Universidade Federal Rural da Amazˆ
onia.
Campus de Paragominas.
Prof. MSc. Drielson D.S.Gouvˆea.
Paragominas (PA), 18 de julho de 2017.
Aluno (a): Matricula.:
1a Lista de Exerc´ıcios de Introdu¸c˜ao a ´Algebra Linear.
1. Duas regi˜oes, A e B, s˜ao produtoras de arroz e soja. Suas produ¸c˜oes, em trˆes anos consecutivos, s˜ao decritas pelas matrizesA=
(
2 3 4 4 5 6
)
eB =
(
8 12 11 15 20 18
)
, respec-tivamente, em que s˜ao obedecidas estas conven¸c˜oes:
• o arroz e a soja s˜ao denominados ”gr˜ao 1”e ”gr˜ao 2”, respectivamente: • os anos considerados, em ordem crescente, s˜ao numerados por 1, 2 e 3;
• em cada matriz, o elemento xij representa a produ¸c˜ao, em milh˜oes de toneladas, do gr˜ao i no anoj.
(a) Qual foi a produ¸c˜ao de arroz (e de soja) nas duas regi˜oes, juntas, no ano 3? (b) Represente por uma matriz C a produ¸c˜ao anual desses gr˜aos das duas regi˜oes
juntas, no per´ıodo considerado.
(c) Construa a matriz D que compare a produ¸c˜ao anual desses gr˜aos da regi˜ao A com a da regi˜ao B, no per´ıodo considerado.
2. A matriz de variˆancias-covariˆancias. Em n´ıvel populacional, no sentido estat´ıstico, do termo, a covariˆancia ´e a medida de dispers˜ao conjunta de duas vari´aveis em torno de suas m´edias. A matriz S ´e sim´etrica. Os elementos da diagonal principal s˜ao as variˆancias e os outros elementos as covariˆancias. S pode ser obtida multiplicando-se a matriz dos dados centrados Y pela sua transposta Y’ e dividindo-se pelo grau de liberdade ν =n−1, sendon o n´umero de esta¸c˜oes de coleta. Ou seja:
S= 1
νY.Y
′
Supondo que a matriz dos dados centrados Y, ´e dada por:
Y =
−2 2 −1 2 −1 −1 −2 4 0 −2 0 0 1 −1 2 −4 2 2 1 −2
3. Um naturalista est´a estudando trˆes grupos vizinhos de animais. Os tamanhos das popula¸c˜oes variam, `a medida que indiv´ıduos se movem entre grupos. Suponha que a matriz linha M0 = (200,180,300) fornece os tamanhos das trˆes popula¸c˜oes diferentes de animais no ano t= 0. Suponha que depois de um ano as popula¸c˜oes s˜ao dadas por
M1=TM0=
0,7 0,2 0,2 0,2 0,6 0,2 0,1 0,2 0,5
M0.
(a) Encontre M1.
(b) Encontre M2, supondo que M2=TM1.
4. Considere as seguintes matrizes
• A=
3 0 −1 2 1 1
• B =
(
4 −1 0 2
)
• C =
(
1 4 2 3 1 5
)
• D=
1 5 2 −1 0 1 3 2 4
• E =
6 1 3 −1 1 2 4 1 3
Se for poss´ıvel calcule:
(a) |4E−2D| (b) 2AT +C
(c) (2ET −3DT)T (d) (BAT −2C)T
5. Dada a matriz:
A=
2 0 0 1 2 1 0 0 2
e seja I3 a matriz identidade de ordem 3 e O3 a matriz nula de ordem 3, mostre que:
A2−4A+ 4I3=O3.
6. Mostre que a matriz
A=
−2 −2 −4 −1 3 4
1 −2 −3
´eidempotente, isto ´e,A2
=A.
7. Mostre que a matriz
A=
1 1 3 5 2 6 −2 −1 −3
´enilpotente de ordem 3, isto ´e, A3
= 0.
8. Mostre que seA ´e nilpotente de ordem 2, isto ´e,A2
= 0, ent˜ao
9. Milho, soja e feij˜ao foram plantados nas regi˜oes P e Q, com ajuda dos fertilizantes
X, Y e Z. A matrizAindica a ´area plantada de cada cultura, em hectares, por regi˜ao: A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada
cultura:
(a) Calcule a matriz C =AB.
(b) Explique o significado de C23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
10. Uma industria de ´oleo comest´ıvel produz dois tipos de mistura, I e II, que s˜ao vendidos em recipientes de 1L ao pre¸co de R$3,00 cada um. Cada litro do tipo I cont´em 25% de ´oleo de soja e o restante de ´oleo de milho, e cada litro do tipo II cont´em 50% de ´oleo de soja e o restante de ´oleo de milho. Se a ind´ustria possui em seu estoque 6000L de de ´oleo de soja e o 9000L de ´oleo de milho, quantos litros de cada tipo deve produzir para obter a m´axima receita poss´ıvel com a venda de toda produ¸c˜ao?
11. Em um dep´osito foram armazenadas sacas de adubo e sacas de sementes, totalizando 30 toneladas. sabe-se que cada saca de adubo tem massa igual a 50 kg, cada saca de sementes, 60 kg, e que o triplo da massa de adubo armazenado ´e igual ao dobro da massa de sementes. Com base nessas informa¸c˜oes, calcule o total de sacas de adubo e de sementes que foram armazenadas no dep´osito.
12. Determine valores parax, y, z ewde modo a que nas rea¸c˜oes qu´ımicas seguintes os ele-mentos qu´ımicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equa¸c˜ao.
(a) xC3H8+yO2 →zCO2+wH2O. (b) xCO2+yH2O→zC6H12O6+wO2.
(c) xF eS2+yS2 →zF e2O3+wSO2.
(d) xKM nO4+yKCl+zH+ 2SO4→wM nSO4+pK2SO4+qCl2+rH2O. (e) xHCl+yKM nO4+zH3AsO3 →wH3AsO4+pM nCl2+qKCl+rH2O.
13. Dada uma matriz quadradaAde ordemn, uma matrizv̸= 0 de ordemn×1 ´eautovetor de A associado aoautovalor λ∈Rse Av=λv. Seja a matriz
A=
(
1 2 3 2
)
Determine:
(a) O Polinˆomio caracter´ıstico P(λ). (b) Seus autovalores e autovetores.
14. Considere os adubos I,II,III e IV com caracter´ısticas e pre¸cos descritos nas tabelas abaixo:
Substˆancia por kg F´osforo Nitrato Pot´assio Adubo I 25 g 15 g 70 g Adubo II 30 g 25 g 40 g Adubo III 60 g 10 g 55 g Adubo IV 15 g 30 g 60 g
Adubos I II III IV Pre¸co por kg R$7,50 R$5,00 R$4,50 R$6,50
Um agricultor necessita de uma mistura com a seguinte especifica¸c˜ao: 6 kg do adubo I, 7 kg do adubo II, 5 kg do adubo III e 8 kg do adubo IV. Usando o produto de matrizes, determine a quantidade de cada substˆancia na mistura descrita acima e o pre¸co desta mistura.
15. O volume de um tetraedro de v´ertices (x1, y1, z1); (x2, y2, z2); (x3, y3, z3) e(x4, y4, z4) ´e dado por:
V olume=±1 6.det
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
x4 y4 z4 1
Com base na defini¸c˜ao acima, utilize o Teorema de Laplace e encontre o volume do tetraedro cujos v´ertices s˜ao (0,4,1), (4,0,0),(3,5,2) e (2,2,5) como mostra a figura:
Figura 1: Tetraedro.
16. Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 m2
140g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g de pot´assio. Disp˜oes-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracter´ısticas:
• Cada quilograma do adubo I custa 5 u.c.p e cont´em 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de pot´assio.
• Cada quilograma do adubo II custa 6 u.c.p e cont´em 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de pot´assio.
• Cada quilograma do adubo III custa 5 u.c.p, e cont´em 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de pot´assio.
• Cada quilograma do adubo IV custa 15 u.c.p e cont´em 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de pot´assio.
17. Para adubar um terreno, um agrˆonomo necessita acrescentar a ele 210 g de nitrogˆenio, 260g de f´osforo e 280g de pot´assio. Ele disp˜oe de trˆes marcas de adubo:
• O adubo A que em cada quilograma cont´em 10g de nitrogˆenio, 50g de f´osforo e 60g de pot´assio.
• O adubo B que em cada quilograma cont´em 10g de nitrogˆenio, 60g de f´osforo e 40g de pot´assio.
• O adubo C que em cada quilograma cont´em 50g de nitrogˆenio, 20g de f´osforo e 20g de pot´assio.
Quanto de cada adubo esse agrˆonomo deve misturar para obter a mistura comercial desejada? (Deixar cada resposta com apenas 1 (uma) casa decimal)
18. Utilize as regras de Jacobi e Cauchy em cada matriz abaixo.
(a) M=
3 −2 7 6 5 4 0 4 9
(b) P =
1 5 2 −1 0 1 3 2 4
(c) N =
3 −2 0 1 5 0 2 −2 3 1 4 7 −2 5 1 6
(d) L=
1 0 0 1 5 0 2 0 3 1 4 0 0 0 −1 6
19. Considere a matriz,
A=
0 1 0 0 0 1 0 0 0
(a) Calcule A3
(b) Utilize ´algebra matricial para calcularF(A), com F(X) = (1−X).(1 +X+X2
) (c) Calcule |A|,|I−A|e |I+A+A2
|
20. SejaSγ o sistema de equa¸c˜oes lineares representado matricialmente por
1 0 1 0 3 γ
−1 0 −1
.X =
1 0 1
onde γ ´e um parˆametro real. Determine os valores de γ para que o sistema Sγ seja poss´ıvel e indeterminado.
21. SejaSγ o sistema de equa¸c˜oes lineares representado matricialmente por
1 1 γ
3 4 2 2 3 −1
.X =
2 γ 1
22. Uma bi´ologa avaliou o crescimento de um vegetal, em determinado per´ıodo, constatando que a altura h da planta, em cent´ımetro, em fun¸c˜ao do tempo t, em dia, pˆode ser calculada por h = 10−0,25t. No mesmo per´ıodo, a massa m da planta, em grama, em fun¸c˜ao do tempo t, em dia, pˆode ser calculada por m = 3 + 0,1t. Desse modo, a cientista obteve o sistema de equa¸c˜oes:
{
h= 10−0,25t m= 3 + 0,1t
No relat´orio da experiˆencia, a bi´ologa teve de descrever o crescimento da planta por meio de uma equa¸c˜ao, relacionando apenas a altura h e a massa m. Qual ´e essa equa¸c˜ao? Qual a massa da planta quando atinge 2,5cm de altura?
23. Para cada um dos sistemas lineares abaixo determine:(a) a matriz dos coeficientes, (b) a matriz aumentada, (c) Use a elimina¸c˜ao Gaussiana para encontrar o conjunto solu¸c˜ao de cada um e, (d) represente graficamente utilizando o software Geogebra.
(a)
x+y+z= 1
x−2y+ 2z= 2
x+ 2y−z= 4
(b)
−x+y+ 2z= 3 3x−y+z= 5 −x+ 3y+ 4z= 7
(c)
2x+ 3y−2z= 5
x−2y+ 3z=−2 4x−y+ 4z= 1
(d)
2x+y= 0
x+y+z= 0
y+ 2z= 0
24. O estado do Tocantins tem uma voca¸c˜ao para pecu´aria, contando hoje com um rebanho significativo de bovinos, ovinos e caprinos. Considere que em uma fazenda o custo mensal para a manuten¸c˜ao de um rebanho de bovinos, ovinos e caprinos seja igual a R$126.000,00. Ap´os an´alise da planilha de gastos,verificou-se que o custo mensal de manuten¸c˜ao do rebanho bovino ´e 10% maior que a soma dos custos mensais de manuten¸c˜ao dos outros dois rebanhos e que o custo mensal de manuten¸c˜ao do rebanho de ovinos ´e igual a um ter¸co do custo mensal de manuten¸c˜ao do rebanho bovino. Com base nessas informa¸c˜oes, calcule os itens subseq¨uentes relativos `a fazenda citada
(a) Calcule o custo mensal de manuten¸c˜ao do rebanho ovino. (b) Calcule o custo mensal de manuten¸c˜ao do rebanho caprino.
(c) Supondo que o custo de manuten¸c˜ao mensal com cada animal do rebanho bovino ´e igual a R$110,00, calcule quantos animais tem esse rebanho.
25. Agrimensores usam uma f´ormula para encontrar a a ´area de um lote de terra. A f´ormula usada pelo agrimensor obedece aos seguintes passos:
• Anotamos os v´ertices do pol´ıgono (A1(x1, y1), ..., An(xn, yn)), a partir de qualquer um, no sentido anti-hor´ario, repetindo o 1o v´ertice no final.
• Calculamos a soma dos produtos das diagonais, conforme o esquema
D=
x1 ... xn x1
y1 ... yn y1
.
• Usamos a f´ormula
A= 1 2.|D|
26. Dada a matriz:
A=
0 1 1 1 0 1 1 1 0
e seja I3 a matriz identidade de ordem 3 e O3 a matriz nula de ordem 3, mostre que:
A2−A−2I3=O3.
27. Determine os valores de λ∈Rtais que existe X=
x1 ... xn
̸= 0 que satisfaz a equa¸c˜ao
A.X =λ.X.
(a) A=
(
10 −9 4 −2
)
(b) B =
(
−2 −7 1 2
)
(c) C=
4 0 1 −2 1 0 −2 0 1
(d) D=
5 6 2 0 −1 −8 1 0 −2
28. Um veterin´ario deseja controlar a dieta de um animal, de modo que mensalmente con-somem 60 libras de aveia, 75 de milho e 55 de soja. O veterin´ario tem trˆes tipos de alimentos. Cada um cont´em quantidades de aveia, milho e soja, como indicado na tabela. Quantas libras de cada alimento deve ser usado para obter as quantidades desejadas?
