MÉTODOS SIMPLIFICADOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PUNÇÃO EXCÊNTRICA

MÉTODOS SIMPLIFICADOS PARA A VERIFICAÇÃO

DE PUNÇÃO EXCÊNTRICA

Juliana Soares Lima1 _{& Libânio Miranda Pinheiro}2

Resumo

Nas recomendações da NBR 6118:1978 relativas à punção, não eram previstos os

casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados entre a laje e o pilar.

Como a influência desses momentos pode ser bastante significativa para a análise da

punção, algumas diretrizes foram incluídas na Revisão da NBR 6118, versão de 2000.

Este trabalho apresenta um estudo dessas disposições sobre a chamada punção

excêntrica, ressaltando-se algumas omissões quanto ao cálculo das tensões solicitantes

na face do pilar e além da região armada para punção. São propostas

complementações e métodos simplificados para a consideração dos efeitos dos

momentos. Por fim, resolve-se um exemplo de cálculo, demonstrando os procedimentos

apresentados e comparando-os com aqueles propostos pela Revisão da NBR 6118.

Palavras-chave: lajes; punção; momentos desbalanceados; ligação laje-pilar.

1 INTRODUÇÃO

Quando um momento desbalanceado é transferido em uma ligação laje-pilar, parte se dá por flexão, parte por torção e parte por cisalhamento. Essa distribuição pode ser considerada por uma variedade de métodos e depende essencialmente das dimensões do pilar e da espessura da laje.

Para a punção, em especial, interessa a parcela transferida por cisalhamento. Nas recomendações da NBR 6118:1978, relativas à punção, não eram previstos os casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados. Mas como a influência desses momentos pode ser bastante significativa, sua análise foi incluída na Revisão da NBR 6118 (2000).

Em trabalho anterior, GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) apresentaram essas novas diretrizes da NBR 6118 (2000), resolvendo, inclusive, um exemplo de cálculo. Posteriormente, LIMA (2001) estudou mais detalhadamente esses procedimentos, identificando algumas omissões relacionadas ao cálculo das tensões solicitantes.

Neste trabalho, são apresentadas algumas sugestões para contornar essas omissões, enfatizando-se a possibilidade de utilização de métodos simplificados.

1 _{Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, jslima55@uol.com.br}

2 PUNÇÃO EXCÊNTRICA SEGUNDO A REVISÃO DA NBR 6118

O modelo empírico da NBR 6118 (2000) para a verificação da punção é baseado no método da superfície de controle, que consiste em comparar tensões de cisalhamento atuantes em superfícies consideradas críticas, com tensões resistentes do concreto.

Essas superfícies críticas estão relacionadas às regiões com possibilidade de ruína por punção, localizadas entre a face do pilar e o início da armadura, dentro da região armada e além dela.

Quando não for prevista armadura de punção, duas verificações devem ser feitas:

• verificação da compressão do concreto, no contorno C; • verificação da punção, no contorno C’.

Quando for prevista armadura de punção, três verificações devem ser feitas: • verificação da compressão do concreto, no contorno C;

• verificação da punção, no contorno C’; • verificação da punção, no contorno C”.

Os contornos críticos C, C’ e C” encontram-se, respectivamente, na face do pilar, à distância 2d da face do pilar e à distância 2d da última linha de armadura de punção. A determinação de cada um dos contornos críticos C, C’ e C” varia de acordo com a posição do pilar na estrutura (Figura 1).

2d 2d C" C' 2d 2d C C' C" C 2d 2d 2d 2d C" 2d 2d 2d C' C 2d

Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto

O cálculo das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica foi apresentado por GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) e por LIMA (2001). Um resumo das expressões utilizadas encontra-se na Tabela 1.

Vale lembrar que, no caso de pilares de canto, devem ser feitas verificações separadas para cada uma das direções, sendo estudadas duas situações de cálculo.

Tabela 1 - Expressões para o cálculo das tensões solicitantes.

Situação de Cálculo Tensão Solicitante Pilar interno

com momento em uma direção W d

M K d u F p Sd Sd Sd _⋅ ⋅ + ⋅ = τ Pilar interno

com momentos nas duas direções W d

M K d W M K d u F 2 p 2 Sd 2 1 p 1 Sd 1 Sd Sd _⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = τ Pilar de borda

sem momento no plano paralelo à borda

livre W d M K d u F 1 p Sd 1 Sd Sd _⋅ ⋅ + ⋅ = τ * Pilar de borda

com momento no plano paralelo à borda

livre W d M K d W M K d u F 2 p 2 Sd 2 1 p Sd 1 Sd Sd _⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = τ * Pilar de canto _uF _d K_WM_d 1 p Sd 1 Sd Sd _⋅ ⋅ + ⋅ = τ *

Nas expressões da Tabela 1, têm-se:

FSd - força normal de cálculo;

u - perímetro crítico do contorno considerado;

u* - perímetro crítico reduzido do contorno considerado (Figura 2); d - altura útil da laje;

K, K1 e K2 - coeficientes que fornecem a parcela de momento transferida por cisalhamento (Tabela 2), e que dependem da relação

c

₁/

c

₂ entre as dimensões do pilar (Figura 3); para pilares de borda com momento no plano paralelo à borda livre, K2 depende da relação

c

₂/

2

c

₁

;

Tabela 2 - Valores do coeficiente K.

c1/c2 0,5 1 2 3

K 0,45 0,60 0,70 0,80

c1 - dimensão do pilar na direção da excentricidade ou na direção perpendicular à borda;

2d 2d 2d c₁ 2 c Borda livre da laje da laje a≤ 1,5d ou 0,5c Borda livre Perímetro crítico u Perímetro crítico reduzido u* 2d c2 2d 2d c1 1 2d 2d c Bordas livres da laje

a ≤ 1,5d ou 0,5c

Perímetro crítico u Perímetro crítico

2d

2d

reduzido u*

Figura 2 - Perímetros críticos reduzidos do contorno C’ para pilares de borda e de canto.

c c M sd 1 2 Figura 3 - Dimensões c1 e c2.

MSd, MSd1 e MSd2 - momentos desbalanceados de cálculo; para pilares de borda

e de

canto:

MSd2 - momento no plano paralelo à borda livre;

MSd - momento resultante de cálculo, dado pela expressão MSd =(MSd1 −MSd*)≥0

;

MSd1 - momento desbalanceado de cálculo, no plano perpendicular à borda livre;

MSd* - momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar, no plano perpendicular à borda livre, ou seja, M_Sd*=F_Sd⋅e*

;

e* - excentricidade do perímetro crítico reduzido (Figura 4), dada por

∫

∫

⋅ = * * * u 0 u 0 d d e e _{l l}

.

2d a b e* 2d 2d 2d 1 c / 2 c1 2 c Borda livre da laje

a≤ 1,5d ou 0,5c

Perímetro crítico reduzido u* 1

a2

Perímetro crítico reduzido u* 2d 2d a1 ≤ 1,5d ou 0,5c1 a2≤ 1,5d ou 0,5c2 a1 c1 c2 e* 2d 2d

Figura 4 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido do contorno C’, para pilares de borda e de canto.

Tabela 3 - Valores de e* para o contorno C’.

Situação de Cálculo Excentricidade Pilares de borda d 2 c a 2 c d d 8 d c 2 2 c c a a c e 2 1 2 2 2 1 2 1 ⋅ π ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = * Pilares de canto

(

a a d

)

2 c d d 8 d a 4 c a a a c e 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 ⋅ π + + ⋅ ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = *

Observa-se que, para pilares de borda e de canto, não é necessário utilizar o momento no plano perpendicular à borda livre com seu valor integral. A excentricidade do perímetro crítico provoca um momento MSd* de sentido oposto ao de MSd1, podendo até anular o efeito deste. A favor da segurança, mesmo que MSd* seja maior que MSd1, o que significaria “alívio” da tensão de cisalhamento atuante, esta situação não é considerada (M_Sd1−M_Sd*≥0).

a, a1 e a2 - menor valor entre

1

,

5

⋅

d

e

0,5⋅

c

;

Wp, Wp1 e Wp2 - módulos de resistência plástica do perímetro crítico, nas direções paralelas aos momentos correspondentes, dados por =

∫

⋅

u 0

p e d

W _{l , onde dl é o}

(2000) apresenta apenas as expressões da Tabela 4, relativas ao contorno crítico C’. Nenhuma indicação é feita para os contornos C e C”.

Tabela 4 - Valores de Wp para o contorno C’.

Situação de Cálculo Wp Pilares internos 2 ₁ 2 2 1 2 1 p ₂ c c 4 c d 16 d 2 d c c W = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅π⋅ ⋅ Pilares de borda - Wp1 1 2 ₂ 2 ₁ 2 1 1 p 2 c d 8 d d c 2 c c 2 c W = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +π⋅ ⋅ Pilares de borda - Wp2 _{1 2 1} 2 ₂ 2 2 2 p c c 4 c d 8 d d c 4 c W = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +π⋅ ⋅ Pilares de canto 2 c d d 4 d c 2 2 c c 4 c W 1 2 ₂ 2 1 2 1 1 p ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + =

3 VALORES DE W

p

PARA OS CONTORNOS C E C”

A omissão da NBR 6118 (2000) sobre a obtenção das expressões de Wp para os contornos C e C” pode acarretar o uso de valores indevidos desse parâmetro para as verificações na face do pilar e além da região armada, não devendo persistir na versão definitiva da NBR 6118.

No CEB MC-90 (1993), no qual a verificação de punção da NBR 6118 (2000) é baseada, não ocorre esse problema. Para o contorno C”, fica claro que deve ser calculado um Wp’ correspondente ao perímetro crítico u’, de forma análoga ao Wp para o contorno u. Resolvendo-se a integral de definição, podem ser obtidas as expressões de Wp’ da Tabela 5, para cada situação de cálculo, sendo p a distância da face do pilar até a última linha de conectores.

Tabela 5 - Valores de Wp’. Situação de Cálculo Wp’ Pilar interno (Wp’) p c p 4 p d 16 p c 2 c d 2 d 16 d c 4 c c 2 c W 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 p ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ π ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ' Pilar de borda (Wp1’) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 p p 2 2 c p p d 8 p c c d d 8 d c 2 2 c c 2 c W ⋅ + ⋅ ⋅ π + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ' Pilar de borda (Wp2’) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 p p 2 2 c p p d 8 p c 2 c d d 8 d c 4 c c 4 c W ⋅ + ⋅ ⋅ π + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ' Pilar de canto (Wp1’) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 p p 4 c p p d 4 p c 2 c d d 4 d c 2 2 c c 4 c W + ⋅ ⋅ π + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = '

Nota-se que o CEB MC-90 (1993), apesar de não fornecer expressão direta para o cálculo do Wp no contorno C, utiliza uma redução do próprio Wp do contorno C’ para o cálculo da tensão solicitante na face do pilar3. Pode-se escrever então:

p o po W u u W = ⋅ (1)

Para pilares de borda e de canto, devem ser utilizados os perímetros críticos reduzidos: p o po W u u W = ⋅ * * (2)

Mas assim como foi feita uma redução do Wp para se calcular o Wpo, pode-se pensar numa majoração do Wp para se obter o Wp’. Essa interpretação é bastante prática, pois permite que os valores de Wp’ sejam calculados de uma forma mais simples que aquela apresentada na Tabela 5. Assim sendo, pode-se escrever:

p wp p W u u W '=η '⋅ (3)

Para pilares de borda e de canto:

3 _{Deve-se ressaltar que essa redução do W}

p do contorno C’ não corresponde à aplicação da integral de

p wp p W u u W =η ⋅ * '* ' (4)

sendo ηwp - coeficiente para correção do Wp’ em função da situação de cálculo. Para determinar os valores de ηwp, foram utilizadas as expressões:

u u W W p p wp _' ' =

η para pilares internos;

* '* ' u u W W p p wp=

η para pilares de borda e de canto.

Foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondo-se Wp’ dado pela Tabela 5 e

s

e≤

2

⋅

d

, sendo se o espaçamento entre os conectores mais afastados do pilar. Variou-se a altura útil da laje entre 12 e 22 cm, a menor dimensão da seção do pilar entre 20 e 30 cm, a maior dimensão até cinco vezes a outra, e manteve-se a distância da última linha de armaduras à face do pilar em pelo menos 2d. Com base nesses dados e na análise estatística de LIMA (2001), observou-se que podem observou-ser adotados os valores de ηwp apresentados na Tabela 6. Mas vale ressaltar que esses valores ainda podem ser melhorados, a partir de outras análises mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e mais diversificada.

Tabela 6 - Valores de ηwp. Situação de Cálculo c1≤ c2 c1 > c2 Pilar interno (Wp’) 1,6 1,3 Pilar de borda (Wp1’) 1,5 1,1 Pilar de borda (Wp2’) 1,3 1,3 Pilar de canto (Wp1’) 1,3 1,1

Assim, tanto a redução quanto a majoração do Wp, para a determinação de

Wpo e Wp’, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR 6118. Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões completas de Wp’, apresentadas na Tabela 5.

4 VALORES DE e* PARA OS CONTORNOS C E C”

valores indevidos para as verificações na face do pilar e além da região armada, devendo ser solucionada na versão definitiva da NBR 6118.

Uma primeira idéia seria aplicar a integral de definição de e* aos contornos C e

C”. Com isso, são obtidas as expressões da Tabela 7, para pilares de borda, e da

Tabela 8, para pilares de canto.

Observa-se, entretanto, que o cálculo de e* segundo essas expressões pode se tornar um pouco trabalhoso. Fazendo-se uma analogia à solução apresentada para o Wp, pode-se propor que as excentricidades dos perímetros críticos reduzidos dos contornos C e C” sejam escritas da seguinte forma:

* e * u * u * e_o =η_e1 o ⋅ (5) * e * u '* u '* e =η_e2 ⋅ (6) sendo:

ηe1, ηe2 - coeficientes para correção de e* em função do contorno estudado.

Para a determinação de ηe1 e ηe2, as seguintes expressões foram utilizadas:

* u * ue* * e o o 1 e = η

e

* u '* ue* '* e 2 e = η

Tabela 7 - Valores de e* para pilares de borda.

Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* C 2 2 1 2 1 o c a 2 2 c c a a c e + ⋅ ⋅ + − ⋅ = * C” p d 2 c a 2 p 2 2 c p p d 8 p c c d d 8 d c 2 2 c c a a c e 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ⋅ π + ⋅ π ⋅ + + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = '*

Foram resolvidos diversos exemplos com as mesmas características citadas no item 3, supondo-se eo* e e’* calculados pela Tabela 7 e pela Tabela 8, e, novamente,

d

2

Tabela 8 - Valores de e* para pilares de canto.

Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* C ) a a ( 2 c a a a c * e 2 1 1 2 2 1 1 1 o _{⋅ +} ⋅ + − ⋅ = C” ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +π⋅ +}π⋅ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = 2 p d a a 2 p 2 2 c p p d 8 p a 2 c d d 8 d a 4 c a a a c e 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 '*

Tabela 9 - Valores de ηe1 e de ηe2..

Coeficiente

s

c

1

≤ c

2

c

1

> c

2

η

e1

0,5 1,0

η

e2

1,0 0,8

Assim, tanto a redução quanto a majoração do e*, para a determinação de eo* e e’*, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR 6118. Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões completas, indicadas na Tabela 7 e na Tabela 8.

5 MÉTODO SIMPLIFICADO PARA A PUNÇÃO EXCÊNTRICA

No item 2, foram apresentadas expressões para o cálculo das tensões solicitantes quando atuam momentos fletores desbalanceados, além da força normal. Essas expressões, entretanto, podem se tornar inconvenientes quando se desejar uma análise mais imediata do problema.

Nesses casos, a utilização de um método mais simplificado para a verificação da punção excêntrica pode ser interessante. Uma alternativa é a adoção de um coeficiente majorador da tensão atuante causada pela força normal, que leve em consideração o efeito da excentricidade, como é permitido pela FIP (1999) e pelo EC-2 (1999). Assim, d u F_Sd Sd =β⋅ _⋅ τ (7) sendo:

β - coeficiente para a consideração do efeito da excentricidade.

• no contorno C’:

(

)

d u F d W M K d W * e F M K d u F Sd 2 p 2 Sd 2 1 p Sd 1 Sd 1 Sd ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = β • no contorno C:

(

)

d u F d W M K d W * e F M K d u F o Sd o , 2 p 2 Sd 2 o , 1 p o Sd 1 Sd 1 o Sd ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = β • no contorno C”:

(

)

d ' u F d ' W M K d ' W '* e F M K d ' u F Sd 2 p 2 Sd 2 1 p Sd 1 Sd 1 Sd ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = β

Para que os valores de β em cada contorno fossem obtidos a partir dessas expressões, foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondo-se

s

e ≤

2

⋅

d

. As características desses exemplos foram as mesmas citadas

no item 3, a menos da maior dimensão da seção do pilar, limitada a três vezes a outra. Com base nesses dados e na análise estatística feita por LIMA (2001), notou-se que podem ser adotados os valores de β da Tabela 10. Mas vale ressaltar, mais uma vez, que esses valores ainda podem ser melhorados a partir de outras análises mais refinadas, e que considerem, principalmente, uma variação maior do carregamento.

Sugere-se, então, a introdução desse método simplificado para o cálculo de τSd, na versão definitiva da NBR 6118.

Tabela 10 - Valores de β.

c1≤ c2 c1 > c2

Situação de Cálculo

C C’ C” C C’ C” Pilar interno, com carregamento simétrico 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Pilar interno, com momento aplicado 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,1

Pilar de borda 1,5 1,3 1,2 1,7 1,4 1,1

Pilar de canto 1,7 1,4 1,1 1,5 1,2 1,1

6 EXEMPLO DE CÁLCULO

resolução da placa por elementos finitos, utilizando o programa SAP 90. Adotaram-se os seguintes valores: MPa 30 f_ck = , c=2,0cm e d=14,75 cm 30 370 30 560 565 30 40 40 565 30 P1 (30/30) P2 (40/30) P3 (40/30) P4(30/30) P5 (40/30) P9 (40/30) P13 (30/30) P6 (30/40) P10 (30/40) P14 (40/30) P7 (30/40) P11 (30/40) P15 (40/30) P8 (40/30) P12 (40/30) P16 (30/30) h = 18 370 570 30 30

Figura 5 - Forma do pavimento do exemplo (dimensões em centímetros) - LIMA (2001).

7 cm 10 cm 10 cm so ≤0,5d = 7,375 ⇒ 7,0 cm sr ≤0,75d = 11,06 ⇒ 10 cm se ≤2d = 29,5 ⇒ 28,32 cm 28,32 cm 10 cm 7 cm 10 c m 10 c m so = 7 cm sr = 10 cm 10 c m a = 15 cm = Armadura adicional se = 28,32 cm 7 cm 10 cm 10 cm so = 7 cm sr = 10 cm se = 28,32 cm 10 cm a = 15 cm = Armadura adicional

Figura 6 - Arranjo dos conectores tipo pino para os pilares estudados - LIMA (2001).

6.1 Pilar P6 (pilar interno)

cm 140 u_o = , u=325cm e u'=558cm 525 , 0 K₁= e K₂ =0,633 6.1.1 Contorno C

Tensão solicitante (Tabela 1): Pela Tabela 4: 2 2 2 1 p 30 40 4 40 14,75 16 14,75 2 14,75 30 10271cm 2 30 W = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅π⋅ ⋅ = 2 2 2 2 p 40 30 4 30 14,75 16 14,75 2 14,75 40 10958cm 2 40 W = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅π⋅ ⋅ = Pela eq.(1): 2 o , 1 p 10271 4424cm 325 140 W = ⋅ = 2 o , 2 p ₃₂₅ 10958 4720cm 140 W = ⋅ =

Assim, de acordo com a Tabela 1, obtém-se:

038 , 0 015 , 0 223 , 0 75 , 14 4720 4203 633 , 0 75 , 14 4424 1838 525 , 0 75 , 14 140 461 Sd _⋅ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = τ MPa 76 , 2 cm kN 276 , 0 ₂ Sd = = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10, β = 1,2. Assim:

MPa 68 , 2 cm kN 268 , 0 75 , 14 140 461 2 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

Nota-se que o método simplificado para o cálculo de τ_Sd conduziu a um bom resultado, apesar de sua grande simplificação.

6.1.2 Contorno C’

Tensão solicitante (Tabela 1):

016 , 0 006 , 0 096 , 0 75 , 14 10958 4203 633 , 0 75 , 14 10271 1838 525 , 0 75 , 14 325 461 Sd _⋅ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = τ MPa 18 , 1 cm kN 118 , 0 ₂ Sd= = τ

Tensão solicitante (eq.7):

MPa 15 , 1 cm kN 115 , 0 75 , 14 325 461 2 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

Observa-se que o método simplificado para o cálculo de τ_Sd forneceu novamente um resultado próximo daquele obtido com a expressão da Tabela 1.

6.1.3 Verificação do contorno C”

Tensão solicitante (Tabela 1):

Pela eq.(3), tomando-se η_wp =1,6 para Wp1’, e ηwp =1,3 para Wp2’, de acordo com a Tabela 6: 2 1 p 10271 28215cm 325 558 6 , 1 ' W = ⋅ ⋅ = 2 2 p ₃₂₅ 10958 24458cm 558 3 , 1 ' W = ⋅ ⋅ = Assim: 007 , 0 002 , 0 056 , 0 75 , 14 24458 4203 633 , 0 75 , 14 28215 1838 525 , 0 75 , 14 558 461 Sd _⋅ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = τ MPa 65 , 0 cm kN 065 , 0 ₂ Sd = = τ

Calculando-se os valores de Wp1’ e de Wp2’ a partir da expressão indicada na Tabela 5, tem-se: 2 2 2 2 1 p cm 30926 37 30 7 3 4 37 14,75 16 37 40 2 30 75 , 14 2 75 , 14 16 75 , 14 40 4 40 30 2 30 ' W = ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ π ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = 2 2 2 2 2 p cm 32036 37 40 7 3 4 37 14,75 16 37 30 2 40 75 , 14 2 75 , 14 16 75 , 14 30 4 30 40 2 40 ' W = ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ π ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = E assim: 006 , 0 002 , 0 056 , 0 75 , 14 32036 4203 633 , 0 75 , 14 30926 1838 525 , 0 75 , 14 558 461 Sd _⋅ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = τ MPa 64 , 0 cm kN 064 , 0 ₂ Sd = = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10, β = 1,1. Assim:

Observa-se que os valores de Wp1’ e de Wp2’ obtidos pela eq.(3), apesar de conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, mas são muito mais facilmente calculados.

O importante, entretanto, é que as tensões solicitantes obtidas nos dois casos são bastante parecidas. Acredita-se que a boa aproximação dos resultados justifica o uso do método simplificado, o mesmo ocorrendo para o cálculo de τSd pela eq.(7), que forneceu um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1.

6.2 Pilar P5 (pilar de borda)

kN 249 178 4 , 1 F_Sd = ⋅ = cm kN 11950 8536 4 , 1 M_Sd1= ⋅ = ⋅ cm kN 2869 2049 4 , 1 M_Sd2 = ⋅ = ⋅ Sdx 1 Sd M

M = (perpendicular à borda livre)

Sdy 2

Sd M

M = (paralelo à borda livre)

cm 40

c₁ = (perpendicular à borda livre)

cm 30

c₂ = (paralelo à borda livre)

cm 20 a= cm 70 * u_o = , u*=163cm e u'*=279cm 633 , 0 K₁= e K₂ =0,45 6.2.1 Contorno C

Tensão solicitante (Tabela 1): Pela Tabela 3: 33,68cm 75 , 14 2 30 20 2 40 75 , 14 75 , 14 8 75 , 14 30 2 2 30 40 20 20 40 * e 2 2 = ⋅ π ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

2 o , 2 p 6916 2970cm 163 70 W = ⋅ = Assim, 029 , 0 142 , 0 241 , 0 75 , 14 2970 2869 45 , 0 75 , 14 2525 8350 633 , 0 75 , 14 70 249 Sd = _⋅ + _⋅⋅ + ⋅_⋅ = + + τ MPa 12 , 4 cm kN 412 , 0 ₂ Sd = = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10,

β

=

1

,

7

. Assim:

MPa 10 , 4 cm kN 410 , 0 75 , 14 70 249 7 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

Considerando-se eo* calculado através da expressão da Tabela 7, tem-se:

cm 29 , 14 30 20 2 2 30 40 20 20 40 * e 2 o _{⋅ +} = ⋅ + − ⋅ =

Nota-se o valor obtido com a eq.(5) está bastante próximo deste, sendo, entretanto, muito mais facilmente calculado. O mesmo ocorre para o cálculo de τSd pela eq.(7), cujo resultado se aproxima bastante daquele obtido segundo a Tabela 1.

6.2.2 Verificação do contorno C’

Tensão solicitante (Tabela 1):

cm kN 8386 68 , 33 249 * e F * M_Sd = _Sd ⋅ = ⋅ = ⋅ cm kN 3564 ) 8386 11950 ( *) M M ( M_Sd = _Sd1− _Sd = − = ⋅ Assim: 013 , 0 026 , 0 104 , 0 75 , 14 6916 2869 45 , 0 75 , 14 5879 3564 633 , 0 75 , 14 163 249 Sd = _⋅ + _⋅⋅ + ⋅_⋅ = + + τ MPa 43 , 1 cm kN 143 , 0 ₂ Sd = = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10,

β

=

1

,

4

. Assim,

MPa 45 , 1 cm kN 145 , 0 75 , 14 163 249 4 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

6.2.3 Verificação do contorno C”

Tensão solicitante (Tabela 1):

Pela eq.(6), tomando-se η_e2 =0,8, de acordo com a Tabela 9: cm 12 , 46 68 , 33 163 279 8 , 0 '* e = ⋅ ⋅ = Logo, cm kN 11484 12 , 46 249 '* e F * M_Sd = _Sd⋅ = ⋅ = ⋅ cm kN 466 ) 11484 11950 ( *) M M ( M_Sd = _Sd1− _Sd = − = ⋅

Pela eq.(4), tomando-se η_wp =1,1 para o Wp1, e ηwp =1,3 para o Wp2, de acordo com a Tabela 6:

2 1 p ₁₆₃ 5879 11069cm 279 1 , 1 ' W = ⋅ ⋅ = 2 2 p 6916 15389cm 163 279 3 , 1 ' W = ⋅ ⋅ = Assim, 005 , 0 002 , 0 060 , 0 75 , 14 15389 2869 45 , 0 75 , 14 11069 466 633 , 0 75 , 14 279 249 Sd = _⋅ + _⋅⋅ + ⋅_⋅ = + + τ MPa 67 , 0 cm kN 067 , 0 ₂ Sd = = τ

Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 7, tem-se:

57,43cm 37 75 , 14 2 30 20 2 37 2 2 40 37 37 75 , 14 8 37 30 40 75 , 14 75 , 14 8 75 , 14 30 2 2 30 40 20 20 40 '* e 2 2 2 = ⋅ π + ⋅ π ⋅ + + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ π + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = Logo: cm kN 14300 43 , 57 249 '* e F * M_Sd = _Sd⋅ = ⋅ = ⋅ 0 cm kN 2350 ) 14300 11950 ( *) M M ( M_sd = _sd1− _sd = − =− ⋅ ≤ 0 M_sd =

Calculando-se Wp1’ e Wp2’ pelas expressões da Tabela 5, têm-se:

2 2 2 2 2 p cm 18723 37 2 2 30 37 37 75 , 14 8 37 40 2 30 75 , 14 75 , 14 8 75 , 14 40 4 30 40 4 30 ' W = ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = E assim, 005 , 0 0 060 , 0 75 , 14 18723 2869 45 , 0 75 , 14 16418 0 633 , 0 75 , 14 279 249 Sd = _⋅ + _⋅ ⋅ + ⋅_⋅ = + + τ MPa 65 , 0 cm kN 065 , 0 ₂ Sd = = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10,

β

=

1

,

1

. Assim,

MPa 66 , 0 cm kN 066 , 0 75 , 14 279 249 1 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

Observa-se que os valores de Wp1’ e de Wp2’ obtidos pela eq.(4), apesar de conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, o mesmo ocorrendo para o e’* obtido pela eq.(6), em relação ao da Tabela 7.

O mais importante, entretanto, é que novamente as tensões solicitantes calculadas para os dois casos são bastante parecidas, justificando, mais uma vez, o uso do método simplificado. E quanto ao cálculo de τSd pela eq.(7), observa-se que o resultado obtido também ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da Tabela 1.

6.3 Pilar P1 (pilar de canto)

kN 108 77 4 , 1 F_Sd = ⋅ = cm kN 6082 4344 4 , 1 M_Sdx = ⋅ = ⋅ cm kN 2590 1850 4 , 1 M_Sdy = ⋅ = ⋅ cm 15 a a₁= ₂ = cm 30 * u_o =

,

u*=76cm

e

u'*=134cm 6 , 0 K₁ =

As duas situações de cálculo estão representadas na Figura 7. Sdx 1 Sd M M = M_Sd1=M_Sdy 30 30 6082 30 30 2590 1a _{situação 2} a _situação

Mas como o pilar é quadrado, c₁ =c₂, e as excentricidades e os valores de K e de Wp são iguais para as duas direções. O determinante da situação mais crítica é, portanto, apenas o valor do momento Msd, que é maior no primeiro caso. Se o pilar fosse retangular, seria necessário se calcular a tensão solicitante segundo as duas situações de cálculo, para então se descobrir a mais crítica.

6.3.1 Contorno C

Tensão solicitante (Tabela 1): Pela Tabela 3:

(

15 15 14,75

)

30,72cm 2 30 75 , 14 75 , 14 8 75 , 14 15 4 30 15 15 15 30 * e 2 2 = ⋅ π + + ⋅ ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

Pela eq.(5), tomando-se η_e1=0,5, de acordo com a Tabela 9: cm 06 , 6 72 , 30 76 30 5 , 0 * e_o = ⋅ ⋅ = Logo: cm kN 655 06 , 6 108 * e F * M_Sd = _Sd⋅ _o = ⋅ = ⋅ cm kN 5427 ) 655 6082 ( *) M M ( M_sd = _sd1− _sd = − = ⋅ Pela Tabela 4: 2 2 2 1 p ₂ 3125cm 30 75 , 14 75 , 14 4 75 , 14 30 2 2 30 30 4 30 W = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + π⋅ ⋅ = Pela eq.(1): 2 o , 1 p 3125 1234cm 76 30 W = ⋅ = Assim: MPa 23 , 4 cm kN 423 , 0 179 , 0 244 , 0 75 , 14 1234 5427 6 , 0 75 , 14 30 108 2 Sd= _⋅ + ⋅_⋅ = + = = τ

E assim: MPa 04 , 4 cm kN 404 , 0 160 , 0 244 , 0 75 , 14 1234 4867 6 , 0 75 , 14 30 108 2 Sd _⋅ = + = = ⋅ + ⋅ = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10,

β

=

1

,

7

. Assim,

MPa 15 , 4 cm kN 415 , 0 75 , 14 30 108 7 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

Mais uma vez percebe-se que, apesar do valor conservador de eo* obtido com o uso da eq.(5) não estar próximo daquele obtido a partir da Tabela 8, a diferença entre as tensões solicitantes calculadas nos dois casos é pequena. E quanto ao método simplificado para o cálculo de τSd, ele forneceu, novamente, um bom resultado em relação àqueles obtidos com a expressão da Tabela 1.

6.3.2 Contorno C’

Tensão solicitante (Tabela 1):

cm kN 3318 72 , 30 108 * e F * M_Sd = _Sd ⋅ = ⋅ = ⋅ cm kN 2764 ) 3318 6082 ( *) M M ( M_sd = _sd1− _sd = − = ⋅ E assim, MPa 32 , 1 cm kN 132 , 0 036 , 0 096 , 0 75 , 14 3125 2764 6 , 0 75 , 14 76 108 2 Sd _⋅ = + = = ⋅ + ⋅ = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10,

β

=

1

,

4

. Assim:

MPa 35 , 1 cm kN 135 , 0 75 , 14 76 108 4 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

Nota-se que o resultado da eq.(7) para τSd se aproxima bastante daquele obtido pela Tabela 1, sendo, entretanto, muito mais facilmente calculado.

6.3.3 Contorno C”

Tensão solicitante (Tabela 1):

Pela eq.(4), tomando-se η_wp =1,3, de acordo com a Tabela 6: 2 1 p ₇₆ 3125 7163cm 134 3 , 1 ' W = ⋅ ⋅ = Assim, MPa 56 , 0 cm kN 056 , 0 001 , 0 055 , 0 75 , 14 7163 233 6 , 0 75 , 14 134 108 2 Sd = _⋅ + _⋅⋅ = + = = τ

Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 8, tem-se:

54,47cm 2 37 75 , 14 15 15 2 37 2 2 30 37 37 75 , 14 8 37 15 2 30 75 , 14 75 , 14 8 75 , 14 15 4 30 15 15 15 30 '* e 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +π⋅ +} π⋅ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ ⋅ π + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ π + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = Logo: cm kN 5883 47 , 54 108 '* e F * M_Sd = _Sd⋅ = ⋅ = ⋅ cm kN 199 ) 5883 6082 ( *) M M ( M_sd = _sd1− _sd = − = ⋅

Calculando-se Wp1’ pela expressão da Tabela 5, tem-se:

2 2 2 2 1 p cm 8659 37 4 30 37 37 75 , 14 4 37 30 2 30 75 , 14 75 , 14 4 75 , 14 30 2 2 30 30 4 30 ' W = + ⋅ ⋅ π + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ π + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = E assim, MPa 56 , 0 cm kN 056 , 0 001 , 0 055 , 0 75 , 14 8659 199 6 , 0 75 , 14 134 108 2 Sd _⋅ = + = = ⋅ + ⋅ = τ

Tensão solicitante (eq.7):

Pela Tabela 10,

β

=

1

,

1

. Assim:

MPa 60 , 0 cm kN 060 , 0 75 , 14 134 108 1 , 1 ₂ Sd = ⋅ _⋅ = = τ

7 CONCLUSÕES

Observou-se que a omissão da Revisão da NBR 6118 (2000) quanto ao cálculo do Wp e do e* nos contornos C e C” poderia acarretar o uso de valores indevidos desses parâmetros para as verificações na face do pilar e a 2d da região armada. Sugeriu-se, então, um método simplificado para a determinação de Wpo, Wp’, eo* e e’*, a partir dos coeficientes ηwp, ηe1 e ηe2.

Também se propôs um método simplificado para a obtenção das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica, através de um coeficiente majorador da tensão provocada pela força normal, chamado de β. A adoção desse coeficiente, apesar de conduzir a valores um pouco conservadores em alguns casos, facilita bastante avaliação dos efeitos da transferência de momentos desbalanceados.

Apesar dos bons resultados obtidos, como demonstrado no exemplo do item 6, vale ressaltar que os valores dos coeficientes propostos ainda podem ser melhorados, através de análises que utilizem uma amostragem maior e mais diversificada que aquela adotada por LIMA (2001).

8 AGRADECIMENTOS

Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador.

9 REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (2000). Revisão da NBR

6118 - Projeto de estruturas de concreto.

COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. (1993). CEB-FIP model code 1990. London: Thomas Telford.

COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION. (1999). Eurocode 2 - Design of

concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels: CEN.

(1st draft)

FEDERATION INTERNATIONALE DE LA PRÉCONTRAINTE. (1999). Practical

design of structural concrete. London: SETO. (FIP Recomendations).

GUARDA, M. C. C.; LIMA, J. S.; PINHEIRO, L. M. (2000). Novas diretrizes para a análise da punção no projeto de lajes lisas. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 4., São Paulo. Anais... São Paulo: 2000. 1 CD-Rom. LIMA, J. S. (2001). Verificações da punção e da estabilidade global de edifícios de

concreto: desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. São