Felipe Emmanuel Ferreira de Castro. Motor de Indução Trifásico Sem Mancais com Bobinado Dividido: otimização do sistema de posicionamento radial

(1)

Motor de Indu¸

c˜

ao Trif´

asico Sem Mancais

com Bobinado Dividido: otimiza¸

c˜

ao do

sistema de posicionamento radial

Natal

(2)

Motor de Indu¸

c˜

ao Trif´

asico Sem Mancais

com Bobinado Dividido: otimiza¸

c˜

ao do

sistema de posicionamento radial

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Elétrica, no Centro de Tecnologia da Universidade Fede-ral do Rio Grande do Norte, como requisito parcial à obten¸cão do grau de Mestre.

Orientador:

Andres Ortiz Salazar

Co-orientador:

Andr´e Laurindo Maitelli

Natal

(3)

Motor de Indu¸

c˜

ao Trif´

asico Sem Mancais

com Bobinado Dividido: otimiza¸

c˜

ao do

sistema de posicionamento radial

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Elétrica, no Cen-tro de Tecnologia da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial à obten¸cão do grau de Mestre e aprovada pela banca examinadora composta pelos pro-fessores:

Dr. Andres Ortiz Salazar (UFRN) Orientador

Dr. Andr´e Laurindo Maitelli (UFRN) Co-orientador

Dr. Ricardo L´ucio de Ara´ujo Ribeiro (UFRN) Membro da banca

Dr. C´ıcero Marcos Tavares Cruz (UFC) Membro da banca

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus e aos amigos que contribu´ıram em a¸c˜ao ou em pensamento, espiritual ou materialmente para a realiza¸c˜ao deste trabalho. Em especial, agrade¸co a:

Meus av´os, Ione e Joca, que muito ajudaram em minha educa¸c˜ao;

Minha mãe, pela ajuda sobre a normatiza¸cão, além da dedica¸cão e carinho; Meu pai, que também muito contribuiu para minha forma¸cão;

Meu orientador, que me apoiou sempre com entusiasmo e ao mesmo tempo rigor cient´ıfico sobre novas id´eias;

Meu co-orientador, com seu crivo apurado e valioso;

Atual equipe da base de pesquisa sobre m´aquinas sem mancais: Jossana, Jean, Stella, ´

Alvaro e Cleiton;

Prof. Ricardo Ribeiro, com suas sugest˜oes de ´ultima hora;

TRANSNOR Comércio e Ind. Ltda., pela constru¸cão do protótipo; CNPQ, pelo apoio à pesquisa;

(5)

Resumo

Esta disserta¸cão trata do sistema de controle de suspensão magnética ativa do rotor de um motor de indu¸cão sem mancais na configura¸cão com bobinado dividido. Analisa um modelo dinâmico para as for¸cas magnéticas radiais atuantes sobre o rotor. A par-tir disso, propõe um novo esquema de composi¸cão das correntes impostas ao estator da máquina. Mostra os testes realizados sobre um protótipo, provando a utilidade da nova estrutura de atua¸cão para o controle de posi¸cão radial. Por fim, indica a importância de se adaptar esta estrutura a técnicas de controle rotacional consagradas, dando continui-dade ao desenvolvimento da pesquisa sobre este tipo de equipamento, que é realizada na Universidade Federal do Rio Grande do Norte desde 2000.

(6)

Abstract

This dissertation deals with the active magnetic suspension control system of an induction bearingless motor configured with split windings. It analyses a dynamic model for the radial magnetic forces actuating on the rotor. From that, it proposes a new approach for the composition of the currents imposed to the machine’s stator. It shows the tests accomplished with a prototype, proving the usefulness of the new actuating structure for the radial positioning control. Finnaly, it points out the importance of adapting this structure to well-known rotational control techniques, continuing this kind of equipment research, which is carried out at Federal University of Rio Grande do Norte since 2000.

(7)

Sum´

ario

Lista de Figuras p. ix

Lista de Tabelas p. xii

Lista de S´ımbolos p. xiii

1 Introdu¸c˜ao p. 1

2 Vis˜ao Geral do Sistema p. 4

2.1 Caracteriza¸cão do protótipo . . . p. 4 2.2 Configura¸cão do estator . . . p. 5 2.3 Princ´ıpio de obten¸cão das for¸cas radiais . . . p. 6 2.4 Configura¸cão do rotor . . . p. 8 2.5 Necessidade da transforma¸cão rotacional para a aplica¸cão dos sinais de

controle de posi¸c˜ao . . . p. 10 2.6 Diagrama do sistema de controle . . . p. 12 2.7 Processamento para o controle . . . p. 13

3 For¸ca Magn´etica Radial p. 14

3.1 Equa¸c˜oes gerais . . . p. 15 3.2 Resultado para a for¸ca magn´etica radial aproximada . . . p. 19

4 Modelagem p. 22

(8)

4.1.2 Discretiza¸cão . . . p. 24 4.1.3 Equa¸cão de estado . . . p. 25 4.2 Posi¸cão radial do rotor . . . p. 25 4.2.1 Análise da for¸ca magnética radial . . . p. 25

4.2.1.1 Separa¸c˜ao entre as componentes de torque e de

posicio-namento radial . . . p. 26 4.2.1.2 Transforma¸cão de atua¸cão da for¸ca radial . . . p. 27 4.2.1.3 Corrente de levita¸cão magnética . . . p. 29 4.2.1.4 Influência de pequenos deslocamentos do rotor sobre a

for¸ca resultante . . . p. 30 4.2.2 Equa¸cão dinâmica . . . p. 31 4.2.3 Fun¸cão de transferência . . . p. 33 4.2.4 Discretiza¸cão . . . p. 34 4.2.5 Influência da corrente de magnetiza¸cão sobre a estabiliza¸cão do

sistema . . . p. 35 4.2.6 Equa¸c˜ao de estado . . . p. 35

5 Controle p. 37

5.1 Correntes no estator . . . p. 37 5.2 Posi¸cão radial do rotor . . . p. 38 5.2.1 Análise . . . p. 39 5.2.2 Otimiza¸cão . . . p. 40 5.2.3 Simula¸cão . . . p. 41

6 Implementa¸c˜ao p. 44

(9)

6.2.1 Organiza¸cão . . . p. 50 6.2.2 Comando e inicializa¸cão . . . p. 52 6.2.3 Tarefas auxiliares . . . p. 53 6.2.4 Controle de posi¸cão . . . p. 53 6.2.5 Controle de correntes . . . p. 55 7 Resultados Experimentais p. 56 7.1 Correntes no estator . . . p. 56 7.2 Posi¸cão radial do rotor . . . p. 58 7.2.1 Resposta ao degrau . . . p. 59 7.2.2 Area de dispersão do posicionamento . . . .´ p. 60 7.2.3 Desbalanceamento das correntes . . . p. 64 7.2.4 Potência de controle radial . . . p. 66 7.2.5 Conclusões . . . p. 68

8 Perspectivas de Desenvolvimento p. 70

Referˆencias p. 71

Apˆendice A -- Estrutura do Motor de Indu¸c˜ao Sem Mancais p. 73

A.1 Estrutura mecânica . . . p. 73 A.2 Momento de inércia do rotor em rela¸cão aos pontos de sustenta¸cão . . . p. 73 A.3 Esquema de liga¸cão dos circuitos rotóricos . . . p. 78

Apêndice B -- Medi¸cão de parâmetros p. 79

(10)

B.1.4 Tens˜ao cont´ınua do barramento do inversor . . . p. 81 B.2 Sistema de controle de posi¸c˜ao . . . p. 82 B.2.1 Constante K . . . . p. 82 B.2.2 Constantes K1 e K2 . . . p. 83

B.2.3 Constantes K3 e K4 . . . p. 83

B.2.4 Fun¸cão de transferência dos sensores de posi¸cão . . . p. 83

Apêndice C -- Cálculo da Matriz de Indutâncias p. 85

(11)

Lista de Figuras

1 Graus de liberdade de movimentos do rotor . . . p. 5 2 Disposi¸cão dos estatores e rotores dentro da máquina . . . p. 5 3 Diferen¸ca entre a liga¸cão convencional e a com bobinado dividido . . . p. 6 4 Disposi¸cão dos grupos de bobinas no estator . . . p. 6 5 Fluxo magnético devido a uma bobina . . . p. 7 6 Fluxo magnético devido a duas bobinas opostas . . . p. 7 7 Configura¸cão de um dos circuitos do rotor . . . p. 8 8 Circula¸cão de correntes induzidas dentro do rotor . . . p. 9 9 Indu¸cão no rotor devido ao aumento do fluxo magnético . . . p. 9 10 Anula¸cão das correntes no rotor frente à varia¸cão diferencial do fluxo

magnético . . . p. 10 11 Diagrama do sistema de controle de corrente e de posi¸cão radial . . . . p. 12 12 Distribui¸cão aproximada dos enrolamentos no estator . . . p. 16 13 Disposi¸cão de dois enrolamentos quaisquer i e j no motor . . . . p. 17 14 Percurso fechado para a aplica¸cão da Lei de Ampère . . . p. 18 15 Diagrama de blocos do sistema de controle de correntes no estator, em

(12)

21 Lugar das ra´ızes para o modelo de posi¸cão em realimenta¸cão unitária . p. 39 22 Resposta ao degrau unitário para o controle de posi¸cão . . . p. 43 23 Sinal de controle de posi¸cão para o degrau unitário . . . p. 43 24 Diagrama de blocos elétrico . . . p. 44 25 Retificador de potência . . . p. 45 26 Inversor de potência . . . p. 46 27 Desalinhamento angular entre o estator e os sensores de posi¸cão . . . . p. 48 28 Fluxograma do programa controlador do sistema . . . p. 51 29 Diagrama temporal da distribui¸cão das tarefas de controle . . . p. 52 30 Resposta ao degrau para a corrente em uma das bobinas do estator. . . p. 57 31 Onda senoidal de 60 Hz em uma das bobinas do estator . . . p. 57 32 Limite mecânico imposto ao deslocamento lateral do rotor . . . p. 58 33 Resposta a uma varia¸cão em degrau para o controle radial ao longo de

(13)

46 Esquema de liga¸cões dos circuitos elétricos no rotor . . . p. 78 47 Filtro passa-baixa na sa´ıda dos sensores de corrente . . . p. 81 48 Filtro passa-baixa na sa´ıda dos sensores de posi¸cão . . . p. 84 49 Diagrama para o cálculo de g(α, β, θ) . . . . p. 85 50 Indutância própria da bobina 1, em fun¸cão do deslocamento do rotor . p. 99 51 Indutância mútua entre as bobinas 1 e 2, em fun¸cão do deslocamento do

rotor . . . p. 100 52 Indutância mútua entre as bobinas 1 e 3, em fun¸cão do deslocamento do

(14)

Lista de Tabelas

1 Potˆencias dissipadas nos enrolamentos do estator . . . p. 67 2 Potˆencias dissipadas nos enrolamentos do estator, pelas correntes de

(15)

Lista de S´ımbolos

Fα, Fβ determinam a for¸ca magn´etica resultante no rotor;

W (α, β, i) é a fun¸cão co-energia magnética armazenada no entreferro do motor; α, β definem a posi¸cão radial do rotor em rela¸cão ao centro da máquina;

i ´e o vetor das seis correntes aplicadas aos enrolamentos do estator;

lij(α, β) = Lij , são as fun¸cões indutâncias próprias, quando i = j ; e são as fun¸cões

indutˆancias m´utuas, quando i 6= j;

λij(α, β) é o fluxo concatenado pela i-ésima bobina do estator devido à corrente da

j-´esima bobina;

Ni é o número de espiras da i-ésima bobina do estator; como todos os enrolamentos são

iguais, Ni = N para qualquer i;

φij(α, β) é o fluxo concatenado por uma das espiras do i-ésimo enrolamento devido à

corrente no j-´esimo enrolamento;

µ0 é a permeabilidade magnética do ar, cujo valor é praticamente igual à do vácuo;

h ´e a altura do cilindro rot´orico;

r é o raio interno do estator, que é aproximadamente igual ao raio do rotor; ai e bi são os ângulos inicial e final que localizam a bobina i;

Hj(α, β, θ) é a fun¸cão campo magnético no entreferro devido à corrente que circula no

enrolamento j;

θ ´e a coordenada angular do sistema de coordenadas cil´ındricas, utilizada para definir

algumas fun¸c˜oes ao longo do entreferro;

Vj(α, β) é o potencial magnético escalar do rotor devido à corrente que circula no

(16)

ij(θ) ´e a corrente de uma das espiras da bobina j que ´e envolvida por um percurso

fechado −−−−−−→ACF GA;

g(α, β, θ) é espessura do entreferro no ângulo θ devido ao deslocamento (α, β) do rotor; K é uma constante que está definida pela eq. (C.61), p. 97;

g0 é a espessura média do entreferro, definida na se¸cão C.1, p. 85;

Vcc é a tensão do barramento de tensão cont´ınua do inversor (barramento CC);

Ia, Ib e Ic são as correntes senoidais trifásicas aplicadas ao estator, responsáveis pelo

torque da m´aquina;

∆ia, ∆ib e ∆ic s˜ao as correntes de controle de posicionamento radial, respons´aveis pela

centraliza¸c˜ao do eixo do rotor;

Im ´e a amplitude das correntes senoidais no estator;

f é a freqüência elétrica de varia¸cão senoidal das correntes, em Hertz; t é o tempo decorrido, em segundos;

θe é o ângulo elétrico que define o estado do sistema fasorial de correntes;

∆ix ´e o sinal de controle aplicado sobre a dire¸c˜ao X de deslocamento do rotor, a qual

est´a alinhada com os enrolamentos da fase A do estator;

∆iy é o sinal de controle aplicado sobre a dire¸cão Y de deslocamento do rotor, que é

perpendicular `a dire¸c˜ao X;

Ti é uma matriz de transforma¸cão inversa à matriz Td;

Fp ´e o peso do rotor aplicado a cada ponto de suspens˜ao do eixo;

mr ´e a massa do rotor;

gt´e a acelera¸c˜ao gravitacional da Terra;

∆iy é a componente média da corrente para a suspensão magnética do rotor;

l1 é o bra¸co de alavanca entre o ponto de apoio e o de aplica¸cão da for¸ca magnética;

l2 é a extensão do bra¸co de alavanca até o ponto de fixa¸cão dos sensores de

(17)

Ir é o momento de inércia do rotor em rela¸cão ao eixo paralelo ao eixo X, passando pelo

ponto de apoio, `a direita na figura 16;

θβ é o ângulo de deslocamento do rotor em rela¸cão ao ponto de apoio;

τβ ´e o torque aplicado ao rotor em rela¸c˜ao ao ponto de apoio;

ys ´e o deslocamento radial do ponto de sensoriamento, ao longo da dire¸c˜ao Y;

Kpc ´e o ganho da parte proporcional do controlador de corrente;

Kic ´e o ganho da parte integrativa do controlador de corrente;

Kpp ´e o ganho da parte proporcional do controlador de posi¸c˜ao;

Kdp ´e o ganho da parte derivativa do controlador de posi¸c˜ao;

y(∞) ´e o valor final da sa´ıda em resposta a um degrau unit´ario;

e(k) = [y(∞) − y(k)] ´e o erro entre o valor final e o valor atual da sa´ıda no instante k; u(k) ´e o sinal de controle aplicado no instante k;

Pte são as perdas totais no cobre devidas às correntes de magnetiza¸cão e de levita¸cão

combinadas;

Pme s˜ao as perdas no cobre pelas correntes de magnetiza¸c˜ao;

(18)

1 Introdu¸

c˜

ao

Este trabalho descreve parte da pesquisa sobre motores elétricos de indu¸cão sem mancais desenvolvida na UFRN. Os motores de indu¸cão são os equipamentos elétricos rotativos mais versáteis e robustos usados na indústria moderna. Em algumas aplica¸cões bem espec´ıficas é interessante eliminarem-se os mancais mecânicos que sustentam o rotor. A tecnologia de motores sem mancais é um ramo de pesquisa para aplica¸cões que requerem velocidade rotacional incomum (acima de 3600 rpm), opera¸cão suave, sem ru´ıdo, livre de manuten¸cão mecânica; bombeamento de fluidos em circuitos hermeticamente fechados, etc. Para isso já existe uma solu¸cão bem conhecida: os mancais magnéticos. Outro tipo de solu¸cão, que leva a um sistema mais compacto, é aquela dos motores sem mancais expl´ıcitos. Neste caso, a fun¸cão de sustenta¸cão do rotor fica embutida: o mesmo campo magnético que produz torque também é usado na obten¸cão de for¸cas laterais para fixar radialmente o rotor. Juntando-se a robustez de um motor de indu¸cão à peculiaridade dos motores sem mancais, chega-se à máquina de indu¸cão sem mancais.

Particularmente, as aplica¸cões a que se destinam os mancais magnéticos ou as má-quinas sem mancais são aquelas onde uma ou mais das seguintes condi¸cões devem ser satisfeitas:

1. O atrito entre as partes girante e fixa deve ser minimizado para se atingir rápidas rota¸cões sem deteriora¸cão da eficiência;

2. Não pode haver a emissão de part´ıculas contaminantes devido ao atrito mecânico de rolamentos comuns;

3. Necessidade de se isolar hermeticamente algum fluido a ser bombeado, evitando a contamina¸c˜ao do mesmo ou vazamento para fora;

(19)

Com rela¸cão à configura¸cão do estator, atualmente duas estruturas são usadas para as máquinas de indu¸cão sem mancais. A primeira é chamada de sistema com dois enrola-mentos; a segunda é chamada de sistema com enrolamentos divididos (CHIBA; SALAZAR, 2000). A diferen¸ca entre as duas reside em como é controlada a distribui¸cão do fluxo magnético dentro da máquina, de modo a se obter as for¸cas de posicionamento radial. O sistema com dois enrolamentos foi o primeiro proposto (CHIBA; POWER; RAHMAN, 1991), onde é acrescentado um conjunto de enrolamentos que altera a distribui¸cão do fluxo através de superposi¸cão magnética, produzindo as for¸cas de posicionamento radiais, além do torque para a rota¸cão. O segundo esquema proposto (SALAZAR; STEPHAN, 1993) divide os enrolamentos do estator em grupos opostos espacialmente e controla a distribui¸cão do fluxo pelo desbalan¸co de correntes entre estes pares de grupos, ou seja, a soma das componentes de torque e for¸ca radial é efetuada previamente, antes de se aplicar as correntes aos enrolamentos do estator.

O sistema com enrolamentos divididos é o adotado na pesquisa aqui referida. Os primeiros trabalhos com esse tipo de sistema usaram um motor de quatro pólos bifásico, onde o enrolamento de uma das fases era divido em quatro grupos, que eram dispostos simétrica e ortogonalmente entre si (SALAZAR; STEPHAN; DUNFORD, 1993). Mais tarde, surgiu a proposta de implementa¸cão com um motor de quatro pólos trifásico, onde cada uma das fases era separada em um par de grupos opostos, totalizando seis bobinas no estator (FERREIRA, 2002). A implementa¸cão desta última foi realizada com sucesso (SALAZAR; FERREIRA; CASTRO, 2003), tendo-se mostrado fact´ıvel (FERREIRA et al., 2003). O esfor¸co de otimiza¸cão deste último sistema levou a algumas modifica¸cões sobre a estrutura de controle digital, a configura¸cão do rotor e a estratégia de aplica¸cão dos sinais de posicionamento radial. A maior contribui¸cão desta disserta¸cão de mestrado é descrever essas últimas altera¸cões e mostrar o desempenho alcan¸cado com elas.

Dentre os principais objetivos deste trabalho destacam-se, ent˜ao, as otimiza¸c˜oes rea-lizadas sobre os seguintes itens:

Modelagem da for¸ca magn´etica radial, com o estudo dos parˆametros que mais influ-enciam na estabilidade do posicionamento radial do rotor;

Atua¸cão do posicionamento radial, usando transforma¸cões rotacional e bifásica-tri-fásica adequadas, de modo a manter a amplitude da for¸ca magnética no rotor inde-pendente da posi¸cão do fluxo dentro da máquina;

(20)

Sig-nal Processor”) para alcan¸car uma velocidade de processamento adequada às exi-gentes tarefas de controle, aplicadas às várias malhas de realimenta¸cão (FERREIRA et al., 2003;PAIVA et al., 2003);

Configura¸cão do rotor, com circuitos de 4 pólos para minimizar a rea¸cão rotórica à varia¸cão do fluxo magnético de posicionamento (CHIBA et al., 1996), permitindo a obten¸cão de maiores for¸cas radiais;

O primeiro e o segundo itens baseiam-se na metodologia de modelagem usada para o sistema com dois enrolamentos (CHIBA; POWER; RAHMAN, 1991; CHIBA et al., 1994;

RAHMAN; FUKAO; CHIBA, 1995;CHIBA et al., 1996). O mesmo método pode ser aplicado para o sistema com enrolamentos divididos, eliminando a maior desvantagem que até então este apresentava: não era poss´ıvel se fazer o controle radial para baixas freqüências de acionamento do campo girante (CHIBA; SALAZAR, 2000). A nova estratégia de controle apresentada aqui estende a opera¸cão do motor até a velocidade nula de rota¸cão.

A valida¸cão está baseada na experimenta¸cão sobre um protótipo. A parte inicial da disserta¸cão descreve o sistema f´ısico usado na pesquisa e a fundamenta¸cão teórica para as técnicas adotadas1_{. A organiza¸cão do texto segue de acordo com as etapas clássicas}

de projeto de um sistema de controle: modelagem, análise, critérios de desempenho, simula¸cão, implementa¸cão e verifica¸cão2_{. Por fim discutem-se os resultados com suas}

poss´ıveis conseqüências e apresentam-se sugestões para a continua¸cão da pesquisa.

1_{A referˆencia Hayt Jr (1994) foi adotada como base te´orica sobre eletromagnetismo; a ref. Schweitzer,}

Bleuler e Traxler (1994) como fundamenta¸cão sobre mancais magnéticos; e sobre máquinas elétricas foram consultados: El-Hawary (1986), Ong (1998).

2_{Sobre sistemas de controle as seguintes obras foram consultadas: D’azzo e Houpis (1978), Astr¨om e}

(21)

2 Vis˜

ao Geral do Sistema

Um motor de indu¸cão sem mancais requer a sustenta¸cão de um corpo no espa¸co, o rotor, através do controle de for¸cas magnéticas. Estas for¸cas que atuam sobre o rotor podem ser de dois tipos: for¸cas de Lorentz, que agem em dire¸cão tangencial à sua superf´ıcie cil´ındrica e que aqui são usadas somente para gerar o torque que o rotaciona; for¸cas de relutância, que agem em dire¸cão normal à sua superf´ıcie cil´ındrica e são aproveitadas para posicioná-lo radialmente.

A for¸ca de relutância é derivada a partir da energia armazenada no campo magnético, a qual pode ser convertida em energia mecânica. Esta for¸ca sempre surge sobre a superf´ıcie de meios de diferentes permeabilidades magnéticas, como o ar e o ferro. E ela atua no sentido de diminuir a energia magnética armazenada. Nas próximas se¸cões será mostrado como este tipo de for¸ca é empregado no sistema de estabiliza¸cão da máquina de indu¸cão trifásica sem mancais.

2.1 Caracteriza¸c˜

ao do prot´

otipo

O motor aqui empregado baseia-se em um protótipo anterior mais simples, que já demonstrara a viabilidade de se implementar a fun¸cão de mancal impl´ıcito na máquina trifásica com bobinado dividido (FERREIRA, 2002). No novo protótipo, o eixo longitu-dinal é mantido na dire¸cão horizontal. São duas máquinas fixadas e alinhadas com o eixo principal de rota¸cão, possibilitando assim a levita¸cão do rotor por dois pontos de sustenta¸cão. Os estatores fixam-se à base através de um cilindro em comum e os rotores são montados em um eixo único.

(22)

liberdade: dois para cada extremidade do rotor, compondo movimentos radiais, os quais s˜ao sensoriados e limitados mecanicamente.

A fig. 1 mostra todas estas possibilidades de movimenta¸c˜ao de um eixo, destacando os que ser˜ao controlados: x1, y1, x2 e y2.

Figura 1: Graus de liberdade de movimentos do rotor

A figura 2 mostra um corte vertical sobre o protótipo, detalhando as disposi¸cões dos dois estatores e rotores. Não estão mostrados os enrolamentos de cobre, somente a estrutura simplificada do motor. Basicamente, o sistema funciona como dois motores acoplados mecanicamente por um eixo em comum. Para simplificar a análise, somente uma das extremidades deste protótipo será levada em considera¸cão, assumindo-se que o outro lado funciona como um mancal de apoio que restringe os outros dois graus de liberdade do deslocamento radial.

Figura 2: Disposi¸c˜ao dos estatores e rotores dentro da m´aquina

2.2 Configura¸c˜

ao do estator

(23)

Figura 3: Diferen¸ca entre a liga¸cão convencional e a com bobinado dividido Nesta liga¸cão, a única diferen¸ca com rela¸cão àquela de um motor convencional é que os pares de grupos opostos não são ligados em série. Ao invés disso, dividem-se estes pares, alimentando cada um independentemente. Da´ı o motivo para o nome desta configura¸cão: com bobinado dividido.

2.3 Princ´ıpio de obten¸c˜

ao das for¸cas radiais

Para se entender a configura¸cão das for¸cas radiais que atuam sobre o rotor deve-se visualizar a distribui¸cão do fluxo magnético internamente. A disposi¸cão dos enrolamen-tos dentro do estator está esquematizada na figura 4, por um corte transversal sobre a máquina.

Figura 4: Disposi¸c˜ao dos grupos de bobinas no estator

Alimentando-se somente a bobina A1, tem-se uma configura¸c˜ao de fluxo representada aproximadamente na figura 5. Somente uma linha de fluxo est´a desenhada, indicando genericamente o caminho preferencial.

(24)

Figura 5: Fluxo magn´etico devido a uma bobina

o rotor ao estator porque facilita assim a passagem de fluxo pelo circuito magn´etico, acomodando o conjunto em um estado com menor energia magn´etica armazenada.

Alimentando-se tamb´em o grupo oposto, A2, a configura¸c˜ao do fluxo muda para aquela mostrada na figura 6.

Figura 6: Fluxo magn´etico devido a duas bobinas opostas

Surge aqui uma componente de for¸ca para a esquerda, contrabalanceando a da direita. Se as correntes nas duas bobinas forem iguais, as duas for¸cas opostas se anulam quando o rotor está perfeitamente no centro. No entanto, esta não é uma configura¸cão estável: qualquer pequeno deslocamento para a direita faz a for¸ca neste sentido aumentar em rela¸cão à outra for¸ca; o mesmo acontece para qualquer movimento para a esquerda. Ou seja, a for¸ca magnética passiva atua quase sempre no sentido de fazer o rotor se aproximar do estator. Neste caso, somente o controle ativo desta for¸ca pode estabilizar o sistema.

(25)

são iguais, para obter uma for¸ca para a esquerda, basta aumentar a corrente deste lado e diminuir do outro. Assim, a densidade de fluxo magnético fica maior na região de entreferro da esquerda e o rotor é atra´ıdo para lá. Através dessa atua¸cão diferencial sobre as correntes que fluem pelas duas bobinas pode-se, então, gerar for¸cas que estabilizem a posi¸cão do rotor no centro. Isso vale para qualquer par de bobinas opostas e a for¸ca obtida atua ao longo do eixo que passa pelo centro delas. Ou seja, pode-se controlar for¸cas de posicionamento para qualquer dire¸cão do plano transversal, superpondo-se os efeitos ao longo dos três eixos de atua¸cão, os quais estão representados na figura 4 pelas setas desenhadas dentro do rotor.

2.4 Configura¸c˜

ao do rotor

O rotor utilizado é composto por circuitos elétricos fechados, os quais não se opõem à varia¸cão diferencial do fluxo magnético entre dois grupos opostos. A geometria de um destes circuitos está mostrada na figura 7. Por simplicidade, somente 4 das 48 ranhuras estão representadas, para indicar como cada um dos 12 circuitos fecham-se ao longo delas.

Figura 7: Configura¸c˜ao de um dos circuitos do rotor

A maneira como uma corrente induzida pode fluir em um destes circuitos está indicada através de um corte transversal no rotor. A figura 8 mostra que a corrente deve obedecer o percurso fechado que o circuito elétrico restringe dentro do rotor.

(26)

Figura 8: Circula¸c˜ao de correntes induzidas dentro do rotor

(27)

No entanto, ao se modificar o fluxo de uma maneira diferencial em rela¸cão às duas regiões opostas no entreferro, não mais haverá indu¸cão sobre o circuito no rotor. A figura 10 mostra um exemplo de tal varia¸cão. O aumento na corrente do grupo da direita reflete um aumento no fluxo magnético deste lado. A linha de fluxo mais fina representa este aumento, com seu sentido sendo o mesmo do fluxo principal (efeito aditivo). O mesmo se dá para a diminui¸cão da corrente sobre o lado esquerdo, com o sentido da linha fina sendo inverso ao da linha grossa (efeito subtrativo). O desenho indica duas correntes que fluem em sentidos opostos no mesmo circuito, o que seria absurdo (assim como na figura 8-b). E assim, conclui-se que a resultante de corrente no rotor é nula neste caso.

Figura 10: Anula¸cão das correntes no rotor frente à varia¸cão diferencial do fluxo magnético Esta configura¸cão dos circuitos do rotor favorece o controle da distribui¸cão do fluxo dentro da máquina, supondo-se a aplica¸cão do modo de atua¸cão diferencial descrito antes. Com isso a estabiliza¸cão do sistema pode ser mais facilmente obtida, pois o fluxo de posicionamento radial atua rapidamente, sem a rea¸cão direta de correntes no rotor. As causas para a indu¸cão eletromagnética ficam restritas a: a rota¸cão do fluxo magnético em rela¸cão ao rotor; a varia¸cão total da amplitude desse fluxo. Portanto, correntes induzidas que exercem algum efeito sobre o controle de posi¸cão radial só aparecem pela aplica¸cão de torque de carga ao eixo da máquina.

2.5 Necessidade da transforma¸c˜

ao rotacional para a

aplica¸c˜

ao dos sinais de controle de posi¸c˜

ao

(28)

em fase e alternam-se de acordo com a freqüência de acionamento da máquina. Na se¸cão 2.3 analisou-se o surgimento das for¸cas radiais sem considerar a rela¸cão fasorial entre as correntes no estator. Se esta freqüência for relativamente alta, próxima da nominal (60 Hz), isso não representa impedimento ao controle posicional simples (FERREIRA, 2002), pois aproveita-se a componente média da for¸ca pulsante gerada. No entanto, para freqüências mais baixas isto se torna imposs´ıvel, dado que a falta de controle durante os instantes de troca de polaridade prejudica muito a estabiliza¸cão do sistema.

Esta falta de controle ocorre durante os momentos em que se anula a componente principal dos fluxos que passam pelas regiões do entreferro correspondentes a um par de bobinas opostas. Nestes instantes, a componente diferencial de corrente para gerar for¸cas radiais cria concentra¸cões de fluxos magnéticos de igual magnitude, mas com sentidos opostos (entrando no rotor de um lado e saindo dele do outro). E isso não contribui para definir uma for¸ca magnética útil, pois esta surge somente quando os valores absolutos dos fluxos opostos são desbalanceados. Para evitar este lapso, deve-se considerar a intera¸cão entre todas as fases, aproveitando-se a diferen¸ca de 120◦ _{entre elas e usando todas as três}

dire¸cões de atua¸cão poss´ıveis para gerar a for¸ca magnética sobre o rotor.

A partir da motiva¸cão anterior, busca-se uma maneira alternativa de se distribuir as componentes da for¸ca radial entre os três pares de bobinas opostas. No entanto, sabe-se que para se compor for¸cas em um plano, somente duas dire¸cões são suficientes. Disso, conclui-se que existe um grau de liberdade para a solu¸cão encontrada, a qual consiste em se aplicar uma transforma¸cão sobre os dois sinais de controle posicionais que permita distribuir a for¸ca radial entre as três dire¸cões de atua¸cão. Esta transforma¸cão deve fazer a for¸ca instantânea aplicada ao rotor seguir a referência comandada pelo controlador po-sicional, independentemente da configura¸cão do fluxo magnético. Será mostrado que esta transforma¸cão é fun¸cão do ângulo de acionamento trifásico e incorpora termos senoidais de uma matriz de transforma¸cão rotacional.

(29)

2.6 Diagrama do sistema de controle

O sistema de controle para o protótipo descrito nas se¸cões anteriores está mostrado es-quematicamente na figura 11. Todas as variáveis contendo a letra i referem-se a correntes elétricas.

Figura 11: Diagrama do sistema de controle de corrente e de posi¸cão radial O motor sem mancais recebe seis comandos de corrente para as bobinas do estator. Estas correntes são controladas com o uso amplificadores de potência chaveados (inverso-res com IGBT’s - Insulated Gate Bipolar Transistor ) e de senso(inverso-res isolados eletricamente (por efeito Hall). As seis malhas de controle independentes para estas correntes são im-plementadas em um algoritmo dentro de um processador digital de sinais (DSP - Digital

Signal Processor ).

As referências para o controle das correntes elétricas são dadas pela combina¸cão entre os comandos de torque e de for¸ca radial. Os comandos de torque são gerados pela varia¸cão do ângulo de referência de um sistema trifásico equilibrado, criando assim o efeito do campo magnético girante. O controle de torque e rota¸cão ainda mantém-se em malha aberta. A referência trifásica é gerada através de uma tabela senoidal dentro do DSP.

(30)

2.7 Processamento para o controle

Pelo esquema da se¸cão anterior, nota-se que toda a parte do sistema referente ao controle está concentrada em um dispositivo de processamento digital. Isto ajuda muito a tornar o conjunto mais compacto e ao mesmo tempo diminuir seu custo. O DSP é um dispositivo muito versátil e com boa velocidade de cálculo. Já é indispensável a muitas aplica¸cões industriais, comerciais ou até mesmo domésticas. A máquina sem mancais certamente é uma de tais aplica¸cões. Pois existem várias tarefas de controle a serem realizadas em um tempo muito restrito, da ordem de algumas centenas de microssegundos. A incorpora¸cão de um grande número de periféricos para a entrada e sa´ıda de sinais facilita muito a implementa¸cão digital de controladores usando este dispositivo. O DSP usado para este sistema tem algumas caracter´ısticas bem espec´ıficas ao acionamento de máquinas elétricas:

• Alta velocidade de processamento: freqüência básica de 40 MHz para seu relógio; • Palavras de dados de 16 bites;

• Aritm´etica em ponto fixo;

• Conversor anal´ogico com 16 canais: tens˜ao de entrada na faixa de 0 a 3,1 V e

resolu¸c˜ao em 10 bites;

• Gerenciador de eventos temporais vers´atil: 8 canais independentes com sinais

mo-dulados por largura de pulso (PWM - Pulse Width Modulation), necess´arios para chavear os inversores de potˆencia;

O DSP deve tratar todas as tarefas no menor tempo poss´ıvel para aumentar a ra-pidez de rejei¸cão a perturba¸cões (ru´ıdo térmico, vibra¸cões mecânicas, pulsa¸cões da for¸ca magnética, etc) que prejudiquem a estabiliza¸cão do rotor no centro da máquina. Uma correta distribui¸cão de tempo de processamento e o sincronismo entre as tarefas é um fator muito importante para o bom funcionamento do sistema.

(31)

3 For¸

ca Magn´

etica Radial

Aqui está demonstrado o cálculo da for¸ca magnética radial resultante no rotor em fun¸cão das correntes nos enrolamentos do estator. Procura-se chegar a uma expressão simples para esta fun¸cão. Para isso, as seguintes considera¸cões são feitas:

• A permeabilidade magnética do ferro é muito maior que a do ar; pode-se, então,

assumir que os potenciais magnéticos dentro do estator e rotor são constantes e que o campo magnético nestas regiões é insignificante em rela¸cão ao campo no entre-ferro; e além disso, despreza-se qualquer tipo de dissipa¸cão de energia no material ferromagnético (perdas no ferro);

• A influência do fluxo magnético disperso é insignificante em rela¸cão ao fluxo que

passa diretamente através do entreferro, de modo que toda a energia magnética armazenada no sistema concentra-se nesta região;

• A distribui¸c˜ao de cada um dos seis enrolamentos pode ser aproximada por bobinas

concentradas em pares de ranhuras “filamentares”; assume-se, então, que a parede interna do estator é completamente lisa, sem as reentrâncias das ranhuras reais;

• O rotor ´e um cilindro liso, sem ranhuras ou condutores de corrente el´etrica; esta

considera¸cão restringe a análise para o caso em que o motor não está com nenhum carregamento de torque, ou seja, o escorregamento da máquina permanece pequeno e as correntes induzidas no rotor podem ser desprezadas;

• A dimensão média do entreferro é insignificante em rela¸cão ao raio externo do

(32)

3.1 Equa¸c˜

oes gerais

Da teoria da convers˜ao eletromecˆanica de energia, tem-se

     Fα = _∂α∂ W (α, β, i) Fβ = _∂β∂ W (α, β, i) (3.1) onde:

Fα, Fβ determinam a for¸ca magn´etica resultante no rotor;

W (α, β, i) é a fun¸cão co-energia magnética armazenada no entreferro do motor;

α, β definem a posi¸cão radial do rotor em rela¸cão ao centro da máquina (ver figura 13

adiante);

i ´e o vetor das seis correntes aplicadas aos enrolamentos do estator.

Para o caso linear, assumindo-se que o ferro est´a longe do estado de satura¸c˜ao, a co-energia W (α, β, i) pode ser escrita como:

W (α, β, i) = 1

2 i

T_{· L(α, β) · i} _(3.2)

L(α, β) é a matriz de indutâncias próprias e mútuas entre os seis enrolamentos do estator. Utilizando uma nota¸cão simplificada para os elementos desta matriz, tem-se:

L(α, β) =          l11(α, β) l12(α, β) · · · l16(α, β) l21(α, β) l22(α, β) · · · l26(α, β) ... ... . .. ... l61(α, β) l62(α, β) · · · l66(α, β)          =          L11 L12 · · · L16 L21 L22 · · · L26 ... ... ... ... L61 L62 · · · L66          (3.3) onde:

lij(α, β) = Lij , são as fun¸cões indutâncias próprias, quando i = j ; e são as fun¸cões

(33)

E a nota¸cão para as correntes no estator é: i =                ia1(t) ib1(t) ic1(t) ia2(t) ib2(t) ic2(t)                =                I1 I2 I3 I4 I5 I6                (3.4) Substituindo (3.2) em (3.1), obtém-se:      Fα = 1₂ iT· _∂α∂ L(α, β) · i Fβ = 1₂ iT· _∂β∂ L(α, β) · i (3.5)

A figura 12 detalha a aproxima¸c˜ao considerada para a distribui¸c˜ao dos enrolamentos no estator.

Figura 12: Distribui¸c˜ao aproximada dos enrolamentos no estator

(34)

Figura 13: Disposi¸c˜ao de dois enrolamentos quaisquer i e j no motor

Pela teoria dos campos magnetostáticos, a indutância própria de um circuito ou entre dois circuitos elétricos é calculada por:

Lij = λij(α, β) Ij = Niφij(α, β) Ij = Nφij(α, β) Ij (3.6) onde:

λij(α, β) é o fluxo concatenado pela i-ésima bobina do estator devido à corrente da

j-´esima bobina;

Ni é o número de espiras da i-ésima bobina do estator; como todos os enrolamentos são

iguais, Ni = N para qualquer i;

φij(α, β) é o fluxo concatenado por uma das espiras do i-ésimo enrolamento devido à

corrente no j-´esimo enrolamento.

Pela defini¸c˜ao de fluxo magn´etico e pela simetria cil´ındrica do problema, calcula-se:

φ = Z S ~ B · d ~A = Z S(µ0 ~ H) · (~urdA) = µ0 Z S( ~H · ~ur) dA = µ0 Z SHr dA → φ = µ0 Z Hr[h(r dθ)] = µ0hr Z Hrdθ → φij(α, β) = µ0hr Z _b_i ai Hj(α, β, θ) dθ (3.7) onde:

(35)

h ´e a altura do cilindro rot´orico;

r é o raio interno do estator, que é aproximadamente igual ao raio do rotor; ai e bi são os ângulos inicial e final que localizam a bobina i;

Hj(α, β, θ) é a fun¸cão campo magnético no entreferro devido à corrente que circula no

enrolamento j;

θ ´e a coordenada angular do sistema de coordenadas cil´ındricas, utilizada para definir

algumas fun¸c˜oes ao longo do entreferro.

Convém ressaltar que o vetor campo magnético ~H , de acordo com as considera¸cões

feitas inicialmente, s´o apresenta a componente radial, Hr = Hj(α, β, θ) , em coordenadas

cil´ındricas.

Na equa¸cão anterior, Hj(α, β, θ) é a fun¸cão que precisa ser determinada para se

cal-cular a integral. Para isso, aplicam-se a Lei Circuital de Amp`ere e a Lei de Gauss para o

Magnetismo: _I ~ H · d~l = NI (3.8) I S ~ B · d ~A = 0 (3.9)

Para aplicar a Lei de Amp`ere, eq. (3.8), escolhe-se um percurso adequado, definido completamente pela vari´avel θ, assim como mostrado na figura 14.

(36)

Quando se percorre uma região dentro do estator ou do rotor o campo magnético é desprez´ıvel, só existindo contribui¸cões significativas nos trechos através do entreferro. Portanto, as integrais ao longo dos caminhos −−−→BCD e −−−−→EF GA são consideradas nulas.

Tomando-se somente os percursos −→AB e −−→DE, o resultado a que se chega ´e

I ~ H · d~l = Z _B A ~ H · d~l + Z _E D ~ H · d~l = Z _g(α,β,0) 0 Hj(α, β, 0) dr + Z ₀ g(α,β,θ)Hj(α, β, θ) dr = = Hj(α, β, 0) Z _g(α,β,0) 0 dr − Hj(α, β, θ) Z _g(α,β,θ) 0 dr = Njij(θ) → Hj(α, β, 0) g(α, β, 0) − Hj(α, β, θ) g(α, β, θ) = Nij(θ) → Vj(α, β) − Hj(α, β, θ) g(α, β, θ) = Nij(θ) → Hj(α, β, θ) = Vj(α, β) − Nij(θ) g(α, β, θ) (3.10) onde:

Vj(α, β) é o potencial magnético escalar do rotor devido à corrente que circula no

en-rolamento j do estator; o ponto A é tomado como referência, onde o potencial é nulo;

ij(θ) ´e a corrente de uma das espiras da bobina j que ´e envolvida pelo percurso−−−−−−→ACF GA;

g(α, β, θ) ´e espessura do entreferro no ˆangulo θ devido ao deslocamento (α, β) do rotor;

ou: ´e o tamanho do segmento de reta −−→DE, na figura 14.

A partir de agora devem ser calculadas todas as fun¸cões apresentadas, com subs-titui¸cões retroativas das mesmas até se chegar novamente à equa¸cão (3.5). O cálculo anal´ıtico da matriz de indutâncias da eq. (3.6) é bastante longo, mesmo com todas as simplifica¸cões adotadas. Por este motivo, omite-se seu detalhamento aqui, deixando-o sob a forma de apêndice, ao final desta disserta¸cão (ver apêndice C). Uma alternativa que evitaria a aproxima¸cão anal´ıtica seria medir experimentalmente os valores das entra-das dessa matriz de indutâncias. No entanto, este procedimento experimental não pôde ser adotado por falta de uma estrutura de medi¸cão apropriada sobre o motor.

3.2 Resultado para a for¸ca magn´

etica radial

aproxi-mada

(37)

equa¸c˜oes do sistema (3.5) chega-se a: Fα ' K 2 g2 0 iT_· Ã Lα+ Lαα g0 α +Lαβ go β ! · i (3.11) Fβ ' K 2 g2 0 iT_· Ã Lβ+ Lββ g0 β +Lαβ go α ! · i (3.12) onde:

g0 é a espessura média do entreferro, definida na se¸cão C.1, p. 85;

K ´e uma constante que est´a definida pela eq. (C.61), p. 97.

(38)

Lββ '               1, 065 0 0 0 0 0 0 1, 493 0 0 0 0 0 0 1, 493 0 0 0 0 0 0 1, 065 0 0 0 0 0 0 1, 493 0 0 0 0 0 0 1, 493              

As expressões (3.11) e (3.12) vêm da lineariza¸cão de equa¸cões anal´ıticas complexas obtidas no apêndice C. Foram aproximadas pela série de Maclaurin1_{, truncada nos termos}

de 2a _{ordem. Com esta simplifica¸c˜ao, um modelo para a dinˆamica de deslocamento radial}

do rotor pode ser obtido mais facilmente, assim como visto no pr´oximo cap´ıtulo.

(39)

4 Modelagem

4.1 Correntes no estator

O acionamento do motor ocorre pela imposi¸cão de correntes elétricas independentes sobre os seis enrolamentos do estator. Isso facilita o controle de posi¸cão radial, pois a for¸ca magnética gerada relaciona-se diretamente a este conjunto de correntes elétricas. É necessário, então, definir e projetar o tipo de controlador para as correntes do estator. Os requisitos da imposi¸cão de correntes relacionam-se com o tempo de resposta aos sinais de referência.

Para se projetar esses controladores, estuda-se um modelo matemático baseado na impedância das bobinas do estator, pois admite-se que as correntes que fluem nelas não apresentam influências significativas entre si. E ainda, cada enrolamento pode ser tratado como um sistema isolado, bastando modelar um deles e aplicar o mesmo resultado para os outros. Além disso, admite-se que as correntes induzidas no rotor também não causam grandes perturba¸cões no valor das indutâncias, para efeito de controle das correntes do estator. Esta abordagem facilita bastante a implementa¸cão desta parte.

A seguir, adota-se a descri¸cão entrada-sa´ıda para esta modelagem, buscando-se obter uma fun¸cão de transferência (F.T.) em malha aberta que seja simples.

4.1.1 Fun¸c˜

ao de transferˆ

encia

O diagrama de blocos para o sistema de controle de corrente em malha aberta está mostrado na figura 15. Por ele fica claro como estão acopladas as diversas partes desse sistema, faltando ainda fechar o la¸co de realimenta¸cão com uma compensa¸cão em cascata.

(40)

Figura 15: Diagrama de blocos do sistema de controle de correntes no estator, em malha aberta

série com uma resistência. A variável de entrada é a tensão aplicada sobre o enrolamento e a de sa´ıda é a corrente que flui por ele. Portanto, a fun¸cão de transferência buscada é sua admitância no dom´ınio da Transformada de Laplace:

Gc(s) =

1

Ze(s)

= 1

sLe+ Re

Os valores da indutância e da resistência das bobinas do estator foram medidas através de métodos bastante simples (ver apêndice B):

  

Le' 0, 112 H

Re' 1, 903 Ω

Sendo assim, fica-se com:

Gc(s) '

8, 929

s + 16, 964

Na implementa¸cão de qualquer controlador digital, faz-se necessária a filtragem dos sinais sensoriados, de modo a evitar os efeitos de sobreposi¸cão de freqüências. Para isso, são suficientes filtros passa-baixa analógicos de primeira ordem. A fun¸cão de transferência dos sensores de corrente e seus filtros está dada abaixo (ver apêndice B):

Hc(s) = Vc(s) Ib(s) ' 0, 2052_s 5119 + 1 ' 1050 s + 5119 (4.1)

A escolha da freqüência de corte desse filtro relaciona-se com o per´ıodo de amostragem dos sinais de corrente. Para não haver batimento de freqüências, a teoria de Nyquist exige o seguinte: a largura de banda dos sinais amostrados deve ser pelo menos 2 vezes menor que a freqüência de amostragem.

(41)

corrente pela aplica¸c˜ao de um ganho dado por:

Kad =

1024 “passos”

3, 1 V ' 330, 3 (4.2)

Já na etapa de conversão digital-analógico, o sinal de controle é o ciclo de trabalho para o inversor de potência. A resolu¸cão do modulador por largura de pulso (MLP) foi configurada em 1500 passos discretos, correspondentes à varia¸cão do ciclo de trabalho entre os valores 0 e 1. Isto implica em um ganho igual a:

Kmlp=

1

1500 “passos” ' 6, 667 · 10

−4

O inversor de potência também é responsável pela aplica¸cão de outro ganho ao sinal de controle. Da teoria de eletrônica de potência, o ganho de um inversor do tipo Buck é dado por:

Kinv = Vcc → Kinv ' 200

onde:

Vcc é a tensão do barramento de tensão cont´ınua do inversor (barramento CC).

Fazendo-se a multiplica¸c˜ao em cascata dos blocos descritos, obt´em-se a F.T. em malha aberta para o controle de corrente:

GHc(s) = Kmlp· Kinv · Gc(s) · Hc(s) · Kad →

GHc(s) '

4, 129 · 105

(s + 16, 964)(s + 5119) (4.3)

4.1.2 Discretiza¸c˜

ao

A partir do modelo cont´ınuo, aplica-se a taxa de amostragem para se chegar ao modelo discretizado atrav´es de um segurador de ordem zero1_{. O per´ıodo de amostragem para o}

controle de corrente, Ta, foi fixado a partir da configura¸c˜ao do algoritmo de controle (ver

cap´ıtulo 6). A taxa mais r´apida obtida foi fa = 2, 667 kHz, que corresponde a um per´ıodo

de amostragem igual a:

Ta= 375 µs

(42)

Usando este valor, o modelo fica assim:

GHc(z) '

0, 0167612(z + 0, 535076)

(z − 0, 993659)(z − 0, 146662) (4.4)

4.1.3 Equa¸c˜

ao de estado

Uma poss´ıvel representa¸cão da fun¸cão de transferência em malha aberta da se¸cão anterior sob a forma de equa¸cão de estado é obtida pela realiza¸cão canônica controlável:

             ˙x =   1, 14032 −0, 145732 1 0  _{x +}   1 0  _u y = h 0, 0167612 0, 00896851 ix (4.5)

De posse deste modelo simplificado, pode-se simular o sistema realimentado com um compensador em cascata e ajustar parˆametros para otimizar o tempo de resposta das correntes no estator. Ao se representar o sistema diretamente sob a forma matricial, reduz-se o tempo de processamento computacional para sua simula¸c˜ao.

4.2 Posi¸c˜

ao radial do rotor

Para se projetar o controlador de posicionamento radial deve-se partir de um mo-delo apropriado para o deslocamento do rotor. Procura-se chegar a um equil´ıbrio entre simplifica¸cão e exatidão. Estas são caracter´ısticas que se contrapõem na obten¸cão de qualquer modelo matemático de um dado sistema f´ısico. O n´ıvel de simplifica¸cão usado aqui é o suficiente para se obter um modelo linear que permita a aplica¸cão de técnicas de controle clássicas, já bem conhecidas.

4.2.1 An´

alise da for¸ca magn´

etica radial

A primeiro passo para se chegar ao modelo matemático consiste em se obter a for¸ca magnética que atua no rotor em fun¸cão das varia¸cões moduladas sobre as correntes do estator. A parte inicial desse cálculo foi desenvolvido no cap´ıtulo 3. Chegou-se a uma ex-pressão aproximada para a for¸ca magnética em fun¸cão das correntes dos seis enrolamentos do estator. A partir de agora, procura-se decompor estas correntes em fun¸cão de variáveis diretamente relacionadas às duas for¸cas ortogonais para o posicionamento radial: Fα e

(43)

4.2.1.1 Separa¸cão entre as componentes de torque e de posicionamento radial Como visto no cap´ıtulo 2, as correntes de posicionamento são superpostas sobre as correntes trifásicas do estator e o resultado é enviado como referência para os controladores de corrente (figura 11, p. 12). O vetor dessas correntes de referência pode ser escrito como:

i =                I1 I2 I3 I4 I5 I6                =                Ia+ ∆ia Ib+ ∆ib Ic+ ∆ic Ia− ∆ia Ib− ∆ib Ic− ∆ic                (4.6) onde:

Ia, Ib e Ic são as correntes senoidais trifásicas aplicadas ao estator, responsáveis pelo

torque da m´aquina;

∆ia, ∆ib e ∆ic s˜ao as correntes de controle de posicionamento radial, respons´aveis pela

centraliza¸c˜ao do eixo do rotor.

Assim fica caracterizado o modo diferencial de atua¸cão de bobinas opostas em um sistema de levita¸cão magnética (SCHWEITZER; BLEULER; TRAXLER, 1994). A posi¸cão oposta das bobinas do estator pode ser verificada pela figura 4, p. 6.

E a referência trifásica para as correntes é definida por:

     Ia Ib Ic     =      Imsen(2πf t) Imsen(2πf t −2π₃ ) Imsen(2πf t + 2π₃ )     =      Imsen(θe) Imsen(θe− 2π₃ ) Imsen(θe+ 2π₃ )      (4.7) onde:

Im ´e a amplitude das correntes senoidais no estator;

f é a freqüência elétrica de varia¸cão senoidal das correntes, em Hertz; t é o tempo decorrido, em segundos;

θe é o ângulo elétrico que define o estado do sistema fasorial de correntes.

A varia¸cão do ângulo θe cria o efeito de campo magnético girante dentro do motor,

(44)

4.2.1.2 Transforma¸c˜ao de atua¸c˜ao da for¸ca radial

Para se obterem for¸cas de atua¸cão independentes da posi¸cão do campo, analisa-se a for¸ca magnética para o caso onde o rotor está centralizado, assumindo-se que esta é a situa¸cão usual de funcionamento do sistema. Para isso, basta fazer α = β = 0 nas equa¸cões (3.11) e (3.12). Assim, as expressões para a for¸ca sobre o rotor são reescritas:

Fα ' K1 iT·                2 −13 14 −12 0 −12 −1314 −13 14 1 0 12 0 −1 −1 2 0 −1 1314 1 0 0 1 2 13 14 −2 13 14 1 2 −1 2 0 1 1314 −1 0 −13 14 −1 0 12 0 1                · i Fβ ' K1 iT·                0 −2−√3 2 − √ 3 2 0 √ 3 2 2− √ 3 2 −2−√3 2 √ 3 −(2−√3) − √ 3 2 0 0 −√3 2 −(2− √ 3) √ 3 −2−√3 2 0 0 0 −√3 2 − 2−√3 2 0 2−√3 2 √ 3 2 √ 3 2 0 0 2− √ 3 2 − √ 3 (2−√3) 2−√3 2 0 0 √ 3 2 (2− √ 3) − √ 3                · i

onde a constante K1 ´e usada para compactar as equa¸c˜oes:

K1 =

0, 555 K 2 g2

0

(4.8) Aplicando-se as defini¸cões (4.7) e (4.6), obtém-se o seguinte resultado para a for¸ca magnética radial:   Fα Fβ  _{' K}₁_T_d      ∆ia ∆ib ∆ic      (4.9)

onde Td ´e chamada de matriz de transforma¸c˜ao direta:

Td = 4 Im " ₂₄ 7 sen θe − ³ 3 7 sen θe+ √ 3 cos θe ´ ³ 3 7 sen θe− √ 3 cos θe ´ ³_√ 3 − 3´cos θe − √ 3 ( sen θe+ cos θe) − √ 3 ( sen θe− cos θe) # (4.10) Neste ponto cabe aplicar uma transforma¸c˜ao que relacione os sinais de controle ∆ia,

∆ib e ∆icaos sinais de controle nas dire¸c˜oes dos sensores de posicionamento, ∆ixe ∆iy. O

(45)

par de variáveis de controle para posicioná-lo. No conjunto {∆ia, ∆ib, ∆ic}, uma das três

pode ser eliminada sem afetar a controlabilidade do sistema. A seguinte transforma¸c˜ao ´e,

ent˜ao, definida: _     ∆ia ∆ib ∆ic     = Ti   ∆ix ∆iy   _(4.11) onde:

∆ix ´e o sinal de controle aplicado sobre a dire¸c˜ao X de deslocamento do rotor, a qual

est´a alinhada com os enrolamentos da fase A do estator;

∆iy é o sinal de controle aplicado sobre a dire¸cão Y de deslocamento do rotor, que é

perpendicular `a dire¸c˜ao X;

Ti é uma matriz de transforma¸cão proporcional à inversa da matriz Td

Substituindo-se isto na eq. (4.9), tem-se:

  Fα Fβ  _{' K}₁ _T_d _T_i | {z }   ∆ix ∆iy   _⇒   Fα Fβ  _{' K}₁_k?   ∆ix ∆iy   k?_I 2x2 (4.12)

E assim mostra-se que as duas vari´aveis de controle ∆ix e ∆iy s˜ao diretamente

pro-porcionais às componentes ortogonais da for¸ca radial que atua sobre o rotor. Falta agora especificar a matriz de transforma¸cão proporcional inversa Ti. Pela defini¸cão

Td Ti = k?I2x2=   k? 0 0 k?  

pode-se demonstrar que:

(46)

Com isso, o valor de k? _{fica definido:}

Td Ti = k?I2x2 = (12 Im) I2x2 → k? = 12 Im

E finalmente a equa¸c˜ao (4.12) para a for¸ca de atua¸c˜ao pode ser expressa assim:

  Fα Fβ  _{' 12 K}₁_I_m   ∆ix ∆iy   _(4.14)

4.2.1.3 Corrente de levita¸c˜ao magn´etica

Tendo-se medido a massa do rotor, calcula-se a for¸ca peso que deve ser anulada pela suspens˜ao ativa do rotor. Assumindo-se a simetria perfeita entre os dois extremos do rotor, garante-se que o peso ´e igualmente distribu´ıdo entre os dois pontos de apoio:

Fp =

mrgt

2 onde:

Fp ´e o peso do rotor aplicado a cada ponto de suspens˜ao do eixo;

mr ´e a massa do rotor;

gt´e a acelera¸c˜ao gravitacional da Terra.

De acordo com a disposi¸cão dos sensores de posi¸cão, esta for¸ca atua somente ao longo da dire¸cão Y de controle, na vertical. Portanto, só a componente Fβ deve atuar em rea¸cão

ao peso: Fp = Fβ → mrgt 2 = 12 K1Im∆iy → ∆iy = mrgt 24 K1Im (4.15) Aqui as barras sobre os termos Fβ e ∆iy s˜ao usadas para enfatizar a componente

média da for¸ca de controle que deve atuar em contraposi¸cão ao peso constante. Portanto: ∆iy é a componente média da corrente para a suspensão magnética do rotor.

(47)

4.2.1.4 Influˆencia de pequenos deslocamentos do rotor sobre a for¸ca resul-tante

Aplicando-se as defini¸c˜oes (4.6), (4.7), (4.11) e (4.13) nas eqs. (3.11) e (3.12) chega-se ao caso mais geral, onde o rotor pode sofrer pequenos deslocamentos em torno do centro. As equa¸c˜oes da for¸ca ficam assim:

   Fα ' 12K1Im∆ix+ K2(kAα + kBβ) Fβ ' 12K1Im∆iy + K2(kBα + kCβ) (4.16) onde: K2 = K 2 g3 0 (4.17) e ainda:

kA = 4, 052(Im2 + ∆i2x+ ∆i2y) − 0, 856(sin 2θe)∆ix∆iy − 0, 428(cos 2θe)(Im2 + ∆i2x− ∆i2y)

kB = 0, 856(cos 2θe)∆ix∆iy+ 0, 428(sin 2θe)(Im2 − ∆i2x+ ∆i2y)

kC = 4, 052(Im2 + ∆i2x+ ∆i2y) + 0, 856(sin 2θe)∆ix∆iy+ 0, 428(cos 2θe)(Im2 + ∆i2x− ∆i2y)

Este resultado mostra que surgem algumas interferências cruzadas entre os sinais de controle das duas dire¸cões ortogonais de sensoriamento quando o rotor não está exata-mente centralizado. E surgem também perturba¸cões pulsantes dadas pelos termos senoi-dais de freqüência duas vezes maior que aquela do campo girante.

Para simplificar, desprezam-se os termos dependentes de θe, mantendo-se somente os

termos constantes, de maior magnitude:

kA' 4, 052(Im2 + ∆i2x+ ∆i2y)

kB ' 0

kC ' kA

A existência da for¸ca peso sobre o rotor deve fazer com que o sinal de controle que atua na dire¸cão vertical assuma um valor médio diferente de zero. Já o sinal de controle ao longo da dire¸cão horizontal deve manter uma média nula. Considerando que a amplitude desta componente média é bem maior que suas varia¸cões, utiliza-se seu valor como ponto de opera¸cão. Portanto, pode-se desprezar o termo ∆i2

xna simplifica¸c˜ao anterior, mantendo-se

apenas o valor m´edio de ∆iy:

(48)

Observa-se, então, que as duas dire¸cões de controle podem ser tratadas independen-temente e os modelos simplificados para a for¸ca atuante são idênticos.

4.2.2 Equa¸c˜

ao dinˆ

amica

Come¸cando-se com a Segunda Lei de Newton para Rota¸cão, obtém-se agora um mo-delo dinâmico para os movimentos laterais do rotor. As seguintes considera¸cões são ado-tadas:

• Assume-se que os posicionamentos radiais dos dois extremos do rotor n˜ao se

influen-ciam entre si; ou seja, a extremidade `a direita funciona como um mancal de apoio, somente restringindo os dois graus de liberdade referentes a seu movimento radial;

• Despreza-se qualquer efeito girosc´opico do rotor, de modo a manter o tratamento

independente entre as dire¸c˜oes vertical e horizontal de posicionamento radial;

• Despreza-se qualquer atrito entre o rotor e o ar que o envolve, dentro do entreferro.

Como o modelo para as duas dire¸cões em cada ponto de apoio são consideradas in-dependentes e iguais, basta analisar uma delas. Escolhe-se o posicionamento ao longo da dire¸cão vertical do eixo Y. Um esquema que descreve o deslocamento do rotor ao longo desta dire¸cão está desenhado na fig. 16. Lembrando-se que a análise está sendo realizada sobre somente uma das extremidades do rotor, nesta figura estão mostradas as variáveis referentes ao movimento do lado esquerdo.

Figura 16: Diagrama de corpo livre para o rotor Nesta figura:

l1 é o bra¸co de alavanca entre o ponto de apoio e o de aplica¸cão da for¸ca magnética;

l2 é a extensão do bra¸co de alavanca até o ponto de fixa¸cão dos sensores de

(49)

Pela 2a _{Lei de Newton para movimentos rotacionais:}

Ir θ¨β = τβ

onde:

Ir é o momento de inércia do rotor em rela¸cão ao eixo paralelo ao eixo X, passando pelo

ponto de apoio, `a direita na figura 16;

θβ é o ângulo de deslocamento do rotor em rela¸cão ao ponto de apoio;

τβ ´e o torque aplicado ao rotor em rela¸c˜ao ao ponto de apoio.

Pela figura, nota-se que β ' (θβ · l1), pois a varia¸cão do ângulo θβ é sempre muito

pequena. Ou seja, o deslocamento linear β pode ser aproximado pelo comprimento do arco descrito ao se deslocar o ponto de atua¸c˜ao, quando θβ varia. E tamb´em, τβ = (Fβ·l1).

Aplicando-se estas defini¸c˜oes, substituem-se θβ e τβ na equa¸c˜ao de Newton:

Ir

l1

¨

β = l1 Fβ

Aplicando-se a eq. (4.18) aqui, tem-se:

Ir l1 ¨ β = l1 h 12 K1Im∆iy+ 4, 052 K2 ³ I2 m+ ∆i 2 y ´ βi

E usando-se a rela¸cão de transforma¸cão mecânica abaixo,

β ' l1 l1+ l2 ys tem-se: Ir (l1+ l2) ¨ ys= l1  _{12 K}₁_I_m_∆i_y₊ 4, 052 K2 l1 ³ I2 m+ ∆i 2 y ´ (l1+ l2) ys   _→ ¨ ys =  4, 052 K2l 2 1 ³ I2 m+ ∆i 2 y ´ Ir   | {z } ys+ " 12 K1Iml1(l1+ l2) Ir # | {z } ∆iy K4 K3 (4.19) onde:

(50)

4.2.3 Fun¸c˜

ao de transferˆ

encia

O diagrama de blocos para o sistema de controle de posi¸c˜ao em malha aberta est´a mostrado na fig. 17.

Figura 17: Modelo para o controle de posi¸c˜ao radial do rotor

A equa¸cão dinâmica que rege o movimento radial do rotor, eq. (4.19), foi calculada na se¸cão anterior. Aplica-se a Transformada de Laplace sobre ela para obter:

Gp(s) = Ys(s) ∆Iy(s) = K3 (s2_{− K} 4) (4.20) onde: K3 = 12 K1Iml1(l1+ l2) Ir (4.21) K4 = 4, 052 K2l21 ³ I2 m+ ∆i 2 y ´ Ir (4.22) Seguindo com a descri¸cão, os sensores de posi¸cão radial são aproximados por filtros passa-baixa de primeira ordem e, portanto, influenciam na dinâmica do sistema. Sua fun¸cão de transferência é obtida de medi¸cões de ganho e cálculo de constantes de tempo (apêndice B):

Hp(s) '

1, 702 · 107

s + 4255

O ganho do conversor anal´ogico-digital ´e o mesmo usado no controle de correntes:

Kad = 330, 3 .

Deveria-se incluir a dinâmica da malha de controle de correntes, pois suas referências não são instantaneamente impostas às bobinas do estator. No entanto isto levaria a uma complexidade maior para o modelo. Prefere-se, então, desprezar-se este efeito de atraso, já que é poss´ıvel assumir isto: o controle de correntes atua bem mais rapidamente que o de posi¸cão radial. Portanto, usa-se somente o ganho estático dos controladores de correntes como modelo para suas atua¸cões:

Kcc=

1

(51)

onde Ksc foi determinado no apˆendice B: Ksc ' 0, 2052 .

Cascateando-se todos as fun¸cões de transferência e ganhos determinados até aqui, chega-se à F.T. em malha aberta:

GHp(s) = Gp(s)Hp(s)KadKcc= Gp(s)Hp(s) Ksc → GHp(s) ' 8, 294 · 107 _K 3 (s2_{− K} 4)(s + 4255) (4.23) Percebe-se a instabilidade inerente ao sistema em malha aberta, dada pela presen¸ca de um pólo com parte real positiva, no plano s. Desta equa¸cão e das defini¸cões de K3 e

K4, vê-se também que: tanto o ganho quanto os pólos reais simétricos variam em rela¸cão

direta com o valor de pico da corrente de acionamento, Im. Este último parâmetro está

ligado ao fluxo principal da máquina: é a corrente de magnetiza¸cão.

4.2.4 Discretiza¸c˜

ao

Antes de se aplicar a discretiza¸cão, os seguintes valores numéricos são usados para os parâmetros ainda não especificados (apêndice B):

  

K3 = 50, 234

K4 = 2, 5840 · 104

A taxa de amostragem é a mesma que a do controle de correntes. Os dois subsistemas estão sincronizados para aproveitar melhor os recursos de temporiza¸cão do processador de sinais digital:

Ta= 375 µs

Com isso, a fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta discretizada pode ser escrita assim:

GHp(z) =

0, 0256743(z + 0, 171228)(z + 2, 65183)

(52)

4.2.5 Influˆ

encia da corrente de magnetiza¸c˜

ao sobre a

estabi-liza¸c˜

ao do sistema

A corrente de magnetiza¸cão é uma variável que pode ser alterada dentro de certos limites durante o funcionamento da máquina, quando se aplica o controle de torque e fluxo. Por exemplo, ao se acionar o motor em velocidades acima da nominal, um procedimento comum é o enfraquecimento do campo de modo a não deformar as tensões aplicadas sobre o estator.

Para avaliar a influência da amplitude da corrente de magnetiza¸cão sobre a esta-biliza¸cão do sistema, faz-se com que ela varie dentro da faixa limitada pelo valor de satura¸cão, que foi medido em 1,5 A. Na figura 18, para 50 valores de corrente nas abs-cissas, plotam-se os pólos do sistema em malha aberta. Como todos os três pólos em malha aberta são reais, somente o eixo real é mostrado, para as ordenadas, na vertical. Pelo gráfico, quanto maior a corrente de magnetiza¸cão, mais dif´ıcil é a estabiliza¸cão do sistema, pois existe um pólo que progressivamente se afasta de 1, que neste gráfico repre-senta o cruzamento do c´ırculo unitário com o eixo real, no plano complexo para o sistema discretizado.

Figura 18: Pólos do sistema em malha aberta em fun¸cão da corrente de magnetiza¸cão

4.2.6 Equa¸c˜

ao de estado

Expressando-se a eq. (4.24) na forma padr˜ao, tem-se:

GHp(z) =

0, 0256743z2_{+ 0, 07248z + 0, 0116578}

z3 _{− 2, 20642z}2_{+ 1, 4063z − 0, 202782}

(53)

control´avel:                    ˙x =      2, 20642 −1, 4063 0, 202782 1 0 0 0 1 0     x +      1 0 0     u y = h 0, 0256743 0, 07248 0, 0116578 ix (4.25)

Aqui também as variáveis de estado não têm significado f´ısico direto. A representa¸cão matricial é usada somente para facilitar a simula¸cão do sistema, ao se testar seu desem-penho no dom´ınio do tempo, durante a etapa de projeto dos controladores.