> > ,Q , QW WH H U U SR S RO OD Do o m m R R ,Q , QY YH H U U VD V D

> > ^{,Q , QW WH H U U SR S RO OD Do o m m R R ,Q , QY YH H U U VD V D}

x

^Sejam

[

[

[

Q QyV pertencentes ao intervalo

>DE@

^e

sejam

\

\

\

Q os YDORUHVQRGDLV de uma função

I  & >DE@

^:

x

Se a função

I

^{possuir LQYHUVD,}

J

, podemos escrever

x

E assim os nós e os valores nodais WURFDPGHSDSHO:

x

Podemos pois construir o polinómio interpolador que LQWHUSROHRVYDORUHVQRGDLV

[

[

[

Q nos QyV

\

\

\

Q .

Neste caso, trata-se de uma ,QWHUSRODomR,QYHUVD.

x

Utilizamos a Interpolação Inversa, por exemplo, quando QmRFRQKHFHPRVDIXQomR LQYHUVD e pretendemos determinar a que valor de

[

correspondente a um dado

I[

^.

H[HPSOR Determinar um valor aproximado do SRQWRQRLQWHUYDOR

>@

onde,

VLQ[ H

^[

H

^[

VLQ[

Consideremos a IXQomRGLIHUHQoD,

e procuremos um ]HUR de

I[

^em

[0,1]

, isto é, um ponto

V

^onde

IV

Nos extremos do intervalo:

I

I

a função tem VLQDLVFRQWUiULRV, portanto WHP (pelo menos) uma UDL].

E como

I[

^é HVWULWDPHQWHFUHVFHQWHHP>@ (derivada positiva) então:

•

• a raiz é ~QLFD

•• a função DGPLWHLQYHUVD,

J\

, nesse intervalo. Logo,

IV ¾ V J

Utilizando LQWHUSRODomRLQYHUVD,

vamos calcular o valor de um SROLQyPLRLQWHUSRODGRUGH

J\

^{no ponto}

^.

Escolhemos alguns QyVQRLQWHUYDOR e calculamos:

e construindo uma tabela de GLIHUHQoDVGLYLGLGDV,

obtemos a forma de Newton do SROLQyPLRLQWHUSRODGRU,

E assim podemos calcular

V Jž S

e verificar que efectivamente,

I íž

Portanto

[

é uma aproximação do ponto em

[0,1]

onde

VLQ[ H

^[

> > ^{,Q , QW WH H U U SR S RO OD Do o m m R R GH G H +H + H UP U PL LW WH H}

Para além dos valores do polinómio interpolador serem LJXDLVDRVYDORUHVGDIXQomR nos nós de interpolação, vamos exigir também que sejam LJXDLVRVYDORUHVGDVVXDVGHULYDGDV.

GHILQLomR O3ROLQyPLR,QWHUSRODGRUGH+HUPLWH

+

Q

[

satisfaz

Q

condições:

•• Condições sobre a IXQomR

I

^:

•• Condições sobre a GHULYDGD da função

I

^:

x

Como a função e o polinómio interpolador são WDQJHQWHV nos nós, esta LQWHUSRODomR chama-se RVFXODWyULD.

x

Demonstra-se que o polinómio

+

Q, de grau menor ou igual a Q H[LVWHHp~QLFR.

ÅÅ

&R & RQ QV V WU W UX Xo om m R R GR G R 3R 3 RO OL LQ Qy yP P LR L R ,Q , QW WH HU U SR S RO OD D GR G RU U GH G H +H + H U U PL P LW WH H QD Q D IR I RU U PD P D GH G H 1H 1 HZ ZW WR RQ Q

x

A construção do polinómio interpolador de Hermite tem por base a OLJDomR entre as GLIHUHQoDVGLYLGLGDV e as sucessivas GHULYDGDV da função

x

^Na IRUPDGH1HZWRQ, substituir os nós

[

[

[

Q

pelos nós

[

[¶

[

[¶

[

Q

[¶

Q

e considerar

[

N

o [

N, para N Q de tal modo que,

x

A interpolação é assim realizada sobre

Q

^{SRQWRV e o} SROLQyPLRLQWHUSRODGRU GH+HUPLWH de JUDX

Q

na forma de Newton é dado por:

x

Por exemplo, para construir o SROLQyPLRF~ELFRGH+HUPLWH, basta construir a seguinte tabela de GLIHUHQoDVGLYLGLGDV, sobre

[

[

:

GHULYDGDV da função nos pontos

e depois calcular,

H[HPSOR Com

I [ OQ[ ,

calcular uma aproximação para

I

^usando LQWHUSRODomRF~ELFDGH+HUPLWH,

sabendo que

I I

I I

Construção da tabela de diferenças divididas:

Cálculo do SROLQyPLRLQWHUSRODGRUF~ELFR:

donde,

Iž +

( e podemos verificar que efectivamente

OQ

⁾

ÅÅ

(U ( UU U R R GD G D ,Q , QW WH HU U SR S RO OD Do om m R R GH G H +H + HU U PL P LW WH H

OWHRUHPDJHUDO do HUURGDLQWHUSRODomRSROLQRPLDO (pág. 29) continua válido.

Se

I  &

^Q

^{([a, b])}

^{para TXDOTXHU}

^{∈ [a, b]}

^{H[LVWH um}

[ ^{∈ (a, b)}

^,

para o H[HPSOR anterior:

ou,

onde

e portanto

> > ^{,Q , QW WH H U U SR S RO OD Do o m m R R 3R 3 RO OL LQ QR RP PL LD DO O 6H 6 H JP J P HQ H QW WD DG GD D}

x

A interpolação de Q nós FRPXPVySROLQyPLR exige que esse polinómio tenha grau Q. Os polinómios de JUDXPXLWRHOHYDGRapresentam efeitos indesejáveis.

x

^{Em vez de} XPVySROLQyPLR para interpolar WRGRVRVSRQWRV, a LQWHUSRODomR VHJPHQWDGD consiste em utilizar diferentes polinómios interpoladores para LQWHUSRODUVXFHVVLYRVSDUHV de dados.

x

Deste modo, é possível utilizar SROLQyPLRVGHEDL[RJUDX em cada segmento.

ÅÅ

)X ) XQ Qo o} }H HV V 6S 6 SO OL LQ QH H

GHILQLomR Uma função

6

Pé uma IXQomRVSOLQHSROLQRPLDOGHJUDX

P ( P • )

relativamente aos nós

D [

[

[

Q

E

^quando:

x 6

Pcoincide em cada subintervalo

>[

N

[

N

@

com um polinómio

6

PN de JUDXPHQRURXLJXDO a

P

, isto é,

x

REVHUYDo}HV

x

4XDOTXHUSROLQyPLRLQWHUSRODGRU de grau

P

^em

>DE@

é um spline.

x

Contudo, tipicamente, um spline é representado através de GLIHUHQWHVSROLQyPLRV de grau ” P, um para cada subintervalo

x

Um spline pode apresentar GHVFRQWLQXLGDGHV na sua

P

^{-ésima GHULYDGD nos QyV}

LQWHUQRV

[

[

[

Qí.

x

As duas condições anteriores QmRVmRVXILFLHQWHV para FDUDFWHUL]DU XQLYRFDPHQWHXPVSOLQH.

Vejamos:

•• Podemos representar FDGDSROLQyPLR

6

PN

= 6

P

_ [ [

N

[

N+1

]

por

para

[ ∈ ^[ _[

_N

_[

_N+1

]

_{N Qí}

Logo, temos

PQ

FRHILFLHQWHV

V

LN para determinar.

•• A partir da FRQWLQXLGDGHGDVGHULYDGDV, temos que

para

M Pí

^e

N Qí

Donde resultam

P Qí

^FRQGLo}HV.

•

• Como o spline é LQWHUSRODGRUGDIXQomR

I

^nos

Q

^nós,

para

N Q

temos mais

Q

^FRQGLo}HV.

•• Assim, temos

PQ

^LQFyJQLWDV

e apenas

P QíQ PQí Pí

^FRQGLo}HV.

•

• Restam

P í JUDXVGHOLEHUGDGH

•• Por isso podemos LPSRUPDLVFRQGLo}HV aos splines, como por exemplo, tentar PLQLPL]DUDFXUYDWXUD fora do intervalo >DE@, como é o caso dos

6SOLQHVQDWXUDLV :

se para

P O

^{, com}

O •

^tivermos,

como veremos para

P

^.

ÅÅ

6S 6 SO OL LQ QH H ,Q , QW WH HU U SR S RO OD D GR G RU U /L / LQ QH H D D U U

Para o VXSRUWHGHLQWHUSRODomR

[

\

[

\

[

Q

\

Q

com

[

[

[

Q

aIXQomRGHVSOLQHOLQHDU consiste simplesmente num

FDPLQKRSROLJRQDO ao longo dos pontos.

•• Seja

\

N

= I ( [

N

),

para

N Q

^.

OVHJPHQWRGHUHFWD no intervalo

[ [

N

[

N+1

]

é dado por,

com

•• Portanto a IXQomRLQWHUSRODGRUDVSOLQHOLQHDU pode escrever-se,

•• Os “bicos” aparecem porque a função interpoladora QmRpGLIHUHQFLiYHO em cada nó interno.

•

• Os VSOLQHVOLQHDUHV não são obviamente uma boa solução para a maior parte dos problemas reais de interpolação.

•• AIXQomRGHVSOLQHTXDGUiWLFD consiste numa sucessão de DUFRVGHSDUiEROD.

•

• Os VSOLQHVTXDGUiWLFRV também não são muito utilizados, por geralmente apresentarem JUDQGHVRVFLODo}HV.

•• Os splines mais utilizados são, sem dúvida, os VSOLQHVF~ELFRV.

Cada polinómio tem apenas grau ” HWDQWRDSULPHLUDFRPRDVHJXQGDGHULYDGDs são contínuas em cada nó.

ÅÅ

6S 6 SO OL LQ QH H ,Q , QW WH HU U SR S RO OD D GR G RU U & & ~E ~ EL LF F R R

GHILQLomR Consideremos o suporte de interpolação

[

\

[

\

[

Q

\

Q

com

[

[

[

Q e

\

N

I [

N

,

para N Q.

Uma função

6

é um VSOLQHF~ELFRLQWHUSRODGRU de

I[

nos nós

[

[

[

Q se existirem

Q

^{SROLQyPLRV de grau}

” 6

N com N Q tais que:

HPFDGDLQWHUYDORDIXQomRVSOLQHFRLQFLGHFRPXPSROLQyPLR para

DIXQomRVSOLQHLQWHUSRODQRVSRQWRV

RVSROLQyPLRVOLJDPVHQRVQyVLQWHUQRVGHIRUPDFRQWtQXDVHQGRWDPEpP FRQWtQXDVDSULPHLUDHDVHJXQGDGHULYDGDV

•• Neste caso P temos Pí

JUDXVGHOLEHUGDGH o que nos permite escolher PDLV

FRQGLo}HV a introduzir.

GHILQLo}HV Uma IXQomRVSOLQHF~ELFD diz-se:

x x

spline cúbico QDWXUDO se,

x x

spline cúbico FRPSOHWR se,

x

x

spline cúbico SHULyGLFR se,

H[HPSORV

da utilização de splines, na interpolação da IXQomRGH5XQJH com 7 pontos:

OLQHDU TXDGUiWLFR F~ELFRQDWXUDO

ÅÅ

(U ( UU U R R GH G H ,Q , QW WH HU U SR S RO OD Do om m R R SD S DU UD D )X ) XQ Qo o }H } H V V 6S 6 SO OL LQ QH H & & ~E ~ EL LF FD DV V

WHRUHPD Sejam

I ∈ &

⁽⁴⁾

([ [

⁰

[

Q

])

e

[

[

[

Q.

e seja

6

^3aIXQomRVSOLQHF~ELFD interpoladora de

I

^em

[

⁰

[

¹

[

Q

Se,

e

então,

e

ÅÅ

&R & RQ QV V WU W UX Xo om m R R GH G H XP X P 6S 6 SO OL LQ QH H &~ & ~E EL LF F R R

Dado um conjunto de

Q

^SRQWRV

^ [

N

I[

N

N Q `

em FDGDLQWHUYDOR

[ [

N

[

N+1

]

,

N Q

^temos:

onde

são as

Q

^LQFyJQLWDV a determinar.

Como se trata de polinómios interpoladores,

e para garantir a FRQWLQXLGDGH nos nós, temos

Q

^FRQGLo}HV,

ou, fazendo temos,

Para garantir a FRQWLQXLGDGHGDSULPHLUDGHULYDGD, temos mais

Q

^FRQGLo}HV,

Neste caso podemos calcular,

ou seja,

Para garantir a FRQWLQXLGDGHGDVHJXQGDGHULYDGD, temos mais

Q

^FRQGLo}HV,

calculando, a partir de,

temos,

Deste modo, temos

Q

^{LQFyJQLWDV para}

Q

^HTXDo}HV.

A solução mais comum consistem em utilizar VSOLQHVF~ELFRVQDWXUDLV, onde,

ou,

Deste modo já temos um VLVWHPDOLQHDU de

Q

^{HTXDo}HV a}

Q

^LQFyJQLWDV.

Por outro lado, podemos calcular,

e substituir em

Assim, em vez de

D

N ,

E

N,

F

N, as LQFyJQLWDV são apenas os

E

N, e temos apenas que resolver um VLVWHPDOLQHDU de

Q

^{HTXDo}HV a}

Q

^LQFyJQLWDV.

onde,

e

> > ^{,Q , QW WH H U U SR S RO OD Do o m m R R 7U 7 UL LJ JR RQ QR RP P pW p WU U LF L F D D}

x x

Dada uma função

I [ S ^{] →} ©

^SHULyGLFD, isto é,

I I S

pretendemos aproximá-la por um SROLQyPLRWULJRQRPpWULFR

M

que LQWHUSROH

I

^{nos Q QyV,}

x x

^Quando

Q

^{éSDU, a} IXQomRGHLQWHUSRODomRWULJRQRPpWULFD ( o polinómio trigonométrico ) tem a forma,

onde

0 Q

x x

^Quando

Q

^{étPSDU, a} IXQomRGHLQWHUSRODomRWULJRQRPpWULFD tem a forma,

onde

0 Q

x x

Recordemos a IyUPXODGH(XOHU,

H

^L[

FRV[L VLQ[

x x

^Para

Q

^SDU podemos reescrever, como,

estando os FRHILFLHQWHVFRPSOH[RV

D

N,

E

N,

F

N relacionados por,

porque,

x x

De modo análogo para

Q

tPSDU podemos reescrever,

onde os

F

N são os mesmos e

x

x

Juntando os GRLVFDVRV, temos:

com

P

^{= 0 se Qpar}

P

^{= 1 se Q ímpar}

Se a função só tiver YDORUHVUHDLV, então

e nesse caso os FRHILFLHQWHV

D

N e

E

N são todos UHDLV.

x x

Pela sua analogia com as VpULHVGH)RXULHU,

M ^[

^chama-se VpULHGLVFUHWDGH )RXULHU.

Å

Å

,Q , QW WH H U U SR S RO OD Do o m m R R SR S RU U Vp V pU U LH L H V V GL G LV VF F UH U H WD W D V V GH G H )R ) RX XU U LH L H U U

x x

Tomando os pontos

[

M

MK

^{, com}

K S Q

^como QyVGHLQWHUSRODomR, temos,

x x

^Resta FDOFXODURVYDORUHV dos

0XOWLSOLTXHPRV por onde

P

é um inteiro entre

^e

Q

^.

eVRPHPRV para todo o

M

^,

x x

Provemos agora um UHVXOWDGRDX[LOLDU,

onde

G

^NP é o delta de Kronecker

•• Para

N P

ambos os termos são LJXDLV a

Q

e o resultado é verdadeiro.

•• Para

N P

provemos que o somatório se DQXOD.

Usando a relação,

e somando para todo o

M

, efectivamente,

N P

x x

Retomando o FiOFXORGRVYDORUHV dos na relação,

e utilizando o resultado auxiliar, temos finalmente,

x x

Para efectuar estes cálculos existe vasta gama de DOJRULWPRVPXLWRHILFLHQWHV, de complexidade

2 QORJQ

, conhecidos pelas designação genérica de ))7)DVW)RXULHU7UDQVIRUP.

x x

^{Todos os} VLVWHPDVGHFRPSXWDomRQXPpULFDHVLPEyOLFD, tais como o MATLAB, possuem funções para calcular 7UDQVIRUPDGDVGH)RXULHU e suas ,QYHUVDV, bem como para o cálculo da LQWHUSRODomRWULJRQRPpWULFD de um conjunto de pontos e correspondente YLVXDOL]DomRJUiILFD do resultado.

> > ^{$ $ SU S UR R[ [L LP PD D om o mR R GR G RV V 0t 0 tQ QL LP PR RV V 4X 4 XD D GU G U DG D GR RV V}

x x

Em muitos casos reais, os YDORUHVQRGDLV que temos foram obtidos experimentalmente, vindo portanto DIHFWDGRVGHHUURV.

Em vez de tentar construir uma função interpoladora, faz mais sentido procurar a IXQomRTXHPHOKRUDSUR[LPD esses valores.

x x

^Seja

^ [

L

\

L

`

^,

L P

um conjunto de pares de números reais onde,

A partir deste valores, pretendemos construir uma função que, GHDOJXPDIRUPD, seja D PHOKRUDSUR[LPDomR da função

I[

^.

x

x

^Tomemos FRPRH[HPSORRFDVROLQHDU, isto é, quando a função interpoladora pretendida for uma recta

\ D[E

^.

Para calcular os parâmetros

D

^e

E

, podem ser estabelecidos GLIHUHQWHVFULWpULRV, tais como:

•

• Minimizar o HUURPi[LPR,

•• Minimizar a VRPDGRVHUURV,

•• Minimizar o HUURTXDGUiWLFR,

Å

)X ) XQ Qo o} }H HV V D D SU S U R[ R [ LP L P DQ D QW WH HV V H H GH G HV VY Y LR L RV V

x x

No caso geral, o problema consiste em determinar a IXQomRTXHPHOKRUDSUR[LPD um dado conjunto de pontos

^ [

L

\

L

`

^,L Q.

x

x

^AFODVVHGDVIXQo}HVDSUR[LPDQWHV é caracterizada por um conjunto de SDUkPHWURV

F

F

F

N.

&DGDIXQomR da classe é especificada pelos YDORUHVdesses parâmetros,

x x

Por exemplo,

•• se pretendermos aproximar os pontos por uma UHFWD, são dois os parâmetros:

F

e

F

•

• se pretendermos aproximar os pontos por uma SDUiEROD, são três os parâmetros:

F F

e

F

x x

Para cada classe definem-se os GHVYLRV, em relação aos valores

\

Ldos dados,

x

x

Em função dos desvios, é necessário decidir qual o FULWpULR a estabelecer.

Cada critério define um SUREOHPDGHPLQLPL]DomR.

•• Problema de PLQLPD[ ( minimização do desvio máximo ),

PLQLPL]DU

•• Problema de minimização ( da soma ) dos GHVYLRVDEVROXWRV,

PLQLPL]DU

•• Problema de minimização do HUURTXDGUiWLFRWRWDO,

PLQLPL]DU

O método de resolução do problema GHPLQLPL]DomRGRHUURTXDGUiWLFRWRWDO chama-se PpWRGRGRVPtQLPRVTXDGUDGRV e a função que o minimiza chama- se DSUR[LPDomRGRVPtQLPRVTXDGUDGRV.

Å

0p 0 pW WR RG GR R GR G RV V 0t 0 tQ QL LP P RV R V 4X 4 XD DG GU UD DG GR RV V

x x

Considere-se uma classe de funções,

x x

^ADSUR[LPDomRGRVPtQLPRVTXDGUDGRV consiste na determinação dos SDUkPHWURV

F

F

F

Nque PLQLPL]DPDVRPDGRVTXDGUDGRVGRVGHVYLRV,

x x

Tratando-se de um problema de minimização em

¸

^k, para que

(F

F

F

N

seja PtQLPR é necessário que,

x x

Donde se obtém um VLVWHPDGH

N

^{HTXDo}HV a}

N

incógnitas,

x x

Em certos casos, este sistema tem solução única e permite determinar univocamente os parâmetros

F

F

F

Nque caracterizam a PHOKRUIXQomRDSUR[LPDQWH.

Å

5H 5 H FW F WD D GR G RV V 0t 0 tQ QL LP P RV R V 4X 4 XD DG GU UD DG GR RV V 5 5H HF F WD W D GH G H 5 5 HJ H JU UH H V V Vm V mR R

x x

^{No FDVROLQHDU,}R SUREOHPDGDPLQLPL]DomRGRHUURTXDGUiWLFR é simples.

Pretendemos determinar os valores de

D

^{e de}

E

^em,

que minimizam,

x x

^{Para que}

(DE

^{seja PtQLPR} é necessário (e prova-se que também suficiente) que,

ou seja que,

x x

Assim temos um sistema linear com GXDVHTXDo}HV (HTXDo}HVQRUPDLV) e as GXDVLQFyJQLWDV

D

^e

E

que caracterizam a recta pretendida ( UHFWDGHUHJUHVVmR).

x x

Os coeficientes de

D

^{e de}

E

e os termos independentes, obtém-se facilmente pela construção de uma tabela,

H[HPSOR Para determinar a UHFWDGHUHJUHVVmR que aproxima os pontos,

construímos a WDEHOD,

donde obtemos o VLVWHPD,

7 a + 37 b = 29 37 a + 259 b = 194

cuja VROXomR é

a = 0.75

b = 0. 6418918918919

o que permite determinar a UHFWDGHUHJUHVVmR,

y = 0.75 + 0. 6418918918919 x

x x

Em algumas aplicações, são os valores de

^ [

L

`

^,

L Q

que estão DIHFWDGRVGHHUURV, sendo os

^ \

L

`

FRQVLGHUDGRVH[DFWRV.

Nesse caso é necessário efectuar uma DSUR[LPDomRLQYHUVD.

x x

Assim, dado

^ [

L

\

L

`

^,

L Q

um conjunto de pares de números reais onde,

[

L

ž J\

L

^,

^{L Q}

podemos calcular uma DSUR[LPDomRGRVPtQLPRVTXDGUDGRV para

J\

^.

3DUDRPHVPRH[HPSOR

Basta WURFDURVSDSpLV dos

[

^e

\

^dados,

construindo neste caso a WDEHOD,

donde obtemos o VLVWHPD,

7 a + 29 b = 37 29 a + 147 b = 194

cuja VROXomR é

a = - 0.994680851064 b = 1.5159574468085

o que permite determinar a UHFWDGHUHJUHVVmRLQYHUVD,

Å

3D 3 DU U iE i ER RO OD D GR G RV V 0t 0 tQ QL LP P RV R V 4X 4 XD DG GU UD DG GR RV V

x x

Para aproximar o conjunto de pontos por uma SDUiEROD, pretendemos determinar os valores de

D

^,

E

^e

F

^em,

por forma a PLQLPL]DURHUURTXDGUiWLFRWRWDO,

x x

Para que ocorra o PtQLPR é necessário (e prova-se que também suficiente) que,

ou seja,

x x

Os coeficientes de

D

^de

E

^{e de}

F

e os termos independentes, também se obtém pela construção de uma WDEHOD,

3DUDRPHVPRH[HPSOR

construímos a WDEHOD,

donde obtemos o VLVWHPD,

7 a + 37 b + 259 c = 29 37 a + 259 b + 2053 c = 194 259 a + 2053 b + 17395 c = 1502

cuja VROXomR é

a = 0. 28869047619 b = 0. 890625

c = - 0. 02306547619

o que permite determinar a SDUiEROD que aproxima os pontos,

y = 0.28869047619 í [[

²

Å

3R 3 RO OL LQ Qy yP P LR L RV V GH G H 0t 0 tQ QL LP PR RV V 4X 4 XD DG GU UD D GR G RV V H H RX R XW WU U DV D V IX I XQ Qo o }H } H V V

x x

Por vezes é necessário aproximar o conjunto de

Q

pontos por um SROLQyPLR geral, de JUDX

P ”Q±

^,

por forma a PLQLPL]DURHUURTXDGUiWLFRWRWDO,

x x

Tal como nos casos anteriores, para que ocorra o PtQLPR é necessário (e prova-se que também suficiente) que,

x

x

Desta condição, obtém-se um VLVWHPDOLQHDU de

P

equações com

P

incógnitas, também chamadas equações normais.

Também se prova que este sistema tem uma única solução.

x x

Contudo, particularmente no caso de polinómios de grau elevado, este sistema tende a ser PDOFRQGLFLRQDGR. Por isso são utilizados SROLQyPLRVGHEDL[RJUDX, ou técnicas mais complexas de reformulação.

x x

Por vezes é mesmo necessário procurar funções aproximantes que QmRVmR SROLQyPLRV, como por exemplo,

x x

O problema continua a ser a determinação dos parâmetros

D

^e

E

^.

Contudo, a DSOLFDomRGLUHFWD do Método dos Mínimos Quadrados a estas classes de funções traduz-se pela resolução de 6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV, cujas soluções são obtidas apenas de forma aproximada.

x x

Em alternativa, é usual efectuar uma OLQHDUL]DomRGRSUREOHPD (ou OLQHDUL]DomRGR PRGHOR).

H[HPSOR Aproximar por uma função da forma

\ D[

^E os pontos,

Aplicando uma WUDQVIRUPDomRORJDUtWPLFD à fórmula original,

OQ\ OQDEOQ[

e efectuando uma PXGDQoDGHYDULiYHLV,

< OQ\

$ OQD

; OQ[

obtemos uma UHODomROLQHDU,

< $E;

que aproximamos pelo método do mínimos quadrados.

Construída a tabela, obtemos o sistema,

4 A + 1.34547 b = 1.12946

1.34547 A + 0.73460 b = 0.57378

cuja VROXomR é,

A = 0.05144 ⇒ D ⁼ H

^$

^{= 1.05247} b = 0.68741

Portanto, a IXQomRDSUR[LPDQWH é,

\ [

x x

Note-se que, os parâmetros assim obtidos QmRVmRySWLPRVGHQWURGRFULWpULRGRV PtQLPRVTXDGUDGRV. Isto acontece porque eles, de facto, DMXVWDPRSUREOHPD

H[HUFtFLR

R SUREOHPD

Pretende-se um SROLQyPLRLQWHUSRODGRUGHJUDX

^,

mas apenas são dados

QyVGHLQWHUSRODomR.

Por outro lado, sabemos que

I¶¶¶[

para todo o

[

^.

Como utilizar esta informação?

XPDDERUGDJHPLQJpQXD

Se

I¶¶¶[

para todo o

[ ,

podemos deduzir que,

I[ [

J[

onde

J[

tem terceira derivada nula e portanto pode ser aproximada por um SROLQyPLRGHJUDX

^.

De

J[ I[[

calculamos:

[ ^{0 1 2}

I[ ^{3 1 4}

J[ ^{3 -1 -12}

e construímos:

[

L

J[

L

'

'

0 3

-4

1 -1 -7/2

-11

2 -12

donde obtemos o polinómio interpolador de grau 2 para

J[

^,

S

[ ±[±±[±[±

±[

± [

e portanto para

I[

^{temos o} SROLQyPLRGHJUDX,

S

[ [

± [

± [

XPDDERUGDJHPPDLVHOHJDQWH

Sabemos que (pp. 20-21) existe SHORPHQRVXPSRQWR

[

^onde,

Mas neste caso VDEHPRVWDPEpPTXH

I¶¶¶[

^SDUDWRGRR

[

^.

Portanto, SDUDWRGRR[,

'

I>[

[

[

[

@

e podemos efectivamente construir a tabela:

[

L

I[

L

'

'

'

0 3

-2

1 1 5/2

3

2 4

e obter o SROLQyPLRLQWHUSRODGRUGHJUDX

^para

I[

^,

S

[ ±[±[±[±[±[±[±

[

± [

± [

H[HUFtFLR

D Se

I[

^{for um}SROLQyPLRGHJUDX

XPDUHVSRVWD é o GHFOLYHGDUHFWD que passa pelos

dois pontos

[

I[

^e

[

I[

^.

Será LQGHSHQGHQWHGRVSRQWRV se e só se

I[

^{for uma UHFWD.}

RXWUDUHVSRVWD Sabemos que existe pelo menos um ponto

[

^onde,

I>[

[

@ I¶ [

Por isso,

I>[

[

@

poderá ser LQGHSHQGHQWHGRVSRQWRV

[

e

[

considerados apenas quando a GHULYDGD

I¶ x

^{for FRQVWDQWH,}

ou seja se e só se

I[

^{for um} SROLQyPLRGRžJUDX.

E Se

I x X[Y[

provemos que

I>[

[

@ X[

Y>[

[

@ X>[

[

@ Y[

^ RXYLFHYHUVD`

F Se

I[

^{for um}SROLQyPLRGRžJUDXcomGXDVUDt]HVUHDLV

α

^e

β

^,

então podemos escrever,

I[ F[± α [± β

e considerar,

X[ Y[

de modo a poder utilizar o resultado de E,

I>[

[

@ X[

Y>[

[

@ X>[

[

@ Y[

Por outro lado

X[

^e

Y[

^são SROLQyPLRVGHJUDX portanto, por D,

X>[

[

@

^e

Y>[

[

@

^são LQGHSHQGHQWHV da escolha de pontos

[

e

[

. Então podemos calculá-las nas raízes, isto é, fazer

[

α

^e

[

β

^.

Facilmente verificamos que

X> α β _{@ F}

Y> α β _@

E assim,

I>[

[

@ X[

Y> α β @ X> α β @ Y[

F[

± α _F[

± β

SRUH[HPSOR Para

I[ [±[±

[

L

I[

L

'

'

'

0 6

1 0 3

0

2 0 3

0

3 6 3

0

4 18 3

6 60

...

verifique que, para todo o

N

'

I[

N

I>[

N

[

N

@ [

N

± [

N

±

Note ainda que,

'

I[

N

F

para todo o

N

3RUTXr"

e que,

'

I[

N

para todo o

N

3RUTXr"