes que devem acontecer simultaneamente. A primeira delas resulta de √
x, isto ´e, x≥ 0. A segunda vem da equa¸c˜ao √
5−2x, donde devemos ter 5−2x≥0, isto ´e,x≤5/2. Como as duas devem acontecer simultaneamente, o dom´ınio deg ´e a interse¸c˜ao das restri¸c˜oes, ou seja, D(g) = {x∈R; 0≤x≤5/2}= [0,5/2].
Quest˜ao 4 Seja f: R→R tal que −x2+ 3x≤f(x)< x2−1
x−1, para todo x6= 1.
(a) Calcule lim
x→1f(x) e justifique.
Escreva g(x) = −x2 + 3x e h(x) = xx−12−1. Das hip´oteses temos, ent˜ao, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), para todo x 6= 1. Observe, ainda, que limx→1g(x) = limx→1−x2 + 3 = 2 e que limx→1h(x) = xx−12−1 = limx→1x+ 1 = 2. Portanto, limx→1g(x) = 2 = limx→1h(x) e do Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandu´ıche) segue que o limite de f quando x tende a 1 existe e vale limx→1f(x) = 2.
(b) Quanto valef(1)? Justifique.
N˜ao ´e poss´ıvel afirmar quanto vale f(1), pois n˜ao h´a informa¸c˜oes se f ´e cont´ınua ou n˜ao e a express˜ao −x2+ 3x≤f(x)<(x2−1)/(x−1) vale apenas para x6= 1.
Quest˜ao 5 Prove que a equa¸c˜aox3−4x+ 2 = 0 admitepelo menos uma raiz(substituindo:
trˆes ra´ızes reais distintas).
Escreva P(x) = x3−4x+ 2. Note que se x = 1, temos P(1) = 1−4 + 2 = −1 <0, e se x= 2, temos P(2) = 23−4∗2 + 2 = 8−8 + 2 = 2>0. Isto ´e,P(1)<0 e P(2)>0. Como P
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, segue do Teorema do Anulamento que existe um c entre 1 e 2 tal que P(c) = 0.
Quest˜ao 6 Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em R tais que lim
x→af(x) = 0. Podemos afirmar que
x→alimf(x)g(x) = 0? Justifique.
N˜ao podemos afirmar nada. Note que n˜ao sabemos se o limite de g existe ou ´e finito ou se g ´e limitada. A princ´ıpio, se lim
x→ag(x) =±∞, ent˜ao teremos uma indetermina¸c˜ao no limite, que pode valer infinito, zero ou mesmo n˜ao existir. Por exemplo, tome a = 0 e f(x) = x. Se g(x) = 1/x3, ent˜aof(x)/g(x) = 1/x2 e lim
x→0f(x)g(x) =∞. Por outro lado, se h(x) = 1/senx, ent˜ao teremos lim
x→0f(x)h(x) = 1.
