Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas
Jonathas Magalh˜aes
jonathas@ic.ufal.br
Roteiro
1 Introdu¸c˜ao
2 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade
3 Medidas de Posi¸c˜ao para Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas
M´edia, Mediana e Moda
4 Medidas de Dispers˜ao para vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas
Introdu¸c˜
ao
Vari´aveis aleat´orias cont´ınuass˜ao vari´aveis em que seus poss´ıveis valores ocorrem aleatoriamente e pertencem a um intervalo dos n´umeros reais;
Exemplos:
Renda; Sal´ario; Tempo de uso.
Fun¸c˜
ao Densidade de Probabilidade
Dizemos que f (x) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de probabilidade ou fun¸c˜ao densidade de probabilidade para uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X , se satisfaz duas condi¸c˜oes:
i) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, ∞);
Fun¸c˜
ao Densidade de Probabilidade
Pela condi¸c˜ao ii temos que: Z ∞
−∞
f(x)dx = 1.
No caso de probabilidades, temos que para a ≤ b: P(a ≤ X ≤ b) =
Z b
a
f(x)dx,
A integral acima indica a ´area sob a fun¸c˜ao f definida pelo intervalo [a, b].
Fun¸c˜
ao Densidade de Probabilidade
Note que, pela forma como atribu´ımos as probabilidades no caso cont´ınuo, teremos ´area zero sob qualquer valor individual:
P(X = k) = 0, ∀k.
A probabilidade de ocorrˆencia de um valor isolado ´e sempre zero;
As probabilidades calculadas sobre os intervalos
[a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[ s˜ao as mesmas para quaisquer valores de a e b.
Exemplo 1
Arque´ologos estudaram certa regi˜ao e estabeleceram um modelo te´orico para a vari´avel C , comprimento de f´osseis da regi˜ao (em cm). Suponha que C ´e uma vari´avel aleat´oria cont´ınua com a seguinte fun¸c˜ao densidade de probabilidade:
f(c) = 1 40 c 10+ 1 , se 0 ≤ c ≤ 20; 0, caso contr´ario.
a) Comprove que a fun¸c˜ao f (c) satisfaz a defini¸c˜ao de densidade.
b) Calcule a probabilidade de um f´ossil escolhido ao acaso nessa regi˜ao apresentar comprimento inferior a 8 cm.
Exemplo 1
Letra a: Z ∞ −∞ f(c)dc = Z 20 0 1 40 c 10 + 1 dc = 1 40 c2 20 + c 20 0 = 1.Exemplo 1
Letra b: P(C < 8) = Z 8 0 f(c)dc = Z 8 0 1 40 c 10 + 1 dc= 1 40 c2 20+ c 8 0 = 7 25.Exemplo 2
Num teste educacional com crian¸cas, o tempo para a realiza¸c˜ao de uma bateria de quest˜oes de racioc´ınio verbal e l´ogico ´e medido e anotado para ser comparado com um modelo te´orico. Esse teste ´e utilizado para identificar o desenvolvimento das crian¸cas e auxiliar na aplica¸c˜ao de medidas corretivas. O modelo te´orico considera T , tempo de teste em minutos, como uma VA cont´ınua com a seguinte fun¸c˜ao densidade de probabilidade.
Exemplo 2
Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade:
f(t) = 1 40(t − 4), se 8 ≤ t < 10; 3 20, se 10 ≤ t < 15;
0, caso contr´ario.
a) Comprove que a fun¸c˜ao f (t) satisfaz a defini¸c˜ao de densidade. b) Calcule P(9 < T ≤ 12).
Exemplo 2
Letra a: Z ∞ −∞ f(t)dt = Z 10 8 1 40(t − 4)dt + Z 15 10 3 20dt = 1 40 t2 2 −4t 10 8 + 3t 20 15 10 = 10 40 + 15 20 = 1.Exemplo 2
Letra b: P(9 < T ≤ 12) = Z 12 9 f(t)dt = Z 10 9 f(t)dt + Z 12 10 f(t)dt = Z 10 9 1 40(t − 4)dt + Z 12 10 3 20dt = 1 40 t2 2 −4t 10 9 +3t 20 12 10 = 11 80 + 6 20 = 7 16.M´
edia, Mediana e Moda
A m´ediaou valor esperado da vari´avel aleat´oria cont´ınua X , com fun¸c˜ao densidade dada por f (x), ´e dada por:
E(X ) = µX = Z ∞
−∞
xf(x)dx. A mediana ´e o valor Md que tem propriedade de:
P(X ≥ Md) ≥ 0.5 e P(X ≤ Md) ≥ 0.5. A moda ´e o valor Mo tal que:
Variˆ
ancia e Desvio Padr˜
ao
Para uma vari´avel aleat´oria X com densidade f (x), a variˆancia ´e dada por:
σ2 = Z ∞
−∞
(x − µ)2f(x)dx.
A seguinte express˜ao ´e uma alternativa ao c´alculo da variˆancia: σ2 = E (X2) − µ2,
Onde E (X2) =R∞ −∞x
2f(x)dx
Exemplo 3
Calcular o valor esperado, a moda, a mediana, a variˆancia e o desvio padr˜ao para a vari´avel aleat´oria C do exemplo 1, cuja fun¸c˜ao densidade de probabilidade ´e dada pela seguinte fun¸c˜ao:
f(c) = 1 40 c 10+ 1 , se 0 ≤ c ≤ 20; 0, caso contr´ario.
