Gentil Lopes - Algebra Linear (Comentado)

(1)

(2)

Pelo que temos constatado não é difícil encontrar

alunos que tenham cursado a disciplina álgebra linear e que,

ao término, não sabem o que é um vetor.

Dentre algumas possíveis explicações para este

paradoxo gostaria de destacar uma em especial: o

condicionamento. Com efeito, muitos alunos chegam nesta

disciplina condicionados, por seus estudos anteriores, a

imaginar que um vetor é um ente que possui módulo, direção e

sentido. Se isto é verdade na física na matemática é

integralmente falso.

Insistimos: na matemática um vetor não possui

módulo, não possui direção, não possui sentido.

Isto se deve a que as deﬁnições deste ente (vetor) são distintas

nestas duas disciplinas. Embora, através de um malabarismo os

vetores da física possam ser incluídos entre os vetores da

matemática (como um caso especial), os vetores desta última vão

muito mais além. A princípio são “pontos” em um espaço abstrato; e

pontos não possuem nem módulo (comprimento), nem direção e

nem sentido.

Alguns vetores da matemática:

Para estes vetores não existe módulo, direção e sentido.

Gentil, o iconoclasta

Contracapa

(3)

´

ALGEBRA LINEAR

(COMENTADO) Gentil, o iconoclasta 1a edi¸c˜ao Boa Vista-RR Edi¸c˜ao do autor 2016

(4)

Site do autor _{→ www.profgentil.com.br} email _{→ [email protected]}

Editora¸cão eletrônica e Diagrama¸cão: Gentil Lopes da Silva

Capa: Adriano J. P. Nascimento

Ficha Catalogr´afica S586a Silva, Gentil Lopes da

´

Algebra linear: Comentado/Gentil Lopes da Silva. -Manaus; Boa Vista-RR: Editora Uirapuru, 2016

x, 443 p. il. 16x23 cm [Formato e-book]

[Pseud^onimo: Gentil, o iconoclasta] ISBN 978-85-63979-09-4

1. Matem´atica. 2. Vetores

3. C´odigos 4. N´umeros complexos 5. Gentil, o iconoclasta. I. T´ıtulo.

CDU:512.5

(5)

Pref´

acio

Via de regra o que se faz em um prefácio é discorrer sobre o conteúdo da obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em razão de que o leitor, se assim o desejar, pode apreciar o conteúdo deste livro a partir do (extenso) sumário, dado logo a seguir. Aproveito este prefácio para fazer algumas elucubra¸cões incluindo a Matemática em si, as quais julgo de alguma relevância.

Este livro não nasceu de notas de sala de aula; é um livro de “fundo de quintal”, escrito em minha própria casa (a “uma mãos”, isto é, “eu e eu”), confesso que uma das motiva¸c˜oes para escrevê-lo foi meu v´ıcio em rela¸c˜ao ao processador de texto LA_{TEX 2ε e, em especial, pelo ambiente de figuras}

pspicture o qual utilizo como uma verdadeira terapia − em raz˜ao disto existe neste livro um n´umero excessivo de figuras.

Resumindo: pode-se dizer que tomei a decis˜ao de escrever este livro como um pretexto para desenhar figuras no LA_{TEX 2ε.}

Por outro lado, existem dezenas e dezenas de livros de Álgebra Linear em português (sem falar nos estrangeiros) dispon´ıveis para alunos e inte-ressados nesse importante ramo da matemática, sendo assim uma pergunta pertinente seria: por que mais um?

Respondo invocando uma analogia com a impressão digital. Assim como a impressão digital é única os in-div´ıduos são únicos, em particular os autores são únicos, o que implica dizer que suas obras são únicas; isto é, den-tre as centenas de livros de Álgebra Linear não existem dois iguais − ou ainda: todos os livros são distintos dois a dois; portanto o presente livro é único no sentido em que reflete minha individualidade.

Ademais, acreditamos _{− por várias razões − que o aluno de matemática} deva ter à sua disposi¸cão mais que um livro da disciplina que esteja apren-dendo. É dentro deste contexto que situa-se esta obra, ou seja: nela o aluno terá mais uma op¸cão para auxiliá-lo no seu aprendizado.

Por outro lado, acontece com as várias obras (livros) sobre um mesmo assunto o mesmo que acontece no universo da música; para uma mesma can¸cão podem existir dezenas de interpreta¸cões diferentes executadas por músicos distintos, não vejo nenhum mal nisto, pelo contrário é até salutar no sentido de nos disponibilizar um maior número de op¸cões.

Um aspecto relevante a ser ressaltado é quanto as demonstra¸cões matem´ a-ticas. Existem autores que preferem as demonstra¸cões mais curtas e ele-gantes; não é o meu caso, explico: para minha aprecia¸cão particular prefiro as mais curtas e elegantes, não obstante, como autor, digo, quando estou transmitindo uma ideia ao estudante a´ı é diferente no sentido de que a demonstra¸cão mais curta nem sempre é a mais didática e compreens´ıvel ao aluno.

(6)

Ademais, uma demonstra¸cão compacta não raro esconde (camufla) a interrela¸cão dos conceitos envolvidos, muitas vezes não mostra como as ideias estão interconectadas (imbrincadas); assim é que, por exemplo, uma demonstra¸cão de apenas três linhas em livros congêneres, aqui deliberada-mente a fazemos até em uma página inteira _{− dando ênfase à articula¸cão} dos conceitos envolvidos. Concordo integralmente com o pensamento do matemático Chaitin, expresso a seguir

Se uma prova é “elegante” , se for o resultado de duzentos anos de enjoado polimento, ela será tão inescrutável como uma direta revela¸cão divina, e será imposs´ıvel adivinhar como alguém poderia tê-la descoberto ou inventado. Ela não lhe fornecerá nenhum insight, nada,

provavel-mente nada em absoluto. (Gregory Chaitin/Metamat!)

Ainda com respeito à filosofia adotada neste livro, despendemos um es-for¸co considerável no sentido de conduzir o aluno `a compreensão das sutilezas

(imbrica¸cões) envolvidas num assunto abstrato como a Álgebra Linear ₋ da´ı o subt´ıtulo do livro “Comentado”−; existe uma grande diferen¸ca entre operar e compreender; por exemplo, o fato de alguém operar um controle remoto, celular ou software computacional, não significa que este alguém tenha compreensão dos mecanismos subjacentes à sua opera¸cão, exatamente da mesma forma muitas vezes acontece no que diz respeito à prática da matemática. Óbvio, ninguém precisa saber como funciona internamente um celular para usufruir de seus benef´ıcio; penso que é diferente para um estu-dante de matemática, qui¸cá futuro professor, é a este que esta observa¸cão se destina.

Alguns pr´e-requisitos ao estudo deste livro, como por exemplo, matrizes,

corpos e técnicas de demonstra¸cões matemáticas, foram reunidos em um

cap´ıtulo− o ´ultimo do livro − denominado de “Consultas”, para consultas e referˆencias.

Uma justificativa: Fazer a diagrama¸cão de um livro com textos ape-nas não é dif´ıcil, bastante dif´ıcil é a diagrama¸cão de um livro com muitas fórmulas e figuras, como é o caso do presente. Como se não bastasse, por razões didáticas, muitas vezes mi vi na situa¸cão de for¸car a que a explica¸cão de um determinado contexto ficasse em uma única página, ao invés de em duas páginas separadas; assim é que, para não desperdi¸car espa¸cos em branco, em algumas páginas tomei a decisão de colocar (registrar) algu-mas informa¸cões (“pensamentos”) notadamente nas áreas da matemática, f´ısica e filosofia_{− a escolha destes pensamentos reflete de certo modo} min-has inclina¸cões metaf´ısicas atuais, assim é que as julgo de alguma relevância.

Gentil, o iconoclasta Boa Vista-RR, 20 de fevereiro de 2016.

(7)

Sum´

ario

1 ESPAC¸ OS VETORIAIS 9

1.1 Introdu¸c˜ao: . . . 9

1.2 Espa¸cos Vetoriais . . . 12

1.2.1 Produto de Vetores . . . 42

1.2.2 Primeiras Propriedades num Espa¸co Vetorial . . . 43

1.2.3 Exerc´ıcios . . . 50

1.2.4 Subespa¸cos Vetoriais . . . 53

1.2.5 Soma de Subespa¸cos . . . 62

1.2.6 Combina¸c˜oes Lineares . . . 67

1.2.7 Espa¸cos Vetoriais Finitamente Gerados . . . 72

1.2.8 Exerc´ıcios . . . 74

2 BASE E DIMENS ˜AO 79 2.1 Dependˆencia Linear . . . 79

2.1.1 Exerc´ıcios . . . 87

2.1.2 Propriedades da Dependˆencia Linear . . . 89

2.2 Base de um Espa¸co Vetorial . . . 92

2.3 Dimens˜ao de um Espa¸co Vetorial . . . 97

2.3.1 Dimens˜ao da Soma de dois Subespa¸cos . . . 102

2.3.2 Exerc´ıcios . . . 105

2.4 Coordenadas . . . 109

2.5 Mudan¸ca de Base . . . 112

2.5.1 Exerc´ıcios . . . 122

• Apˆendice . . . 125

3 TRANSFORMAÇ ÕES LINEARES 127 3.1 No¸cões sobre Transforma¸cões, Fun¸cões . . . 127

3.2 Transforma¸c˜oes Lineares . . . 134

Uma transforma¸c˜ao linear especial . . . 141

(8)

3.3 N´ucleo e Imagem . . . 155

3.4 Isomorfismo entre espa¸cos vetoriais . . . 168

3.4.1 Exerc´ıcios . . . 181

4 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇ ÃO LINEAR 185 4.1 Matriz de uma Transforma¸cão Linear . . . 185

4.1.1 Exerc´ıcios . . . 198

4.2 Opera¸c˜oes com Transforma¸c˜oes Lineares . . . 203

4.3 Matriz da Transforma¸c˜ao Composta . . . 208

4.3.1 Exerc´ıcios . . . 222

4.4 Espa¸co Dual . . . 224

4.4.1 Exerc´ıcios . . . 230

4.5 Matrizes Semelhantes . . . 231

4.6 Transforma¸c˜oes do Plano no Plano . . . 237

5 ESPAC¸ OS COM PRODUTO INTERNO 257 5.1 Produto Interno . . . 257

5.2 Produto Interno e Norma . . . 263

5.3 Normas e Distˆancias . . . 270

5.4 Angulo entre vetores . . . 283ˆ 5.5 Ortogonaliza¸c˜ao . . . 287

5.6 Isometrias . . . 301

5.6.1 Exerc´ıcios . . . 307

5.7 Operadores Autoadjuntos . . . 311

5.7.1 Exerc´ıcios . . . 315

5.8 Espa¸cos Vetoriais Complexos . . . 317

5.8.1 Espa¸cos Hermitinianos . . . 318

6 AUTOVALORES E AUTOVETORES 321 6.1 Vetor Pr´oprio e Valor Pr´oprio . . . 321

6.1.1 Propriedades dos vetores próprios e valores próprios . 326 6.1.2 Polinômio Caracter´ıstico . . . 329

6.1.3 Exerc´ıcios . . . 339

6.2 Diagonaliza¸c˜ao de matrizes e operadores . . . 341

6.2.1 Exerc´ıcios . . . 348

6.2.2 Diagonaliza¸c˜ao de operadores autoadjuntos . . . 349

6.2.3 Exerc´ıcios . . . 358

6.3 Aplica¸c˜oes da Diagonaliza¸c˜ao . . . 359

6.3.1 Potˆencias de uma matriz . . . 359

6.3.2 Exerc´ıcios . . . 362

(9)

7 FORMAS BILINEARES E QUADR ´ATICAS 371

7.1 Formas Bilineares . . . 371

7.1.1 Matriz de uma forma bilinear . . . 374

7.1.2 Formas bilineares sim´etricas . . . 379

7.1.3 Formas bilineares antissim´etricas . . . 383

7.1.4 Exerc´ıcios . . . 388

7.2 Formas Quadr´aticas . . . 391

7.2.1 Diagonaliza¸c˜ao de formas quadr´aticas . . . 393

7.2.2 Exerc´ıcios . . . 394

7.2.3 Redu¸c˜ao de formas quadr´aticas . . . 395

7.3 Classifica¸cão de Cônicas e Quádricas . . . 398

7.3.1 Se¸c˜oes cˆonicas . . . 398

7.3.2 Exerc´ıcios . . . 415

7.3.3 Qu´adricas . . . 416

8 CONSULTAS 419 8.1 Opera¸c˜oes em um Conjunto . . . 419

8.2 Corpos . . . 420

8.3 Matrizes . . . 424

8.3.1 Matrizes Invers´ıveis . . . 428

8.4 Elementos de L´ogica & Demonstra¸c˜oes . . . 429

8.4.1 Opera¸cões Lógicas sobre Proposi¸cões . . . 430

8.4.2 T´ecnicas (Engenharia) de Demonstra¸c˜ao . . . 434

∗ ∗ ∗

Gentil, O Iconoclasta, Nasceu em Boa Vista-RR, em 1960, ´

e graduado em engenharia eletrônica (UFPA/1986) e é mestre em matemática (UFSC/1997). Atualmente é professor do de-partamento de matemática da Universidade Federal de Ro-raima. Até o presente momento conta com oito livros publi-cados.

(10)

Livros Publicados (Enderˆ

e¸cos de acesso)

1- Novas Seqüências Aritméticas e Geométricas

Bras´ılia-DF: Thesaurus, 2000; 448 p. ISBN: 85-7062-200-X Nota: N˜ao temos o arquivo eletrˆonico deste livro, apenas impresso. Visite nosso site: www.profgentil.com.br

2- O TAO DA MATEM´ATICA (Uma Constru¸c~ao Matem´atica de Deus)

Rio de Janeiro: Letra_{Capital, 2011; 500 p.} ISBN: 978-85-7785-096-9 ebah https://goo.gl/2nRS8x slideshare https://goo.gl/FbuJHV scribd https://goo.gl/0HDswb

3- Exuma¸c~ao e Julgamento de Deus

Taguatinga-DF: Editora Kiron, 2012; 197 p. ISBN: 978-85-8113-054-5 ebah https://goo.gl/sTLFvv slideshare https://goo.gl/ppNBaE scribd https://goo.gl/JbUw6h

4- Espa¸cos M´etricos (com aplica¸c~oes)

Taguatinga-DF: Editora Kiron, 2013; 628 p. ISBN: 978-85-8113-125-2 ebah https://goo.gl/OOaBBk slideshare https://goo.gl/R6MfVj scribd https://goo.gl/yfqclG

5- O DEUS QU^ANTICO (Um Deus pra homem nenhum botar defeito,

mesmo que esse homem seja um ateu)

Manaus-AM: Grafisa, 2014; 235 p. ISBN: 978-85-99122-40-2 ebah https://goo.gl/Gj36Wj slideshare https://goo.gl/JoPzzX scribd https://goo.gl/A0Pnbc

6- Programando a HP 50g (Com Programa¸c~ao Simb´olica)2.a _Edi¸c˜_ao

Manaus-AM: Grafisa, 2015; 364 p. ISBN: 978-85-99122-41-9 ebah https://goo.gl/M9zz9u slideshare https://goo.gl/lr8k0a scribd https://goo.gl/nUCVW7

7- Fundamentos dos N´umeros (Tudo o que voc^e gostaria de saber

sobre os n´umeros mas n~ao tinha a quem perguntar)

Publica¸c˜ao Eletrˆonica, 2016; 514 p. ISBN: 978-85-63979-08-7 ebah https://goo.gl/8YVCPB slideshare https://goo.gl/Ah5m0g scribd https://goo.gl/mkl0PG

(11)

Cap´ıtulo

1

ESPAC

¸ OS VETORIAIS

Quando o esp´ırito se apresenta à cul-tura cient´ıfica, nunca é jovem. Aliás é bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder à ciência é reju-venescer espiritualmente, é aceitar uma brusca muta¸cão que contradiz o passado. (Gaston Bachelard)

1.1 Introdu¸c˜

ao:

Pelo que tenho constatado não é dif´ıcil encontrar alunos que tenham cursado a disciplina álgebra linear e que, ao término, não sabem o que é um vetor.

Dentre algumas poss´ıveis explica¸cões para este paradoxo gostaria de destacar uma em especial: o condicionamento∗. Com efeito, muitos alunos chegam nesta disciplina condicionados, por seus estudos anteriores, a imagi-nar que um vetor é um ente que possui módulo, dire¸cão e sentido. Se

isto é verdade na f´ısica na matemática é integralmente falso. Reitero: na matemática um vetor não possui módulo, não possui dire¸cão, não possui sentido.

Isto se deve a que as defini¸cões deste ente (vetor) s˜ao distintas nestas duas disciplinas. Embora, através de um malabarismo os vetores da f´ısica possam ser incluidos entre os vetores da matemática (como um caso especial), os vetores desta última vão muito mais além. A princ´ıpio são “pontos” em um espa¸co abstrato; e pontos não possuem nem módulo (comprimento), nem dire¸cão e nem sentido.

(12)

Esta abstra¸cão na defini¸cão matemática (de vetor) implica numa maior flexibilidade e, por conseguinte, os vetores da matemática resultam de uma potência_{− em termos de aplicabilidade − muito maior que os da f´ısica.}

Pouco a pouco, procuro liberar suavemente o esp´ırito dos alunos de seu apego a imagens privile-giadas. Eu os encaminho para as vias da abstra¸cão, esfor¸cando-me para despertar o gosto pela abstra¸cão. Enfim, acho que o primeiro princ´ıpio da educa¸cão cient´ıfica é, no reino intelectual, esse ascetismo que

é o pensamento abstrato. Só ele pode levar-nos a dominar o conhecimento experimental. (Bachelard/A forma¸cão do esp´ırito cient´ıfico)

Creio mesmo que muitos autores de livros de ´Algebra Linear contribuem para refor¸car o condicionamento (adestramento) dos alunos em verem um vetor com os atributos citados. Mesmo no “plano” e no “espa¸co” (R2 _{e R}3₎

não é necessário que se veja um vetor com módulo, dire¸cão e sentido; estes atributos são perfeitamente dispensáveis, tanto isto é verdade que escreve-mos o presente livro sobre vetores sem utilizar uma única “seta vetorial”. Claro, poderia-se argumentar: usa-se setinhas para facilitar o entendimento do aluno, para tornar algo abstrato em algo concreto, etc. Mesmo assim cre-mos que os malef´ıcios desta postura são maiores que os benef´ıcios, mesmo porque é precisamente a capacidade de abstra¸cão que deve ser desenvolvida no aluno e não seus sentidos: visão, tato, audi¸cão, etc.

Estamos integralmente de acordo com o eminente Bachelard. Enfatizamos:

θ

Os vetores da f´ısica

pos-suem m´odulo, dire¸c˜ao e sentido.

Os vetores da matemática não possuem módulo, não possuem dire¸cão, não possuem sentido.

Por exemplo, como veremos, s˜ao vetores da matem´atica:

(3, 2) , Ponto doR2 1 0 0 1 0 3 , Matriz p(x) = 2 + 3 x− x2_, Polinômio 00110100 Código binário

(13)

Processar s´ımbolos n˜ao ´e o mesmo que processar significado

Um outro aspecto relevante que o aluno deve se dar conta é o de que, em matemática, processar s´ımbolos não é o mesmo que processar significados.

´

E o que se dá com um número significativo de estudantes: processam (manipulam) s´ımbolos, mas não os significados por trás dos s´ımbolos.

Uma analogia: o fato de alguém usar (operar) um controle remoto ou um celular não significa que este alguém compreenda como estes objetos funcionam, entre operar e compreender existe uma enorme distância.

Um desafio a engenheiros e f´ısicos

Apenas para contextualizar, sinceramente creio que nenhum engenheiro, ou f´ısico, ´e capaz de resolver a seguinte equa¸c˜ao do primeiro grau:

2 x + 1 = 7 (1.1)

tomando-se como conjunto universo os naturais, isto é, N =_{{ 0, 1, 2, 3, . . . }.} Claro, até por inspe¸cão chega-se `a solu¸cão correta: x = 3. Entretanto, quando digo resolver significa que, partindo-se da equa¸cão, deve-se chegar ao resultado x = 3.

2 x + 1 = 7 _{⇒ · · · ⇒ x = 3 (?)}

E não apenas isto, mas também justificar (provar) todos os passos inter-mediários.

Neste conjunto n˜ao contamos comoposto aditivoeinverso multiplicativo.

Os iniciantes não estão preparados para o verdadeiro rigor matemático; só veriam nisso vãs e fastidiosas sutilezas, perder´ıamos nosso tempo se quiséssemos, cedo demais, torná-los mais exigentes.

(Poincaré/A Ciência e a Hipótese)

2 x+1=7 x = 3

A calculadora HP50g resolve a equa¸cão 2 x + 1 = 7 em fra¸cões de segundos_{− Por sinal, equa¸cões muito mais} com-plexas que esta. Um computador processa s´ımbolos mas não significado. O cérebro da maioria de indiv´ıduos que lida com a matemática apenas processa (manusea) s´ımbolos − tal como a HP50g.

Quando, no ensino fundamental, o professor afirma, por exemplo, que “mais vezes menos dá menos” e que “sinais diferentes, subtrai e dá-se o sinal do maior ” ele est´a simplesmente dando um comando de programa¸cão aos alunos; programando-os, tal qual um engenheiro programou a calculadora HP.

(14)

1.2 Espa¸cos Vetoriais

A abstra¸c˜ao desobstrui o esp´ırito, o torna mais leve e dinˆamico.

(Gaston Bachelard)

Assim como um engenheiro, ou um arquiteto, constrói suas estruturas, igualmente os matemáticos constroem as suas. Daremos in´ıcio agora ao estudo de uma das estruturas mais importantes da matemática: Espa¸co

Vetorial.

Os espa¸cos vetoriais constituem os objetos de estudo da álgebra linear. Um espa¸co vetorial não é um conjuntomas sim uma estrutura(p. 19),

e, para construirmos uma de tais estruturas, iremos necessitar de algumas ferramentas; mais precisamente de quatro ferramentas, quais sejam:

1a_{) Um conjunto V ;}

2a) Um corpo K; (p. 420)

3a) Uma opera¸c˜ao sobre os elementos de V , a qual chamaremos de adi¸c˜ao

e denotaremos por + ; assim:

+ : V × V −→ V (u, v) _{7−→ u + v}

4a) Uma opera¸cão entre um número de K e um elemento de V , a qual chamaremos de multiplica¸cão por escalar e denotaremos por _{· ; assim:}

· : K × V −→ V (λ, u) _{7−→ λ · u}

Este é apenas o primeiro passo para a constru¸cão da nossa estrutura. Um segundo passo é que estas opera¸cões satisfa¸cam alguns requisitos, a saber: − Exigências (axiomas) para a adi¸cão:

Para quaisquer u, v e w, elementos de V , devemos ter:

A1)u + v = v + u (Comutativa) A2)(u + v) + w = u + (v + w) (Associativa) A3) Existe em V um elemento, denotado por 0, detentor da seguinte propriedade: ∗

u + 0 = u; _{∀ u ∈ V.} (Elemento neutro)

(Elemento oposto) A4)Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado por_{−u, detentor da seguinte propriedade:}

u + (−u) = 0

∗_Importante: _{Escolhemos o “zero em negrito” para representar o vetor nulo (que}

(15)

− Exigˆencias (axiomas) para a multiplica¸c˜ao:

Para quaisquer u e v em V e quaisquer λ e µ em K, devemos ter: M1)λ_{· ( µ · u ) = (λ · µ) · u} (Associativa) M2)( λ + µ )· u = λ · u + µ · u (Distributiva) M3)λ_{· ( u + v ) = λ · u + λ · v} (Distributiva) M4)1_{· u = u} (elemento neutro)

∗ ∗ ∗

O matemático alemão Hermann Grassmann (1809_{− 1877) é geralmente} creditado como o primeiro a introduzir a idéia de um espa¸co vetorial (apesar de não o ter chamado assim), em 1844. Infelizmente, seu trabalho era muito dif´ıcil de ler e não recebeu a aten¸cão que merecia. Uma pessoa que realmente o estudou foi o matemático italiano Giuseppe Peano (1858− 1932). Em seu

livro Calcolo geometrico, de 1888, Peano tornou claro o trabalho anterior de Grassmann e descreveu os axiomas para um espa¸co vetorial da maneira como hoje os conhecemos. A defini¸cão axiomática de um espa¸co vetorial feita por Peano também teve pouca influência por muitos anos. A aceita¸cão só veio em 1918, depois que Hermann Weyl (1885_{− 1955) a repetiu em seu} livro Space, time, matter, uma introdu¸cão à teoria da relatividade geral de Einstein.

Uma exegese da defini¸c˜ao de Espa¸co Vetorial

A tripla (V, +, _{· ) é o que entendemos por um espa¸co vetorial. Ao} constru-irmos uma estrutura de espa¸co vetorial sobre um conjunto V , seus elementos adquirem o status de vetores, independentemente de suas naturezas. Por uma questão de conveniência (simplifica¸cão) usaremos da seguinte nota¸cão:

V= (V, +, _·)

Com isto queremos evocar na mente do aluno que V ´e o espa¸co vetorial (estrutura) que foi construido (erigido) sobre o conjunto V .

Nota: Na verdade, ao longo deste livro, ami´ude estaremos utilizando (indistintamente) a mesma nota¸cão V tanto para o espa¸co vetorial quanto para o conjunto subjacente à estrutura; entretanto, para que não se perca de vista a diferen¸ca entre ambos é que ocasionalmente voltaremos_{− a nosso} critério− com a nota¸cão V para o espa¸co vetorial.

Estaremos, ademais, omitindo o “ponto” na multiplica¸c˜ao por escalar; digo, escreveremos λ u ao inv´es de λ_{· u.}

− Os axiomas para espa¸co vetorial naturalmente se dividem em dois grupos; os quatro primeiros dizem respeito somente à estrutura aditiva de V, os quatro últimos referem-se à a¸cão do corpo de escalares sobre o espa¸co V.

(16)

Observe que no axioma M4) 1 é o elemento neutro da multiplica¸cão no corpo, a multiplica¸c˜ao de espa¸co vetorial é uma outra multiplica¸c˜ao _{− no} mais das vezes não tem nada a ver com a primeira_{−, portanto este elemento} não teria a obriga¸cão de continuar sendo o elemento neutro de uma outra opera¸cão, se isto acontece deve ser por decreto (axioma).

Quando K = R (resp.: K = Q, K = C), o espa¸co vetorial diz-se real (resp.: racional, complexo).

O quadro amarelo a seguir resume o essencial da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. A1) u + v = v + u A2) (u + v) + w = u + (v + w) A3) u + 0 = u; _{∀ u ∈ V.} A4) _{∀ u ∈ V, ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0} M1) λ_{· ( µ · u ) = (λ · µ) · u} M2) ( λ + µ )_{· u = λ · u + µ · u} M3) λ· ( u + v ) = λ · u + λ · v M4) 1· u = u

V

_{= (V, +,}

·)

Uma observa¸cão importante é a de que não devemos colocar o “carro na frente dos bois” e chamar os elementos de um conjunto de vetores antes de construirmos − sobre este conjunto − a estrutura de espa¸co vetorial. Oportunamente estaremos exemplificando este aspecto.

Adendo: Podemos dizer que um espa¸co vetorial ´e uma obra (estrutura) de “engenharia matem´atica” cuja planta esbo¸camos assim:

V V×V V V K×V K V (u, v) r ru+v + · (λ, u) r rλu

V

_{= (V, +,}

·)

(17)

Adendo: Antes de prosseguir em nossos estudos, uma observa¸cão que jul-gamos de alguma relevância: Em matemática existe uma conven¸cão tácita de que só devemos criar novos s´ımbolos em casos estritamente necessários. Em consequência deste acordo é que em muitos contextos matemáticos um mesmo s´ımbolo pode ter significados distintos. Por exemplo, na exigência M1), isto é:

M1)λ_{· ( µ · u ) = (λ · µ) · u}

Estes três s´ımbolos dizem respeito à mesma multiplica¸cão (escalar por vetor).

Este s´ımbolo diz respeito a uma outra multiplica¸c˜ao (entre escalares e d´a-se no corpo K)

Na exigˆencia,

M2)( λ + µ )· u = λ · u + µ · u

Estes dois s´ımbolos dizem respeito a adi¸cões distintas. A primeira adi¸cão se dá entre nu-meros, a segunda se dá entre vetores.

∗ ∗ ∗

Uma das contribui¸cões definitivas do século dezenove foi o recon-hecimento de que a matemática não é uma ciência natural, mas uma cria¸cão intelectual do homem. Bertrand Russel escreveu no Interna-tional Monthly em 1901: ‘O século dezenove, que se orgulha da inven¸cão do vapor e da evolu¸cão, poderia derivar um t´ıtulo mais leg´ıtimo à fama da descoberta da matemática pura.’

Pelo fim do século era geralmente reconhecido mesmo por n˜ ao-matemáticos que a matemática é pensamento postulacional, em que de premissas arbitrárias são tiradas conclusões válidas. Que os postulados sejam ou não verdadeiros num sentido cient´ıfico é indiferente.

(Curso Moderno de Filosofia/Denis Huisman e Andr´e Vergez)

Nem você nem eu nem ninguém sabemos o que faz um matemático vingar. Não é uma questão de inteligência. Conhe¸co matemáticos mais hábeis que eu, mas que não tiveram sorte. Considere dois mineiros: um talvez seja perito em geologia, mas é o mineiro ignorante quem acha as pepitas douradas. (Louis J. Mordell/matemático britânico)

(18)

− Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

Exemplo 1: O espa¸co vetorial R2.

Para a constru¸c˜ao do nosso primeiro exemplo de espa¸co vetorial tomare-mos como conjunto V o conjunto de pares ordenados de n´umeros reais:

R2=(x, y) : x, y_{∈ R} cuja versão geométrica é vista a seguir:

R R

0

s(x, y)

Observe que, até o presente momento, não podemos dizer que um par ordenado (a, b) seja um vetor; não, não é! (a, b) é apenas _{− e tão somente} − um elemento do conjunto R2_{; ou, se preferirmos, um ponto do plano.}

Precisamos trabalhar um pouco mais para conferir a este ponto o status de vetor. Com este desiderato em mente, tomemos para o corpo de escalares os n´umeros reais, isto ´e, fa¸camos K = R.

Tomemos dois elementos u = (a, b) e v = (c, d) em R2 e um escalar (n´umero) λ em R e vamos definir a soma de pares ordenados e a multiplica¸c˜ao por escalar do seguinte modo:

u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (1.2) λ u = λ (a, b) = (λa, λb) (1.3) Observe que em (1.2) o mesmo s´ımbolo “+” representa duas opera¸cões dis-tintas: o “+” que comparece entre os pares ordenados é a adi¸cão em R2 que estamos definindo, por outro lado, o “+” que comparece mais á direita − dentro dos parentesis − é a “velha” e conhecida opera¸cão de adi¸cão entre números reais. Observa¸cão análoga vale em (1.3).

(19)

Esta é a primeira etapa em nossa constru¸cão. A segunda etapa con-siste em mostrar que estas opera¸cões, assim definidas, satisfazem a todas as exigências listadas na defini¸cão de espa¸co vetorial. Senão, vejamos:

A1) u + v = (a, b) + (c, d)

= (a + c, b + d) (defini¸cão de adi¸cão) = (c + a, d + b) (comutatividade nos reais) = (c, d) + (a, b) (defini¸cão de adi¸cão) = v + u

A2) (u + v) + w = (a, b) + (c, d)+ (e, f )

= (a + c, b + d)+ (e, f ) (defini¸cão de adi¸cão) = (a + c) + e, (b + d) + f (defini¸cão de adi¸cão) = a + (c + e), b + (d + f ) (associatividade nos reais) = (a, b) + (c + e, d + f ) (defini¸cão de adi¸cão) = (a, b) + (c, d) + (e, f ) (defini¸cão de adi¸cão) = u + (v + w)

A3) _{∃ 0 = (0, 0) ∈ R}2: _{∀ u = (a, b) ∈ R}2, se verifica, u + 0 = (a, b) + (0, 0)

= (a + 0, b + 0) (adi¸c˜ao) = (a, b) (elemento neutro nos reais) = u

A4) _{∀ u = (a, b) ∈ R}2, _{∃ − u = (−a, −b) ∈ R}2: u + (−u) = (a, b) + (−a, −b)

= a + (_{−a), b + (−b)} (adi¸c˜ao) = (0, 0) (oposto aditivo nos reais) = 0

M1) λ ( µ u ) = λ ( µ (a, b) )

= λ ( µa, µb ) (defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = λ ( µa, µb )

= λ(µa), λ(µb) (defini¸cão de multiplica¸cão) = (λµ)a, (λµ)b (associatividade nos reais) = (λµ) (a, b ) (defini¸cão de multiplica¸cão) = (λµ) u

(20)

M2) (λ + µ) u = (λ + µ) (a, b)

= (λ + µ) a, (λ + µ) b (defini¸cão de multiplica¸cão) = ( λa + µa, λb + µb ) (distributividade nos reais) = (λa, λb) + (µa, µb) (defini¸cão de adi¸cão) = λ (a, b) + µ (a, b) (defini¸cão de multiplica¸cão) = λ u + µ u

M3) λ(u + v) = λ (a, b) + (c, d)

= λ (a + c, b + d) (defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) = λ (a + c, b + d)

= λ(a + c), λ(b + d) (defini¸cão de multiplica¸cão) = ( λa + λc, λb + λd ) (distributividade nos reais) = ( λa, λb ) + ( λc, λd ) (defini¸cão de adi¸cão) = λ(a, b) + λ(c, d) (defini¸cão de multiplica¸cão) = λu + λv

M4) 1 u = 1 (a, b)

= ( 1 a, 1 b ) (defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao) = (a, b) (elemento neutro nos reais) = u

Nota¸c˜ao: ( R2, +, · ) = R2 _{´e o espa¸co vetorial R}2_.

Nota: Somente agora, após termos provado que a adi¸cão definida em (1.2) satisfaz as exigências A1), . . . , A4), e que a multiplica¸cão, definida em (1.3) satisfaz as exigências M1), . . . , M4) é que podemos chamar os pontos (a, b), do plano, devetores.

De outro modo: somente agora os pontos (a, b) do plano cartesiano fazem parte de uma estrutura de espa¸co vetorial, isto ´e, deixaram de ser “meros pontos” e adquiriram o status de vetores.

(21)

O que ´

e um vetor em matem´

atica?

Conjuntos × Estruturas

O entendimento do que seja um vetor inicia-se com a distin¸c˜ao entre conjunto e estrutura.

Em matemática são frequentes conjuntos munidos de uma ou mais opera-¸cões, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸cões e respectivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas algébricas. Um espa¸co vetorial é um exemplo de estrutura algébrica.

Para nos auxiliar em nosso objetivo (deixar claro a diferen¸ca entre con-junto e estrutura) vamos recorrer a uma analogia: Suponhamos um concon-junto M cujos elementos s˜ao materiais de constru¸c˜ao, assim:

M =_{{tijolo, cimento, seixo, pedra, areia, . . .}}

“sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo:

M − Edif´ıcio − Casa − Ponte Conjunto Estruturas

N˜ao devemos confundir o conjunto M com a “estrutura” edif´ıcio, por exemplo.

Entendemos que esta mesma distin¸c˜ao deve ser feita entre conjuntos e estruturas na matem´atica.

Vejamos um exemplo retirado da matemática. Considere o conjunto de pontos R2=(x, y) : x, y_{∈ R} , cuja versão geométrica é vista a seguir:

R2

0

r(x, y)

(22)

- Espa¸co vetorial : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) λ(a, b) = (λa, λb) - N´umeros C : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)· (c, d) = (ac − bd, ad + bc) - N´umeros H : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)· (c, d) = (ac ∓ bd, |a|d + b|c|)

R2

0

q(x, y)

Assim o n´umero de estruturas que podemos construir sobre um mesmo conjunto estar´a limitado apenas por nossa criatividade∗.

A Identidade de um Elemento

Uma outra distin¸cão que se faz necessária é quanto a natureza ( identi-dade) de um elemento.

Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) ´e um vetor ou um n´umero complexo?

Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si só, não é nem uma coisa nem outra, é apenas um elemento do conjunto R2_{. Agora dependendo do}

contexto em que nos situamos, este elemento pode ser um vetor, um n´umero complexo, ou ainda um n´umero hipercomplexo.

Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido na estrutura de espa¸co vetorial _{− primeira das alternativas na figura anterior −} ele ser´a

um vetor, se estiver sendo manipulado na estrutura n´umeros complexos −

segunda das alternativas na figura anterior ₋ ele ser´a um n´umero

com-plexo, e se estiver sendo manipulado dentro da estrutura “Hipercomplexa”

− terceira das alternativas na figura anterior − ele ser´a um n´umero

hiper-complexo.

Portanto, enfatizamos, ´e a estrutura que confere “dignidade” (identi-dade) a um elemento.

´

E a estrutura (“jogo”) quem vai determinar o que um elemento (s´ımbolo) seja.

Vejamos mais duas analogias:

1a_{) Suponhamos que desejamos jogar xadrez mas n˜}_{ao dispomos das pe¸cas,}

apenas do tabuleiro. Não há o menor problema: podemos substituir as pe¸cas por cereais. Por exemplo, um caro¸co de feijão fará o papel de rei, os peões serão substituidos por grãos de arroz, as torres por caro¸cos de milho, etc.

∗_C _{: N´}_{umeros complexos. Os n´}_{umeros Hipercomplexos ´e um novo sistema num´erico}

que construimos sobre o R2_{, ´e tamb´em uma generaliza¸c˜}_{ao dos n´}_{umeros reais.}

(23)

feij˜ao→ Rei arroz→ pe˜oes milho_{→ torres} .. . ... .. .

Observe mais uma vez que é a estrutura que confere a “dignidade” (iden-tidade) de um elemento: um mero caro¸co de feijão de repente vê-se pro-movido a “rei”, ao participar da estrutura xadrez.

2a) Como mais um exemplo da “metamorfose” conferida pela estrutura, o Brasil est´a empestado de ratazanas (bandidos) que, ao ingressarem na estrutura pol´ıtica, tornam-se “vossa excelˆencia”:

Assim como um mero caro¸co de feij˜ao torna-se um “rei” ao ingressar na estrutura xadrez, bandidos tornam-se “vossa excelˆencia” ao ingressar na estrutura pol´ıtica brasileira.

(24)

Uma cr´ıtica à defini¸cão de Espa¸co Vetorial em livros didáticos

Em fun¸cão do exposto anteriormente desejamos fazer uma breve exegese sobre a defini¸cão de espa¸cos vetoriais constante na literatura matemática.

Uma defini¸cão padrão nos livros didáticos é:

Um espa¸co vetorial E ´e um conjunto, cujos elementos s˜ao chamados

ve-tores, no qual est˜ao definidas duas opera¸c˜oes: a adi¸c˜ao, que a cada par de

vetores u, v∈ E faz corresponder um novo vetor u+v ∈ E, chamado a soma de u e v, e a multiplica¸c˜ao por um n´umero real, que a cada n´umero α_{∈ R e a} cada vetor v_{∈ E faz corresponder um vetor α·v, ou αv, chamado o produto} de α por v. Essas opera¸c˜oes devem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e

u, v, w_{∈ E, as condi¸c˜oes abaixo, chamadas os axiomas de espa¸co vetorial:}

comutatividade: u + v = v + u;

associatividade: (u + v) + w = u + (v + w) e (αβ)v = α(βv);

vetor nulo: existe um vetor 0_{∈ E, chamado vetor nulo, ou vetor zero,} tal que v + 0 = 0 + v = v para todo v_{∈ E;}

inverso aditivo: para cada vetor v _{∈ E existe um vetor −v ∈ E,} chamado o inverso aditivo, ou o sim´etrico de v, tal que _{−v+v = v+(−v) = 0;} distributividade: (α + β)v = αv + βv e α(u + v) = αu + αv;

multiplica¸c˜ao por 1: 1· v = v.

Então, vejamos alguns poucos comentários sobre esta defini¸cão padrão: Primeiro queum espa¸co vetorial não é um conjunto. Segundo, não conhe¸co nenhum conjunto “cujos elementos s˜ao chamados vetores ”. O leitor conhece algum? _{− O que vem depois na defini¸cão anterior não muda em nada.}

A verdadeira natureza de um espa¸co vetorial é a de uma estrutura_{− tanto} é que é conhecido como uma estrutura algébrica _{−, por exemplo, assim:}

V

R

V

_{× V}

R

_{× E}

V

+

· V

= (V, +,

_·)

(aqui temos escalares) (aqui temos meros elementos)

Estrutura

Espa¸co Vetorial

(aqui temos vetores)

N˜ao existe nenhum conjunto “cujos elementos s˜ao chamados vetores ” posto que em qualquer conjunto temos meros elementos, agora ao constru-irmos uma estrutura de espa¸co vetorial sobre um tal conjunto ent˜ao seus elementos adquirem o status de vetores.

(25)

Assim como um mero caro¸co de feijão torna-se um rei ao participar da estrutura xadrez _{− ou qualquer bandido torna-se “vossa excelência”, ao} ingressar na estrutura pol´ıtica brasileira _{− objetos de naturezas diversas} tornam-se vetores ao participarem da estrutura espa¸co vetorial. Por exem-plo, são vetores: (3, 2) , Ponto doR2 1 0 0 1 0 3 , Matriz p(x) = 2 + 3 x− x2_, Polinômio 00110100 Código binário

Exemplo 2: O espa¸co vetorial R3.

Para a constru¸c˜ao do nosso segundo exemplo de espa¸co vetorial tomare-mos como conjunto V o conjunto de ternos ordenados de n´umeros reais:

R3=(x, y, z) : x, y, z ∈ R cuja versão geométrica é vista a seguir:

Y Z

X

(x, y, z)

Tomemos dois elementos u = (a, b, c) e v = (d, e, f ) em R3 e um escalar (n´umero) λ em R e vamos definir a soma de ternos ordenados e a multi-plica¸c˜ao por escalar do seguinte modo:

u + v = (a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f ) λ u = λ (a, b, c) = (λa, λb, λc)

Estas duas defini¸c˜oes conferem aos pontos do espa¸co R3 _{o status de vetores,}

conforme pode ser provado de modo an´alogo ao que foi feito no exemplo anterior.

Apenas informamos que aqui o vetor nulo passa a ser 0 = (0, 0, 0) e o oposto do vetor u = (a, b, c) ´e o vetor−u = (−a, −b, −c).

Exemplo 3: O espa¸co vetorial Rn.

Os dois exemplos anteriores podem ser generalizados ao “hiperespa¸co” Rn, que ´e o conjunto de n_−uplas,

Rn =(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R

(26)

cuja versão geométrica infelizmente por uma limita¸cão de “hardware” (cére-bro) não podemos visualizar quando n > 3.

Dados dois pontos u = (x₁, x₂, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn) neste

conjunto, definimos igualdade, assim:

(x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn) ⇔ x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn

Adi¸cão entre pontos e multiplica¸cão por escalar (número real), assim: u + v = (x₁, x₂, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1+ y1, x2 + y2, . . . , xn+ yn)

λu = (λ x₁, λ x₂, . . . , λ xn)

Estas opera¸c˜oes conferem aos pontos do “hiperespa¸co” o status de vetores, como pode facilmente ser provado.

Apenas informamos que aqui o vetor nulo passa a ser 0 = (0, 0, . . . , 0) e o oposto do vetor u = (x₁, x₂, . . . , xn) ´e o vetor−u = (−x1,−x2, . . . ,−xn).

O exemplo dado anteriormente possui uma importante generaliza¸c˜ao dada a seguir.

Exemplo 4: O espa¸co vetorial Kn.

Vamos generalizar ainda mais o exemplo anterior. Seja K um corpo arbitrário. A nota¸cão Kn é amiúde utilizada para denotar o conjunto de todas as n-uplas de elementos de K:

Kn=(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ K

Dados dois pontos u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn) neste

con-junto podemos tornar Kn um espa¸co vetorial sobre K com as seguintes defini¸c˜oes:

(x₁, x₂, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn) ⇔ x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn

Adi¸c˜ao entre pontos e multiplica¸c˜ao por escalar, assim:

u + v = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1+ y1, x2 + y2, . . . , xn+ yn)

λu = (λ x1, λ x2, . . . , λ xn)

Estas opera¸c˜oes s˜ao ditas “ponto a ponto” e conferem aos pontos do “hiperespa¸co” o status de vetores. Por exemplo, o vetor nulo em Kn´e uma n-upla de zeros,

0 = (0, 0, . . . , 0)

e o oposto do vetor u = (x₁, x₂, . . . , xn) ´e o vetor−u = (−x1,−x2, . . . ,−xn).

Das exigências (axiomas) para espa¸co vetorial vamos provar A2 e M3 (as outras são demonstradas de forma análoga). Então:

(27)

A2)(u + v) + w = u + (v + w) (Associativa) Suponha que u = ( x_i), v = ( y_i) e w = ( z_i). A demonstra¸cão será feita mostrando que as entradas (coordenadas nas n-uplas) correspondentes em cada lado de A2 são iguais.

Com efeito, a entrada i de u+ v é x_i+ y_i, então a entrada i de (u+ v)+ w é (xi + yi) + zi. Por outro lado, a entrada i de v + w é yi + zi e assim a

entrada i de u + (v + w) ´e xi+ (yi+ zi). Por´em, para escalares em K (corpo)

temos

(xi + yi) + zi = xi+ (yi+ zi)

Portanto (u + v) + w e u + (v + w) possuem entradas i iguais, logo, pela defini¸c˜ao de igualdade de n-uplas, temos que (u + v) + w = u + (v + w). M3)λ ( u + v ) = λ u + λ v (Distributiva)

A entrada i de u + v é xi+ yi, então λ (xi+ yi) é a entrada i de λ ( u + v ).

Por outro lado, as entradas i de λ u e λ v s˜ao respectivamente λ x_i e λ y_i. Por´em, para escalares em K temos

λ (xi+ yi) = λ xi+ λ yi

Assim λ ( u + v ) e λ u + λ v possuem entradas i iguais, logo, pela defini¸c˜ao de igualdade de n-uplas, temos que λ ( u + v ) = λ u + λ v.

Publica¸c˜ao Eletrˆonica, 2016; 514 p. ISBN: 978-85-63979-08-7 ebah https://goo.gl/8YVCPB slideshare https://goo.gl/Ah5m0g scribd https://goo.gl/mkl0PG

(28)

Exemplo 5: Espa¸co de C´odigos

Agora daremos um importante exemplo de espa¸co vetorial cujo corpo de escalares n˜ao ´e R.

Códigos que contêm tanto caracteres alfabéticos como numéricos são necessários quando microcomputadores se comunicam com dispositivos como fax ou um terminal de v´ıdeo, ou ainda para transformar os caracteres de um teclado em linguagem de computador. Esses códigos s˜ao chamados códigos alfanuméricos.

O código alfanumérico mais comumente usado em sistemas de microcom-putador é o

AMERICAN STANDARD Code for Information Interchange

(Código Americano Padrão para Troca de Informa¸cões) Uma listagem parcial do código ASCII é mostrada na tabela a seguir

Caracter ASCII Caracter ASCII < 00111100 > 00111110 ! 00100001 P 11100100 # 00100011 $ 00100100 % 00100101 & 00100110 ( 00101000 ) 00101001 ∗ 00101010 [ 01011011 ] 01011101 + 00101011 − 00101101 / 00101111 0 00110000 1 00110001 2 00110010 3 00110011 4 00110100 5 00110101 6 00110110 7 00110111 8 00111000 9 00111001 A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 00100100 E 01000101 F 01000110 G 01000111 H 01001000 I 01001001 J 01001010 K 01001011 L 01001100 M 01001101 N 01001110 O 01001111 P 01010000 Q 01010001 R 01010010 S 01010011 T 01010100 U 01010101 V 01010110 W 01010111 X 01011000 Y 01011001 Z 01011010 − TABELA ASCII

(29)

A seguir vemos o diagrama de blocos de uma calculadora. Teclado Entrada Display Saida + 0 − 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Codificador ր 00110001 00101011 00110010 CPU ր 00110011 Decodificador

Na figura estamos simulando a soma 1+ 2 = 3. Ao digitarmos no teclado 1+2 existe um circuito codificador que codifica estas informa¸c˜oes em bin´ario de acordo com a TABELA ASCII vista anteriormente, ou seja,

1 ↔ 00110001 ; + ↔ 00101011 ; 2 ↔ 00110010

Estas sequências binárias (códigos) são entregues à CPU (unidade central de processamento) que executa a soma pedida, o resultado é colocado na entrada de um circuito decodificador que decodifica, ainda de acordo com a TABELA ASCII, a sequência binária em sua entrada e na saida (display) temos o resultado na base decimal.

Defini¸cão 1 (C´odigo). Umcódigo binárioé um conjunto de vetores binários (de mesmo comprimento) chamados vetores de código. O processo de con-versão de uma mensagem em vetores de código é chamado codifica¸cão, e o processo inverso é chamado decodifica¸cão.

A transmissão de dados codificados_{− via ondas eletromagnéticas, pode} ser − está sujeita a várias fontes de erros, desde erros de digita¸cão até interferências eletromagnéticas; os poss´ıveis erros são chamados de ru´ıdos.

A teoria dos c´odigos corretores de erro ´e um campo de pesquisa muito

ativo atualmente, com aplica¸cões em diversas áreas tais como: matemática, engenharia, computa¸cão e estat´ıstica.

Sinal SinalNovo

Informa¸c˜ao

de Fonte

Codifica¸c˜ao Canal

Ru´ıdo

(30)

Nosso objetivo agora será construir uma fam´ılia (cole¸cão) de espa¸cos vetoriais os quais são bastante utilizados no projeto de códigos binários para transmissão de dados entre computadores, inclusive.

Sequˆencias bin´arias de qualquer tamanho podem ser obtidas tomando-se o produto cartesiano do conjunto (com dois s´ımbolos):

0 1 Z2 ={ 0, 1 } Por exemplo: Z2₂ =_{{ 0, 1 } × { 0, 1 } = { 00, 10, 01, 11 }} Ou ainda: Z3₂ =_{{ 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 }} ={ 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 }

Como o leitor certamente já se deu conta, via produto cartesiano pode-mos obter sequências binárias de qualquer tamanho.

O número de sequências binárias no conjunto Zn

2 ´e 2

n_.

Observe que os c´odigos (sequˆencias) do teclado de um computador (Tabela ASCII) pertencem todos ao conjunto Z8

2, neste conjunto podemos codificar

at´e 28 _{= 256 caracteres.}

Opera¸c˜oes em Z₂

Inicialmente vamos construir uma estrutura de corpo sobre o conjunto Z2.

Nesse conjunto vamos definir duas opera¸cões: a uma delas chamaremos de adi¸cão e a outra chamaremos de multiplica¸cão_{− dadas nas seguintes tábuas:}

+ 0 1 0 1 0 1 1 0 · 0 1 0 1 0 0 0 1

A isto se acrescenta que todo s´ımbolo ´

e ambivalente e at´e mesmo polivalente, no sentido de que ele pode significar uma pluralidade de realidades diversas e mesmo contradit´orias.

(L´eon Bonaventure)

´

E fácil, não obstante trabalhoso, provar que o sistema algébrico resul-tante Z2 = (Z2, +, ·) é um corpo. (p. 420)

(31)

Desde já enfatizamos que no presente contexto 0 e 1 não são números naturais, isto é, números do conjunto

N =_{{ 0, 1, 2, 3, . . . }}

De fato, como dissemos anteriormente, o que confere a identidade de um elemento ´e a estrutura (“jogo”) do qual ele faz parte.

Embora os s´ımbolos 0 e 1 sejam os mesmos do conjunto dos números naturais no entanto como números são distintos daqueles. Observe:

N= ({ 0, 1, 2, 3, . . . }, +, · ) −Nesta estrutura 0 e 1 s˜ao

n´umeros naturais.

Z₂ = ({ 0, 1 }, +, ·) −Nesta estrutura 0 e 1 s˜ao

n´umeros, mas n˜ao naturais.

Pois bem, retomando a estrutura Z₂ acima definida, o elemento neutro da adi¸cão é 0. O simétrico (oposto) de cada elemento encontramos na própria tabela de adi¸cão. Veja:

0 + 0 = 0 ⇒ −0 = 0 e 1 + 1 = 0 ⇒ −1 = 1 Isto é, o oposto aditivo de cada elemento é o próprio.

Ademais, o leitor não se escandalize com a opera¸cão 1 + 1 = 0, posto que, se servir de consolo, mesmo na f´ısica _{− supostamente mais aderente à} realidade− nem sempre 1 + 1 = 2. Por exemplo, se adicionarmos duas ve-locidades iguais a 1, na f´ısica de Galileu teremos 1 + 1 = 2, já na de Einstein

teremos 1 + 1_{6= 2.} (Ver p. 77)

Aceder à ciência é rejuvenescer espiri-tualmente, é aceitar uma brusca muta¸cão que contradiz o passado.

(Gaston Bachelard) O mundo ´e construido como uma

es-trutura matem´atica, e n˜ao material. (Werner Heisenberg)

A isto se acrescenta que todo s´ımbolo é ambivalente e até mesmo polivalente, no sentido de que ele pode significar uma pluralidade de rea-lidades diversas e mesmo contraditórias. (Léon Bonaventure)

(32)

Os espa¸cos vetoriais Zn₂

Tendo em conta o exemplo 4 (p. 24) resulta que, para cada n ≥ 1, os

sistemas Zn₂ são espa¸cos vetorias com as opera¸c˜oes “ponto a ponto”. Por-tanto, no presente contexto uma sequência binária (código) adquire status de vetor. Observe que não cabe _{− não tem sentido − para estes vetores os} atributos (simultâneos) de módulo, dire¸cão e sentido.

Por exemplo, veja alguns exemplos de adi¸c˜ao: Z2 2 10 01 11 + : Z3 2 101 011 110 + : Z4 2 1010 1010 0000 + :

feitas com o aux´ılio da t´abua de adi¸c˜ao para Z₂. (p. 28)

Veja alguns exemplos de multiplica¸cão por escalar: Z2₂ u _{→ 10} λ _{→ 1} 10 λ u _→ Z3₂ u _{→ 101} λ _→ 0 000 λ u _→ Z4₂ u _{→ 1010} λ _→ 1 1010 λ u _→ feitas com o aux´ılio da tábua de multiplica¸cão para Z₂.

O elemento neutro da adi¸cão em Zn₂ é a “sequência nula”, 0 = 00 . . . 0, com n entradas. Ademais, observe que todo elemento em Zn₂ possui oposto aditivo no caso “ele próprio”. Isto se deve a que, na tábua da adi¸cão em Z₂ temos que 0 + 0 = 0 e 1 + 1 = 0.

Apenas a t´ıtulo de informa¸c˜ao, a quem interessar possa, no livro

Funda-mentos dos Números (p. 25) criamos uma estrutura na qual as sequências binárias infinitas tornam-se números; digo, novos modelos para os naturais, inteiros, etc. Por exemplo, veja os “inteiros azuis”:

Z p p p p p −1 −2 −3 −4 −5 p p p p p p 0 1 2 3 4 5 . . . . Z p p p p p p p p p p p 0 1 0 1 1 1 1 1 .. . 0 0 1 1 1 1 1 1 .. . 1 0 1 1 1 1 1 1 .. . 0 1 1 1 1 1 1 1 .. . 1 1 1 1 1 1 1 1 .. . 0 0 0 0 0 0 0 0 .. . 1 0 0 0 0 0 0 0 .. . 0 1 0 0 0 0 0 0 .. . 1 1 0 0 0 0 0 0 .. . 0 0 1 0 0 0 0 0 .. . 1 0 1 0 0 0 0 0 .. . . . . .

(33)

Uma f´ormula para gerar os c´odigos em Zn

2

´

E um prazer puro da alma espalhar pelo mundo o fruto de seus es-tudos e medita¸cões, ainda sem outra remunera¸cão que a consciência de

fazer bem. (Jos´e Bonif´acio)

Já não conto mais o número de fórmulas que deduzi (e/ou demonstrei) na matemática, confesso que, pela fórmula a seguir, tenho um carinho todo especial∗. xij =      1, se i−1 2j−1 é ´ımpar; 0, se i−1 2j−1 é par. (1.4)

Esta fórmula nos permite gerar os códigos binários, onde: xijé o j−ésimo bitdo código i de Zn

2. ⌊ x ⌋ ´e o maior inteiro que n˜ao supera x.

Fixado n fazemos

i = 1, 2, . . . , 2n e j = 1, 2, . . . , n

Por exemplo, para n = 2, temos: i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2. Ent˜ao i = 1, j = 1 _⇒ 1−1 21−1 = 0 _{⇒ x}₁₁ = 0 i = 1, j = 2 ⇒ ₂12−1−1 = 0 ⇒ x12 = 0 . . . . i = 2, j = 1 ⇒ ₂2−11−1 = 1 ⇒ x11 = 1 i = 2, j = 2 _⇒ 2−1 22−1 = 0 _{⇒ x}₁₂ = 0 . . . . i = 3, j = 1 _⇒ 3−1 21−1 = 2 _{⇒ x}₁₁ = 0 i = 3, j = 2 ⇒ ₂32−1−1 = 1 ⇒ x12 = 1 . . . . i = 4, j = 1 ⇒ ₂4−11−1 = 3 ⇒ x11 = 1 i = 4, j = 2 ⇒ ₂4−12−1 = 1 ⇒ x12 = 1

Sendo assim, temos: Z2 2 ={ 00_|{z} i = 1 , 10 |{z} i = 2 , 01 |{z} i = 3 , 11 |{z} i = 4 }

(34)

Exemplo 6: O espa¸co vetorial Pn(R).

Para a constru¸c˜ao do nosso pr´oximo exemplo de espa¸co vetorial tomare-mos como conjunto V o conjunto,

Pn(R) = a0 + a1x + a2x 2₊_{· · · + a} nx n_{: a} i ∈ R

dos polinômios com coeficientes reais de grau ≤ n (n é um inteiro não-negativo).

Para conferir aos elementos deste conjunto o status de vetores, tomemos dois elementos arbitr´arios

p(x) = a0 + a1x + a2x 2₊_{· · · + a} nx n q(x) = b0 + b1x + b2x 2₊_{· · · + b} nx n

e vamos definir duas opera¸c˜oes:

p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1+ b1)x + (a2 + b2)x

2₊_{· · · + (a}

n+ bn)x

n

Tomemos para o corpo de escalares os n´umeros reais, vamos definir, λ p(x) = λ b₀ + (λ b₁) x + (λ b₂) x2+_{· · · + (λ b}n) x

n

Pode ser mostrado que todas as exigências sobre as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar são satisfeitas; portanto Pn(R) é o espa¸co vetorial

dos polinˆomios (de grau _{≤ n) com coeficientes reais.} O vetor nulo deste espa¸co ´e dado por,

0(x) = 0 + 0x + 0x2+· · · + 0xn

O oposto aditivo do vetor p(x) = a0 + a1x + a2x2+· · · + anxn´e o vetor,

−p(x) = (−a0) + (−a1) x + (−a2) x

2₊_{· · · + (−a}

n) x

n

Isto se deve a que, p + (_{−p) = 0, veja:}

p + (_−p)(x) = a₀+ (_−a₀)+ a₁+ (_−a₁)x +_{· · · + a}n+ (−an)

xn = 0 + 0x + 0x2+· · · + 0xn= 0(x)

Exemplo 7: O espa¸co vetorial Mm×n(R).

Sobre o conjunto M_m×n(R), das matrizes de ordem m_{× n, com entradas} reais podemos construir um espa¸co vetorial tomando como corpo K = R e as opera¸cões usuais de adi¸cão de matrizes e multiplica¸cão de matriz por

escalar. (p. 424 e p. 425)

No caso particular das matrizes de ordem 2_{× 3, por exemplo, o vetor} nulo ´e dado por:

0 =

0 0 0 0 0 0

(35)

Para um vetor arbitr´ario, u = " a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ #

seu oposto aditivo ´e dado por, −u =

"

−a11 −a12 −a13

−a21 −a22 −a23

#

Para provar esta assertiva basta ter em conta que, u + (−u) = " a11 a12 a13 a₂₁ a₂₂ a₂₃ # + "

−a11 −a12 −a13

−a21 −a22 −a23

# Ou ainda, u + (_{−u) =} " a₁₁_{− a}₁₁ a₁₂_{− a}₁₂ a₁₃ _{− a}₁₃ a21− a21 a22− a22 a23 − a23 # = 0 0 0 0 0 0 = 0

Exemplo 8: Espa¸cos Funcionais. Consideremos o conjunto, F =_{{ f : R → R }}

das fun¸c˜oes reais definidas em toda a reta. O nosso objetivo ser´a construir sobre este conjunto um espa¸co vetorial:

F= F, +,_· (1.5) Dados dois elementos∗ f e g em F, vamos definir a adi¸c˜ao f + g como sendo a fun¸c˜ao dada pela seguinte “ lei ” (regra):

(f + g)(x) = f (x) + g(x) (1.6) Esta adi¸cão é conhecida como adi¸c˜ao ponto a ponto e existe uma inter-preta¸cão geométrica para a mesma. Por exemplo, consideremos as fun¸cões dadas por f (x) = x2 e g(x) = x + 1; pela defini¸cão de adi¸cão em F, temos:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = ( x2) + (x + 1) = x2+ x + 1 Geometricamente, tudo se passa assim:

∗_{Para o que se segue ser´}_{a importante que o leitor tenha em mente a distin¸c˜}_{ao entre}

os s´ımbolos f e f (x); o primeiro se refere à própria fun¸cão, o segundo se refere ao valor numérico que a fun¸cão assume no ponto x (imagem de x pela fun¸cão f ).

(36)

0 R R r r x f (x) g(x) f g 0 R R r x f (x)+g(x) f +g

Pois bem, dados um escalar λ_{∈ R e uma fun¸cão f ∈ F, vamos definir} a multiplica¸cão por escalar, λ f , como sendo a fun¸cão dada pela seguinte regra:

(λ f )(x) = λ f (x) (1.7) Como na adi¸cão, existe uma interpreta¸cão geométrica para o produto de um escalar por uma fun¸cão. Tomemos, por exemplo, f e g como anteriormente, e o escalar λ = 1₂, a seguir vemos as multiplica¸cões por escalar 1₂f e 1₂g :

0 R R r r x f 1 2f 0 R R r r x g 1 2g

Para conferir o status de vetor a uma fun¸cão só nos resta agora mostrar que todas as exigências para espa¸co vetorial são satisfeitas pelas opera¸cões definidas acima.

Antes, recordamos o que significa dizer que duas fun¸cões (ou aplica¸cões) são iguais:

Defini¸c˜ao 2 (Igualdade entre aplica¸c˜oes). Dizemos que as aplica¸c˜oes

f : A_{−→ B}

x 7−→ f(x) e

g : C _{−→ D} x 7−→ g(x)

(37)

Para duas fun¸c˜oes no conjunto F escrevemos, f : R_{−→ R}

x_{7−→ f(x)} e

g : R_{−→ R} x_{7−→ g(x)} De sorte que, por exemplo,

f + g = g + f ⇔ (f + g)(x) = (g + f)(x), ∀ x ∈ R. Ent˜ao,

A1) (f + g)(x) = f (x) + g(x) (defini¸cão de adi¸cão) = g(x) + f (x) (comutatividade nos reais) = (g + f )(x) (defini¸cão de adi¸cão) ⇓

f + g = g + f

A2) (f + g) + h(x) = ( f + g )(x) + h(x) (defini¸cão de adi¸cão) = f (x) + g(x)+ h(x) (defini¸cão de adi¸cão) = f (x) + g(x) + h(x)(associatividade nos reais) = f (x) + ( g + h )(x) (defini¸cão de adi¸cão) = f + ( g + h )(x) (defini¸cão de adi¸cão) ⇓

(f + g) + h = f + (g + h)

O nosso candidato natural a vetor nulo, 0, ´e a fun¸c˜ao nula, assim definida:

0 : R_{−→ R} x 7−→ 0 ´

E a fun¸cão que associa a todo número real, no dom´ınio, o número 0, no contradom´ınio, isto é,

0(x) = 0, _{∀ x ∈ R} e cujo gr´afico coincide com o eixo ox, veja:

0 R

(38)

Posto isto, temos,

A3) (f + 0)(x) = f (x) + 0(x) (defini¸cão de adi¸cão) = f (x) + 0 (defini¸cão de fun¸cão nula) = f (x) (elemento neutro nos reais) ⇓

f + 0 = f

− Dada qualquer fun¸cão f ∈ F, vamos definir como −f a fun¸cão cujos valores são os opostos (negativos) dos valores de f , isto é,

(−f)(x) = −f(x)

Vamos agora mostrar que f + (−f) = 0. De fato, temos que,

A4) f + (_−f)(x) = f (x) + (_−f)(x) (defini¸cão de adi¸cão) = f (x) + − f(x) (defini¸cão de fun¸cão oposta) = 0 (oposto nos reais) ⇓

f + (−f) = 0

Existe uma interpreta¸cão geometrica para a oposta,_{−f, de uma fun¸cão} f ; o seu gráfico é simétrico _{− em rela¸cão ao eixo x − ao gráfico de f; por} exemplo, para as fun¸cões f e g que vêm nos acompanhando, temos:

R R f −f x r r f (x) −f(x) f +(−f)= 0 g+(−g)= 0 R R r r x g −g g(x) −g(x)

M1) λ ( µ f )(x) = λ ( µf )(x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar) = λ µ f (x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar) = (λ µ)f (x) (associatividade nos reais) = (λ µ)f(x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)

⇓ λ (µ f ) = (λ µ)f

(39)

M2) (λ + µ) f(x) = (λ + µ)f (x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar) = λ f (x) + µ f (x) (distributividade nos reais) = (λ f )(x) + (µ f )(x) (multiplica¸cão por escalar) = (λ f + µ f )(x) (defini¸cão de adi¸cão) ⇓

(λ + µ) f = λ f + µ f

M3) λ (f + g)(x) = λ (f + g)(x) (multiplica¸cão por escalar) = λ f (x) + g(x) (defini¸cão de adi¸cão) = λ f (x) + λ g(x) (distributividade nos reais) = (λ f + λ g)(x) (defini¸cão de adi¸cão) ⇓

λ (f + g) = λ f + λ g

M4) (1 f )(x) = 1 f (x) (multiplica¸c˜ao por escalar) = f (x) (elemento neutro nos reais) ⇓

1 f = f

• Observe que somente agora − e dentro do presente contexto − uma fun¸cão adquire o status de vetor. Este vetor não tem módulo, não tem dire¸cão, não tem sentido.

Nota: Podemos considerar ao inv´es do conjunto, F =_{{ f : R → R }} o conjunto,

F =_{{ f : X → R }} (1.8) onde X ´e um conjunto n˜ao-vazio qualquer, e ainda aqui, como anterior-mente, obtemos um espa¸co vetorial: F(X, R).

Matemática: Esta “ciência vazia” que _{− espantosamente − se} aplica a todas as contingências fenomenológicas, apesar de ser um puro formalismo reflexivo.

(40)

Um exemplo patol´ogico

Importante: Na defini¸cão de espa¸co vetorial fizemos referência a uma opera¸cão, + : V _{× V −→ V}

a qual foi chamada de adi¸c~ao e cujo s´ımbolo adotado foi o usual: +. A escolha para este nome (adi¸cão) e para este s´ımbolo ( + ) é meramente uma questão de conveniência; a princ´ıpio esta opera¸cão pode não ter nada a ver com a “adi¸cão usual” , o que realmente importa é que a mesma satisfa¸ca a todas as exigências para a estrutura espa¸co vetorial. Para contextualizar a que estamos nos referindo meditemos sobre os dois exemplos a seguir. Exemplo 9: Consideremos o seguinte subconjunto V =_{{ x ∈ R: x > 0 }} dos reais, cuja versão geometrica é vista a seguir:

p p p

0 1 2 3 R

+ ∗

O nosso objetivo agora ser´a conferir aos elementos deste conjunto o status de vetores.

O nosso intuito estará fadado ao fracasso se definirmos a adi¸cão como sendo a usual, não obstante este conjunto ser fechado para esta opera¸cão. Este insucesso se deverá a que não conseguiremos um elemento neutro para a referida opera¸cão (já que o 0 foi excluido do conjunto V ); e nem um oposto para cada u_{∈ V .}

Observamos que este conjunto é fechado para a multiplica¸cão. Vamos definir as duas seguintes opera¸cões:

 



u + v = u v, ∀ u, v ∈ V

λ_{· u} = uλ_, _{∀ u ∈ V e ∀ λ ∈ R.}

Ou seja, a nossa opera¸cão candidata a adi¸cão vetorial nada mais é que a multiplica¸cão numérica usual e a nossa opera¸cão candidata a multiplica¸cão por escalar nada mais é que a exponencia¸cão numérica.

Nesta nossa adi¸cão esdrúxula observe que: 1 + 1 = 1_{· 1 ⇒ 1 + 1 = 1} 2 +1 2 = 2· 1 2 ⇒ 2 + 1 2 = 1 Nesta nossa multiplica¸cão esdrúxula observe que:

2_{· 1 = 1}2 _⇒ ₂_{· 1 = 1} 1 2 · 2 = 2 1 2 ⇒ 1 2 · 2 = √ 2 2_·1₂ = 1₂2 _⇒ 2_·1₂ = 1₄

(41)

Ser´a que funciona? Vejamos:

A1) u + v = u v (defini¸cão de adi¸cão) = v u (comutatividade da multiplica¸cão em R) = v + u (defini¸cão de adi¸cão) A2) (u + v) + w = (u v) + w (defini¸cão de adi¸cão)

= (u v) w (defini¸cão de adi¸cão) = u (v w) (associatividade em R) = u (v + w) (defini¸cão de adi¸cão) = u + (v + w) (defini¸cão de adi¸cão) A3) Devemos agora exibir um elemento neutro para a nossa adi¸cão; ou ainda, devemos exibir 0_{∈ V satisfazendo 0 + u = u, ∀ u ∈ V . Sendo assim} devemos ter

0 + u = 0 u = u = 1 u _⇒ 0 u = 1 u

Esta igualdade nos sugere tomar como candidato a vetor nulo 0 = 1, e de fato funciona, como ´e f´acil constatar.

A4) Para todo elemento u de V devemos exibir um outro elemento de V , denotado por_{−u, detentor da seguinte propriedade:}

u + (−u) = 0 Sendo assim, temos:

u + (_{−u) = u (−u) = 0 = 1 ⇒ u (−u) = 1} Esta ´ultima equa¸c˜ao nos sugere tomar −u = u−1 ₌ 1

u, e de fato funciona,

como ´e f´acil constatar. Observe que,

−1 = 1−1 ⇒ −1 = 1 (1.9) Interregno cultural:

Uma observa¸c˜ao trivial, no entanto pertinente, ´e que o sinal “_{−”, acima,} n˜ao significa “negativo”, significa apenas oposto (aditivo).

Por oportuno, em matemática um vetor não possui “negativo”. Com efeito, o conceito de negativo em um conjunto é definido em fun¸cão de uma

rela¸cão de ordem∗, num espa¸co vetorial não contamos com uma tal rela¸cão.

(42)

Observemos, novamente, a exigˆencia A4) na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial: “A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado por−u, detentor da seguinte propriedade:

u + (_{−u) = 0 ”} (Elemento oposto) Duas observa¸cões: ( i ) _{−u é apenas, e tão somente, uma nota¸cão ( ii ) o} que é essencial é que aqui temos a defini¸cão (caracteriza¸cão) do que seja o elemento −u, o oposto de u; é aquele que quando adicionado com u repro-duz o elemento neutro da “adi¸cão”. É isto o que importa, o que existe de essencial, não a nota¸cão (s´ımbolo) adotada para o elemento oposto.

N˜ao haveria nenhuma mudan¸ca estrutural se tivessemos enunciado a exigˆencia A4) do seguinte modo:

“A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado por ¯u, detentor da seguinte propriedade:

u + ¯u = 0 ” (Elemento oposto) Neste caso a igualdade (1.9) (p. 39)se tornaria,

¯ 1 = 1

1 ⇒ ¯1 = 1

Um raciocinio an´alogo se aplica ao caso do vetor nulo 0.

Em um contexto correlato a este observamos que nos números inteiros o sinal “_{−” tem dois significados distintos. Quando aparece em, por} exem-plo, −3, este sinal significa tomar o oposto; ou ainda, podemos dizer que se trata de uma opera¸cão unária; ao passo que este mesmo sinal em, por

exemplo, 2_{− 3, tem um significado distinto do primeiro, aqui temos uma}

opera¸c˜ao bin´aria (diferen¸ca entre dois inteiros).

Continuando:

M1) λ (µ u) = λ ( uµ) (defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar) = ( uµ₎λ _(defini¸c˜_{ao de multiplica¸c˜}_{ao por escalar)}

= u(µ λ) (potência nos reais) = (µ λ)u (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)

M2) (λ + µ) u = uλ+µ (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar) = uλ_{· u}µ _{(potência nos reais)}

= λ u_{· µ u} (multiplica¸cão por escalar) = λ u + µ u (defini¸cão de adi¸cão)

(43)

M3) λ (u + v) = λ (u v) (defini¸cão de adi¸cão) = (u v)λ (multiplica¸cão por escalar) = uλ_{· v}λ _{(potência nos reais)}

= λ u· µ u (multiplica¸cão por escalar) = λ u + µ u (defini¸cão de adi¸cão) M4) 1 u = u1 (multiplica¸cão por escalar) = u (potência nos reais)

Interregno cultural: Fa¸camos uma pequena exegese sobre a (leg´ıtima) igualdade: 1 2· 2 = 2 1 2 =√2

Esta igualdade bizarra nos dá razão quando afirmamos que a identidade de um elemento é conferida pela estrutura em que ele está inserido. Com efeito, na multiplica¸cão acima o primeiro fator, 1₂, é um número real (no caso um escalar), ao passo que o segundo, 2, não é mais um número real, mas sim um vetor.

Deixamos ao leitor a incumbˆencia de justificar as seguintes igualdades: −1 + (−2) = 1

2 =−1 · (−2)

Observe que o _{−1 à esquerda é um vetor enquanto o mesmo −1 à direita} não é mais um vetor, mas sim um escalar. O que confere a identidade de um elemento é a regra (opera¸cão) com a qual ele está sendo manipulado.

O próximo exemplo de espa¸co vetorial é a generaliza¸cão do exemplo anterior para duas “dimensões”.

Exemplo 10: Consideremos o conjunto V =_{{ (x, y) ∈ R}2: x, y > 0_{}, cuja} versão geométrica é vista a seguir:

p p p 1 2 3 p p p 0 1 2 3 R + ∗ R+_∗ r 0=(1, 1)

(44)

com as opera¸cãoes de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar definidas assim: (

(a, b) + (c, d) = ( a c, b d ) λ (a, b) = ( aλ, bλ)

Deixamos ao leitor a incumbˆencia de provar que V ´e um espa¸co vetorial.

1.2.1 Produto de Vetores

Uma pergunta pertinente seria: Existem produtos de vetores?

Um produto em um espa¸co vetorial V seria, segundo a defini¸c˜ao 55 (p. 419),

qualquer aplica¸c˜ao

· : V × V → V

(u, v) 7→ u·v

Sendo assim estamos livres para definir produto de vetores em muitos (qui¸c´a em todos) espa¸cos vetoriais, por exemplo

( I ) Em Rn, um produto poderia ser:

(x₁, x₂, . . . , xn)· (y1, y2, . . . , yn) 7→ (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)

( II ) Em Zn

2, um produto poderia ser:

x₁x₂ . . . xn · y1y2 . . . yn 7→ (x1y1)(x2y2) . . . (xnyn)

( III ) No espa¸co F das fun¸c˜oes reais podemos definir o produto f_{· g de} dois vetores f e g assim:

(f _{· g)(x) 7→ f(x) · g(x)}

Deste modo podemos considerar que existem sim produto de vetores. A questão, não apenas no presente contexto_{− como também em muitos outros} na matemática − não é se existe ou não um produto (ou outra opera¸cão qualquer) mas sim se o produto definido vai resultar “interessante” do ponto de vista algébrico (estrutural) ou de aplica¸c˜oes.

Por exemplo, no espa¸co vetorial R2, o produto definido acima, isto ´e: (a, b)_{· (c, d) 7→ (ac, bd)}

resultaria desinteressante sob os dois aspectos referidos; n˜ao obstante, pode-mos definir sobre este espa¸co um outro produto, qual seja∗:

(a, b)· (c, d) 7→ (ac − bd, ad + bc)

∗_{Esta multiplica¸c˜}_{ao, juntamente com a adi¸c˜}_{ao usual, resulta na estrutura conhecida}

como números complexos(p. 20). Observe que não estamos “misturando” as estruturas, estamos afirmando que esse produto poderia ser acrescido à estrutura de espa¸co vetorial.