Mecânica da partícula

Mecânica da partícula

Movimentos de corpos sujeitos a ligações

Prof. Luís C. Perna

Forças

As forçastraduzem e medem interacções entre corpose essas interacções podem ser de contactoou à distância (FQA ano 1).

Forças

de contacto

à distância

Uma vez definido o sistema físicoem estudo, as forçasque actuam nas partículas podem ser interioresou exterioresao sistema.

Forças

Interiores –resultam das interacções entre as partículas do sistema (actuam sempre aos pares no interior do sistema)

Exteriores –resultam de interacções entre as partículas

do sistema com partículas exteriores (actuam aos pares mas encontram-se em sistemas diferentes)

Forças aplicadas e forças de ligação

Uma questão importante no estudo do movimento de um corpo tem a ver com as ligações ou vínculosa que um corpo está sujeito, uma vez que essas ligações ou vínculos restringem o seu movimento.

Quais são as forças que actuam sobre o saco de tangerinas?

São a força gravítica, F_g, e a tensão, T, que o dinamómetro exerce sobre o saco.

A tensão, T, surge pelo facto de existir uma ligação ou vínculodo saco de tangerinas ao dinamómetro. Trata-se de uma força de ligação.

O mesmo não se verifica com a força gravítica, Fg. Esta actua quer o saco de tangerinas esteja pendurado no dinamómetro ou não. Trata-se de uma força aplicada.

Forças aplicadas e forças de ligação

As forças aplicadas são forças com características bem definidas e actuam num corpo independentemente da existência ou não de ligações ou vínculos.

Exemplos: a força gravítica, força eléctrica, a força muscular, a força elástica, ...

As forças de ligação são forças que se exercem pelo facto de um corpo estar sujeito a ligações ou vínculos. Os seus valores

dependem das forças aplicadas e, em situações de movimento, das características do movimento.

Exemplos:as tensões de fios, as reacções normais de superfícies, as forças de atrito, ...

Movimentos de corpos sujeitos a ligações sem forças

de atrito

Para analisar o movimento de qualquer corpo considerado como partícula, sujeito a forças de ligaçãoe/ou forças aplicadas devemos utilizar algumas regras:

1-Identificar as forças ou interacções que se exercem na partícula; 2-Representá-las num diagrama de forças, indicando as direcções e os sentidos; e devem ser desenhadas num ponto que simbolize o CM; 3-O comprimento dos vectores que representam as forças devem traduzir, aproximadamente a intensidade relativa das forças;

4-Utilizar a lei fundamental da dinâmica de acordo com o referencial escolhido, tendo em atenção os sinais atribuídos às componentes escalares das forças e decompondo a resultante das forças;

5-Resolver as equações em ordem às incógnitas.

Movimento no plano horizontal de um sistema de

corpos ligados

Consideremos um sistema de dois corpos A e B, de massas m_Ae m_B, ligados por um fio inextensível e de massa desprezável. Sobre o sistema, actua a força horizontal F, constante.

a

a

Movimento no plano horizontal de um sistema de

corpos ligados

Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.

A xx yy

0

















P

R

a

m

T

0







P

R

a

m

T

P

R











Aplicação das regras ao corpo A:

Movimento no plano horizontal de um sistema de

corpos ligados

Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.

B xx yy

0





















P

R

a

m

F

T

0











P

R

a

m

F

T

P

R











Movimento no plano horizontal de um sistema de

corpos ligados

Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.

a

m

F

T

a

m

T









a

m

a

m

F





F



(

m



m

)

a

m

m

F

a





m

m

m

F

T





Movimento no plano vertical de um sistema de corpos

ligados. A máquina de Atwood

A máquina de Atwood consiste num sistema de dois corpos, de massas diferentes, ligados por um fio

inextensível de massa desprezável, que passa pela gola de uma roldana fixa com muito pouco atrito.

Forças exteriores que actuam no sistema:PAe PB

Forças de ligação que actuam no sistema:TA/Be TB/A Sendo o fio inextensível de massa desprezável verifica-se:

T

T

T









a

a

a









Movimento no plano horizontal de um sistema de

corpos ligados

Aplicação da lei fundamental da dinâmica aos corpos em separado.

a

m

P

T

a

m

P

T











Aplicação das regras ao corpo A:

A B B B B A A A A A B

a

m

P

T

a

m

P

T





















)

(

P

a

m

m

P







g

(

m



m

)



a

(

m



m

)

g

m

m

m

m

a







T



P



m

a

T



P



m

a

Movimento no plano inclinado de um sistema de corpos

ligados

Começa-se por desenhar o diagrama das forças que actuam nos dois corpos ligados, A e B.

Decompõem-se o peso

P

Seguidamente procede-se da mesma forma que nos casos anteriores, aplicando a Lei Fundamental da Dinâmicaa cada corpo em separado.

Movimento circular num plano vertical: o looping

Porque será que o carrinho não cai quando passa pela posição mais alta do

looping

Com que velocidade deve passar por essa posição para haver segurança? Será que o raio de curvatura é importante?

Nota: Vamos fazer o estudo do mov. admitindo desprezável a força de atrito no percurso.

Movimento circular num plano vertical: o looping

Análise do movimento na posição . A















P

N

F

F

F

F















0

Em A: o valor da velocidade é máximo

e o valor da força normal também é máximo.

R

v

a



P

N

F

F







0

0

0





a

a

R

v

m

P

N











A força normal é maior que o peso e a segurança está garantida, a força normal depende da velocidade. A

Se a velocidade for grande a força é grande e pode incomodar o passageiro.

Movimento circular num plano vertical: o looping













P

F

F

N

F

F













Também nesta posição, o módulo da força normal depende da velocidade.

mg

ma

N

F







g

a

R

mv

N







0

0





a

a

Movimento circular num plano vertical: o looping

Análise do movimento na posição . C















P

N

F

F

F

F















0

P

N

F

F







0

P

F

N













0

0





a

a

P

v

m

N













Movimento circular num plano vertical: o looping

Para haver segurança em C o que é que terá de se verificar?

0



N

0





P

R

v

m

_m

_g

R

v

m

_



_

gR

v



P

R

v

m

N





Movimento circular num plano vertical: o looping

Qual será a altura mínima, h,para que o carrinho ao ser abandonado em D consiga atingir a posição C? Pela conservação da energia mecânica vem: C C D

m

v

m

gh

gh

m











2

1

Em

Em



v

gh

gh





2

1

R

g

R

g

h

g

2

2

1











gR

v



h



2

R

R

R

h

2

2

1

_



h

R

2

5



Movimento circular num plano horizontal: bobsled

Para que o bobsled consiga descrever a curva a força resultante tem de ter uma componente que puxe o corpo para o centro da curva ou seja uma força centrípeta.

O veículo descreve a curva porque está apoiado numa rampa. Forças que actuam no veículo:

xx yy



F



N



m

a









F





N





P





0



R

v

m

N

sin





mg

N

cos





Velocidade máxima permitida:

v



gR

tan





cos

mg

N



Forças de atrito como força de ligação

O atrito está sempre presente no nosso dia-a-dia, umas vezes é útil outras é prejudicial.

O atrito entre superfícies sólidas é devido à sua rugosidade, que muitas vezes acontece a uma escala microscópica. Quando tentamos deslizar uma superfície sobre a outra essa rugosidade impede o movimento dos corpos.

Forças de atrito como força de ligação

Consideremos um corpo, em repouso, assente sobre uma superfície horizontal.

F



Se sobre o corpo aplicarmos uma força , horizontal, o corpo pode permanecer em repouso. Explica-se este facto pela existência de uma força entre as superfícies de contacto, que se opõem ao deslocamento de uma superfície sobre outra que é a força de atrito.

A força de atrito estático, .

Enquanto não houver movimento verifica-se:

Se aumentarmos a força aplicada ao corpo, a força de atrito estático aumenta mas, no instante em que se torne eminente o movimento do corpo, a força de atrito estático atinge o seu valor máximo, . Depois de iniciado o movimento do corpo a força de

atrito diminui e designa-se por força de atrito cinético, . A força de atrito é paralela à superfície de contacto.

A força de atrito tem sentido oposto ao movimento dos corpos.

e

a

F



a

F

F







a

F



F



a

F



Ao actuar uma força, , e até o corpo estar na

eminência do movimento (situação 1), verifica-se: Depois de iniciado o movimento do corpo (situação 2), verifica-se: e

a

F

F







a

F

F







Forças de atrito estático e força de atrito cinético

F



Leis do atrito de escorregamento com base na

observação experimental

1- O valor da força de atrito estático máximo , para a qual o corpo está na eminência de iniciar o movimento em relação ao outro é directamente proporcional ao valor da reacção normal de contacto , entre as duas superfícies.

máx e

a

F



R



R

a

F









2- O coeficiente de atrito estático, , depende da natureza das superfícies de contacto. e



3- A força de atrito estático é independente da área de contacto entre os corpos.

Leis do atrito de escorregamento com base na

observação experimental

4- Quando há movimento de uma superfície em relação à outra, o valor da força de atrito cinético é directamente proporcional ao valor da reacção normal, :

R



R

a

F









5- O coeficiente de atrito cinético, , depende: a) Da natureza das superfícies que contactam;

b) Da velocidade relativa das superfícies que contactam podendo dentro de determinados limites ser considerada constante.

c



c e







A Tabela, mostra valores de alguns coeficientes de atrito estático e de atrito cinético. Por se tratar de grandezas macroscópicas que dependem das propriedades microscópicas dos dois materiais, os coeficientes de atrito são variáveis para cada par de superfícies.

Superficies _{atrito estático} Coeficiente de_

e Coeficiente de atrito cinético c Níquel / níquel 0,74 0,57 Gelo / gelo 0,10 0,03 Cobre / aço 0,53 0,36 Madeira / madeira 0,40 0,20 Vidro / vidro 0,94 0,40 Cobre / ferro 1,05 0,29 Aço / aço 0,74 0,57

 Consideremos um bloco de granito que se desloca sobre uma superfície horizontal, sob a acção de uma força F, constante:



















0

P

F

R

ma

F

F













R

ma

F

cos



















m

R

F

a

cos





Assentado ideias – Aplicando a 2ª Lei de Newton

 Uma caixa com a massa de 50 kg é deslocada por acção de uma força de intensidade 300 N, que faz um ângulo de 30° com a horizontal. A intensidade da força de atrito é de 140 N.

 Represente todas as forças

que actuam na caixa.

 Calcule o valor da aceleração

adquirida pela caixa.

Exercício de Aplicação 2

Sobre um corpo B, de massa 8,0 kg, assente numa mesa, coloca-se um outro corpo A, de massa 1,0 kg. Ao ser aplicada no corpo B uma força constante , F , horizontal (ver figura), o sistema de corpos A+B adquire a aceleração a = 3,0 e_x (m/s2_{). O coeficiente de atrito} cinético entre os materiais das superfícies de contacto da mesa e do corpo B, é igual a 0,20.

1. Represente as forças que actuam em cada um dos corpos.

2. Determine a força de atrito que o corpo B exerce sobre o corpo A.

3. Calcule o módulo da força F.

Exercício de Aplicação 3











