Aula 4 – ˆ
Angulos externos de um triˆ
angulo
Objetivos
• Introduzir o teorema do ˆangulo externo.
• Apresentar algumas conseq¨uˆencias do teorema do ˆangulo externo.
Introdu¸
c˜
ao
Come¸caremos esta aula definindo o que chamamos ponto m´edio de um segmento.
Defini¸c˜ao 10 (Ponto m´edio)
Ponto m´edio de um segmento ´e um ponto que divide o segmento em duas partes congruentes. Nesse caso, a medida de cada parte ´e metade da medida total do segmento dividido.
A proposi¸c˜ao a seguir ´e bastante natural e admitiremos como verda-deira nesta aula. Convido vocˆe no entanto a, assim que tiver uma folguinha, consultar e aprender sua demonstra¸c˜ao que est´a no Apˆendice.
Proposi¸c˜ao 2
Todo segmento possui um ´unico ponto m´edio (Veja a figura 57).
A
B
M
Fig. 57: Ponto m´edio do segmentoAB.
Proposi¸c˜ao 3
Todo ˆangulo possui uma ´unica bissetriz.
Prova:
Seja o ˆangulo ˆA como mostrado na figura 58. Assinale pontos B e C
sobre lados distintos do ˆangulo, de modo queBA ≡CA. Em seguida, trace
o segmento BC. Seja D o ponto m´edio de BC e trace AD (veja figura 58).
A
B
C D
Fig. 58: Bissetriz de ˆangulo.
Como o segmento AD ´e comum aos triˆangulos ABD e ACD, segue por L.L.L. que ABD ≡ ACD. Conseq¨uentemente, BADˆ ≡ CADˆ , ou seja,
a semi-reta −AD−→ divide o ˆangulo BACˆ em dois ˆangulos congruentes. Est´a provada a existˆencia da bissetriz. ´E evidente que a semi-reta −AD−→ ´e a ´unica que tem a propriedade de dividir o ˆangulo em dois ˆangulos de mesma me-dida. Tente considerar uma outra possibilidade de bissetriz, e encontre que os ˆangulos obtidos n˜ao tem a mesma medida. Dessa forma, provamos a proposi¸c˜ao 3.
ˆ
Angulos externos de um triˆ
angulo
Definiremos, a seguir, um conceito muito importante associado aos triˆangulos.
Defini¸c˜ao 11
Note que cada triˆangulo possui seis ˆangulos externos, como vocˆe pode observar na figura 59. S˜ao eles: DACˆ , EABˆ , ABFˆ , GBCˆ , ACHˆ e BCIˆ . Marque esses ˆangulos na figura. Observe queFBGˆ n˜ao ´e um ˆangulo externo. Identifique outros ˆangulos na figura que n˜ao s˜ao ˆangulos externos do triˆangulo
ABC. A B C D E F G H I
Fig. 59: ˆAngulos externos deABC.
Os ˆangulosDACˆ eEABˆ s˜ao congruentes, pois ambos s˜ao suplementa-res adjacentes ao mesmo ˆangulo internoBACˆ . Assim tamb´emABFˆ ≡GBCˆ
eACHˆ ≡BCIˆ .
Nota: Angulos comoˆ DACˆ eEABˆ , da figura 59, s˜ao ditosopostos pelo v´ertice. Um ˆangulo ´e dito oposto a outro ˆangulo pelo v´ertice se as semi-retas que o formam s˜ao opostas `as semi-retas que formam o outro ˆangulo. ˆAngulos opostos pelo v´ertice s˜ao sempre congruentes.
Mas, voltemos aos ˆangulos externos. Cada ˆangulo externo possui dois ˆangulos internos quen˜aolhe s˜ao adjacentes. Por exemplo,BACˆ eBCAˆ s˜ao ˆangulos internos n˜ao adjacentes ao ˆangulo externoABFˆ (e tamb´em aGBCˆ ).
O pr´oximo resultado que veremos ´e conhecido como teorema do ˆangulo externo.
Lembre-se de que...
Dizemos que dois ˆangulos s˜aocomplementaresquando a soma de suas medidas ´e igual a 90o
. Dizemos que s˜ao
suplementaresquando a soma de suas medidas ´e igual a 180o
.
Aprendendo um pouco mais...
Teorema´e uma proposi¸c˜ao que se deduz de axiomas e de proposi¸c˜oes j´a conhecidas. O cojunto de racioc´ınios feitos para concluir o que o teorema diz constitui a demonstra¸c˜ao do teorema. Consulte:
http://www.terra.com.br /matematica/arq13-2.htm
Teorema do ˆAngulo Externo
Um ˆangulo externo de um triˆangulo ´e maior que qualquer ˆangulo interno que n˜ao lhe seja adjacente.
Prova:
Sejam ABC um triˆangulo eD um ponto tal que C esteja entreB eD. Provaremos que o ˆangulo externo ACDˆ ´e maior que cada um dos ˆangulos internos ˆA e ˆB. Para isso, tome M, o ponto m´edio de AC, e trace BM. Identifique o ponto E da semi-reta −−→BM tal que BE ≡2BM. LigueC a E,
A
B
C D
E
M
Fig. 60: Teorema do ˆangulo externo.
Os triˆangulos AM B e CM E s˜ao congruentes por L.A.L. (observe que os ˆangulos opostos pelo v´ertice, AM Bˆ e CM Eˆ s˜ao congruentes). Como conseq¨uˆencia, ˆA≡ECMˆ . Como ACDˆ ´e maior que ECMˆ , segue queACDˆ
´e maior que ˆA.
Fazendo uma constru¸c˜ao como essa, usando o ponto m´edio de BC ao inv´es do ponto m´edio de AC, podemos tamb´em concluir que ACDˆ ´e maior que ˆB.
Q.E.D.
Conseq¨
uˆ
encias do teorema do ˆ
angulo externo
Dado um triˆanguloABC, dizemos que o ˆangulo ˆA´e oposto ao ladoBC(ou que
ˆ
Aop˜oe-se ao ladoBC). Analogamente dizemos que
ˆ
B´e oposto aACe ˆC´e oposto aAB.
Se vocˆe desenhar um triˆangulo ABC em que o ladoAC ´e maior que o ladoAB, vocˆe poder´a verificar, com a ajuda de um transferidor, que ˆB >Cˆ, ou seja, que o ˆangulo oposto a AC ´e maior que o ˆangulo oposto a AB. O resultado a seguir diz que isso sempre ocorre.
Proposi¸c˜ao 4
Dados dois lados de um triˆangulo, ao maior lado op˜oe-se o maior ˆangulo. Reciprocamente, dados dois ˆangulos de um triˆangulo, ao maior ˆangulo op˜oe-se o maior lado.
Prova:
SejaABC um triˆangulo tal que AB > AC, como na figura 61. O nosso objetivo ´e provar que ˆC > Bˆ. Para isso, marque um ponto D em AB tal que AD≡AC. Pelo fato de ADC ser um triˆangulo is´osceles com baseDC,
temos ADCˆ ≡ ACDˆ . Mas ADCˆ ´e um ˆangulo externo do triˆangulo CDB
n˜ao adjacente aABCˆ , e o Teorema do ˆangulo externo afirma queADC >ˆ Bˆ. Logo, podemos concluir que ACB > Aˆ CDˆ ≡ ADC >ˆ Bˆ. Provamos, ent˜ao
A
D
C
B
Fig. 61: Maior ˆangulo oposto ao maior lado.
Vamos provar a segunda parte. Isto ´e, ACB > Aˆ BCˆ implica que
AB > AC. Portanto, suponha que ABC seja um triˆangulo em que ACB >ˆ ABCˆ . A partir do que foi dito antes, se tiv´essemosAC > AB, concluir´ıamos que ABC > Aˆ CBˆ , o que n˜ao acontece. Se tiv´essemos AC ≡ AB, ABC
seria is´osceles com base BC, e ter´ıamos ABCˆ ≡ ACBˆ , o que tamb´em n˜ao
acontece. Como AC n˜ao ´e maior nem congruente a AB, conclu´ımos que
AC < AB.
Q.E.D.
Com o intuito de simplificar a nota¸c˜ao, usaremos daqui em dianteBACˆ
para indicar tanto um ˆangulo quanto sua medida. Assim, para indicar que a medida deBACˆ ´e 30o
, escreveremos simplesmente BACˆ = 30o .
Proposi¸c˜ao 5 (Desigualdade triangular)
Em qualquer triˆangulo, a medida de cada lado ´e sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Prova:
Considere um triˆangulo ABC. Na semi-reta −→BA marque um ponto D
tal queAesteja entreB eD, eAD seja congruente aAC, como na figura 62. O triˆangulo ACD assim formado ´e is´osceles de base CD, e portanto temos
ADCˆ ≡ACDˆ .
A
B C
D
Como conseq¨uˆencia, no triˆangulo BDC o ˆangulo BCDˆ ´e maior que o ˆangulo BDCˆ , e, portanto, op˜oe-se a um lado maior. Da´ıBC < BD. Por constru¸c˜ao, temosm(BD) =m(BA) +m(AD) =m(BA) +m(AC). Assim, conclu´ımos que m(BC) < m(AB) +m(AC). Essa mesma constru¸c˜ao pode ser feita com base em qualquer lado.
Q.E.D.
Resumo
Nesta aula vocˆe aprendeu...
• Que todo segmento possui um ´unico ponto m´edio.
• Que todo ˆangulo possui uma ´unica bissetriz.
• Que um ˆangulo externo de um triˆangulo ´e maior que qualquer ˆangulo
interno a ele n˜ao adjacente.
• Que, num triˆangulo, ao maior lado op˜oe-se o maior ˆangulo e vice-versa.
• Que cada lado de um triˆangulo ´e menor que a soma dos outros dois
lados.
Exerc´ıcios
1. ´E poss´ıvel construir um triˆangulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 8cm? Em caso afirmativo, diga como constru´ı-los.
2. ´E poss´ıvel construir um triˆangulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 6cm? Em caso afirmativo, diga como constru´ı-los.
3. O semiper´ımetro de um triˆangulo ´e a metade da soma das medidas de seus lados. Por exemplo, se os lados de um triˆangulo medem 4cm, 6cm e 8cm, ent˜ao o semiper´ımetro desse triˆangulo vale 9cm. Prove que a medida de qualquer lado de um triˆangulo ´e menor que o semiper´ımetro. Per´ımetro de um triˆangulo
4. Seja ABC um triˆangulo qualquer e sejaD um ponto do segmentoBC.
Prove que m(AD)< m(AB) ou m(AD)< m(AC).
5. Na figura 63,P ´e um ponto interno qualquer do triˆanguloABC. Prove que m(P B) +m(P C)< m(AB) +m(AC).
A
B C
P
Fig. 63: Exerc´ıcio 5.
6. Na figura 64, m(AB) < m(AC) e AD ´e bissetriz de BAC.ˆ Prove que
m(BD)< m(DC).
A
B D C
Fig. 64: Exerc´ıcio 6.
7. Pode-se concluir que os triˆangulos ABC eDEF da figura 65 s˜ao con-gruentes? Justifique sua resposta.
A B
C
E
D F
8. Observe a figura 66.
F
D
A E
B C
Fig. 66: Exerc´ıcio 8.
Determine:
a) Os ˆangulos menores do que o ˆangulo ABDˆ
b) Os ˆangulos maiores do que o ˆangulo CDBˆ
c) Os ˆangulos menores do que o ˆangulo BDFˆ
Apˆ
endice: Para saber mais...
Neste apˆendice apresentamos uma prova da seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 6
Todo segmento possui um ´unico ponto m´edio.
Prova:
Considere um segmento de reta AB. De acordo com os axiomas de medida de segmentos vistos na aula 2, existe um n´umero real positivo que representa a medida de AB. Chamemos esse n´umero de c. Ainda de acordo com aqueles axiomas, existe um segmento de reta, que chamaremosCD, cuja medida ´e exatamentec/2. TransportandoCD para a semi-reta−→AB, obtemos um ponto M entre A e B tal que AM tem medida c/2 (veja a figura 65). Da´ı,M B tamb´em tem medida c/2, ou seja,AM ≡M B, eM ´e ponto m´edio
do segmento AB.
A
B
M
Fig. 67: Ponto m´edio do segmentoAB.
Tomando um outro ponto N pertencente ao segmento AB, temos que
N est´a entre A e M ou entre M e B. Em ambos os casos a medida de
AN ´e diferente da medida de N B; isto ´e, N n˜ao ´e um ponto m´edio de AB. Provamos ent˜ao que o segmentoAB possui um ´unico ponto m´edio.
