Aula 11 - Variáveis Aleatórias Contínuas I

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Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas

Jonathas Magalh˜aes

[email protected]

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Roteiro

1 Introdu¸c˜ao

2 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade

3 Medidas de Posi¸cão para Variáveis Aleatórias Cont´ınuas

M´edia, Mediana e Moda

4 _{Medidas de Dispers˜}_{ao para vari´}_{aveis Aleat´}_{orias Cont´ınuas}

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Introdu¸c˜

ao

Variáveis aleatórias cont´ınuassão variáveis em que seus poss´ıveis valores ocorrem aleatoriamente e pertencem a um intervalo dos números reais;

Exemplos:

Renda; Sal´ario; Tempo de uso.

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Fun¸c˜

ao Densidade de Probabilidade

Dizemos que f (x) é uma fun¸cão cont´ınua de probabilidade ou fun¸cão densidade de probabilidade para uma variável aleatória cont´ınua X , se satisfaz duas condi¸cões:

i) f_{(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, ∞);}

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Fun¸c˜

ao Densidade de Probabilidade

Pela condi¸c˜ao ii temos que: Z ∞

−∞

f_{(x)dx = 1.}

No caso de probabilidades, temos que para a ≤ b: P_{(a ≤ X ≤ b) =}

Z b

a

f_(x)dx,

A integral acima indica a ´area sob a fun¸c˜ao f definida pelo intervalo [a, b].

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Fun¸c˜

ao Densidade de Probabilidade

Note que, pela forma como atribu´ımos as probabilidades no caso cont´ınuo, teremos ´area zero sob qualquer valor individual:

P_{(X = k) = 0, ∀k.}

A probabilidade de ocorrˆencia de um valor isolado ´e sempre zero;

As probabilidades calculadas sobre os intervalos

[a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[ s˜ao as mesmas para quaisquer valores de a e b.

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Exemplo 1

Arqueólogos estudaram certa região e estabeleceram um modelo teórico para a variável C , comprimento de fósseis da região (em cm). Suponha que C é uma variável aleatória cont´ınua com a seguinte fun¸cão densidade de probabilidade:

f_{(c) =} ₁ 40 c 10+ 1 , se 0 ≤ c ≤ 20; 0, caso contr´ario.

a) Comprove que a fun¸c˜ao f (c) satisfaz a defini¸c˜ao de densidade.

b) Calcule a probabilidade de um f´ossil escolhido ao acaso nessa regi˜ao apresentar comprimento inferior a 8 cm.

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Exemplo 1

Letra a: Z ∞ −∞ f_{(c)dc =} Z 20 0 1 40 c 10 + 1 dc ₌ 1 40 c2 20 + c 20 0 = 1.

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Exemplo 1

Letra b: P_{(C < 8) =} Z 8 0 f_{(c)dc =} Z 8 0 1 40 c 10 + 1 dc₌ 1 40 c2 20+ c 8 0 = 7 25.

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Exemplo 2

Num teste educacional com crian¸cas, o tempo para a realiza¸cão de uma bateria de questões de racioc´ınio verbal e lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo teórico. Esse teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crian¸cas e auxiliar na aplica¸cão de medidas corretivas. O modelo teórico considera T , tempo de teste em minutos, como uma VA cont´ınua com a seguinte fun¸cão densidade de probabilidade.

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Exemplo 2

Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade:

f_{(t) =}    1 40(t − 4), se 8 ≤ t < 10; 3 20, se 10 ≤ t < 15;

0, caso contr´ario.

a) Comprove que a fun¸c˜ao f (t) satisfaz a defini¸c˜ao de densidade. b) Calcule P(9 < T ≤ 12).

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Exemplo 2

Letra a: Z ∞ −∞ f_{(t)dt =} Z 10 8 1 40(t − 4)dt + Z 15 10 3 20dt = 1 40 t2 2 −4t 10 8 + 3t 20 15 10 = 10 40 + 15 20 = 1.

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Exemplo 2

Letra b: P_{(9 < T ≤ 12) =} Z 12 9 f_{(t)dt =} Z 10 9 f_{(t)dt +} Z 12 10 f_{(t)dt =} Z 10 9 1 40(t − 4)dt + Z 12 10 3 20dt = 1 40 t2 2 −4t 10 9 +3t 20 12 10 = 11 80 + 6 20 = 7 16.

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M´

edia, Mediana e Moda

A médiaou valor esperado da variável aleatória cont´ınua X , com fun¸cão densidade dada por f (x), é dada por:

E_{(X ) = µ}_X ₌ Z ∞

−∞

xf_(x)dx. A mediana ´e o valor Md que tem propriedade de:

P_{(X ≥ Md) ≥ 0.5 e P(X ≤ Md) ≥ 0.5.} A moda ´e o valor Mo tal que:

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Variˆ

ancia e Desvio Padr˜

ao

Para uma variável aleatória X com densidade f (x), a variância é dada por:

σ2 = Z ∞

−∞

(x − µ)2f_(x)dx.

A seguinte expressão é uma alternativa ao cálculo da variância: σ2 = E (X2) − µ2,

Onde E (X2_{) =}R∞ −∞x

2_f_(x)dx

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Exemplo 3

Calcular o valor esperado, a moda, a mediana, a variância e o desvio padrão para a variável aleatória C do exemplo 1, cuja fun¸cão densidade de probabilidade é dada pela seguinte fun¸cão:

f_{(c) =} 1 40 c 10+ 1 , se 0 ≤ c ≤ 20; 0, caso contr´ario.