Universidade Tecnológica Federal do Paraná ANÁLISE COMPLEXA. Pós Graduação em Matemática / Cálculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ CORRÊA

(1)

Campus Campo Mour˜ao

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(2)

(3)

0.1 N´umeros Complexos . . . 4

0.2 Propriedades Alg´ebricas de C . . . 8

0.3 Representa¸c˜ao Polar . . . 12

0.4 Ra´ızes n-´Esimas . . . 15

0.5 Conjuntos de Pontos no Plano Complexo . . . 17

0.6 Fun¸c˜oes Complexas . . . 21

0.7 A Fun¸c˜ao Exponencial Complexa . . . 22

0.8 Um Repasso `as Transforma¸c˜oes Complexas . . . 24

0.9 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas . . . 26

0.10 A Fun¸c˜ao Logaritmo Natural de z . . . 28

0.11 Limite e Continuidade . . . 30

0.12 Fun¸c˜ao Anal´ıtica . . . 32

0.13 As Equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann . . . 34

0.14 Integra¸c˜ao Complexa . . . 38

0.15 Teorema Integral de Cauchy . . . 40

(4)

0.1 N´

umeros Complexos

Desde que algumas equa¸cões algébricas, tais como x2 _{+ 1 = 0, não tem solu¸cão em R, os}

pri-meiros matemáticos foram obrigados a considerar solu¸cões puramente formais, envolvendo ra´ızes quadradas dos números negativos. Assim, Heron (Alexandria, 100 a. C.) obteve a solu¸cão de √

−63, Girolano Cárdan (1545) escreveu 40 = (5 +√−15) · (5 −√−15). Esses números foram considerados sem utilidade e o termo imaginário foi aplicado a eles.

Se i é definido solu¸cão da equa¸cão x2 _{+ 1 = 0, os n´}_{umeros da forma a + i b, a, b} _{∈ R são}

chamados Números Complexos. O desenvolvimento moderno dos números complexos come¸cou com a descoberta por meio da interpreta¸cão geométrica deles. Iniciada por John Wallis (1685), formalizada por Caspar Wessel (1799) e estabelecida e reconhecida a partir de 1806 com Jean Robert Argant e, finalmente, formalmente estudada por Carl Friedrich Gauss (1831).

Certamente, o seu primeiro contato com os números complexos foi por meio da obten¸cão das ra´ızes de uma equa¸cão do 2o

¯grau a2+ bx + c = 0 dada pela f´ormula

x = −b ± √

b2_{− 4ac}

2a .

Quando o discriminante for negativo, sabemos que a fórmula acima não leva a nenhuma raiz real. No entanto, os números complexos entraram na Matemática pela equa¸cão do 3o

¯grau e n˜ao do 2o¯.

Defini¸c˜_{ao 0.1. Definimos o conjunto C (chamado de conjunto dos n´umeros complexos) como} sendo o conjunto dos pares ordenados (a, b) com a, b_{∈ R com as opera¸c˜oes:}

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)_{· (c, d) = (ac − bd, ad + bc)}

As seguintes identifica¸cões, serão de grande valia no nosso estudo. Estas serão justificadas no teorema (0.1).

Identifica¸c˜oes:Denotamos

(a, 0) = a (0, 1) = i . (1)

Observa¸c˜ao 0.1. Temos que

1. Dado z ∈ C, z = (a, b), chamamos a = <(z) como parte real de z e b = =(z) de parte imagin´aria de z.

(5)

2. O par (0, 0) ´e o elemento nulo para a opera¸c˜ao soma.

3. O par (1, 0) é o elemento nulo para a opera¸cão multiplica¸cão. 4. Temos que (a, b) = (c, d) ⇔ a = c, b = d.

Munidos dos conceitos apresentados acima, podemos obter o plano complexo, que é o conjunto de representa¸cões de todos os números complexos z = x + iy pelos pontos P = (x, y) do plano.

A representa¸cão dos números complexos por pontos do plano é muito útil e de uso frequente. Por meio dela, o número complexo z = x + iy é identificado com o ponto (x, y), ou com o vetor Oz de componentes x e y.

(6)

0 x

z = x + iy y

Figura 1: Representa¸c˜ao dos n´umeros complexos

Proposi¸c˜ao 0.1. Dados os n´umeros complexos z1, z2, z3 ∈ C, valem as propriedades:

1. Associativa: (z1+ z2) + z3 = z1+ (z2+ z3) .

2. Comutativa: z1+ z2 = z2+ z1.

3. Distributiva: z1· (z2+ z3) = z1z2+ z1z3.

Observa¸cão 0.2. Usando a 1¯adefini¸cão e as identifica¸cões, temos:

1. (0, 1)_{· (0, 1) = (−1, 0) = −1, ou i · i = −1, o que nos mostra que i}2 ₌_−1.

2. Adi¸c˜ao

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) . 3. Subtra¸c˜ao

(a + ib)− (c + id) = (a − c) + i(b − d) . 4. Multiplica¸c˜ao

(a + ib)_{· (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) .} 5. Divis˜ao a + ib c + id = a + ib c + id · c_{− id} c_{− id} = ac + bd + i(bc− ad) c2_{+ d}2 = ac + bd c2_{+ d}2 + i bc− ad c2_{+ d}2 .

(7)

Exemplo 0.1. Sejamz1 = 1−i e z2 = 3+4 i . Calcule z1+z2, z1−z2, z1· z2, z1/z2 e represente-os

geometricamente.

O número complexo c− id é chamado conjugado do número complexo c + id. De modo geral, dado z = a + ib, denotamos por z = a_{− ib como sendo o conjugado de z.}

Observa¸cão 0.3. (Compara¸cão com Análise Real)

1. Várias das propriedades do sistema de n´_{umeros reais R permanecem válidas no sistema de} n´_{umeros complexos C, mas há algumas diferen¸cas notáveis.}

Por exemplo, o conceito de ordem do sistema de números reais não se aplica ao sistema de números complexos. Em outras palavras, não podemos comparar dois números complexos z1 = a1+ i b1, b1 6= 0 e z2 = a2+ i b2, b2 6= 0, por meio de desigualdades. Asser¸cões como

z1 < z2, ou z2 ≥ z1 n˜ao tˆem qualquer significado em C.

2. Algumas coisas que sabemos ser imposs´ıveis na an´alise real, como ex ₌ _{−2 e sen x = 5,}

quando x é uma variável real, são perfeitamente corretas e corriqueiras na análise complexa, quando x é interpretado como uma variável complexa, como veremos posteriormente. Defini¸cão 0.2. (Valor Absoluto) Seja z = a + ib um número complexo. Definimos_{|z| =}√a2_{+ b}2

como sendo o valor absoluto de z.

Propriedades de conjuga¸c˜ao e valor absoluto. 1. z1± z2 = z1± z2. 2. z1· z2 = z1· z2. 3. z1 z2 = z1 z2 . 4. Se z = <(z) ⇒ z = z . 5. Se z =_{=(z) ⇒ z = −z .} 6. z + z = 2_{<(z) .} 7. z− z = 2 =(z) 8. _{|<(z)| ≤ |z| .} 9. _{|=(z)| ≤ |z| .}

10. Se z1 = a1+ b1i e z2 = a2+ b2i então|z1− z2| =p(a1− a2)2+ (b1− b2)2 é a distância entre

(8)

11. z· z = |z|2_. 12. |z| = |z|. 13. |z1· z2| = |z1| · |z2| 14. z1 z2 = |z1| |z2| , z2 6= 0. 15. |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| 16. |z1− z2| ≥ | |z1| − |z2| |

0.2 Propriedades Alg´

_{ebricas de C}

Iniciemos esta subse¸c˜ao com a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 0.2. O conjunto dos n´_{umeros complexos C ´e um corpo.}

Demonstra¸cão: Basta usar a proposi¸cão (0.1) e a observa¸cão (0.2) para verificar a veracidade das propriedades de corpo.

Corol´ario 0.1. Dados z1, z2 ∈ C, temos que z1 · z2 = 0 se, e somente se, z1 = 0 ou z2 = 0.

Demonstra¸c˜ao: Dados zi = (ai, bi), i = 1, 2 veja que

z1 · z2 = (a1a2− b1b2a1, b2+ b1a2) . Se z1 · z2 = 0, ent˜ao,    a1a2− b1b2a1 = 0 a1b2+ b1a2 = 0 ⇒    a1a2 = b1b2a1 a1b2 =−b1a2 (2)

Multiplicando a primeira equa¸c˜ao de (2) por b2 temos:

a1b2 | {z } =−b1b2 a2 = b1b22 −b1a22 = b1b22 ⇒ b1 (a22+ b 2 2) | {z } =| z2| = 0

Como a ´ultima igualdade envolve apenas n´umeros reais, a mesma nos diz que b1 = 0 ou | z2| = 0,

isto é, z2 = 0. Se b1 = 0, então por qualquer equa¸cão de (2) temos que a1 = 0, e assim, z1 = 0.

(9)

Corol´ario 0.2. (Lei do Cancelamento)

Dados z1, z2, z3 ∈ C com z1 6= 0 e z1 · z2 = z2 · z3 ent˜ao, z2 = z3.

Demonstra¸c˜ao: De fato, se z1 · z2 = z2 · z3, ent˜ao,

z1 · z2− z2 · z3 = 0

⇒ z1 · (z2 − z3) = 0.

Assim, em virtude que z1 6= 0, pelo corol´ario precedente resulta que z2− z3 = 0, ou seja, z2 = z3.

Observa¸c˜ao 0.4. Definindo seguinte multiplica¸c˜ao por escalar

· : R × C → C (k, z) _{7→ k · z} não é dif´ıcil verificar que _{(C, + ,} _{· ) é um R– espa¸co vetorial.}

Proposi¸c˜ao 0.3. O conjunto_{{1, i} ´e uma base de C como R– espa¸co vetorial.}

Demonstra¸cão: Apenas como registro, o conjunto_{{1} é uma base de C como C– espa¸co vetorial.} Agora, vamos a prova da proposi¸cão. Com efeito, note que {1, i} gera C, pois, dado a + i b ∈ C,

a + i b = a _· 1+ b _· i.

E ainda, dados α, β ∈ R tivermos α · 1 + β i = 0, ent˜ao, pelas identifica¸c˜oes mencionadas anteriormente,

α _{· 1 + β i = 0} α _{· (1, 0) + β · (0, 1) = (0, 0)}

(α, β) = (0, 0) ⇒ α = β = 0,

logo, o conjunto {1, i} ´e l. i. e, portanto, base de C como R– espa¸co vetorial.

(10)

A seguir, estudaremos produto interno em C.

Defini¸cão 0.3. Considere V um espa¸co vetorial real, o produto interno é uma fun¸cão _{h , i :} V _{× V → R que satisfaz:}

1. _{|| v ||}2 =hv, vi ≥ 0 e hv, vi = 0 se, e somente se, v = 0, para todo v ∈ V. 2. _{hα v, vi = α hv, vi, ∀ α ∈ R; ∀ v ∈ V.}

3. _hv1+ v2, v3i = hv1, v3i + hv2, v3i, ∀ v1, v2, v3 ∈ V.

4. _hv1, v2i = hv2, v1i, ∀ v1, v2 ∈ V.

Observa¸cão 0.5. Se, considerarmos agora v ∈ C, onde V é um espa¸co vetorial sobre C, de-ver´ıamos ter _{hv, vi ≥ 0 para todo v ∈ V, pela propriedade 1 da defini¸cão anterior. Mas, se} v = i w, note que hi w, i wi = i hw, iwi (propriedade 2) = i_{hi w, wi (propriedade 4)} = i2 |{z} =−1 hw, wi | {z } ≥ 0 ≤ 0 (propriedade 2)

o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Para driblar tal problema, precisamos de uma nova defini¸c˜ao de produto interno quando se considera o corpo dos complexos.

Defini¸cão 0.4. Seja V um espa¸co vetorial complexo, o produto interno é uma fun¸cão h , i : V _{× V → C que satisfaz:}

1. _{|| v ||}2 ₌_{hv, vi ≥ 0 e hv, vi = 0 se, e somente se, v = 0, para todo v ∈ V.}

2. _{hα v, vi = α hv, vi, ∀ α ∈ C; ∀ v ∈ V.}

4. _hv1, v2i = hv2, v1i, ∀ v1, v2 ∈ V.

Defini¸cão 0.5. Seja V um espa¸co vetorial complexo, o produto interno é uma fun¸cão _{h , i :} V _{× V → C que satisfaz:}

(11)

1. _{|| v ||}2 =hv, vi ≥ 0 e hv, vi = 0 se, e somente se, v = 0, para todo v ∈ V. 2. _{hα v, vi = α hv, vi, ∀ α ∈ C; ∀ v ∈ V.}

4. _hv1, v2i = hv2, v1i, ∀ v1, v2 ∈ V.

Terminaremos esta subse¸cão, demonstrando que C é uma extensão de R, isto é, C contém um subconjunto isomorfo a R. Este resultado, há de nos garantir a boa coloca¸cão de nossas identifica¸cões dadas em (1).

Teorema 0.1. C ´e uma extens˜ao de R.

Demonstra¸c˜ao: Com efeito, considere a aplica¸c˜ao ϕ : R → =(ϕ)

a 7→ ϕ(a) = (a, 0) Note que

(i) Para todo a, b∈ R e todo α ∈ R, ϕ ´e um homomorfismo:

ϕ(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = ϕ(a) + ϕ(b).

ϕ(α · a) = (α · a, 0) = (α · a, α · 0) = α · (a, 0) = α ϕ(a).

(ii) ϕ ´e sobrejetora.

Pela própria constru¸cão de ϕ, obtemos o desejado. (iii) ϕ é injetora.

De fato, note ϕ ´e linear e Ker(ϕ) =_{{a ∈ R, ϕ(a) = (0, 0)}.} Seja x∈ Ker(ϕ). Ent˜ao, ϕ(x) = (0, 0), ou ainda,

(x, 0) = ϕ(x) = (0, 0) _{⇔ x = 0,} logo,

{ 0 } ⊂ Ker(ϕ) ⊂ { 0 } ⇒ Ker(ϕ) = { 0 }. Deste modo, por um resultado clássico de Álgebra Linear, ϕ é injetora.

(12)

Portanto, ϕ ´e um isomorfismo e assim,

R ≈ =(ϕ) ⊂ C, o que prova o desejado.

0.3 Representa¸

c˜

ao Polar

Considerando a representa¸cão geométrica de um número complexo z _{6= 0, chama-se argumento} de z o ângulo θ formado pelo eixo Ox e o vetor Oz, no qual denotaremos por arg(z). Como em trigonometria, os ângulos são aqui orientados: consideramos positivo o sentido de percurso oposto ao dos ponteiros do relógio.

Nesta defini¸cão, o argumento não é único e só fica determinado a menos de múltiplos inteiros de 2π, isto é, θ pode ser trocado por θ + 2kπ, k ∈ Z.

Deste modo, temos que o

arg(z) _{≡ Arg(z) (mod 2π)} ≡ Arg(z)

onde Arg(z) = θ quando 0≤ θ < 2 π.

Observa¸cão 0.6. Aqui e somente aqui, Arg(z) significa a classe de equivalência mod (2π). No restante do texto, como de costume na teoria envolvendo números complexos, z será o conjugado de dado número complexo z.

A menos que se diga o contr´ario, consideraremos o argumento de um n´umero complexo como θ = Arg(z), 0_{≤ θ ≤ 2 π.}

Como a =|z| cos θ e b = |z| sen θ, temos a seguinte representa¸cão polar ou representa¸cão trigonométrica:

z = r (cos θ + i sen θ), r =_|z|; (3)

de modo que r e θ s˜ao designados as coordenadas polares de z. A seguir, um resultado interessante:

(13)

0 a

b z = a + ib

θ r =|z|

Figura 2: Forma Polar do número complexo z = a + b i Proposi¸cão 0.4. Sejam z, w dois números complexos. Então,

arg(z · w) = (arg(z) + arg(w)) (mod 2 π) e argz w

(14)

1. Um argumento pode ser associado a qualquer número complexo não nulo de z. Contudo, para z = 0 não é poss´ıvel dar a arg(z) qualquer defini¸cão que fa¸ca sentido.

2. Se tomarmos arg(z) no intervalo (_{−π, π], a rela¸cão entre um número complexo z e seu} argumento é un´ıvoca; ou seja, todo número complexo não nulo tem precisamente um ângulo entre (_{−π, π]. Todavia, o intervalo (−π, π] nada tem de especial; também estabelecemos uma} rela¸cão un´ıvoca se usarmos o intervalo (0, 2 π] para definir o valor principal do argumento de z. Para o intervalo (_{−π, π], o eixo real negativo é análogo a uma barreira que decidimos} não cruzar; a denomina¸cão técnica dessa barreira é corte de ramo ou linha de corte de ramo (branch cut). Se usarmos (0, 2 π], o corte de ramo é o eixo positivo. Veremos novamente este conceito ao tratar da fun¸cão logaritmo complexa.

3. A parte “cosseno i seno” da parte da forma polar de um número complexo é, às vezes, abreviada por cis, ou seja,

z = r (cos θ + i sen θ) = r cisθ .

Esta nota¸cão, empregada principalmente na engenharia, não será utilizada neste texto. Fórmulas do Produto e do quociente

De posse da representa¸c˜ao polar, vamos deduzir uma regra conveniente para a multiplica¸c˜ao. Sejam

z1 = r1(cos θ1 + i sen θ1) e z2 = r2(cos θ2+ i sen θ2)

dois n´umeros complexos quaisquer. Ent˜ao

z1z2 = r1r2(cos θ1 + i sen θ1) (cos θ2+ i sen θ2)

= r1r2[(cos θ1cos θ2− sen θ1sen θ2) + i( sen θ1cos θ2+ cos θ1sen θ2)]

= r1r2[cos(θ1+ θ2) + i sen (θ1+ θ2)] .

Com isto, note que Arg(z1 · z2) = θ1+ θ2 = Arg(z1) + Arg(z2).

Vamos deduzir um resultado an´alogo para a divis˜ao, no entanto, note que 1

cos θ + i sen θ =

cos θ_{− i sen θ}

(15)

temos: z1 z2 = r1 r2 · cos θ1+ i sen θ1 cos θ2+ i sen θ2 = r1 r2 · (cos θ

1+ i sen θ1)(cos θ2− i sen θ2)

= r1

r2 · [(cos θ

1cos θ2+ sen θ1sen θ2) + i( sen θ1cos θ2− cos θ1sen θ2)]

= r1

r2 · [cos(θ

1− θ2) + i sen (θ1− θ2)] .

Analogamente, Arg(z1/ z2) = θ1− θ2 = Arg(z1)− Arg(z2).

F´ormula De Moivre

A fórmula da multiplica¸cão estende-se para um número qualquer de fatores, isto é, de demons-tra¸cão simples, podemos obter

z1z2. . . zn = r1r2. . . rn[cos(θ1+ θ2+ . . . θn) + i sen (θ1+ θ2+ . . . θn)].

Quando todos os fatores são iguais e de módulo unitário, obtemos a fórmula De Moivre:

(cos θ + i sen θ)n_{= cos nθ + i sen nθ .}

Esta fórmula também é válida também para expoentes negativos. De fato, (cos θ + i sen θ)−n = 1

(cos θ + i sen θ)n =

1

cos nθ + i sen nθ

= cos nθ− i sen nθ = cos(−nθ) + i sen (−nθ) .

0.4 Ra´ızes

n-´

Esimas

Diz-se que um número z é raiz n-ésimade um dado número complexo a, se zn_{= a. Como veremos}

logo a seguir, um número complexo não-nulo possui n ra´ızes distintas. Para isso, consideremos o número dado a_{6= 0 em sua forma polar, bem como, a raiz que desejamos encontrar na sua forma} polar, ou seja,

a = r(cos θ + i sen θ) e z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ).

Utilizando com deleite a f´ormula De Moivre, a equa¸c˜ao zn_{= a assume a seguinte forma:}

(16)

Como a igualdade de n´umeros complexos requer a igualdade das partes reais e das partes ima-gin´arias, separadamente, devemos ter

ρn_{cos nϕ = r cos θ} _e _ρn_{sen nϕ = r sen θ .}

Estas equa¸c˜oes, por sua vez, equivalem a ρn _{= r e nϕ = θ + 2kπ, onde k ´e um inteiro. Daqui}

segue-se que se ρ ´e a raiz n-´esima positiva de r, donde z = √n_{a =} √n_r cos θ + 2kπ n + i sen θ + 2kπ n . (5)

Esta f´ormula produz n ra´ızes distintas, quando k se atribuem os valores de k = 0, 1, . . . , n_{− 1.} No caso particular quando a = 1, temos que θ = 0 e a f´ormula (5) se reduz a

z = cos 2kπ n + i sen 2kπ n (6) que s˜ao chamadas ra´ızes n-´esimas da unidade.

Exemplo 0.2. Calcule as ra´ızes de z6 _{= 1 e esboce tais ra´ızes no plano complexo.}

Solu¸c˜ao: Note que recorrendo `a (5) temos que z0 = 1,

z1 = cos(π/3) + i sen (π/3) = 1/2 + i

√

3/2, z2 =−z1, z3 =−1, z4 =−z1, z5 = z1.

A figura (3) ilustra as ra´ızes para a equa¸c˜ao z6 _{= 1:}

1. Como consequência de (5), podemos dizer que o sistema de números complexos é fechado sob a opera¸cão de extra¸cão de ra´ızes. Isso significa que para qualquer número z _{∈ C,} z1/n _tamb´_{em est´}

a em C. O sistema de n´umeros reais n˜ao goza de propriedade similar de fechamento, pois se x_{∈ R, x}1/n _n˜_{ao est´}_{a necessariamente em R.}

2. Do ponto de vista geométrico, asn ra´ızes n-ésimas de um número complexo z também podem ser interpretadas como os vértices de um pol´ıgono regular com n lados que está inscrito em uma circunferência de raio √n_{r e centro na origem. A plausibilidade deste fato pode ser}

comprovada por uma reinspe¸c˜ao da figura anterior.

3. Quandom e n s˜ao inteiros positivos sem fator comum, (5) nos permite definir uma potˆencia racional de z, ou seja, zm/n_{. Pode ser mostrado que o conjunto de valores} _(z1/n₎m _´_{e igual}

(17)

z0

z1

z2

z3

z4 z5

Figura 3: Ra´ızes da equa¸c˜ao z6_{+ 1 = 0}

0.5 Conjuntos de Pontos no Plano Complexo

Defini¸c˜ao 0.6. Consideremos z0 = x0+ i y0. Como |z − z0| =p(x − x0)2+ (y− y0)2 representa

a distˆancia entre os pontos z = x + iy e z0 = x0 + i y0, os pontos z = x + iy que satisfazem a

equa¸c˜ao

| z − z0| = ρ, ρ > 0, (7)

est˜ao localizados na circunferˆencia de raioρ, centrada em z0, como ilustrado na figura a seguir.

Figura 4: Circunferˆencia de raio ρ.

Defini¸c˜ao 0.7. Dizemos que o conjunto de pontos definidos por _{|z − z}0| ≤ ρ ´e um disco de raio

(18)

Defini¸c˜ao 0.8. Um pontoz0 ´e denominado ponto interior de um conjuntoS do plano complexo

se existir alguma vizinhan¸ca de z0 que esteja inteiramente contida em S. Se todo ponto z de um

conjunto S for um ponto interior, ent˜ao S ´e denominado conjunto aberto.

Figura 5: Conjunto aberto

Defini¸c˜ao 0.9. Se toda vizinhan¸ca de um ponto z0 contiver pelo menos um ponto que est´a em

S e pelo menos um ponto que não está em S, então z0 é denominado ponto de fronteira. A

cole¸cão de pontos de fronteira de S é chamada fronteira de S. Um ponto z que não é um ponto interior nem um ponto de fronteira de um conjunto S é chamado ponto exterior de S.

Interior S Exterior Fronteira y x

Figura 6: Interior, fronteira e exterior de S.

Defini¸cão 0.10. Dizemos que z0 é um ponto de acumula¸cão do conjunto S se qualquer

vizi-nhan¸ca de z0 contém infinitos pontos de C. Caso contrário, z0 é dito isolado.

Exemplo 0.3. Considere o conjunto i +1 2, i + 1 3, . . . , i + 1 n .

(19)

Temos que i +1 2, i +

1

3, . . . , i + 1

n são pontos isolados e o único ponto de acumula¸cão do conjunto ´

e i que n˜ao pertence ao conjunto.

Defini¸c˜ao 0.11. Se um par qualquer de pontosz1 ez2 de um conjuntoS puder ser ligado por uma

linha poligonal que consiste em segmentos de retas conectados e inteiramente contidos no conjunto, S ´e denominado um conjunto conexo. A figura a seguir, ilustra o conceito. Um conjunto conexo aberto ´e denominado dom´ınio.

z

₁

z

₂

Figura 7: Conjunto conexo

No estudo de matemática é provável que o aluno tenha se deparado com o conceito de infinito. Por exemplo, em um curso de cálculo o aluno deve ter estudado limites no infinito, quando o comportamento de fun¸cões é examinado à medida que x aumenta ou diminui indefinidamente. Como há exatamente duas dire¸cões em uma reta de números, é conveniente representar as no¸cões de “aumentar” indefinidamente e “diminuir” indefinidamente de forma simbólica por x → +∞ e x _{→ −∞, respectivamente. No entanto, podemos nos sair muito bem sem a designa¸cão ± ∞} usando um “ponto ideal” denominado ponto infinito e denotado simplesmente _{∞. Para isso,} associamos qualquer número real a a um ponto (x0, y0) na circunferência unitária x2+ y2 = 1 da

seguinte forma: tra¸camos uma reta do ponto (a, 0), no eixo x ou reta horizontal de números, ao ponto (0, 1), na circunferência. O ponto (x0, y0) na circunferência é a interseçcão da linha reta

e da circunferência. A figura (8) deixa claro que quanto mais distante o ponto (a, 0) estiver da origem, mais próximo(x0, y0) se torna de (0, 1). Para completar a correspondência com todos os

pontos na circunferência , (0, 1) é associado ao ∞. O conjunto que consiste nos números reais R ´

e dito sistema de n´umeros reais estendido.

Em nosso estudo, o análogo à reta de números é o plano complexo. Recordemos que como C não é ordenado, a no¸cão de “aumento” ou “diminui¸cão” de z não faz sentido. Contudo,

(20)

sabemos que se aumentarmos ou diminuirmos o módulo _{|z| de um número complexo z o número} se distancia da origem. Se permitirmos que z cres¸ca indefinidamente, digamos ao longo do eixo real ao do eixo imaginário, não precisaremos distinguir “dire¸cões” ao longo desses eixos, como z _{→ +∞, z → −∞, z → +i ∞ ou z → −i ∞. Em análise complexa, usamos apenas a no¸cão de} ∞, pois podemos estender o sistemas de números complexos C de forma análoga à que acabamos de descrever para o sistema de n´_{umeros reais R. Todavia, agora associamos um número complexo} a um ponto na superf´ıcie de uma esfera de raio unitário, denominada esfera de Riemann. Ao desenhar uma reta do número z = a + ib no plano complexo, representado por A = (a, b, 0), ao polo norte N = (0, 0, 1) da esfera x2_{+ y}2_{+ u}2 _{= 1, determinamos um ´}_{unico ponto} _A0 _{= (x}

0, y0, u0)

na superf´ıcie da esfera unitária. Como mostra a figura (9), um número complexo de módulo muito grande está distante de S = (0, 0, 0) e, por conseguinte, o ponto A0 _est´_{a pr´}_{oximo de} _{N . Assim,}

cada número complexo é associado a um único ponto na superf´ıcie da esfera. Como o pontoN não está associado a qualquer número z no plano, o associamos a ∞. O resultante sistema consiste em C e no “ponto ideal” é denominado sistema de números complexos estendido.

Esta forma de associar ou mapear os números complexos a uma esfera – com polo norte em N é denominada proje¸cão estereográfica.

Para um n´umero finito z, temos z +_{∞ = ∞ + z = ∞ e, para z 6= 0, z · ∞ = ∞ · z = ∞.} Adicionalmente, para z 6=, 0, escrevemos z/0 = ∞ e, para z 6= ∞, z/∞ = 0. Express˜oes como ∞ − ∞, ∞/∞, ∞0 _e ₁∞ _n˜_{ao podem ser definidas se s˜}_{ao denominadas indetermina¸}_c˜_{oes ou formas}

indeterminadas. Reta de n´umeros (0, 1) (x0, y0) (a, 0)

(21)

Exemplo 0.4. Esboce os conjuntos de pontos dados. 1. _{|z| = 1} 2. _{|z| < 1} 3. _{|z| > 1} 4. _{|z − 2| = 1} 5. _{|z + 1 + 3i| = 4} 6. z = z0+ (z1− z0)t, t ∈ R 7. _{<(z) < −3} 8. _{=(z) ≥ 1} 9. _{| z − 2 | = | z − 3i |}

0.6 Fun¸

c˜

oes Complexas

Vamos considerar fun¸cões definidas em conjuntos complexos, assumindo valores complexos. Mais precisamente, seja D um conjunto de números complexos e seja f a lei que faz corresponder, a cada elemento z do conjunto D, um único número complexo, que denotaremos por f (z). Nestas condi¸cões, diz-se que f é uma fun¸cão com dom´ınio D. O conjunto I dos valores w = f (z), correspondentes a todos valores de z em D, é chamado a imagem de D pela fun¸cão f conforme ilustra figura a seguir: A cada fun¸cão w = f (z) de uma variável complexa z = u + iv estão

z f _{f (z)}

I D

Figura 10: Fun¸c˜ao de vari´avel complexa

associadas duas fun¸c˜oes reais de vari´aveis reais x e y,dadas por

u = u(x, y) =<(f(z)) : R2

→ R e v = v(x, y) ==(f(z)) : R2

→ R

Exemplo 0.5. Nas fun¸cões de variável complexa definidas abaixo, identifique a parte realu(x, y), a parte imaginária v(x, y), bem como o dom´ınio destas fun¸cões.

1. f (z) = z2 2. f (z) = 3z + 2 3. w = z2_{+ z + 1} 4. w = z2_{− 5z + 3} 5. w = 1 z 6. w = 3 z− 5 7. w = ˆ +∞ 0 e−xtdt + i +∞ X n=0 yn

(22)

Observa¸cão 0.10. (Compara¸cão com Análise Real) Há uma grande diferen¸ca entre as análises real e complexa:

não é poss´ıvel desenhar o gráfico de uma fun¸cão complexa

De fato, se y = f (x) for uma fun¸cão de valor real de uma variável real x, o gráfico de f é definido como o conjunto de todos os pontos (x, f (x)) no plano cartesiano bidimensional. Uma defini¸cão análoga pode ser feita para fun¸cões complexas. No entanto, se w = f (z) for uma fun¸cão complexa, z e w residem no plano complexo. Por conseguinte, o conjunto de todos os pontos (z, f (z)) reside no espa¸co quadridimensional (duas dimensões da entrada z e duas dimensões da sa´ıda w). é Óbvio que um subconjunto do espa¸co quadridimensional não pode ser ilustrado com facilidade. Em vez de usar um gráfico, representaremos uma fun¸cão complexa por meio de uma transforma¸cão complexa com o uso de duas figuras: a primeira descreve um subconjunto S no plano complexo, e a segunda, a imagem S0 _{do conjunto} _{S sob a transforma¸c˜}_{ao complexa. A}

figura a seguir, apresenta um exemplo de uma transforma¸c˜ao complexa.

S w = f (z) S ′ x y u v

Figura 11: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = f (z).

A primeira fun¸c˜ao f : C→ C ser´a definida a seguir.

0.7 A Fun¸

c˜

ao Exponencial Complexa

Admitimos que o leitor, com sua familiaridade com as fun¸cões trigonométricas, a constante de Euler e e a fun¸cão exponencial ex_{, conceitos estes que são estudados nos cursos de Cálculo.}

Lem-bramos, ainda, os desenvolvimentos dessas fun¸cões em séries de MacLaurin, válidos para todos os valores reais da variável x:

(23)

ex ₌ +∞ X n=0 xn n! = 1 + x + x2 2! + x3 3! + . . . ; (8) cos x = +∞ X n=0 (₋₁₎n_x2n (2n)! = 1− x2 2! + x4 4! − x6 6! + . . . ; (9) sen x = +∞ X n=0 (−1)n_x2n+1 (2n + 1)! = x− x3 3! + x5 5! − x7 7! + . . . (10)

Vamos tomar o desenvolvimento (8) como base para definir ez _{com z complexo. Formalmente,}

assuma que este desenvolvimento seja v´alido para nossos prop´ositos e que ez _{para z complexo,}

ent˜ao para y real, tem-se:

eiy _{= 1 + iy +} (iy)2 2! + (iy)3 3! + (iy)4 4! + (iy)5 5! + (iy)6 6! + (iy)7 7! + . . . = 1 + iy₋ y 2 2! − i y3 3! + y4 4! + i y5 5! − y6 6! − i y7 7! + . . . Ou ainda, eiy ₌ 1₋ y 2 2! + y4 4! − y6 6! + . . . ... + i y₋ y 3 3! + y5 5! − y7 7! + . . . , ou seja, em vista de (9) e (10), obtemos:

eiy = cos y + i sen y.

Por outro lado, da defini¸c˜ao da exponencial no caso de um expoente qualquer z = x + iy temos

ez _{= e}x+iy _{= e}x_eiy_,

doravante,

ez _{= e}x+iy _{= e}x_{(cos y + i sen y) .} ₍₁₁₎

Propriedades:

1. e0 _{= 1.} _{2. e}z1+z2 _{= e}z

(24)

3. e−z _{= 1/e}z_;

4. (ez₎n_{= e}nz_{, n inteiro;}

5. ez _{6= 0 para todo z;}

6. |ez_{| = e}<(z)_;

7. ez _{= 1} _{⇔ z = 2kπi, k inteiro.}

8. ez _{´e peri´odica com per´ıodo puramente}

imagin´ario 2π i.

Observa¸c˜ao 0.11. Se z = r (cos θ + i sen θ), ent˜ao eiθ _{= e}0_{(cos θ + i sen θ) = (cos θ + i sen θ),}

portanto, obtemos a conhecida f´ormula exponencial polar

z = reiθ_. ₍₁₂₎

0.8 Um Repasso `

as Transforma¸

c˜

oes Complexas

Veremos a seguir, que a fórmula exponencial polar dada em (12) é muito útil quando queremos analisar transforma¸cões complexas. Vejamos os exemplos a seguir.

1. Fun¸c˜oes Lineares: w = f (z) = z + c, c_{∈ C .} Se z = x + i y, c = c1+ i c2, w = f (z) = x + c1+ i(y + c2) . x y z-plano x x+ c1 y y + c2 w-plano f

Figura 12: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = f (z) = z + C.

2. Fun¸c˜ao Linear w = f (z) = c z, c_{∈ C.}

Usando a f´ormula exponencial polar, z = r eiθ_{, c = r}

1eiθ1, note que w = f (z) = r ·

(25)

z-plano w-plano f r r r _{· r}1 θ θ θ + θ1 z w

Figura 13: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = f (z) = z C.

3. Considere w = f (z) = (1+i)z +2_{−i de tal modo que dom´ınio de f é formado pelo retângulo} de vértices 0, 1, 2i e 1 + 2i. Note que f (0) = 2− i; f(1) = 3; f(2i) = i; f(1 + 2i) = 1 + 2i . z-plano w-plano f 0 ₁ 1 + 2i 2i f (2i) f (0) f (1 + 2i) f (1)

Figura 14: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = f (z) = (1 + i)z + 2− i.

4. w = f (z) = i z onde o dom´ınio ´e a faixa cuja fronteira s˜ao as retas z = 0 e z = 1. Veja que i = 1 eiπ₂_{, logo, para z = r e}i θ_{, w = i z = r e}i(θ+π/2)_.

5. Fun¸c˜oes zn_.

(a) w = z2_.

(26)

f

z-plano w-plano

0 1

Figura 15: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = f (z) = i z com o dom´ınio dado.

f f 1 1 −1 1 z-plano w-plano

Figura 16: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = f (z) = z2 _{com dom´ınios dados.}

(b) w = zn_. Temos que w = rn · ei n θ_{. Se θ =} π n, ou seja, z = r e iπ_n_{, ent˜ao, z}n_{= r}n_ei π_. (c) w = 1 z.

Recorrendo `a f´ormula exponencial polar z = r ei θ_{, temos que w =} 1

re

−i θ

.

0.9 Fun¸

c˜

oes Trigonom´

etricas

Como vimos na se¸c˜ao anterior

eiy _{= cos y + i sen y} _e _eiy_{= cos y}

(27)

z-plano w-plano f r θ =π n z

Figura 17: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = f (z) = zn _{com dom´ınio dado.}

z-plano w-plano f r θ z −θ 1 r 1 z

Figura 18: Imagem de S sob a transforma¸c˜ao w = 1

z com dom´ınio dado. logo ´e natural definir

cos z := e iz_{+ e}−iz 2 (13) sen z := e iz_{− e}−iz 2i (14) tg z := sen z cos z (15) cotg z := cos z sen z, sec z := 1 cos z, cossec z := 1 sen z (16) Propriedades: 1. sen2_{z + cos}2_{z = 1 .}

(28)

3. sen z = sen x cosh y + i cos x senh y.

4. sen (z + 2π) = sen z e cos(z + 2π) = cos z .

5. sen (z + π) =_{− cos z, cos(z + π) = − sen z e tg (z + π) = tg z.} 6. | sen z|2 _{= sen}2_{x + senh}2

y e| cos z|2 _{= cos}2_{x + senh}2

y.

7. sen (z1± z2) = sen z1cos z2 ± cos z1sen z2 e cos(z1± z2) = cos z1cos z2∓ sen z1sen z2.

8. sen (_{−z) = − sen z e cos(−z) = cos z.}

9.      sen z = 0_{⇒ z = 0 ou z = ± nπ} cos z = 0⇒ z =±(2n− 1)π 2

As fun¸cões hiperbólicas seno e cosseno, são definidas, como no caso de variáveis reais, pelas seguintes expressões: senh z = e z_{− e}−z 2 , cosh z = ez _{+ e}−z 2 . Propriedades: 1. cosh2z− senh2 z = 1 .

2. sen z =−i senh (iz) e cos z = cosh(iz). 3. senh (_{−z) = − senh z e cosh(−z) = cosh z.} 4. senh (z_{± w) = senh z cosh w ± cosh z senh w.} 5. cosh(z_{± w) = cosh z cosh w ± senh z senh w.}

0.10 A Fun¸

c˜

ao Logaritmo Natural de

z

O logaritmo de um n´umero complexo z = reiθ _{6= 0, ´e definido assim:}

ln z = ln r + iθ,

onde r denota o logaritmo real do número r > 0. O logaritmo está definido para todo número complexo z _{6= 0, e se reduz ao logaritmo real quando θ = 0.}

(29)

Na realidade, a fórmula acima permite atribuir ao logaritmo vários valores distintos, depen-dendo do argumento usado para o número z. Por causa disso, costuma-se dizer que o logaritmo é uma fun¸cão multivalente. O ponto z = 0 é chamado ponto de ramifica¸cão de ln z, justamente porque, descreve um c´ırculo centrado na origem e volta ao ponto inicial, a fun¸cão ln z retorna aumentada de 2π i.

´

E claro que o valor de uma fun¸c˜ao tem de ser determinado univocamente. Para tanto, se considerarmos

ln z = ln r + iθ, _{−π < θ ≤ π,}

teremos uma fun¸cão univalente. A escolha de um valor prefixado para o argumento na defini¸cão da fun¸cão ln é chamado ramo de ln . Então, como dizemos acima, a fun¸cão ln está bem definida se, e somente se, o ramo da fun¸cão estiver no intervalo (_{−π π]. Tal ramo é dito ramo principal de ln z,} já que poder´ıamos admitir que arg(z) possuam valores num intervalo da forma (y0, y0+2π], y0 ∈ R.

Observa¸c˜ao 0.12. 1. Neste contexto, denotaremos

Ln z = ln r + iArg(z), Arg(z)∈, (−π, π]. (17)

2. Pode-se mostrar que com o logaritmo definido acima, a fun¸cão exponencial e a fun¸cão loga-ritmo são fun¸cões inversas.

Propriedades: Dados z1, z2 ∈ C, temos:

1. ln(z1z2) = ln z1+ ln z2. 2. ln(z1/ z2) = ln z1− ln z2. 3. Ln zn 1 = n ln z1. 4. Ln(z1z2) = (Ln z1+ Ln z2) (mod 2 π i). 5. Ln(z1/ z2) = (Ln z1− Ln z2) (mod 2 π i). 6. Ln zn 1 = n Ln z1(mod 2π i).

Observa¸cão 0.13. Podemos dar uma defini¸cão ao número complexo zα _com _{z, α}

∈ C. Seja z 6= 0, ent˜ao definimos zα

pela equa¸c˜ao

zα _{= e}α ln z_.

(30)

2. ln x, x∈ R é uma fun¸cão un´ıvoca, enquanto ln z é multivalente.

3. No caso complexo, ez ₌_{−2 e ln(−2) fazem sentido, o que n˜ao ocorre no caso real.}

4. (zα1₎α2 _{6= z}α1α2 _{a menos que} _α

1, α2 ∈ Z.

5. _{|sen x|, | cos x| ≤ 1, ∀ x ∈ R, contudo, por exemplo, | cos(i)|, | sen (2 + i)| > 1.}

6. Nas propriedades de fun¸cões trigonométricas, item 6, pelo fato que as fun¸cão seno hiperbólica real é ilimitada, temos que as fun¸cões seno e cosseno complexas são ilimitadas.

7. Diferentemente das fun¸cões hiperbólicas reais, as fun¸cões hiperbólicas complexas são periódicas e têm infinitos zeros.

0.11 Limite e Continuidade

A defini¸cão de limite e continuidade que daremos agora é formalmente a mesma dos cursos de Cálculo.

Defini¸cão 0.12. Seja z0 um ponto de acumula¸cão do dom´ınio D de uma fun¸cão f . Diz-se que f

tem limite L com z tendendo a z0 se dado qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que

z ∈ D, 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z) − L| < ε > 0.

Escreve-se lim

z→ z0

f (z) = L .

(31)

Exemplo 0.6. Recorrendo à defini¸cão, mostre que a fun¸cão f (z) = z + 3 i

2 ´e cont´ınua no ponto z0 = 2− i.

Exemplo 0.7. Ainda usando a defini¸c˜ao, mostre que lim

z→ 2 i(z

2_{+ 3 z) =}

−4 + 6 i .

Observa¸cão 0.15. A prova envolvendo épsilon–delta nos exemplos anteriores ilustra o importante fato de que, embora a teoria de limites complexos seja baseada na defini¸cão (0.12), esta não fornece um método conveniente para o cálculo de limites complexos. A seguir, o teorema 0.2 é uma ´

util ferramenta, não apenas no quesito computacional, mas, também estabelece uma importante conexão entre o limite complexo de f (z) = u(x, y) + i v(x, y) e os limites reais de fun¸cões reais das duas variáveis u(x, y) e v(x, y).

Teorema 0.2. Sejamf (z) = u(x, y)+i v(x, y), z0 = x0+i y0 eL = u0+i v0. Ent˜ao, lim z→ z0

f (z) = L se, e somente se,

lim

(x,y)→ (x0,y0)

u(x, y) = u0 e lim (x,y)→ (x0,y0)

v(x, y) = v0.

Exemplo 0.8. Use o teorema precedente para calcular lim

z→ 1+i(z 2

+ i) .

Teorema 0.3. (Critério para a Não existência de um Limite) Se f se aproximar de dois números complexos L1 6= L2, ao longo de duas curvas ou percursos diferentes que passam por z0, então

lim

z→ z0

f (z) n˜ao existe.

Exemplo 0.9. Usando o teorema anterior, mostre que lim

z→ 0

z

z n˜ao existe.

Observa¸cão 0.16. De maneira análoga, as propriedades de limites e de continuidade (vistas a seguir) de números reais podem ser estendidas aos números complexos.

Defini¸cão 0.13. Uma fun¸cão complexa f é cont´ınua em z = z0 se

lim

z→ z0

f (z) = f (z0) .

Como no caso de fun¸cões reais, para fun¸cões complexas cont´ınuas também vale o seguinte critério bem conhecido:

Crit´erio para Continuidade em um Ponto

Uma fun¸cão complexa f é cont´ınua em um ponto z0 se cada uma das três condi¸cões forem

(32)

(i) lim

z→ z0

f (z) existe. (ii) f ´e definida em z0 e

(iii) lim

z→ z0

f (z) = f (z0).

Se uma fun¸cão complexa f não for cont´ınua em um ponto z0, dizemos que f é descont´ınua

em z0.

Exemplo 0.10. Usando o teorema (0.2) prove que se f (z) = u(x, y) + i v(x, y) e z0 = x0+ i y0,

a fun¸cão complexa f é cont´ınua no ponto z0 se, e somente se, as duas fun¸cões reais u e v forem

cont´ınuas no ponto (x0, y0).

0.12 Fun¸

c˜

ao Anal´ıtica

A defini¸cão de derivada de uma fun¸cão de variável complexa é formalmente a mesma que no caso de uma fun¸cão de variável real.

Defini¸c˜ao 0.14. Seja a fun¸c˜ao complexa f definida em uma vizinhan¸ca de um ponto z0. A

deri-vada de f em z0, denotada por f0(z0), ´e

lim

∆z→ 0

f (z + ∆z)_{− f(z)}

∆z , (18)

desde que este limite exista.

Se o limite em (18) existir, a fun¸cão f é dita diferenciável.

Defini¸cão 0.15. Diz-se que uma fun¸cão f é anal´ıtica numa região D se ela é diferenciável em cada ponto de D.

Exemplo 0.11. Note que, 1. f (z) = (z + 2)(3z− 1)

2

z(z_{− 3)(z + i)}2 ´e anal´ıtica exceto, nos pontos z = 0, 3 − i. Em tais pontos onde a

fun¸cão não é anal´ıtica, daremos por abuso de nota¸cão, o nome de singularidades.

2. Os polinômios f (z) = a0+ a1z + a2z2+ . . . + anzn são fun¸cões anal´ıticas em todo o plano.

Neste caso, chamamos as fun¸cões anal´ıticas em todo o plano de fun¸cões inteira. 3. A fun¸cão exp(z) é inteira.

(33)

Observa¸cão 0.17. Todas as fun¸cões com que o leitor se familiarizou em seu curso de Cálculo são anal´ıticas, quando convenientemente estendidas ao plano complexo. Assim,

• Uma fun¸cão constante é anal´ıtica e sua derivada é zero.

• A fun¸cão f(z) = zn_{, z} _{∈ Z é anal´ıtica e sua derivada é f}0_{(z) = nz}n−1_.

• Se f e g são anal´ıticas, as fun¸cões a seguir são anal´ıtcas e calcula-se com as conhecidas regras: 1. d dz(f (z) + g(z)) = f 0 (z) + g0(z) 2. d dz(f (z)· g(z)) = f 0 (z)g(z) + f (z)g0(z) 3. d dz f (z) g(z) = g(z)f 0_(z) − f0_(z)g(z) [g(z)]2 4. d dz(f (g(z))) = f 0 (g(z))g0(z) . 5. d dz(e z_{) = e}z 6. d dz(cos z) =− sen z. 7. d dz( sen z) = cos z. 8. d dz(ln z) = 1 z.

Como na análise real, se uma fun¸cão complexa for diferenciável em um ponto é necessariamente cont´ınua no ponto.

Teorema 0.4. Se f for diferenci´avel em um ponto z0, em um dom´ınio D, f ´e cont´ınua em z0.

Demonstra¸c˜ao: Inicialmente, observe que lim z→ z0 f (z)_{− f(z}0) z− z0 = f0(z0) e lim z→ z0 (z_{− z}0) = 0 .

Consequentemente, pela observa¸c˜ao (0.16), podemos escrever o seguinte limite de um produto como o produto de limites:

lim z→ z0 (f (z)− f(z0)) = lim z→ z0 f (z)− f(z0) z_{− z}0 · (z − z 0) = lim z→ z0 f (z)_{− f(z}0) z− z0 · limz→ z0 (z_{− z}0) = f0(z0) · 0 = 0 . De lim z→ z0

(f (z)− f(z0)) = 0 conclu´ımos que lim z→ z0

f (z) = f (z0), isto ´e, f ´e cont´ınua em z = z0.

Exemplo 0.12. O rec´ıproco do teorema anterior, no entanto, não é verdadeiro. Considere a fun¸cão f (z) = x + i 4y.

(34)

1. Mostre que f é cont´ınua em todo o plano complexo (use o exemplo (0.10)). 2. Prove que f não é diferenciável.

1. No cálculo real, a derivada de uma fun¸cão y = f (x) em um ponto x tem várias inter-preta¸cões. Por exemplo, f0_{(x) é a inclina¸cão da reta tangente ao gráfico de f no ponto}

(x, f (x)). Quando a inclina¸cão é positiva, negativa ou nula, a fun¸cão, por sua vez, está au-mentando, diminuindo ou, possivelmente, tem um máximo ou m´ınimo. Além disso, f0_{(x) é}

a taxa de varia¸cão instantânea def em x. Em um contexto f´ısico, esta taxa de varia¸cão pode ser interpretada como velocidade de um objeto móvel. Nenhuma dessas interpreta¸cões se aplica ao cálculo complexo. Deste modo, vale a pergunta: “O que significa a deri-vada de uma fun¸cão complexa w = f (z)?” Eis a resposta: na análise complexa, o interesse principal não é o que a derivada de uma fun¸cão significa ou representa, mas sim se a fun¸cão f realmente tem derivada, fato este, há de dizer muito sobre a fun¸cão analisada. 2. Como outra consequência de diferenciabilidade, a regra de L’Hôpital para o cálculo da forma

indeterminada 0/0 também se aplica à anàlise complexa, isto é, se f e g forem fun¸cões ana´ıliticas em um ponto z0 e se f (z0) = g(z0) = 0 e g0(z0)6= 0, então,

lim z→ z0 f (z) g(z) = f0_(z 0) g0_(z 0) .

De modo geral, se f, g e suas n_{− 1 derivadas forem nulas em z}0 e g(n)(z0)6= 0, ent˜ao,

lim z→ z0 f (z) g(z) = f(n)_(z 0) g(n)_(z 0) .

0.13 As Equa¸

c˜

oes de Cauchy-Riemann

Iniciaremos esta se¸cão com um teorema que mostra que se uma fun¸cão f (z) = u(x, y) + iv(x, y) for diferenciável em um ponto z, as fun¸cões u e v devem satisfazer um par de equa¸cões que relacionam suas derivadas parciais de primeira ordem.

Teorema 0.5. (Uma Condi¸cão Necessária para Analiticidade) Suponhamos que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) seja diferenciável em um ponto z = x + i y. Então, em z as derivadas parciais de primeira ordem de u e v devem satisfazer as Equa¸cões de Cauchy–Riemann

∂u ∂x = ∂v ∂y e ∂u ∂y =− ∂v ∂x. (19)

(35)

Demonstra¸cão: Se f é anal´ıtica, então, f0(z) = lim

∆z→ 0

f (z + ∆z)_{− f(z)}

∆z . (20)

Escrevendo f (z) = u(x, y) + iv(x, y) e ∆ z = ∆ x + i ∆ y, (20) fica escrita como f0(z) = lim

∆z→ 0

u(x + ∆ x, y + ∆ y) + i v(x + ∆ x, y + ∆ y)_{− u(x, y) − iv(x, y)}

∆ x + i ∆ y . (21)

Como, por hipótese, o limite (20) existe, ∆ z pode se aproximar de zero ao longo de qualquer dire¸cão conveniente. Em particular, se fizermos ∆ z _{→ 0 ao longo de uma reta horizontal ∆ y = 0} e ∆ z = ∆ x, podemos, então, escrever (21) como

f0_{(z) =} _lim ∆x→ 0 u(x + ∆ x, y)_{− u(x, y) + i[ v(x + ∆ x, y) − v(x, y) ]} ∆ x = lim ∆x→ 0 u(x + ∆ x, y)− u(x, y) ∆ x + i lim∆x→ 0 v(x + ∆ x, y)− v(x, y) ∆ x . (22)

Veja que a existência de f0_{(z) implica que cada limite em (22) existe. Esses limites são a defini¸cão}

das derivadas parciais de primeira ordem de u e v em rela¸c˜ao `a x, respectivamente. Portanto, mostramos duas coisas: que ∂u

∂x e ∂v

∂x existem no ponto z e que a derivada de f ´e f0(z) = ∂u

∂x + i ∂v

∂x. (23)

Agora, fa¸camos ∆ z _{→ 0 ao longo de uma reta vertical, isto ´e, ∆ x = 0 e ∆ z = i ∆ y, (21) fica} escrita como f0(z) = lim ∆y→ 0 u(x, y + ∆ y)_{− u(x, y) + i[ v(x, y + ∆ y) − v(x, y) ]} i ∆ y = 1 i ∆y→ 0lim u(x, y + ∆ y)− u(x, y) ∆ y +i lim ∆y→ 0 v(x, y + ∆ y)− v(x, y) i∆ y . (24)

Neste caso, (24) mostra que ∂u ∂y e ∂v ∂y existem em z e f0(z) =−i∂u ∂y + ∂v ∂y. (25)

Igualando as partes real e imagin´aria de (23) e (25), obtemos o par de equa¸c˜oes em (19).

Exemplo 0.13. Mostre que a fun¸cão complexa f (z) = 2x2 _{+ y + i (y}2 _{− x) não é anal´ıtica em}

(36)

Observa¸cão 0.19. A análise acima mostra que as equa¸cões de Cauchy–Riemann são uma condião necessária para a existência da derivada de uma fun¸cão f . Mas, elas não são suficientes para garantir a existência dessa derivada. Como exemplo disto, consideremos a fun¸cão

f (z) =p| x y |,

onde, como de costume z = x + i y. Temos que v(x, y) = 0, portanto, vx = vy = 0.

Por outro lado, u =_{p| x y |, donde u(s, 0) = u(0, 0) = 0, logo,} ∂ u

∂ x(0, 0) = lims→ 0

u(s, 0)− u(0, 0)

s = 0.

Analogamente, ∂ u

∂ y(0, 0) = 0. Vemos então que as equa¸cões de Cauchy–Riemann estão satisfeitas no ponto z = 0.

Não obstante, f não é diferenciável em z = 0. De fato, pondo ∆ z = r ei θ_{, obtemos:}

lim ∆ z→ 0 f (∆ z)_{− f(0)} ∆ z = p| cos θ sen θ | ei θ = 1 2 sen 2θ 1/2 e−i θ.

Fazendo ∆ z se aproximar de zero pelo eixo real, isto ´e, quando θ = 0, temos que lim

∆ z→ 0

f (∆ z)− f(0)

∆ z = 0.

Agora, tomando ∆ z se aproximar de zero quando a parte real x e a parte imagin´aria y s˜ao iguais , ou seja, se θ = π/4, resulta que lim

∆ z→ 0 f (∆ z)− f(0) ∆ z = √ 2 2 ei π/4.

Assim, pelo teorema (0.3), resulta que f0_{(0) n˜ao existe.}

Teorema 0.6. (Condi¸cões Suficientes para Diferenciabilidade) Se as fun¸cões reaisu(x, y) e v(x, y) forem cont´ınuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas em algum dom´ınio D, e s u e v satisfizerem as equa¸cões de Cauchy–Riemann (19) em todos os pontos de D, então, a fun¸cão complexa f (z) = u(x, y) + i v(x, y) é anal´ıtica em D.

Demonstra¸cão: Para a demonstra¸cão desse teorema, usamos o Teorema de Taylor de fun¸cões de duas variáveis reais. Seja a = α + i β _{∈ D e s = γ + i δ ∈ C onde α, β, γ, δ ∈ R. Então,} recorrendo ao fato que as derivadas parciais são cont´ınuas, utilizando o Teorema de Taylor do curso de cálculo temos que

u(α + γ, β + δ)− u(α, β) = ∂ u(α, β) ∂ x · γ +

∂ u(α, β)

(37)

onde 1(γ, δ) |γ| + |δ| → 0, quando γ, δ → 0. Da mesma forma, v(α + γ, β + δ)_{− v(α, β) =} ∂ v(α, β) ∂ x · γ + ∂ v(α, β) ∂ y · δ + 2(γ, δ), (27) onde 2(γ, δ) |γ| + |δ| → 0, quando γ, δ → 0.

Pelo fato que f (a) = u(α, β) + i v(α, β), temos: ∂ f ∂ x = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x (28) ∂ f ∂ y = ∂ u ∂ y + i ∂ v ∂ y (29)

veja ao multiplicar (27) por i e somando com (26), iremos obter: f (a + s)_{− f(a) =} ∂ f (a) ∂ x · γ + ∂ f (a) ∂ y · δ + (s), (30) onde (s) |s| → 0 quando s → 0.

Mas, com as equa¸c˜oes de Cauchy–Riemann, a nota¸c˜ao (29) fica ∂ f ∂ y = ∂ u ∂ y + i ∂ v ∂ y = ₋∂ v ∂ x+ i ∂ u ∂ x = i ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x (31) = i ∂ f ∂ x . Deste modo, dividindo (30) por s e usando (32), temos que

f (a + s)− f(a) s = 1 s ∂ f (a) ∂ x · γ + 1 s ∂ f (a) ∂ y · δ + (s) s = = s z }| { γ + iδ s ∂ f (a) ∂ x + (s) s . Enfim, fazendo s_{→ 0 na ´ultima express˜ao, resulta que}

f0(a) = lim s→ 0 f (a + s)_{− f(a)} s = ∂ f (a) ∂ x + lims→ 0 (s) s | {z } =0 = ∂ f (a) ∂ x = ∂ u ∂ x(α, β) + i ∂ v ∂ x(α, β)

(38)

isto ´e, f0_{(a) existe (j´a que} ∂ u

∂ x(α, β) e ∂ v

∂ x(α, β) existem) para todo a∈ D, portanto, f ´e anal´ıtica em D, pela arbitrariedade de a.

Exemplo 0.14. Mostre que f (z) = ez _´_{e uma fun¸}_c˜_{ao inteira e prove que} _f0_{(z) = e}z_.

Exerc´ıcio 0.1. Prove que em coordenadas polares,x = r cos θ, y = r sen , θ onde r =px2_{+ y}2_{, θ =}

tg−1(y/x), z = x + i y as condi¸c˜oes de Cauchy–Riemann s˜ao ∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ θ e 1 r ∂ u ∂ θ = 1 r ∂ v ∂ r .

Exemplo 0.15. Mostre que Ln z = ln r + i θ ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica e d

dz Ln z = 1 z .

0.14 Integra¸

c˜

ao Complexa

A teoria de integra¸cão é um item extenso e importante da análise de fun¸cões de uma ou diversas variáveis reais ou complexas. O dom´ınio de integra¸cão de uma fun¸cão de variável real é um subconjunto de R. Na variável complexa, o dom´ınio de integra¸cão de uma fun¸cão de variável complexa é uma linha ou um dom´ınio em C, pois a varia¸cão de uma variável z no plano determina uma linha, um caminho, um arco ou um contorno. De modo análogo ao caso real, podemos definir a integral de linha complexa

ˆ

C

f (z) dz ou ˛

C

f (z) dz ´e a integral de f (z) ao longo da curva C.

Defini¸cão 0.16. Uma curva, um contorno ou um caminho é uma fun¸cão cont´ınuaγ : [a, b]→ R× R ou C. O caminho é diferenciável ou suave quandoγ é uma fun¸cão diferenciável. Dizemos que a curva é fechada se γ(a) = γ(b).

Exemplo 0.16. Considere a fun¸c˜ao γ : [0, 1]→ R2 _{definida por}

γ(t) =      t, 0_{≤ t ≤} 1 2 1_{− t,} 1 2 ≤ t ≤ 1

No R2 podemos escrever a curva como γ(t) = (x(t), y(t)) onde x(t) = t, y(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1 2 e x(t) = t, y(t) = 1_{− t,}1

(39)

J´_{a em C, podemos representar a curva como γ(t) = t + i t, 0}_{≤ t ≤} 1

2 eγ(t) = t + (1− t) i, 1 2 ≤ t _{≤ 1.}

Veja que a curva é cont´ınua, mas não é diferenciável em t = 1/2. Porém, a curva é dita diferenc´ıavel (suave por partes), pois ela é considerada como a união ou soma de duas curvas suaves, a saber, a curva t e 1− t.

Exemplo 0.17. Uma curva fechada, simples ´e dita curva de Jordan se toda curva fechada cujos pontos, a exce¸c˜ao das extremidades sejam todos simples.

n˜ao - simples

γ(a) = γ(b)

curva fechada

γ(a) = γ(b)

Curva de Jordan

Figura 20: Curva de Jordan na figura `a direita

Defini¸cão 0.17. Seja f uma fun¸cão cont´ınua e definida em um conjunto A seguir, vem a defini¸cão de integral complexa.

Exemplo 0.18. Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua e definida num conjunto aberto A ⊂ C e que γ : [a, b] _{→ C ´e uma curva suave por partes tal que γ([a, b]) ⊂ A. Definamos a integral de f} sobre γ como o limite da soma de Riemann:

ˆ γ f (z) dz = lim n→ ∞ n−1 X i=1 ˆ ai+1 ai f (γ(t)) · γ0 (t) dt, (32)

onde a = a0 < a1 < . . . < an = b ´e a divis˜ao do intervalo [a, b] nos subintervalos (ai, ai+1).

Quando o limite existe, dizemos que f ´e integr´avel.

Tal integral pode ser ser definida e representada em termos das integrais reais, ou seja, fazendo-se

(40)

obtemos ˛ C f (z) dz = ˛ C

(u(x, y)dx− v(x, y)dy) + i ˛

C

(u(x, y)dy + v(x, y)dx), desde que existam as integrais reais do lado direito da equa¸c˜ao acima.

O caminho C pode ser aberto ou fechado, mas devemos especificar a dire¸cão de integra¸cão, pois uma mudan¸ca de dire¸cão resulta em mudan¸ca no sinal da integral. As integrais complexas são, portanto, redut´ıveis a integrais reais curvil´ıneas e possuem as as análogas propriedades como no caso real.

0.15 Teorema Integral de Cauchy

As integrais de fun¸cões anal´ıticas possuem algumas propriedades muito importantes. Provavel-mente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de Cauchy. Para apresentar este teorema precisamos do conceito de conjunto simplesmente conexo. Um conjunto D é dito conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser unidos por uma linha totalmente pertencente a D. Um conjunto D é dito simplesmente conexo se qualquer curva simples fechada contida em D, pode ser deformada, sempre totalmente contida em D, até se tornar um ponto. A figura abaixo ilustra duas regiões conexas A e B, dos quais A é simplesmente conexa, mas B não é, pois esta possui um “buraco”.

A

B

Figura 21: Exemplo de conjunto simplesmente conexo

Teorema 0.7. (Teorema Integral de Cauchy) Seja f (z) uma fun¸cão anal´ıtica num dom´ınio simplesmente conexo D. Se C é um caminho fechado simples de D, então

ˆ

C

(41)

Exemplo 0.19. Seja C a circunferˆencia unit´aria, centrada na origem, orientada positivamente. 1.

ˆ

C

ez_{dz = 0, pois f (z) = e}z _´_{e uma fun¸}_c˜_{ao anal´ıtica, para todo} _{z complexo.}

2. ˆ

C

1

z dz = 2π i 6= 0. Mas, isto n˜ao contradiz o teorema de Cauchy, pois f(z) = z

−1 _n˜_{ao ´}_e

anal´ıtica na origem, a qual pertence a regi˜ao R interior ao caminho C.

Teorema 0.8. Se f (z) ´e anal´ıtica em um dom´ınio simplesmente conexo D e, se F (z) for uma integral indefinida de f (z), ou seja, F0_{(z) = f (z), ent˜ao para todos os caminhos situados em D}

que ligam dois pontos a e b em D, tˆem-se que ˆ b

a

f (z) dz = F (b)− F (a) .

Este teorema permite o cálculo das integrais de linha de fun¸cões complexas através de uma integral indefinida. Com isto, podemos chegar aos seguintes resultados, donde C é uma constante arbitrária: 1. ˆ zndz = z n+1 n + 1+ C, n6= −1 2. ˆ 1 zdz = ln z + C 3. ˆ ezdz = ez_{+ C} 4. ˆ az_{dz =} a z ln a+ C 5. ˆ sen z dz =− cos z + C 6. ˆ cos z dz = sen z + C 7. ˆ sec2 _{z dz = tg z + C}

A consequência mais importante do teorema de Cauchy é a fórmula integral de Cauchy. Esta fórmula é dada pelo teorema abaixo.

Teorema 0.9. (Fórmula Integral de Cauchy) Seja f (z) uma fun¸cão anal´ıtica no interior e sobre um caminho fechado C. Se z0 é um ponto qualquer no interior de C, então:

f (z0) = 1 2 π i ˆ C f (ζ) ζ_{− z}0 dζ, (33)

onde a integra¸c˜ao ´e efetuada no sentido positivo ao longo de C.

A fórmula integral de Cauchy, mostra que o valor de uma fun¸cão anal´ıtica numa região é determinado em toda a região por seus valores na fronteira. A demonstra¸cão deste teorema é

(42)

omitida. Devemos observar também que a fórmula integral de Cauchy nos permite calcular uma integral de linha desde que a fun¸cão a ser integrada tenha uma única singularidade no interior do caminho C.

Derivadas de Todas as Ordens:

Como importante consequência da fórmula de Cauchy, enunciaremos um resultado que diz que uma fun¸cão anal´ıtica possui derivadas de todas as ordens.

Teorema 0.10. Uma fun¸cão anal´ıtica numa região D possui derivadas de todas as ordens, as quais, por sua vez, são também anal´ıticas em D e

f(n)_{(z) =} n! 2 π i ˆ C f (ζ) (ζ − z)n+1dζ,

onde n ´e um inteiro positivo qualquer.

Demonstrando-se alguns resultados por meio do uso do Teorema de Cauchy, obt´em-se o Teorema 0.11. (Teorema Fundamental da Algebra) Todo´ polinˆomio

P (z) = anzn+ an−1zn−1+ . . . + a1z + a0

de grau n ≥ 1 e coeficientes an

0

s complexos possui ao menos uma raiz.

Exemplo 0.20. Considere o polinˆomio p(x) = x2_{+ 1. ´}_{E not´}_{orio que que} _{p n˜}_{ao possui raiz real.}

No entanto, ao considerarmos p(z) = z2 _{+ 1, donde os coeficientes s˜ao complexos, o Teorema}

Fundamental da Álgebra nos diz que este polinômio possui ao menos uma raiz. Como se pode ver, tal polinômio possui duas ra´ızes, a saber i e −i.