A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
A
N
Á
L
IS
E
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
I
2003
2003
BENTO LOURO
ANA SÁ
TEORIA E EXERCÍCIOS
´Indice
1 No¸c˜oes Topol´ogicas, Indu¸c˜ao Matem´atica e Sucess˜oes 1
1.1 No¸c˜oes topol´ogicas emR . . . 1
1.2 Indu¸c˜ao matem´atica . . . 5
1.3 Sucess˜oes de n´umeros reais . . . 7
2 Fun¸c˜oes Reais de Vari´avel Real: Limites e Continuidade 13 2.1 Generalidades sobre fun¸c˜oes reais de vari´avel real . . . 13
2.2 Limites. Limites relativos . . . 16
2.3 Continuidade: propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano . . 23
2.4 Continuidade uniforme . . . 30
3 Fun¸c˜oes Reais de Vari´avel Real: C´alculo Diferencial 37 3.1 Derivadas. Regras de deriva¸c˜ao. . . 37
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . 46
3.3 Indetermina¸c˜oes . . . 52
3.4 Teorema de Taylor . . . 57
3.5 Aplica¸c˜oes da f´ormula de Taylor . . . 61
4 Fun¸c˜oes Reais de Vari´avel Real: Primitiva¸c˜ao 67 4.1 Primitivas imediatas . . . 67
4.2 Primitiva¸c˜ao por partes e por substitui¸c˜ao . . . 72
4.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais . . . 75
4.4 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais . . . 85
4.5 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes transcendentes . . . 91
5 Fun¸c˜oes Reais de Vari´avel Real: C´alculo Integral 95 5.1 Integral de Riemann: Defini¸c˜ao e propriedades . . . 95
5.2 Classes de fun¸c˜oes integr´aveis . . . 104
5.3 Teoremas Fundamentais . . . 106
5.4 Areas de figuras planas . . . 108´
6 Exerc´ıcios 139
6.1 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas . . . 139
6.2 No¸c˜oes Topol´ogicas . . . 142
6.3 Indu¸c˜ao Matem´atica . . . 145
6.4 Sucess˜oes . . . 146
6.5 Continuidade . . . 152
6.6 Continuidade Uniforme . . . 155
6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . 157
6.8 F´ormula de Taylor . . . 163
6.9 Estudo de uma fun¸c˜ao . . . 165
6.10 Primitiva¸c˜ao . . . 168
6.11 Integrais . . . 173
6.12 C´alculo de ´areas . . . 177
Cap´ıtulo 1
No¸c˜
oes Topol´
ogicas, Indu¸c˜
ao
Matem´
atica e Sucess˜
oes
1.1
No¸c˜
oes topol´
ogicas em
R
Defini¸c˜ao 1.1.1 Sejam a∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhan¸ca ε de a ao conjunto Vε(a) =
]a− ε, a + ε[.
Defini¸c˜ao 1.1.2 Sejam a∈ R e A um conjunto de n´umeros reais. Diz-se que a ´e
inte-rior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em A. Diz-se que a ´e fronteiro a A se
toda a vizinhan¸ca de a intersecta A e R \ A. Diz-se que a ´e exterior a A se existir uma
vizinhan¸ca de a contida em R \ A.
NOTA: Um ponto ´e exterior a A se, e s´o se, ´e interior a R \ A.
Defini¸c˜ao 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e
repre-senta-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A).
NOTA: Qualquer que seja A ⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅,
fr(A)∩ ext(A) = ∅ e int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) = R.
EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Ent˜ao int(A) =
int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) =
ext(B) = ext(C) = ext(D) =]− ∞, 0[∪]1, +∞[.
EXEMPLO 2: Seja A = ½ 1
n, n∈ N
¾
. Ent˜ao int(A) = ∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e
fr(A) = A∪ {0}.
Defini¸c˜ao 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A ´e aberto se A = int(A).
Defini¸c˜ao 1.1.5 Seja A um subconjunto deR. Chama-se fecho ou aderˆencia de A ao
conjunto A = A∪ fr(A). Diz-se que x ´e aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se
A = A. NOTAS:
1. Das defini¸c˜oes, conclui-se facilmente que A = int(A)∪ fr(A).
2. A ´e fechado se, e s´o se, fr(A)⊂ A.
3. A ´e fechado se, e s´o se,R \ A ´e aberto, isto ´e, R \ A = int(R \ A) = ext(A).
EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B ´e fechado, D ´e aberto, A e C n˜ao s˜ao fechados nem abertos.
EXEMPLO 2: A =½ 1
n, n∈ N
¾
n˜ao ´e fechado nem aberto (note que fr(A) = A∪ {0}).
EXEMPLO 3: A =½ 1
n, n∈ N
¾
∪ {0} ´e fechado.
Defini¸c˜ao 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a ´e ponto de
acumula¸c˜ao de A se toda a vizinhan¸ca de a intersecta A\ {a}. Ao conjunto dos pontos
de acumula¸c˜ao de A chama-se derivado de A. Diz-se que a ´e ponto isolado de A se
a ∈ A e existe uma vizinhan¸ca de a que n˜ao intersecta A \ {a}.
EXEMPLO 1: Seja A = ½ 1
n, n∈ N
¾
. 0 ´e ponto de acumula¸c˜ao de A. Todos os pontos de A s˜ao isolados.
EXEMPLO 2: Seja A = [0, 1[∪{2}. O conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de A ´e [0, 1].
2 ´e ponto isolado de A.
NOTA: Se a∈ int(A), ent˜ao a ´e ponto de acumula¸c˜ao de A.
Defini¸c˜ao 1.1.7 Sejam x∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x ´e majorante de
A se x≥ a, ∀a ∈ A. Diz-se que x ´e minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A.
Defini¸c˜ao 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A ´e majorado se admitir
majorantes. Diz-se que A ´e minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A ´e limitado.
1.1 No¸c˜oes topol´ogicas em R 3
EXEMPLO 1: A ={x ∈ R : x2 < 1} ´e limitado.
EXEMPLO 2: ]− ∞, 1[ ´e majorado.
EXEMPLO 3: [1, +∞[ ´e minorado.
EXEMPLO 4: A ={x ∈ R : |x| > 1} n˜ao ´e majorado nem minorado.
Teorema 1.1.1 A ´e limitado se, e s´o se, ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A.
Demonstra¸c˜ao: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se
M for o maior dos dois n´umeros|ν| e |µ|, ent˜ao |x| ≤ M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se
M > 0, qualquer).
Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto ´e, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, ent˜ao M
´e majorante de A e −M ´e minorante de A.
Defini¸c˜ao 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado deR. Diz-se que β ´e o supremo de
A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto ´e, se β for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A,
pertencer a A, diz-se que β ´e o m´aximode A; neste caso, representa-se por β = max(A).
Defini¸c˜ao 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α ´e o ´ınfimo de
A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto ´e, se α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ´ınfimo de A, pertencer a A, diz-se que α ´e o m´ınimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A).
EXEMPLO 1: Seja A ={x ∈ R : x2 < 1}. Ent˜ao inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A n˜ao tem
m´aximo nem m´ınimo.
EXEMPLO 2: Seja A =]− 1, 1]. Ent˜ao inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1.
EXEMPLO 3: sup(]− ∞, 1[) = 1. N˜ao existe ´ınfimo deste conjunto.
Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto
mino-rado tem ´ınfimo.
N˜ao daremos aqui a demonstra¸c˜ao do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais
profundo do conjunto dos n´umeros reais, que n˜ao est´a nos prop´ositos deste curso.
Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Ent˜ao β = sup(A) se, e s´o se, β ´e
majo-rante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e s´o se, α ´e
Demonstra¸c˜ao: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ´ınfimo proceder--se-ia de modo an´alogo.
Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) ent˜ao β ´e majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. F´a-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto ´e, negando a tese chegaremos `a nega¸c˜ao da hip´otese (trata-se da bem conhecida proposi¸c˜ao da l´ogica
formal A ⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β n˜ao for majorante de A, β n˜ao ´e o
supre-mo de A (defini¸c˜ao de supresupre-mo) e o problema fica resolvido. Se∃ε > 0, ∀x ∈ A, x ≤ β−ε,
ent˜ao β n˜ao ´e o supremo de A visto que β − ε ´e majorante de A e β − ε < β.
Reciprocamente, vamos mostrar que se β ´e majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x >
β− ε, ent˜ao β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β n˜ao for o supremo de
A, ent˜ao ou n˜ao ´e majorante ou ´e majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de
A menor que β. No ´ultimo caso, seja γ esse majorante. Ent˜ao, fazendo ε = β− γ (> 0)
1.2 Indu¸c˜ao matem´atica 5
1.2
Indu¸c˜
ao matem´
atica
Para demonstrar que certas propriedades s˜ao v´alidas no conjunto dos n´umeros
natu-rais, N, usa-se o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica que passamos a enunciar:
Uma propriedade ´e v´alida para todos os n´umeros naturais se:
1. A propriedade ´e v´alida para n = 1,
2. Para todo o n natural, se a propriedade ´e v´alida para n, ent˜ao ela ´e v´alida para n + 1.
EXEMPLO 1:Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, a f´ormula da soma de uma progress˜ao geom´etrica:
se a6= 1 ent˜ao n X p=1 ap = a1− a n 1− a , ∀n ∈ N
1. Se n = 1, a f´ormula ´e trivial: a = a1 = a1− a
1− a.
2. Se admitirmos que a propriedade ´e v´alida para n, ent˜ao:
n+1 X p=1 ap = n X p=1 ap+ an+1= a1− a n 1− a + a n+1 = aµ 1 − an 1− a + a n ¶ = = a1− a n+ an− an+1 1− a = a 1− an+1 1− a
EXEMPLO 2: Usando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, vamos demonstrar a seguinte igualdade (Bin´omio de Newton):
(a + b)n= n X p=0 nC pan−pbp, ∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N
1) Se n = 1, a propriedade ´e v´alida: a + b = 1C
0a + 1C1b.
2) Vamos agora admitir que a propriedade ´e v´alida para n; ent˜ao
(a + b)n+1 = (a + b) (a + b)n = (a + b) n X p=0 nC pan−pbp = = n X p=0 nC pan+1−pbp+ n X p=0 nC pan−pbp+1 = (fazendo p + 1 = s) = n X p=0 nC pan+1−pbp+ n+1 X s=1 nC s−1an−s+1bs =
(como s ´e vari´avel muda, podemos substitu´ı-la por p) = n X p=0 nC pan+1−pbp+ n+1 X p=1 nC p−1an−p+1bp = = an+1+ n X p=1 nC pan+1−pbp + bn+1+ n X p=1 nC p−1an−p+1bp = = an+1+ bn+1+ n X p=1 (nCp+ nCp−1) an+1−pbp = = an+1+ bn+1+ n X p=1 n+1C pan+1−pbp = = n+1 X p=0 n+1C pan+1−pbp
1.3 Sucess˜oes de n´umeros reais 7
1.3
Sucess˜
oes de n´
umeros reais
Defini¸c˜ao 1.3.1 Chama-se sucess˜aode n´umeros reais a toda a aplica¸c˜ao deN em R. Os
elementos do contradom´ınio chamam-se termos da sucess˜ao. Ao contradom´ınio chama-se conjunto dos termos da sucess˜ao.
NOTA: ´E usual designarem-se os termos da sucess˜ao por un, em detrimento da nota¸c˜ao
u(n), habitual para as aplica¸c˜oes em geral.
Defini¸c˜ao 1.3.2 A express˜ao designat´oria que define a sucess˜ao chama-se termo geral
da sucess˜ao.
EXEMPLO 1: un= n2
EXEMPLO 2: un= cos(n).
NOTA: Podem-se definir sucess˜oes sem explicitar o termo geral. ´E o caso da defini¸c˜ao
por recorrˆencia. Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1+ un (sucess˜ao dos n´umeros de
Fibonacci).
Por vezes d˜ao-se apenas alguns termos da sucess˜ao que induzem o leitor a “inferir” os restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .
Defini¸c˜ao 1.3.3 Uma sucess˜ao diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus
termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado.
EXEMPLO 1: un= n2 ´e limitada inferiormente, mas n˜ao superiormente.
EXEMPLO 2: un=−n ´e limitada superiormente, mas n˜ao inferiormente.
EXEMPLO 3: un= (−n)n n˜ao ´e limitada superiormente nem inferiormente.
EXEMPLO 4: un= cos(n) ´e limitada.
Defini¸c˜ao 1.3.4 Dadas duas sucess˜oes de n´umeros reais u e v, chama-se soma,
dife-ren¸cae produto de u e v `as sucess˜oes u+v, u−v e uv de termos gerais, respectivamente,
un+ vn, un− vn e unvn. Se vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucess˜ao quociente de u e v `a
sucess˜ao u/v de termo geral un/vn.
Defini¸c˜ao 1.3.5 Uma sucess˜ao u diz-se crescente se un ≤ un+1, ∀n ∈ N; diz-se
estri-tamente crescente se un < un+1, ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1, ∀n ∈ N;
diz-se estritamente decrescente se un> un+1, ∀n ∈ N; diz-se mon´otona se for
cres-cente ou decrescres-cente; diz-se estritamente mon´otona se for estritamente crescente ou
EXEMPLO 1: un= n2 ´e estritamente crescente.
EXEMPLO 2: un=−n ´e estritamente decrescente.
EXEMPLO 3: un= (−n)n n˜ao ´e mon´otona.
Dadas duas sucess˜oes u e v, se v ´e uma sucess˜ao de n´umeros naturais, a composi¸c˜ao
u◦ v ainda ´e uma sucess˜ao, de termo geral uvn. Por exemplo, se u ´e a sucess˜ao 1, 2, 1,
3, 1, 4, . . . e vn = 2n− 1, ent˜ao uvn = 1; se zn= 2n, ent˜ao uzn = n + 1; se sn= 4, ent˜ao
usn = 3.
Defini¸c˜ao 1.3.6 Dadas duas sucess˜oes u e w, dizemos que w ´e subsucess˜ao de u se
existir v, sucess˜ao de n´umeros naturais, estritamente crescente, tal que w = u◦ v.
EXEMPLOS: Das sucess˜oes consideradas anteriormente, u◦ v e u ◦ z s˜ao subsucess˜oes de
u, mas u◦ s n˜ao ´e subsucess˜ao de u.
NOTAS:
1. Toda a subsucess˜ao de uma sucess˜ao limitada ´e limitada.
2. Uma sucess˜ao pode n˜ao ser limitada e ter subsucess˜oes limitadas. Exemplo:
un=
( n, se n par
1
n, se n ´ımpar
3. Toda a subsucess˜ao de uma sucess˜ao mon´otona ´e mon´otona.
Defini¸c˜ao 1.3.7 Diz-se que a sucess˜ao u ´e um infinitamente grande (ou que tende
para +∞), e representa-se un→ +∞, se
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p ⇒ u
n> L.
Diz-se que u ´e um infinitamente grande em m´odulo se |un| → +∞, isto ´e,
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un| > L.
Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un→ −∞, se
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p ⇒ u
n<−L.
EXEMPLO 1: un= n2 → +∞.
EXEMPLO 2: un=−n → −∞.
1.3 Sucess˜oes de n´umeros reais 9
NOTAS:
1. Se u ´e tal que un → +∞, un → −∞ ou |un| → +∞ ent˜ao u ´e n˜ao limitada. A
rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira. Por exemplo, a sucess˜ao
un=
( n, se n par
1
n, se n ´ımpar
´e n˜ao limitada e un6→ +∞, un 6→ −∞, |un| 6→ +∞
2. O facto de un→ +∞ n˜ao implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem
a partir da qual seja crescente). Exemplo: un= n + (−1)n.
Das defini¸c˜oes, conclui-se imediatamente que
Teorema 1.3.1 Sejam u e v sucess˜oes tais que, a partir de certa ordem, un≤ vn. Ent˜ao,
a) un → +∞ ⇒ vn→ +∞,
b) vn→ −∞ ⇒ un → −∞.
Defini¸c˜ao 1.3.8 Sejam u uma sucess˜ao e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou
tende para a ou, ainda, que o limite da sucess˜ao ´e a), e representa-se un → a, se
∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un− a| < ε.
EXEMPLO: un =
1
n → 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se tomarmos p = Int
µ 1 ε
¶ (se
x∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la
por Int(x)) ent˜ao, para n > p tem-se 1
n ≤
1
p + 1 < ε.
NOTAS:
1. Em linguagem de vizinhan¸cas, a defini¸c˜ao ´e equivalente a:
∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un∈ Vε(a).
2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente,
∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un− a| < ε, ∀n > p.
3. Consideremos o conjuntoR = R∪{−∞, +∞}, em que −∞ e +∞ s˜ao dois objectos
matem´aticos, n˜ao reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a rela¸c˜ao de ordem:
i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e s´o se, x < y em R.
O conjunto R, com esta rela¸c˜ao de ordem, designa-se por recta acabada.
Podemos estender a no¸c˜ao de vizinhan¸ca a R. Seja ε ∈ R, ε > 0. Se a ∈ R,
chama--se vizinhan¸ca ε de a ao conjunto Vε(a) =]a− ε, a + ε[ (que coincide, pois, com a
vizinhan¸ca em R). Chama-se vizinhan¸ca ε de +∞ ao conjunto Vε(+∞) =
¤1
ε, +∞
¤ .
Chama-se vizinhan¸ca ε de −∞ ao conjunto Vε(−∞) =
£
−∞, −1
ε
£ .
Com as defini¸c˜oes dadas atr´as, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defi-ni¸c˜oes 1.3.7 e 1.3.8:
xn→ a (a ∈ R) se, e s´o se, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un∈ Vε(a).
Defini¸c˜ao 1.3.9 Diz-se que a sucess˜ao u ´e um infinit´esimo se un→ 0.
NOTA: ´E evidente, a partir das defini¸c˜oes, que un → a ´e equivalente a un− a ´e um
infinit´esimo.
Teorema 1.3.2 (Unicidade do limite) Se un→ a e un → b ent˜ao a = b.
Teorema 1.3.3 Se un → 0 e v ´e uma sucess˜ao limitada, ent˜ao unvn → 0.
Demonstra¸c˜ao: Seja M > 0 tal que |vn| ≤ M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N,
tal que |un| < δ/M, ∀n > p. Ent˜ao |unvn| < δ, ∀n > p.
Teorema 1.3.4 Toda a sucess˜ao convergente ´e limitada.
NOTA: A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira. Por exemplo, a sucess˜ao un= cos(nπ) ´e limitada,
mas n˜ao ´e convergente.
Teorema 1.3.5 (Teorema das sucess˜oes enquadradas) Se un→ a, vn→ a e, a partir de
certa ordem, un≤ wn≤ vn, ent˜ao wn → a.
Demonstra¸c˜ao: Seja ε > 0, qualquer. Ent˜ao
∃p1 ∈ N : n > p1 ⇒ a − ε < un < a + ε,
∃p2 ∈ N : n > p2 ⇒ a − ε < vn< a + ε,
∃p3 ∈ N : n > p3 ⇒ un ≤ wn ≤ vn.
Seja p = max{p1, p2, p3}. Se n > p, ent˜ao
a− ε < un ≤ wn≤ vn< a + ε.
Teorema 1.3.6 Toda a subsucess˜ao de uma sucess˜ao convergente ´e convergente para o mesmo limite.
Teorema 1.3.7 Sejam u e v duas sucess˜oes convergentes, un → a, vn→ b. Ent˜ao u + v,
u − v e uv s˜ao convergentes e un + vn → a + b, un− vn → a − b e unvn → a b. Se
vn6= 0, ∀n ∈ N e b 6= 0, ent˜ao u/v ´e convergente e un/vn→ a/b.
Teorema 1.3.8 Um conjunto X ⊂ R ´e fechado se, e s´o se, todos os limites das sucess˜oes
1.3 Sucess˜oes de n´umeros reais 11
Teorema 1.3.9 Toda a sucess˜ao mon´otona limitada ´e convergente.
NOTA: A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira, isto ´e, h´a sucess˜oes n˜ao mon´otonas que s˜ao
con-vergentes. Exemplo: a sucess˜ao un = (−1)n
1
n converge para 0 e n˜ao ´e mon´otona.
Teorema 1.3.10 Toda a sucess˜ao limitada tem subsucess˜oes convergentes.
Defini¸c˜ao 1.3.10 Diz-se que a∈ R ´e sublimite da sucess˜ao u se existir uma subsucess˜ao
de u que converge para a.
EXEMPLO: −1 e 1 s˜ao sublimites da sucess˜ao un= (−1)n+
1
n.
NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucess˜ao u.
1. Pelo Teorema 1.3.10, se u ´e limitada, S 6= ∅;
2. S pode ser vazio; exemplo: un= n;
3. Se u for convergente, S ´e um conjunto singular (isto ´e, s´o com um elemento). 4. S pode ser singular e u n˜ao ser convergente; exemplo:
un =
( 1
n, se n par
n, se n ´ımpar.
5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucess˜ao 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
ent˜ao S =N.
Teorema 1.3.11 O conjunto dos sublimites de uma sucess˜ao limitada tem m´aximo e m´ınimo.
Defini¸c˜ao 1.3.11 Sejam u uma sucess˜ao limitada e S o conjunto dos sublimites de u.
Chama-se limite m´aximo ou limite superior de u ao m´aximo de S e representa-se
lim un = lim sup un = max(S). Chama-se limite m´ınimo ou limite inferior de u
ao m´ınimo de S e representa-se lim un = lim inf un = min(S). Se u n˜ao for limitada
superiormente, define-se lim un = +∞. Se u n˜ao for limitada inferiormente, define-se
lim un =−∞. Se un → +∞ define-se lim un = lim un = +∞. Se un → −∞ define-se
lim un = lim un =−∞.
Defini¸c˜ao 1.3.12 Uma sucess˜ao u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se
∀ε > 0 ∃p ∈ N : m, n > p ⇒ |un− um| < ε.
EXEMPLO: un =
1
n ´e sucess˜ao de Cauchy. De facto, sejam m, n > p; ent˜ao
¯ ¯1 n − 1 m ¯ ¯ ≤ 1 n + 1 m < 1 p+ 1 p = 2
p. Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p >
2
ε.
NOTA: Na defini¸c˜ao de sucess˜ao convergente, introduzimos um elemento externo `a su-cess˜ao, o limite. A sucess˜ao converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucess˜ao “est˜ao perto” do limite. Na defini¸c˜ao de sucess˜ao de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucess˜ao uns com os outros. Dizemos que a sucess˜ao ´e de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucess˜ao “est˜ao perto” uns dos outros. Teorema 1.3.13 Uma sucess˜ao real ´e convergente se, e s´o se, for de Cauchy.
NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucess˜ao ´e convergente sem ter que calcular o seu limite. Consideremos a sucess˜ao:
un = 1 + 1 22 + 1 32 +· · · + 1 n2
Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; ent˜ao
|un− um| = ¯ ¯ 1 (m + 1)2 + 1 (m + 2)2 +· · · + 1 n2 ¯ ¯= 1 (m + 1)2 + 1 (m + 2)2 +· · · + 1 n2 ≤ ≤ 1 m(m + 1)+ 1 (m + 1)(m + 2)+· · · + 1 (n− 1)n = =µ 1 m − 1 m + 1 ¶ + µ 1 m + 1− 1 m + 2 ¶ +· · · µ 1 n− 1− 1 n ¶ = 1 m − 1 n ≤ 1 m Se p > 1
ε e n≥ m > p, obtemos |un− um| < ε pelo que a sucess˜ao ´e de Cauchy, portanto
Cap´ıtulo 2
Fun¸c˜
oes Reais de Vari´
avel Real:
Limites e Continuidade
2.1
Generalidades sobre fun¸c˜
oes reais de vari´
avel real
Defini¸c˜ao 2.1.1
a) Dados dois conjuntos A e B chama-se fun¸c˜ao definida em A com valores em B, a
toda a correspondˆencia entre A e B que a cada elemento de A fa¸ca corresponder um e um s´o elemento de B. Ao conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸c˜ao.
b) Representa-se a fun¸c˜ao por y = f (x) em que x ´e a vari´avel independente e toma
valores em A (x∈ A) e y ´e a vari´avel dependente, pois os seus valores dependem
dos valores que toma a vari´avel x, que toma valores em B (y∈ B).
c) `A express˜ao ou f´ormula que traduz o modo como a vari´avel y depende da vari´avel x
chama-se express˜ao anal´ıtica ou representa¸c˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao f .
d) Uma fun¸c˜ao f diz-se real de vari´avel realquando A⊂ R e B ⊂ R.
Defini¸c˜ao 2.1.2 Seja f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real.
a) Chama-se dom´ınio de defini¸c˜ao ou de existˆencia de f ao conjunto dos valores
reais que tˆem imagem pela fun¸c˜ao f , isto ´e, ao conjunto dos n´umeros reais para os
quais a express˜ao anal´ıtica de f est´a bem definida.
b) Chama-se contradom´ınio de f ao conjunto dos valores reais que s˜ao imagem pela fun¸c˜ao f dos elementos do dom´ınio.
Defini¸c˜ao 2.1.3 Dada uma fun¸c˜ao f : D ⊂ R → R, chama-se gr´afico da fun¸c˜ao f ao
conjunto
Defini¸c˜ao 2.1.4 Uma fun¸c˜ao f : D ⊂ R → R diz-se:
a) crescente se x < y =⇒ f(x) ≤ f(y).
b) estritamente crescente se x < y =⇒ f(x) < f(y).
c) decrescente se x < y =⇒ f(x) ≥ f(y).
d) estritamente decrescente se x < y =⇒ f(x) > f(y).
Defini¸c˜ao 2.1.5 Uma fun¸c˜ao diz-se
a) mon´otona se ´e crescente ou decrescente.
b) estritamente mon´otona se ´e estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Defini¸c˜ao 2.1.6 Uma fun¸c˜ao f : D ⊂ R → R diz-se:
a) par se f (x) = f (−x), ∀x ∈ D.
b) ´ımpar se f (x) = −f(−x), ∀x ∈ D.
Defini¸c˜ao 2.1.7 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) ´e um m´aximo de f
se f (x)≤ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´aximo.
Defini¸c˜ao 2.1.8 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) ´e um m´ınimo de f
se f (x)≥ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´ınimo.
Estes valores tˆem a designa¸c˜ao comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra as defini¸c˜oes anteriores.
2.1 Generalidades sobre fun¸c˜oes reais de vari´avel real 15
Defini¸c˜ao 2.1.9 Uma fun¸c˜ao f : D⊂ R → R diz-se limitada se
∃M ∈ R+:|f(x)| ≤ M, ∀x ∈ D.
Por outras palavras, f ´e fun¸c˜ao limitada se o seu contradom´ınio ´e um conjunto limi-tado.
Defini¸c˜ao 2.1.10 Chamam-se zeros da fun¸c˜ao f os elementos x do dom´ınio tais que
f (x) = 0.
Defini¸c˜ao 2.1.11 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. A restri¸c˜ao de f a A, designada
por f|A, ´e a aplica¸c˜ao de A em R tal que f|A(x) = f (x) para cada x∈ A.
Defini¸c˜ao 2.1.12 Uma fun¸c˜ao f : D⊂ R → B ⊂ R diz-se:
a) injectiva se x6= y =⇒ f(x) 6= f(y).
b) sobrejectiva se ∀y ∈ B, ∃x ∈ D : f(x) = y.
2.2
Limites. Limites relativos
Defini¸c˜ao 2.2.1 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f. Diz-se
que b ´e limite de f no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se lim
x→af (x) = b, se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f(x) − b| < δ. Em termos de vizinhan¸cas: lim x→af (x) = b⇔ ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a)∩ D ⇒ f(x) ∈ Vδ(b).
A Figura 2.2 sugere a interpreta¸c˜ao geom´etrica de lim
x→af (x) = b.
x
y a b-d b+d b a-e a+eFigura 2.2: Interpreta¸c˜ao geom´etrica de lim
x→af (x) = b.
Defini¸c˜ao 2.2.2 Seja f : D⊂ R → R e suponhamos que D n˜ao ´e majorado. Diz-se que
o limite de f quando x→ +∞ ´e b se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x > 1
ε ⇒ |f(x) − b| < δ
e escreve-se lim
x→+∞f (x) = b.
Defini¸c˜ao 2.2.3 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D n˜ao ´e minorado. Diz-se que
o limite de f quando x→ −∞ ´e b se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x < −1
ε ⇒ |f(x) − b| < δ
e escreve-se lim
2.2 Limites. Limites relativos 17
Defini¸c˜ao 2.2.4 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f. Diz-se
que o limite de f em a ´e +∞ se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f(x) > 1
δ e escreve-se lim
x→af (x) = +∞.
Defini¸c˜ao 2.2.5 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f. Diz-se
que o limite de f em a ´e −∞ se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f(x) < −1
δ e escreve-se lim
x→af (x) =−∞.
NOTA: As defini¸c˜oes de lim
x→+∞f (x) = +∞, limx→−∞f (x) = +∞, limx→+∞f (x) = −∞ e
lim
x→−∞f (x) = −∞, podem dar-se de forma an´aloga. Em todo o caso, se tivermos em
conta a defini¸c˜ao de vizinhan¸ca emR (ver p´agina 9), podemos unificar todas as defini¸c˜oes
do seguinte modo: se a, b∈ R, diz-se que lim
x→af (x) = b se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a)∩ D ⇒ f(x) ∈ Vδ(b).
Teorema 2.2.1 Se f : D⊂ R → R e a ∈ R ´e um ponto aderente a D, ent˜ao lim
x→af (x) = b
se, e s´o se, para cada sucess˜ao (xn) de limite a, (xn) ⊂ D, a sucess˜ao (f(xn)) tem por
limite b.
NOTA: Observe-se que n˜ao exigimos que a seja ponto de acumula¸c˜ao de D. Se a ´e ponto
isolado de D ent˜ao f tem limite igual a f (a) quando x→ a. De facto, as ´unicas sucess˜oes
de pontos do dom´ınio que tendem para a s˜ao as sucess˜oes que, a partir de certa ordem, s˜ao constantemente iguais a a.
Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, ´e ´unico.
NOTAS:
1. Este teorema permite-nos usar a express˜ao “b ´e o limite de f (x) quando x tende para a”, em vez de “b ´e limite de f (x) quando x tende para a” e permite que se use a nota¸c˜ao lim
x→af (x) = b.
2. Se a ∈ D (isto ´e, f est´a definida em a), o limite b, se existe, coincide com f(a).
Com efeito, neste caso, a verifica as condi¸c˜oes a ∈ D e |a − a| < ε ∀ε > 0, o que
implica que |f(a) − b| < δ, ∀δ > 0, ou seja, f(a) = b.
EXEMPLO: Consideremos a fun¸c˜ao f :R → R definida por
f (x) = ½
x2, se x6= 0
1, se x = 0
Figura 2.3
N˜ao existe lim
x→0f (x). Como o dom´ınio de f ´eR o limite, se existisse teria de ser igual
a f (0), como vimos na observa¸c˜ao anterior. Ter´ıamos ent˜ao de provar que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x| < ε ⇒ |f(x) − 1| < δ.
Mas, se δ = 12, qualquer que seja ε > 0, existe sempre x tal que |x| < ε e f(x) < 12, o
que implica que |f(x) − 1| > 1
2.
Teorema 2.2.3 Se lim
x→af (x) = b e limx→ag(x) = c ent˜ao:
a) lim x→a [f (x) + g(x)] = b + c; b) lim x→a [f (x)− g(x)] = b − c; c) lim x→a [f (x)g(x)] = b c; d) Se c6= 0, lim x→a f (x) g(x) = b c. Teorema 2.2.4 Se lim
x→af (x) = 0 e g ´e uma fun¸c˜ao limitada numa vizinhan¸ca de a ent˜ao
lim
x→a[f (x)g(x)] = 0.
NOTA: O facto de g ser limitada ´e essencial. Por exemplo, se f (x) = x e g(x) = 1
x,
lim
x→0f (x)g(x) = 16= 0, o que n˜ao contradiz o teorema, visto g n˜ao ser limitada.
Teorema 2.2.5 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se
lim
2.2 Limites. Limites relativos 19
Defini¸c˜ao 2.2.6 Sejam f : D ⊂ R → R e B um subconjunto pr´oprio de D (isto ´e,
B ⊂ D e B 6= D). Suponhamos que a ´e um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limite
b, quando x tende para a, segundo B, ou que b ´e o limite relativo a B de f quando x tende para a, se o limite da restri¸c˜ao de f a B quando x tende para a ´e b. Designa-se este limite por
lim
x → a x ∈ B
f (x) = b ou lim
x→a, x∈Bf (x) = b.
S˜ao importantes os limites relativos que se seguem:
1. B = D \ {a}. Diz-se ent˜ao que f(x) tende para b quando x tende para a por
valores diferentesde a:
lim
x → a x 6= a
f (x) = b.
2. B = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Neste caso escreve-se
lim x → a x < a f (x) = b ou lim x→a−f (x) = b ou f (a −) = b
e diz-se limite `a esquerda de f no ponto a.
3. B = {x : x ∈ D ∧ x > a}. Neste caso escreve-se
lim x → a x > a f (x) = b ou lim x→a+f (x) = b ou f (a +) = b
e diz-se limite `a direita de f no ponto a.
Os limites `a esquerda e `a direita recebem a designa¸c˜ao comum de limites laterais. Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumula¸c˜ao de B. NOTAS:
1. lim
x→a−f (x) = limx→a+f (x) = b ⇔ limx → a
x 6= a
f (x) = b. Mas pode existir s´o um dos limites
laterais (ou os dois com valores distintos) sem que exista lim
x → a x 6= a
f (x). 2. lim
x→a−f (x) = limx→a+f (x) = b n˜ao implica que limx→af (x) = b a n˜ao ser que f (a) = b. No
exemplo da p´agina 17, f (0−) = f (0+) = 0 e f (0) = 1.
3. lim
x → a x 6= a
f (x) n˜ao se distingue de lim
x→af (x) quando a 6∈ D, devendo ent˜ao a ser ponto
EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸c˜ao f : R → R definida por f (x) = ½ 0, se x < 2 1, se x ≥ 2 (ver Figura 2.4) Figura 2.4
Verifica-se que lim
x→2−f (x) = 0 e limx→2+f (x) = 1. Portanto, x → 2lim
x 6= 2
f (x) n˜ao existe, e consequentemente, tamb´em n˜ao existe lim
x→2f (x).
Se a < 2 ent˜ao lim
x→a+f (x) = limx→a−f (x) = limx→af (x) = limx → a
x 6= a
f (x) = 0. Se a > 2 ent˜ao lim
x→a+f (x) = limx→a−f (x) = limx→af (x) = limx → a
x 6= a
f (x) = 1.
EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸c˜ao f : R → R definida por
f (x) =½ |x − 4|, se x 6= 4
2, se x = 4
(ver Figura 2.5)
2.2 Limites. Limites relativos 21
Verifica-se que lim
x→4−f (x) = 0 e limx→4+f (x) = 0. Portanto, x → 4lim
x 6= 4 f (x) = 0, mas n˜ao existe lim x→4f (x) porque f (4) = 26= 0. EXEMPLO 3: EmR temos: a) lim x→a− 1 x− a =−∞ e limx→a+ 1 x− a = +∞; limx→a 1 x− a n˜ao existe. b) lim x→a− 1 (x− a)2 = +∞ e limx→a+ 1 (x− a)2 = +∞; limx→a 1 (x− a)2 = +∞. c) lim x→+∞ 1 x = 0 = limx→−∞ 1 x. d) lim x→0+(1 + x) 1 x = lim y→+∞ µ 1 + 1 y ¶y = e.
Teorema 2.2.6 Seja f : D ⊂ R → R uma fun¸c˜ao mon´otona limitada. Ent˜ao existem os
limites laterais f (a−) e f (a+) em todo o ponto a onde esses limites possam ser definidos.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, por exemplo, que f ´e crescente. Seja
A ={x : x ∈ D ∧ x < a}.
Se a ∈ A queremos provar que existe f(a−), isto ´e, queremos provar que existe um
b∈ R tal que ∀δ > 0 ∃ε > 0 |x−a| < ε ∧ x < a ⇒ |f(x)−b| < δ. Como, por hip´otese, f
´e limitada, isto ´e, f (D) ´e um conjunto limitado e A⊂ D, temos que f(A) ´e um conjunto
limitado. Pelo Teorema 1.1.2, f (A) tem supremo. Seja b = sup f (A) = sup
x∈A
f (x). Pelo Teorema 1.1.3,
∀δ > 0 ∃x0 ∈ A : f(x0) > b− δ.
Como f ´e crescente
f (x)≥ f(x0) > b− δ ∀x ∈]x0, a[ ∩ A.
Podemos ent˜ao escrever
|f(x) − b| < δ ∀x : x ∈ A ∧ |x − a| < a − x0.
Fazendo ε = a− x0, conclu´ımos que
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ A ∧ |x − a| < ε ⇒ |f(x) − b| < δ, isto ´e, lim
x→a−f (x) = b.
Para provar que existe f (a+) considera-se o inf
x ∈ D x > a f (x) e conclui-se que f (a+) = inf x ∈ D x > a f (x).
Teorema 2.2.7 ´E condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que f tenha limite finito no ponto a que
2.3 Continuidade: propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano 23
2.3
Continuidade: propriedades das fun¸c˜
oes
cont´ı-nuas. Teorema de Bolzano
Defini¸c˜ao 2.3.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Diz-se que f ´e cont´ınua em a se
existir lim
x→af (x).
Como vimos anteriormente, o facto de a∈ D implica que lim
x→af (x) = f (a). Podemos
escrever f ´e cont´ınua em a se
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f(x) − f(a)| < δ, ou, em termos de vizinhan¸cas
∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a)∩ D ⇒ f(x) ∈ Vδ(f (a)).
Os pontos em que uma fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua dizem-se pontos de descontinuidade.
Defini¸c˜ao 2.3.2 Sejam f : D⊂ R → R e a ∈ D.
a) f ´e cont´ınua `a esquerda em a se f (a−) = lim
x→a−f (x) = f (a).
b) f ´e cont´ınua `a direita em a se f (a+) = lim
x→a+f (x) = f (a).
NOTAS:
1. Se f for cont´ınua `a esquerda e `a direita no ponto a ent˜ao f ´e cont´ınua em a. 2. Se a for um ponto isolado, resulta da defini¸c˜ao que f ´e cont´ınua em a.
Teorema 2.3.1 Toda a fun¸c˜ao constante ´e cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente:
Teorema 2.3.2 Se f e g s˜ao cont´ınuas no ponto a ent˜ao f + g, f− g e fg s˜ao cont´ınuas
nesse ponto; se g(a)6= 0 ent˜ao tamb´em f
g ´e cont´ınua em a.
Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz:
Teorema 2.3.3 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se g ´e
cont´ınua no ponto t0 e f ´e cont´ınua no ponto x0 = g(t0), ent˜ao f ◦ g ´e cont´ınua em t0.
Defini¸c˜ao 2.3.3 Uma fun¸c˜ao f diz-se cont´ınua no conjunto B ⊂ D se ´e cont´ınua
Teorema 2.3.4 (Teorema do valor interm´edio de Bolzano)
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f (a) 6=
f (b). Ent˜ao, qualquer que seja o n´umero k estritamente compreendido entre f (a) e f (b),
existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f (c) = k. Demonstra¸c˜ao: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos o
intervalo [a, b]. Como f (a) 6= f(b) teremos f(a) < f(b) ou f(a) > f(b). Admitamos que
f (a) < f (b). Seja k tal que f (a) < k < f (b).
Seja o conjunto C = {x : x ∈ [a, b] ∧ f(x) < k}. Como f(a) < k, a ∈ C, pelo que
C 6= ∅. Visto que b ´e um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existe
c = sup C. Como C ⊂ [a, b], c ∈ [a, b]. Dado que f ´e cont´ınua em [a, b] e c ´e aderente a
C, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular, lim
x→cf (x) = limx → c
x ∈ C
f (x) = f (c).
Mas se x∈ C, f(x) < k, o que implica que lim
x→cf (x) = limx → c
x ∈ C
f (x)≤ k, donde
f (c)≤ k (2.1)
Por outro lado, c ´e um ponto aderente a [a, b]\ C. Como b ∈ [a, b] \ C este conjunto ´e
n˜ao vazio e
lim
x→cf (x) = x → clim
x ∈ [a, b] \ C
f (x) = f (c).
Mas se x∈ [a, b] \ C, ent˜ao f(x) ≥ k, o que implica que
lim x→cf (x) = x → clim x ∈ [a, b] \ C f (x)≥ k, donde f (c)≥ k. (2.2) De (2.1) e (2.2) conclui-se que f (c) = k.
NOTA: Se f n˜ao for cont´ınua em [a, b], pode existir k ∈ [f(a), f(b)] tal que 6 ∃c ∈ [a, b] :
f (c) = k (ver Figura 2.6).
EXEMPLO: Seja f (x) = x3 − x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar que
existe c tal que f (c) = 10. De facto, como f ´e cont´ınua em R podemos considerar a sua
2.3 Continuidade: propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano 25
x
b
a
f(a)
f(b)
k
y
Figura 2.6Corol´ario 1 Se f ´e cont´ınua em [a, b] e f (a)· f(b) < 0, ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que
f (c) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Podemos supor, sem perda de generalidade, que f (a) < 0 e f (b) > 0. Ent˜ao f (a) < 0 < f (b). Como f ´e cont´ınua em [a, b], o teorema anterior permite afirmar
que ∃c ∈]a, b[: f(c) = 0.
Corol´ario 2 A imagem de um intervalo, por uma fun¸c˜ao cont´ınua, ´e tamb´em um
inter-valo.
Demonstra¸c˜ao: Seja f : I ⊂ R → R. Se f(x) = c, ∀x ∈ I, isto ´e, se f ´e constante, o seu
contradom´ınio reduz-se a um ponto, intervalo do tipo [c, c], n˜ao havendo, portanto, nada mais a provar.
Como facilmente se verifica, um conjunto J que contenha, pelo menos, dois pontos, ´e um intervalo se, e s´o se, verifica a propriedade:
α, β ∈ J ∧ α < β =⇒ [α, β] ⊂ J
que ´e ainda equivalente a:
α, β ∈ J ∧ α < k < β =⇒ k ∈ J.
Suponhamos que f n˜ao ´e constante, que α, β ∈ f(I) e α < k < β; por defini¸c˜ao,
existem a, b ∈ I tais que α = f(a) < k < f(b) = β. Pelo Teorema de Bolzano existe c,
estritamente compreendido entre a e b (portanto, c∈ I), tal que f(c) = k, isto ´e, k ∈ f(I).
NOTA: O intervalo f (I) pode ser de tipo diferente do intervalo I como se pode ver nos seguintes exemplos:
1) f :]− ∞, +∞[→ [−1, 1], f(x) = sen(x)
2) f :]− ∞, +∞[→]0, 1], f(x) = 1
x2+ 1
3) f :]− π2,π2[→] − ∞, +∞[, f(x) = tg(x)
Teorema 2.3.5 (Teorema de Weierstrass)
Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo fechado e limitado I, ent˜ao f (I) ´e tamb´em um intervalo fechado e limitado.
Demonstra¸c˜ao: Pelo Corol´ario 2 do Teorema de Bolzano sabemos que f (I) ´e um intervalo. Resta-nos ent˜ao provar que ´e fechado e limitado. Dividimos a demonstra¸c˜ao em duas partes.
2.3 Continuidade: propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano 27
a) f (I) ´e limitado. b) f (I) ´e fechado.
a) Suponhamos que f (I) n˜ao ´e limitado. Ent˜ao para cada n∈ N existe xn∈ I tal que
|f(xn)| ≥ n. Como I ´e limitado a sucess˜ao (xn) tamb´em ´e limitada, portanto, (xn) tem
uma subsucess˜ao (xnk) convergente (Teorema 1.3.10). Seja x = lim
n f (xnk); x∈ I porque
I ´e fechado. Visto que f ´e cont´ınua, lim
n f (xnk) = f (x), mas esta conclus˜ao ´e incompat´ıvel
com a suposi¸c˜ao |f(xn)| ≥ n ∀n ∈ N (Teorema 1.3.4)
b) Temos de provar que existem x0 e x1 ∈ I tais que f(x0) = sup
x∈I
f (x) e f (x1) =
inf
x∈If (x).
Suponhamos que n˜ao existe x0 ∈ I tal que f(x0) = sup
x∈I
f (x), isto ´e, L = sup
x∈I
f (x) n˜ao
´e atingido. Ent˜ao L− f(x) 6= 0, ∀x ∈ I. Portanto,
g(x) = 1
L− f(x)
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em I. Prov´amos em a) que toda a fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo limitado ´e limitada o que implica que g ´e limitada.
Pelo Teorema 1.1.3 temos que
∀δ > 0 ∃c ∈ I : f(c) > L − δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : L − f(c) < δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : g(c) = L 1 − f(c) > 1 δ
o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existˆencia de x1 ∈ I
tal que f (x1) = inf
x∈If (x). Portanto, f (I) ´e fechado.
Corol´ario 1 Toda a fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo fechado e limitado tem, nesse
inter-valo, um m´aximo e um m´ınimo. NOTAS:
1. Os dois resultados anteriores mantˆem-se v´alidos se substituirmos “intervalo fechado limitado” por “conjunto fechado limitado n˜ao vazio”.
2. A hip´otese intervalo (ou conjunto) fechado ´e necess´aria como se pode ver pelos exemplos seguintes:
1) Seja f (x) = x. f ´e cont´ınua em ]− 1, 1[ e n˜ao tem nesse intervalo m´aximo nem
m´ınimo.
2) A fun¸c˜ao g(x) = ( 1
x, se x 6= 0
0, se x = 0 ´e cont´ınua em ]0, 1], mas n˜ao tem m´aximo
3) A fun¸c˜ao h(x) = 1
xsen
µ 1 x
¶
´e cont´ınua em ]0, 1] e n˜ao tem m´aximo nem m´ınimo nesse intervalo.
Teorema 2.3.6 Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e injectiva num intervalo I, ent˜ao a fun¸c˜ao inversa ´e tamb´em cont´ınua.
Defini¸c˜ao 2.3.4 Sejam F e f duas fun¸c˜oes de dom´ınios DF e Df, respectivamente.
Diz--se que F ´e um prolongamento de f se Df ⊂ DF e F (x) = f (x), ∀x ∈ Df.
Defini¸c˜ao 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (dom´ınio de f ). Diz-se que f ´e
pro-long´avel por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , com
dom´ınio D∪ {a}, sendo F cont´ınua em a.
Teorema 2.3.7 Para que uma fun¸c˜ao f seja prolong´avel por continuidade ao ponto a, ´e necess´ario e suficiente que tenha limite nesse ponto.
Existindo o limite, o prolongamento por continuidade ´e a fun¸c˜ao
g : Df ∪ {a} → R g(x) = ( f (x), se x∈ Df lim x→af (x), se x = a
EXEMPLO: Consideremos a fun¸c˜ao f : R \ {0} → R definida por f(x) = sen(x)
x (ver
Figura 2.7). Sabemos que lim
x→0f (x) = 1.
Figura 2.7
Pelo teorema anterior f ´e prolong´avel por continuidade ao ponto 0 e o prolongamento
´e a fun¸c˜ao g :R → R definida por:
g(x) =
( sen(x)
x , se x6= 0
1, se x = 0
Defini¸c˜ao 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade remov´ıvel no ponto a se
2.3 Continuidade: propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas. Teorema de Bolzano 29 EXEMPLO: Seja f (x) = x2− 2x − 3 x− 3 , se x6= 3 3, se x = 3 Como lim x → 3 x 6= 3
f (x) = 4, f tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = 3. A fun¸c˜ao g(x) = x2− 2x − 3 x− 3 , se x6= 3 4, se x = 3
2.4
Continuidade uniforme
Seja f uma fun¸c˜ao definida e cont´ınua em D⊂ R. Por defini¸c˜ao de continuidade sabemos
que para cada x0 ∈ D se tem
∀δ > 0 ∃ε > 0 x ∈ D ∧ |x − x0| < ε ⇒ |f(x) − f(x0)| < δ.
Sabemos tamb´em que para um δ > 0 e x0 ∈ D o ε > 0 que existe n˜ao ´e ´unico, pois se
0 < ε1 < ε ent˜ao |x − x0| < ε1 ⇒ |x − x0| < ε e, portanto,
|x − x0| < ε1 ⇒ |f(x) − f(x0)| < δ.
Seja δ > 0 um n´umero fixo. Consideremos o subconjunto de D formado pelos
pontos x1, x2, . . . , xk. Por defini¸c˜ao de continuidade sabemos que existe um conjunto
{ε1, ε2, . . . , εk}, εi > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k, tais que
x∈ D ∧ |x − x1| < ε1 ⇒ |f(x) − f(x1)| < δ
x∈ D ∧ |x − x2| < ε2 ⇒ |f(x) − f(x2)| < δ
...
x∈ D ∧ |x − xk| < εk ⇒ |f(x) − f(xk)| < δ.
Dado que ´e finito, o conjunto {ε1, ε2, . . . , εk} tem m´ınimo ε > 0. Para este valor s˜ao
verdadeiras as implica¸c˜oes:
x∈ D ∧ |x − xi| < ε ⇒ |f(x) − f(xi)| < δ, i = 1, 2, . . . , k,
isto ´e, conseguimos arranjar vizinhan¸cas “uniformes” (de amplitude 2ε) dos pontos x1,
x2, . . . , xkde tal modo que as imagens dos pontos dessas vizinhan¸cas est˜ao a uma distˆancia
inferior a δ do f (xi) correspondente.
E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seria ainda poss´ıvel, dado δ > 0,
escolher um n´umero ε > 0 nas condi¸c˜oes anteriores? A resposta ´e, em geral, negativa.
Vejamos um exemplo.
Seja f (x) = 1
x e D =]0, 2[ (veja-se a Figura 2.8).
2.4 Continuidade uniforme 31
Consideremos o conjunto {xn : xn =
1
n, n = 1, 2, 3, . . .} e seja δ > 0. Observando
a defini¸c˜ao de limite, para cada n, o maior εn que podemos tomar ´e εn =
δ n(n + δ)
(Figura 2.9). Ora inf{εn : εn=
δ
n(n + δ)} = 0, pelo que n˜ao existe ε > 0 tal que
|x − xn| < ε ⇒ |f(x) − f(xn)| < δ, n = 1, 2, 3, . . .
Conclu´ımos assim que dado δ > 0 n˜ao podemos escolher ε > 0 que, na defini¸c˜ao de
limite, seja v´alido simultaneamente para todos os xi, i = 1, 2, 3, . . ..
Defini¸c˜ao 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f ´e uniformemente
cont´ınua em A se
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ A, |x − y| < ε ⇒ |f(x) − f(y)| < δ.
EXEMPLO 1: A fun¸c˜ao f (x) = sen(x) ´e uniformemente cont´ınua em R, isto ´e, ´e
verda-deira a proposi¸c˜ao
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x − y| < ε ⇒ |sen(x) − sen(y)| < δ.
De facto, sendo δ > 0 bastar´a escolher ε = δ e sabendo que |sen(x)| ≤ |x| ∀x ∈ R
temos: |sen(x) − sen(y)| = ¯ ¯ ¯ ¯2 cos µ x + y 2 ¶ senµ x − y 2 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 2 ¯ ¯ ¯ ¯cos µ x + y 2 ¶¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯sen µ x − y 2 ¶¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 2 ¯ ¯ ¯ ¯sen µ x − y 2 ¶¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ x− y 2 ¯ ¯ ¯ ¯=|x − y|. EXEMPLO 2: A fun¸c˜ao f (x) = 1
x n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em ]0, 2[, como vimos
atr´as.
EXEMPLO 3: A fun¸c˜ao f (x) = x2 (Figura 2.10) n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em R,
isto ´e, ´e falsa a proposi¸c˜ao
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x − y| < ε ⇒ |x2− y2| < δ.
Da igualdade |x2− y2| = |x − y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar t˜ao
2.4 Continuidade uniforme 33
Figura 2.10
(basta pensar em pontos x e y cuja diferen¸ca seja sempre inferior a ε, mas que estejam arbitrariamente longe da origem).
Os gr´aficos da Figura 2.11 procuram ilustrar esta situa¸c˜ao.
EXEMPLO 4: Provemos, a partir da defini¸c˜ao, que a fun¸c˜ao f (x) = 7− x2 ´e
uniforme-mente cont´ınua em [−10, 1], isto ´e, que ´e verdadeira a proposi¸c˜ao
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1], |x − y| < ε ⇒ |7 − x2− (7 − y2)| < δ. Seja δ > 0. Como |7 − x2 − (7 − y2)| = | − x2+ y2| = |x − y||x + y| ≤ 20|x − y|, teremos |x − y| < ε ⇒ |7 − x2− (7 − y2)| < δ se ε < δ 20.
Defini¸c˜ao 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f ´e lipschitziana em A
se
∃M > 0 : |f(x) − f(y)| ≤ M|x − y|, ∀x, y ∈ A.
Teorema 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Se f ´e lipschitziana em A, ent˜ao f ´e
uniformemente cont´ınua em A.
Demonstra¸c˜ao: Usando a defini¸c˜ao, basta tomar ε = δ
M.
EXEMPLO 1: A fun¸c˜ao f (x) = x2 ´e lipschitziana em [0, 1]. De facto,
|x2 − y2| = |x + y| |x − y| ≤ (|x| + |y|) |x − y| ≤ 2 |x − y| ∀x, y ∈ [0, 1].
A fun¸c˜ao ´e pois uniformemente cont´ınua em [0, 1]. Vimos atr´as que f (x) = x2 n˜ao ´e
uniformemente cont´ınua em R.
O facto da fun¸c˜ao ser uniformemente cont´ınua depende do conjunto. ´E claro que se
uma fun¸c˜ao for uniformemente cont´ınua num conjunto C ´e uniformemente cont´ınua em todos os subconjuntos de C.
EXEMPLO 2: Os c´alculos efectuados atr´as permitem-nos concluir que f (x) = 7− x2 ´e
lipschitziana em [−10, 1].
Teorema 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. f ´e uniformemente cont´ınua em A se,
e s´o se, para quaisquer sucess˜oes (xn) e (yn) de elementos de A tais que lim
n (xn− yn) = 0
se tem tamb´em lim
n (f (xn)− f(yn)) = 0.
EXEMPLO 1: Consideremos novamente a fun¸c˜ao f (x) = 1
x no intervalo ]0, 1]. Sejam
xn =
1
n e yn =
1
2.4 Continuidade uniforme 35 = limµ 1 n − 1 2n ¶ = lim 1
2n = 0. No entanto, lim(f (xn) − f(yn)) = lim(n − 2n) =
lim(−n) = −∞, o que implica, pelo teorema anterior, que f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua
no intervalo considerado.
EXEMPLO 2: Seja f (x) = x2. Considerando as sucess˜oes de n´umeros reais x
n =√n + 1 e yn =√n temos lim(xn− yn) = lim( √ n + 1−√n) = lim ( √ n + 1−√n)(√n + 1 +√n) (√n + 1 +√n) = lim √n + 1− n n + 1 +√n = 0 e
lim(f (xn)− f(yn)) = lim
¡
(√n + 1)2− (√n)2¢
= lim (n + 1− n) = 1,
portanto, f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em R como t´ınhamos visto.
´
E evidente que se f ´e uniformemente cont´ınua em A ent˜ao a restri¸c˜ao de f a A ´e cont´ınua em A. A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira, tendo-se, no entanto, o seguinte teorema: Teorema 2.4.3 (Teorema de Cantor)
Toda a fun¸c˜ao cont´ınua num conjunto fechado limitado ´e uniformemente cont´ınua. Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que f ´e cont´ınua, mas n˜ao uniformemente cont´ınua, em X, fechado limitado. Sendo falsa a proposi¸c˜ao
∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ X, |x − y| < ε ⇒ |f(x) − f(y)| < δ
podemos afirmar que existe δ > 0 tal que, para qualquer ε > 0, existem x, y ∈ X, para
os quais se verifica
|x − y| < ε ∧ |f(x) − f(y)| ≥ δ.
Fixemos ε nos valores ε1 = 1, ε2 = 12, . . . , εn = n1. Teremos ent˜ao
∃x1, y1 ∈ X : |x1− y1| < 1 ⇒ |f(x1)− f(y1)| ≥ δ
∃x2, y2 ∈ X : |x2− y2| < 12 ⇒ |f(x2)− f(y2)| ≥ δ
. . .
∃xn, yn ∈ X : |x2− y2| < n1 ⇒ |f(xn)− f(yn)| ≥ δ.
Como (xn) ´e uma sucess˜ao de elementos de X e este conjunto ´e limitado podemos
convergente para um certo x∈ R; al´em disso, x ∈ X porque X ´e fechado. Mas |xnk−ynk| <
1
nk
, o que implica que ynk → x. Como f ´e cont´ınua em X temos
lim f (xnk) = lim f (ynk) = f (x),
o que implica que
lim (f (xnk)− f(ynk)) = 0,
o que contradiz
|f(xnk)− f(ynk)| ≥ δ > 0.
EXEMPLO: Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em R. Provemos que f ´e uniformemente
cont´ınua em todo o subconjunto limitado de R.
Seja A⊂ R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condi¸c˜oes do Teorema
de Cantor. Suponhamos que A n˜ao ´e fechado e l = inf(A) e L = sup(A). Consideremos o
intervalo [l, L]. ´E um subconjunto fechado limitado de R. Como f ´e cont´ınua em R, f ´e
cont´ınua em [l, L]. Pelo Teorema de Cantor, f ´e uniformemente cont´ınua nesse intervalo,
Cap´ıtulo 3
Fun¸c˜
oes Reais de Vari´
avel Real:
C´
alculo Diferencial
3.1
Derivadas. Regras de deriva¸c˜
ao.
Defini¸c˜ao 3.1.1 Sejam f : D⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada
de f no ponto a ao limite, se existir (em R),
lim
x→a
f (x)− f(a)
x− a
ou, fazendo x− a = h, lim
h→0
f (a + h)− f(a)
h ·
Designa-se a derivada de f no ponto a por f0(a) ou df
dx(a). Se f tem derivada finita no
ponto a, diz-se que f ´e diferenci´avel em a.
Designando por P e Qi, i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do gr´afico de f que
tˆem abcissas a e xi, a raz˜ao
f (xi)− f(a)
xi− a
´e o declive da recta P Qi, secante ao gr´afico de f (veja-se a Figura 3.1).
Se f ´e diferenci´avel no ponto a, chama-se tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f (a))
`a recta que passa por este ponto e tem declive igual a f0(a); a recta tangente ter´a ent˜ao
a equa¸c˜ao:
y = f (a) + f0(a)(x− a).
Defini¸c˜ao 3.1.2 Sejam f : D⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada
`
a esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R),
lim
x→a−
f (x)− f(a)
Figura 3.1: Interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada. ou, fazendo x− a = h, lim h→0− f (a + h)− f(a) h , e designa-se por f0(a−).
Chama-se derivada `a direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R),
lim x→a+ f (x)− f(a) x− a ou, fazendo x− a = h, lim h→0+ f (a + h)− f(a) h , e designa-se por f0(a+).
NOTA: ´E evidente que f0(a) existe se, e s´o se, existem e s˜ao iguais f0(a+) e f0(a−).
EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸c˜ao f : R → R definida por
f (x) =|x| =
½
x, se x≥ 0
−x, se x < 0 cujo gr´afico se apresenta na Figura 3.2.
f0(0+) = lim x→0+ f (x)− f(0) x− 0 = limx→0+ x x = 1; f0(0−) = lim x→0− f (x)− f(0) x− 0 = limx→0− −x x =−1.
3.1 Derivadas. Regras de deriva¸c˜ao. 39
Figura 3.2
EXEMPLO 2: A fun¸c˜ao f :R → R definida por
f (x) = ( x sen¡1 x ¢ , se x 6= 0 0, se x = 0
n˜ao tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a fun¸c˜ao definida por
f (x)− f(0) x− 0 = x sen¡1 x ¢ x = sen µ 1 x ¶
n˜ao tem limite quando x→ 0, n˜ao existindo sequer limites laterais.
Figura 3.3
EXEMPLO 3: A fun¸c˜ao f :R → R definida por f(x) = √3x (ver Figura 3.4) tem derivada
f0(0+) = lim x→0+ 3 √ x x = x→0lim+ 3 r x x3 = x→0lim+ 1 3 √ x2 = +∞ f0(0−) = lim x→0− 3 √ x x = x→0lim− 3 r x x3 = x→0lim− 1 3 √ x2 = +∞
f n˜ao ´e, pois, diferenci´avel em 0.
Figura 3.4
EXEMPLO 4: A fun¸c˜ao f : R → R definida por f(x) = √3x2, e cujo gr´afico se apresenta
na Figura 3.5, n˜ao tem derivada em 0. De facto,
f0(0+) = lim x→0+ 3 √ x2 x = x→0lim+ 3 r x2 x3 = x→0lim+ 1 3 √ x = +∞ f0(0−) = lim x→0− 3 √ x2 x = x→0lim− 3 r x2 x3 = x→0lim− 1 3 √ x = −∞ Figura 3.5
3.1 Derivadas. Regras de deriva¸c˜ao. 41
Teorema 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Se f ´e diferenci´avel
no ponto a, ent˜ao f ´e cont´ınua em a.
Demonstra¸c˜ao: Podemos escrever f (x) = f (a) + (x− a) f (x)− f(a)
x− a ∀x ∈ D \ {a}.
Ent˜ao lim
x→af (x) = limx→a
µ
f (a) + (x− a) f (x)− f(a)
x− a
¶
= f (a) + 0.f0(a) = f (a),
ou seja, f ´e cont´ınua no ponto a. NOTAS:
1. Uma fun¸c˜ao pode ser cont´ınua num dado ponto e n˜ao ter derivada nesse ponto (ver o exemplo anterior).
2. Se a derivada for infinita, a fun¸c˜ao pode n˜ao ser cont´ınua.
Teorema 3.1.2 Se f e g s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis em a, ent˜ao f + g e f· g s˜ao fun¸c˜oes
diferenci´aveis em a, e
(f + g)0(a) = f0(a) + g0(a)
(f · g)0(a) = f0(a)· g(a) + f(a) · g0(a).
Se, al´em disso, g(a)6= 0, ent˜ao f/g ´e diferenci´avel em a e
µ f g
¶0
(a) = f0(a)· g(a) − f(a) · g0(a)
(g(a))2 .
Demonstra¸c˜ao: Sendo finitas as derivadas f0(a) e g0(a), teremos no caso da soma:
(f + g)0(a) = lim x→a (f + g)(x)− (f + g)(a) x− a = lim x→a f (x) + g(x)− f(a) − g(a) x− a = lim x→a µ f(x) − f(a) x− a + g(x)− g(a) x− a ¶ = lim x→a f (x)− f(a) x− a + limx→a g(x)− g(a) x− a = f0(a) + g0(a)
Para o produto, temos (f · g)0(a) = lim x→a (f · g)(x) − (f · g)(a) x− a = lim x→a f (x)· g(x) − f(a) · g(a) x− a = lim x→a
f (x)· g(x) − f(a) · g(x) + f(a) · g(x) − f(a) · g(a)
x− a
= lim
x→a
(f (x)− f(a)) · g(x) + f(a) · (g(x) − g(a))
x− a = lim x→a µ g(x)· f (x)− f(a) x− a + f (a)· g(x)− g(a) x− a ¶ = lim
x→ag(x)· limx→a
f (x)− f(a)
x− a + f (a)· limx→a
g(x)− g(a)
x− a
= g(a)· f0(a) + f (a)· g0(a)
onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade no mesmo ponto.
Finalmente, para o quociente podemos come¸car por considerar o caso particular de f ser a fun¸c˜ao constante com o valor 1 em todos os pontos do seu dom´ınio. Obtemos ent˜ao:
µ 1 g ¶0 (a) = lim x→a µ 1 g ¶ (x)−µ 1 g ¶ (a) x− a = limx→a 1 g(x)− 1 g(a) x− a = lim x→a g(a)− g(x) g(x)· g(a) x− a = limx→a g(x)− g(a) x− a · µ − 1 g(x)· g(a) ¶ = − 1
g(a) · limx→a
1 g(x)· limx→a g(x)− g(a) x− a =− 1 g(a) · 1 g(a) · g 0(a) = − g0(a) (g(a))2.
Portanto, notando que f
g = f ·
1
3.1 Derivadas. Regras de deriva¸c˜ao. 43 µ f g ¶0 (a) = f0(a)·µ 1 g ¶ (a) + f (a)·µ 1 g ¶0 (a)
= f0(a)· g(a) − f(a) · g0(a)
(g(a))2 .
Corol´ario 1 Se f1, f2, . . . , fp s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis no ponto a, a sua soma e o seu
produto tamb´em o s˜ao e verificam-se as igualdades:
(f1+ f2 +· · · + fp)0(a) = f10(a) + f20(a) +· · · + fp0(a)
(f1· f2· · · fp)0(a) =
p
X
i=1
f1(a)· · · fi0(a)· · · fp(a).
Em particular, se p∈ N e f ´e diferenci´avel em a tamb´em o ´e a fun¸c˜ao h(x) = (f(x))p
e tem-se
h0(a) = p· (f(a))p−1· f0(a).
Teorema 3.1.3 Se g : E → R ´e diferenci´avel no ponto a e f : D → R ´e diferenci´avel no
ponto b = g(a), ent˜ao f ◦ g ´e diferenci´avel em a e
(f ◦ g)0(a) = f0(b)· g0(a) = f0(g(a))· g0(a).
Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I → R uma fun¸c˜ao estritamente mon´otona e
cont´ınua, g : J = f (I) → R a sua inversa. Se f ´e diferenci´avel no ponto a e f0(a) 6= 0,
ent˜ao g ´e diferenci´avel em b = f (a) e
g0(b) = 1
f0(a) =
1
f0(g(b)).
EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸c˜ao g(x) = arc sen(x), fun¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao f (x) =
sen(x) no intervalo [−π 2, π 2]. Teremos ent˜ao g0(x) = 1 f0(g(x)) = 1 cos(g(x)) = 1 cos(arc sen(x)) = 1 p
1− sen2(arc sen(x)) =
1 √
1− x2.
EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸c˜ao g(x) = arc cos(x), fun¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao f (x) = cos(x) no intervalo [0, π]. Teremos ent˜ao
g0(x) = 1 f0(g(x)) =− 1 sen(g(x)) =− 1 sen(arc cos(x)) = −p 1
1− cos2(arc cos(x)) =−
1 √
