F Í S I C A I I I A U L A S D E 1 3 E 1 4 D E J U L H O M A G N E T I S M O E M M AT E R I A I S

Texto

(1)F Í S I C A I I I — AU L A S D E 1 3 E 1 4 D E J U L H O. MAGNETISMO E M M AT E R I A I S.

(2) 2. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. Até 1820, o magnetismo era associado a materiais especiais: ímãs naturais e certos metais que se comportavam como ímãs naturais após serem imantados, isto é, após serem aproximados de ímãs. Em 1820, como já vimos, Ørsted e Ampère descobriram que correntes elétricas produzem campos magnéticos. Ampère passou a acreditar que todos os campos magnéticos são produzidos por correntes e argumentou que os ímãs, quer naturais, quer resultantes de imantação, deveriam abrigar correntes permanentes em seu interior. Essas correntes seriam responsáveis pelos campos magnéticos externos. O tempo comprovou a noção proposta pelo cientista francês. Veremos mais abaixo que existe um momento magnético associado ao momento angular dos elétrons. Os elétrons, ademais, possuem spin, uma grandeza com características de momento angular que também contribui para o momento magnético. A combinação dessas grandezas com o princípio de exclusão de Pauli é responsável pela magnetização permantente dos ímãs e por outras propriedades magnéticas dos materiais. O magnetismo dos materiais é um fenômeno quântico. Isso impede que o descrevamos com profundidade, aqui. Já temos conhecimento suficiente, entretanto, para discutir suas características gerais e suas consequências.. J~m. Magnetização A figura 1 ajuda a visualizar a explicação de Ampère. O desenho mostra um cilindro que está magnetizado ao longo de seu eixo de simetria, visto em corte. Para facilitar o raciocínio, vamos imaginar que ele esteja uniformemente magnetizado. Ainda não definimos claramente o que isso significa, mas podemos imaginar que todos os pontos no interior do cilindro sejam iguais. O que acontecer num ponto, acontecerá em todos os demais. Mais abaixo, depois de definir adequadamente o que é magnetização, poderemos considerar o caso geral, em que a magnetização não é uniforme. O cilindro tem comprimento `, que não aparece na ilustração. No plano da figura, há múltiplos circuitos microscópicos, em cada um dos quais flui uma pequena corrente elétrica. Podemos supor que os circuitos são idênticos. Se considerarmos dois pequenos circuitos vizinhos, que se tocam, veremos que as correntes na região em que eles se tocam fluem em sentidos opostos e se cancelam. Assim, na figura, não haverá nenhuma corrente no interior da circunferência cinza, que representa a borda do cilindro: o interior é inteiramente preenchido por pontos onde dois pequenos circuitos vizinhos se tocam. No desenho da figura, isso pode. Figura 1: Cilindro magnetizado, visto em da direção de seu eixo de simetria. As correntes microscópicas internas se somam para gerar uma corrente superficial ~Jm ..

(3) magnetismo em materiais. parecer incorreto porque os círculos internos são relativamente grandes, mas não podemos esquecer de que eles representam circuitos microscópicos. Considerados todos os circuitos microscópicos, restará apenas a corrente que circula na periferia do cilindro, que não se cancela porque os lados dos circuitos internos que passam por ali não têm vizinhos. Essa corrente circula em torno de todo o cilindro e é proporcional ao comprimento `. Para obter uma grandeza que independa do tamanho, definimos o vetor corrente linear ~Jm , que tem módulo (1). onde I` é a corrente sobre todo o comprimento do cilindro. A direção do vetor ~Jm é perpendicular ao eixo e tangente ao cilindro, como a figura 1 mostra. Podemos ver, portanto, que a soma dos circuitos microscópicos equivale a uma corrente com densidade uniforme que corre em volta da superfície do cilindro. Já encontramos uma situação análoga na aula de 9 de junho, quando estudamos o campo magnético de um solenóide. A corrente elétrica no solenóide corre ao redor da superfície cilíndrica formada pela justaposição dos fios. E, como vimos, essa corrente circular produz um campo magnético uniforme no interior do solenóide. Por analogia, podemos esperar que as correntes superficiais no cilindro da figura 1 produzam um campo magnético idêntico ao do solenóide. No interior do solenóide, o campo é uniforme e há um feixe compacto de linhas de campo paralelas. No exterior, as linhas se separam, como mostra a figura 3, e definem um polo Norte e outro Sul. Esse padrão coincide com o das linha de campo em torno de uma barra cilíndrica imantada e, assim, sustenta a explicação que Ampère propôs.. O momento magnético das partículas carregadas Podemos buscar uma fundamentação mais microscópica para a noção de Ampère no que já sabemos sobre a dinâmica de partículas imersas em campo eletromagnético. Suponhamos que uma partícula de carga q esteja em um campo magnético uniforme ~B. Escolhemos um sistema de coordenadas com eixo z na direção do campo. Nesse sistema, o potencial vetor pode ser escrito na forma. ~ = B (−y x̂ + x ŷ), A 2. (2). como vimos na aula de 15 de junho. Se você não se lembra, basta ~ ×A ~ = Bẑ. calcular o rotacional para ver que ∇. z. }|. {. ←. I. I` , `. ` N. ←. Jm =. 3. I. Figura 2: Solenóide com N espiras e comprimento ` por onde circula uma corrente I . A densidade linear de corrente, equivalente à definida na Eq. (1), é N I/`.. N. S. Figura 3: Linhas do campo magnético em torno de um solenóide. A extremidade por onde as linhas saem é o polo Norte, e a extremidade por onde elas entram é o polo Sul..

(4) 4. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. Vejamos a energia da partícula. Digamos que, além do campo ~ a energia magnético, haja um potencial V. Como ~p = m~v + q A, 2 E = mv /2 + qV assume a forma E=. ~ )2 (~p − q A + V ( x, y, z), 2m. (3). ou, se expandirmos o termo entre parênteses à direita, E=. 2 p2 q ~ + q A2 + V ( x, y, z). − ~p · A 2m m 2m. (4). ~ na Eq. (4) pelo lado direito da Substituímos, agora, o potencial A Eq. (2). Resulta que E=. p2 qB q2 B2 2 − ( xpy − yp x ) + (y + x2 ) + V ( x, y, z). 2m 2m 8m. (5). A soma dos dois últimos termos à direita constituem um potencial modificado. Na prática, como q é a carga eletrônica, o termo proporcional a q2 é, em geral, muito pequeno em comparação com potenciais normalmente encontrados na matéria. Ele somente se torna significativo para campos magnéticos muito grandes, da ordem de 10 T. Podemos, entretanto, mantê-lo na Eq. (5). O termo que mais interessa, na mesma equação, é o segundo à direita. A combinação (−yp x + xpy ) aparece na expressão para o momento angular ~L = ~r × ~p da partícula, pois. ~r × ~p = (yp x − xpy ) x̂ + (zp x − xpz )ŷ + ( xpy − yp x )ẑ.. (6). Segue que a Eq. (5) pode ser escrita na forma E=. p2 qL q2 B2 2 − zB+ (y + x2 ) + V ( x, y, z). 2m 2m 8m. (7). Como o campo magnético é na direção do eixo z, podemos também escrever que E=. p2 q ~ ~ q2 B2 2 − L·B+ (y + x2 ) + V ( x, y, z). 2m 2m 8m. (8). Podemos agora identificar o segundo termo à direita com a energia −~µ · B, para um momento magnético mergulhado num campo magnético ~B, que encontramos na aula de 2 de junho, isto é, escrever a Eq. (8) na forma E=. p2 q2 B2 2 − ~µ · ~B + (y + x2 ) + V ( x, y, z), 2m 8m. (9). q ~ L. 2m. (10). onde. ~µ =.

(5) magnetismo em materiais. 5. Na visão de Ampère, expressa na linguagem de hoje, o momento angular dos elétrons dá a eles um momento magnético. Uma vez que a energia −~µ · ~B é mínima quando o momento está na direção e no sentido do campo, os elétrons tendem a magnetizar-se, isto é, a direcionar seus momentos angulares ~L de forma que os momentos magnéticos ~µ fiquem alinhados com o campo ~B. Essa organização dos momentos angulares corresponde ao alinhamento de órbitas retratado na figura 1. A seguinte descrição geométrica expressa melhor essa ideia. Deixemos de lado, por um instante, o campo magnético e vamos considerar uma partícula de carga q que se move em uma órbita circular de raio r com velocidade v. No momento circular, a velocidade é sempre perpendicular ao raio. O momento angular ~L = ~r × ~p da partícula tem, portanto, módulo L = mvr.. (11). Podemos substituir o momento angular na Eq. (10) pelo lado direito na Eq. (11) para encontrar o módulo do momento magnético da partícula: µ=. q mvr, 2m. (12). qvr . 2. (13). ou seja, µ=. Que significa a Eq. (13)? Para completar uma volta em torno da circunferência, a partícula leva um tempo ∆t =. 2πr . v. (14). Assim, a corrente elétrica devida ao movimento da carga é I=. q qv = , ∆t 2πr. (15). expressão que podemos escrever na forma equivalente qvr = 2πr2 I.. (16). Substituído o lado direito da Eq. (15) no lugar de qvr na Eq. (13), chegamos ao resultado µ = πr2 I.. (17). A Eq. (17) não é nova. Nós a encontramos ao definir o momento magnético, em 2 de junho. A derivação acima mostra que a Eq. (10) é equivalente a ela.. O momento magnético de um circuito foi definido pela igualdade µ = I A, onde I é a corrente elétrica, e A é a área encerrada pelo circuito..

(6) 6. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. A Eq. (17) é também interessante sob outro ponto de vista. Ela permite calcular o momento magnético de uma fatia do cilindro na figura 1, que foi cortado como um salame. Chamamos esse momento magnético de d~µ, como indicado na figura. O momento d~µ é a soma dos momentos magnéticos microscópicos. Uma vez que estes últimos são dados pela Eq. (17) e que πr2 é a área de cada circuito microscópico, podemos ver que. d~µ = Acil dI = πa2 dI ,. dI = Jm dz ,. (19). d~µ = Jm πa2 dz .. (20). e a Eq. (18) assume a forma. Vemos que o momento magnético total é proporcional ao volume dΩ = πa2 dz da fatia. Por isso, faz sentido definir a densidade de magnetização (21). ~ é comumente chamada de magnetização. Por simplicidade, M ~ pode ser obtida das Eqs. (17) e (21): A dimensão de M [ M] =. [ Q][`]2 , [ T ][`]3. (22). onde, como sempre, [ Q], [`] e [ T ] denotam as dimensões de carga, comprimento e tempo, respectivamente. Simplificado o lado direito, obtemos a dimensão. [ M] =. [ Q] , [ T ][ L]. (23). Como vemos, a magnetização tem dimensão de corrente ([ Q]/T) dividida por comprimento, ou seja, de densidade linear de corrente. À mesma conclusão conduz a Eq. (20). Ela mostra que o módulo da magnetização é igual à densidade linear da corrente na superfície do cilindro: M = Jm .. dz. a J~m. (18). onde dI é a corrente que circula em volta da fatia, e A é a área da cil fatia, que tem raio a. Ao discutir a figura 1, chamamos de Jm a densidade linear de corrente na superfície do cilindro. Assim, podemos escrever que. ~ = d~µ . M dΩ. d~ µ. (24). Figura 4: Fatia do cilindro da figura 1 em dois planos paralelos ao da figura. A área da base da fatia é igual à da base do cilindro, e a altura é dz. Assim como o momento magnético d~µ, a corrente ao redor da fatia é diferencial, porque a altura na figura 4 é o diferencial dz..

(7) magnetismo em materiais. ~ = ~Jm porque, como a figura 4 indica, um Não se pode dizer que M ~ assim como o vetor d~µ na figura, é vetor é perpendicular ao outro: M, paralelo ao eixo do cilindro. Enquanto isso, ~Jm tangencia a superfície. Os vetores são diferentes, mas seus módulos são iguais. ~ permite determinar a corA Eq. (24) é importante, porque, dado M, rente superficial. Ela somente vale, entretanto, quando a magnetização é uniforme. Para avançar, precisamos afastar essa restrição.. z Mz (x, y, z) Mz (x, y + dy , z) Jx. Magnetização não-uniforme.. 7. Jx. y. x. A figura 5 mostra uma pequena região no interior de um material com magnetização não uniforme. Estão demarcadas em vermelho duas regiões cúbicas vizinhas, que foram separadas apenas para facilitar a visualização. Ao redor de cada cubo, circula uma corrente de magnetização. A figura dá atenção a uma corrente que circula no plano horizontal. Em módulo, essa corrente é igual à componente Mz , representada por uma seta verde na figura. Se a magnetização fosse uniforme, as duas correntes indicadas por setas marrons seriam iguais e contrárias e se cancelariam. Como a magnetização não é uniforme, as duas correntes não se cancelam. Por isso, para encontrar sua resultante, precisamos somálas. A seta que pertence ao cubo centrado no ponto ( x, y, z) aponta na direção − x̂, enquanto a outra, que pertence ao cubo centrado em ( x, y + dy , z), aponta na direção x̂. A soma algébrica das densidades lineares de corrente, portanto, é. − Jx ( x, y, z) + Jx ( x, dy , z) = − Mz ( x, y, z) + Mz ( x, y + dy , z).. Figura 5: Volumes cúbicos no interior de um material com magnetização não uniforme. Por clareza, os cubos aparecem separados, mas devem ser entendidos como justapostos: a face direita do cubo da esquerda está encostado na face esquerda do cubo da direita. Os cubos são tão pequenos que podemos considerar uniforme a magnetização no interior de cada um.. (25). Reconhecemos no lado direito da Eq. (25) o diferencial de Mz associado ao deslocamento dy. Em outras palavras, a igualdade pode ser escrita na forma. − Jx ( x, y, z) + Jx ( x, y + dy , z) =. ∂Mz dy . ∂y. (26). A densidade linear de corrente na Eq. (26) é a mesma ao longo das faces verticais dos cubos onde estão as setas marrons da figura 5. Se chamarmos de dz a altura dos cubos, encontraremos a contribuição das duas faces para a corrente dIyz que flui perpendicularmente ao plano yz: z 5 dIyz. ∂Mz dy dz , = ∂y. (27). Jx. My (x, y, z + dz). Jx. onde o índice superior indica o número da figura que apoiou nossa análise.. My (x, y, z). y. x. Figura 6: O segundo par de cubos que contribui para a corrente de magnetização na direção x. A representação é análoga à da figura 5..

(8) 8. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. Os cubos da figura 5 não são os únicos que contribuem para a componente Jx da corrente nas vizinhaças do ponto ( x, y, z). Os desenhados na figura 6 também contribuem. Uma análise análoga à que conduziu à Eq. (26) mostra que. − Jx ( x, y, z) + Jx ( x, y, z + dz) = −. ∂My ∂z. dz .. (28). Nesse caso, a densidade linear de corrente no lado esquerdo é a mesma ao longo das faces horizontais dos dois cubos onde estão as setas marrons. A contribuição para a corrente que flui perpendicularmente ao plano yz é, então, proporcional à largura dy dos cubos: 6 dIyz =−. ∂Mz dy dz . ∂y. (29). A soma das contribuições nas Eqs. (27) e (29) é dIyz =. ∂M ∂z. y. −. ∂Mz dy dz . ∂y. (30). Na Eq. (30), o termo entre parênteses, à direita, é a componente x do rotacional da magnetização. Podemos, portanto, escrever que. ~ ×M ~ x dy dz , dIyz = ∇. (31). ou seja, dIyz dAyz. ~ ×M ~ . = ∇ x. (32). O lado esquerdo da Eq. (32) é a corrente por unidade de área que flui através do plano yz. Isso é o mesmo que a componente x da densidade (por unidade de área) de corrente de magnetização. Encontramos, portanto, que ~ ×M ~ . (~m ) x = ∇. (33). ~ × M. ~ ~m = ∇. (34). x. Como a direção x não é especial, a mesma relação deve valer para as componentes y e z. Em notação mais compacta, temos que. A densidade de corrente de magnetização na superfície de um cilindro uniformemente magnetizado. Numa região em que a magnetização é uniforme, o lado direito da Eq. (34) é zero; não há corrente de magnetização. Já havíamos chegado a essa mesma conclusão ao discutir a figura 1. Se, por outro lado, a.

(9) magnetismo em materiais. Uma vez que a magnetização somente tem componente z, seu rotacional somente pode ter componentes em x e y. Em particular, dado que My = 0, podemos ver que . ~ ×M ~ ∇. . x. =. ∂Mz . ∂y. (36). De modo análogo, dado que Mx = 0, podemos ver que . ~ ×M ~ ∇. . y. =−. ∂Mz . ∂x. (37). No ponto em consideração, na origem do sistema de coordenadas da figura 7, a magnetização varia rapidamente na direção y, mas não varia na direção x. Dessa forma, vemos que o lado direito da Eq. (37) é nulo. Podemos concentrar nossa atenção na Eq. (36). A Eq. (35) nos oferece uma aproximação para a derivada no lado direito da Eq. (36): ∂Mz M ( a + b ) − Mz ( a ) M ≈ z =− . ∂y b b. (38). Assim, chegamos ao resultado. ~ = −. M x̂. b. (39). Como seria de se esperar, a densidade de corrente é tangente à circunferência cinza na figura, no sentido anti-horário. Como também. y x z. a. b. magnetização variar de ponto para ponto, a Eq. (34) mostra que haverá corrente de magnetização. Como ilustração, vamos voltar o cilindro da figura 1 e entender mais precisamente o que ocorre na superfície do objeto magnetizado. ~ = Mẑ. Ao No interior do cilindro, a magnetização é uniforme, M passarmos pela superfície, como indicado na figura 7, a magnetização decai de M a zero numa camada estreita, de espessura b. No interior do cilindro, não há corrente de magnetização. No entanto, a magnetização é variável na região entre as distâncias ρ = a e ρ = a + b do eixo do cilindro. Podemos esperar que haja uma corrente nessa região. Vamos tentar calculá-la. Dada a simetria cilíndrica da figura, basta calcular o lado direito da Eq. (34) num ponto qualquer da região a < ρ < a + b. O ponto mais conveniente é o que está na posição mais alta. Posicionamos um sistema de referência nesse ponto e orientamos os eixos como indicado na figura 7. Temos, então, que  M (y = a) Mz = (35) 0 ( y = a + b ).. 9. Figura 7: Imagem mais detalhada do cilindro na figura 1. Em lugar de despencar abruptamente de M para zero, a magnetização decai numa estreita região, de espessura b..

(10) 10. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. seria de se esperar, o seu módulo é igual ao módulo da magnetização, que por sua vez é igual à densidade linear de corrente (veja a Eq. (24), dividido pela espessura da região onde circula corrente. De forma análoga, se você calcular a densidade de corrente no ponto mais à direita da circunferência cinza deverá encontrar ~ = ( M/b)ŷ. Experimente.. A lei de Ampère em meios materiais Como aprendemos na aula de 9 de junho, a lei de Ampère pode ser escrita na forma diferencial. ~ × ~B = µ0~ ∇ total .. (40). O subíndice “total” está aqui para lembrar que a densidade de corrente ~ na lei de Ampère é o total das correntes que circulam no ponto em questão. Até semana passada, esse total incluía apenas as correntes que circulam em condutores, geradas por campos elétricos ou forças eletromotrizes. Nosso conceito agora se ampliou e temos de levar em conta, também, as correntes de magnetização. É conveniente, para isso, escrever que. ~total =~ +~m ,. (41). onde ~ é, como antes, a soma das densidades de correntes em condutores e ~m a densidade de corrente de magnetização. Uma vez que, como apontado pela Eq. (34), a densidade de corrente de magnetização é o rotacional da magnetização, podemos reescrever a lei de Ampère na forma. ~ × ~B = µ0~ + µ0 ∇ ~ × M, ~ ∇. (42). que nos convida a juntar os dois rotacionais num termo só, para obter a expressão ~ × ~B − µ0 M ~ = µ0~. (43) ∇. Uma vez que o lado direito da Eq. (43) é idêntico ao da lei de Ampère que discutimos em 9 de junho, é conveniente definir um novo ~ pela igualdade campo, H,. ~ ≡ ~B − µ0 M, ~ µ0 H. (44). para que a Eq. (44) assuma a forma simples. ~ ×H ~ =~. ∇. (45). É mais fácil memorizar a Eq. (44) na forma equivalente. ~B = µ0 ( H ~ +M ~ ),. (46). ~ e M ~ têm a mesma dimensão, dada pela e dela podemos ver que H Eq. (23).. Para tornar a Eq. (45) ainda mais parecida com a lei de Ampère, muita gente elimina o fator µ0 à esquerda na definição (44) do. ~ . Aqui, estamos seguindo a notacampo H ção do livro texto, que inclui o fator µ0 na definição. A nomenclatura também varia, e é comum reservar o nome “campo magné~ ; nesse caso, o campo tico” para o vetor H ~B passa a chamar-se “campo de indução” ou “campo de fluxo”, para lembrar que é ele, e ~ , que entra na lei de Faraday. Esses não H nomes tendem a gerar confusão. Para evitar, chamaremos os dois campos de “campo B” e “campo H”..

(11) magnetismo em materiais. 11. Campos magnéticos e magnetização em geometria cilíndrica ~ depende apenas das correntes em conduPor indicar que o campo H tores, a Eq. (45) pode provocar uma impressão errônea. Suponhamos que é dada uma distribuição de correntes em um conjunto de condutores numa região do espaço onde existe um meio material. Poderíamos ~ resultante seria exatamente igual ao campo ~B entender que o vetor H que a mesma distribuição de correntes geraria na ausência do meio material. Isso, porém, não é verdade, como a seguinte discussão mostra. Tomamos como exemplo o cilindro na figura 4, que tem magnetiza~ = Mẑ, onde o eixo z coincide com o eixo de simetria e ção uniforme M aponta para cima. Fora do cilindro, a magnetização é zero. Queremos ~ dentro do cilindro. calcular os campos ~B e H A distribuição de correntes de magnetização na superfície do cilindro reproduz a das correntes nos fios do solenóide da figura 2. Para que a densidade linear de corrente no solenóide seja igual à densidade de corrente de magnetização no cilindro, devemos impor que NI = Jm . `. (47). Conforme vimos na aula de 9 de junho, o campo ~B no interior do solenóide é dado pela expressão B = µ0. NI . `. (48). Assim, com base nas Eqs. (46) e (48), podemos ver que o campo ~B no interior do cilindro da figura 8 será B = µ0 Jm .. (49). Se agora nos lembrarmos da Eq. (24), a qual diz que o módulo da densidade linear de corrente de magnetização é igual à magnetização, veremos que B = µ0 M, e como os dois vetores são paralelos, concluiremos que. ~B = µ0 M. ~. (50). Podemos, agora, comparar a Eq. (46) com a Eq. (50). Os lados esquerdos são idênticos. Assim, os lados direitos devem ser iguais, e isso significa que H = 0. À primeira vista, esse resultado pode parecer evidente, a vista da Eq. (45). Uma vez que as únicas correntes são de magnetização, pa~ cujo rotacional é a densidade de rece muito razoável que o campo H, correntes em condutores, seja zero. Entretanto, isso somente acontece dentro do cilindro.. J~m. Figura 8: Cilindro magnetizado uniformemente. A magnetização é paralela ao eixo de simetria do cilindro e aponta para cima. A regra da mão direita define o sentido das correntes de magnetização, representadas pela linhas azuis..

(12) 12. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. ~ tem de ser proFora dele, como a magnetização é zero, o campo H porcional ao campo ~B: ~B = µ0 H ~. (fora do cilindro).. (51). ~ se distribuem Fora do cilindro, as linhas dos dois campos, ~B e H, ~ não é pelo espaço como as do solenóide da figura 3. Vemos que H nulo, apesar de não haver fios condutores. Pior ainda, em outras geo~ dentro do material magnetizado; no interior de metrias existe campo H ~ uma esfera uniformemente magnetizada, por exemplo, ~B = (2/3)µ0 M ~ = −(1/3) M. ~ É razoável perguntar como isso é possível, se ineeH 0 xistem fios condutores. As linhas de campo respondem a essa questão. No interior de um corpo uniformemente magnetizado, há magnetização e, portanto, há linhas campo da magnetização. Essas linhas devem começar e acabar em pontos na superfície, já que a magnetização é nula fora do corpo. No cilindro da figura 8, por exemplo, as linhas de campo começam na base inferior e terminam na superior. Isso mostra que a divergência do campo magnético é positiva na base inferior e negativa na superior. Vejamos, agora, a Eq. (46). Se tomarmos o divergente de ambos os lados, obteremos zero à esquerda, pois o divergente de ~B é sempre nulo. Consequentemente, ~ ·H ~ · M. ~ = −∇ ~ ∇. (52). ~ tem divergência. O sinal negativo Diferente do campo ~B, o campo H ~ nascem no lado direito da Eq. (52) mostra que as linhas de campo de H ~ ~ onde as linhas de M morrem e morrem onde as linhas de M nascem. ~ dão continuidade às de M, ~ como Dito de outra forma, as linhas de H se fosse uma corrida de revezamento. Tudo se passa como se houvesse cargas de magnetização acumuladas nas superfícies dos corpo magnetizados. No cilindro da figura 8, as cargas de magnetização positivas estão na superfície inferior, e as ~ nascem nas cargas negativa, na superior. As linhas de campo de H negativa e morrem nas positivas. São essas cargas que geram o campo ~ quando não há correntes em condutores. H,. Propriedades magnéticas de materiais Os ímãs exibem magnetização na ausência de campo externo. Eles pertencem a uma classe de materiais conhecidos como ferromagnéticos. Seis elementos da Tabela Periódica pertence a essa classe: ferro, cobalto, níquel, gadolíneo, térbio e disprósio. Além deles, há um número incalculável de ligas, de dois ou mais elementos, que são ferro-.

(13) magnetismo em materiais. magnéticas. Em muitas delas a magnetização pode ser várias ordens de grandeza maior do que a o ferro. Entre os demais elementos, a magnetização de praticamente todos cresce em proporção ao campo magnético em que estão imersos. A proporcionalidade é expressa pela relação. M = χm H.. (53). O coeficiente χm é a susceptibilidade magnética. Quando o lado direito da Eq. (53) é substituído no lugar de M na Eq. (46), resulta uma relação de proporcionalidade entre B e H: B = µ0 (1 + χ m ) H. 13. Nos materiais ferromagnéticos, dado que a magnetização não é proporcional ao campo, a Eq. (53) não serve para definir a susceptibilidade. Define-se uma susceptibilidade diferencial pela igualdade. χm ( H ) =. dM . dH. Como indicado, a susceptibilidade diferencial é função do campo H .. (54). que pode ser escrita na forma B = µH.. (55). O coeficiente µ = 1 + χm recebe o nome de permeabilidade magnética do meio (µ0 é a permeabilidade do vácuo). Como M e H têm a mesma dimensão, a susceptibilidade é adimensional. Valores típicos são muito pequenos; abaixo, veremos exemplos. A permeabilidade magnética, por isso, fica próxima de µ0 . O sinal de χm pode ser negativo ou positivo. Conforme o sinal, os materiais que obedecem a Eq. (53) são divididos em duas classes.. Materiais diamagnéticos. Material. χm. Bismuto Cobre Hélio Neônio Ouro Prata Água Diamante Vidro. -1.7 × 10−4 -9.6 × 10−6 -1.0 × 10−9 -3.7 × 10−9 -3.4 × 10−5 -2.4 × 10−5 -9.0 × 10−6 -2.2 × 10−5 -1.1 × 10−5. Os materiais com susceptibilidade negativa são chamados de diamagnéticos. O diamagnetismo é uma manifestação da lei de Faraday. Quando um ímã se aproxima de um condutor, o fluxo do campo magnético através do material cresce. Uma corrente macroscópica é induzida no condutor, que gera campo magnético contrário ao do ímã.. Tabela 1: Susceptibilidade magnética de alguns materiais diamagnéticos.

(14) 14. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. O campo no interior do material é, portanto, menor do que o campo original. Como o condutor tem resistência elétrica, a corrente induzida decai rapidamente. Se a corrente macroscópica fosse o único efeito do campo externo, somente os supercondutores seriam diamagnéticos. A lei de Faraday, entretanto, afeta também as correntes na escala atômica: para enfrentar o crescimento do fluxo magnético, os momentos angulares dos elétrons aumentam e incrementam os momentos magnéticos no sentido oposto ao do campo magnético. Em contraste com as correntes macroscópicas, esse incremento é duradouro; ele somente desaparecerá quando cessar o campo que o gerou. Como o incremento no momento magnético é oposto ao campo, a magnetização induzida pelo ímã tem sinal oposto a H, o que significa que χm é negativo. Quase todos os elementos do lado direito da Tabela Periódica, a começar da coluna onde estão o cobre, a prata e o ouro, são diamagnéticos. Exceções notáveis são o alumínio e o oxigênio, que estão nessa região da Tabela, mas não são diamagnéticos, e o hidrogênio e o berílio, que estão no lado esquerdo da Tabela, mas são diagmagnéticos. A tabela 1 lista alguns diamagnéticos e mostra suas susceptibilidades. Em todos os casos, o módulo de χm é pequeno. Mesmo para o Bi, que tem uma das maiores susceptibilidades magnéticas diamagnéticas, o módulo não chega a 2 × 10−4 . ~ nas A figura 9 mostra, esquematicamente, as linhas de campo H proximidades de uma esfera diamagnética que foi imersa num campo inicialmente uniforme. Longe da esfera, à direita ou à esquerda, as linhas de campo são horizontais. No interior da esfera, como o material é diamagnético, a magneti~ As linhas de M ~ nascem na região da esfera em zação é oposta a H. que está o polo direito e morrem na região diametralmente oposta. Há, portanto, cargas de magnetização positivas perto do polo direito e cargas negativas perto do polo esquerdo. A contribuição dessas cargas ~ nas vizinhanças da superfície da esfera. As linhas reduz o campo H perto da esfera são portanto, mais afastadas umas das outras do que na região distante da esfera — como a figura mostra. Graças aos momentos magnéticos que se opõem ao campo magnético externo, a matéria diamagnética é repelida por um ímã, tanto pelo polo Norte como pelo polo Sul. O vídeo no endereço www.youtube.com/watch?v=bHLCy-3iOww mostra exemplos de repulsão.. Materiais paramagnéticos Como acabamos de ver, a lei de Faraday força os momentos magnéticos dos elétrons a crescerem em sentido oposto ao de um campo. No estado supercondutor, a resistência é zero e a corrente induzida permanece, tanto tempo quanto durar o campo magnético indutor. Por isso, a susceptibilidade magnética dos supercondutores é χm = −1. A supercondutividade é um fenômeno comum a baixas temperaturas: cerca de 30 elementos na Tabela Periódica se tornam supercondutores a temperaturas suficientemente baixas. Além deles, mais de vinte são supercondutores a pressões altas e temperaturas baixas.. ~ no exteFigura 9: Linhas do campo H rior de uma esfera diamagnética, vista em corte. Para facilitar a visualização, mostra-se o efeito para um material com |χm | da ordem de 0.1, três ordens de grandeza maior do que a maior susceptibilidade na tabela 1.. Material. χm. Alumínio Cálcio Manganês Magnésio Oxigênio Platina Sódio Tungstênio Urânio Vanádio. 2.1 × 10−5 2.1 × 10−5 9.0 × 10−4 1.2 × 10−5 1.9 × 10−6 2.6 × 10−4 8.6 × 10−6 8.8 × 10−5 4.1 × 10−4 3.8 × 10−4. Tabela 2: Susceptibilidade magnética de alguns materiais paramagnéticos.

(15) magnetismo em materiais. magnético aplicado a qualquer material. Apesar disso, boa parte dos elementos químicos possui susceptibilidade magnética positiva, porque, neles, outro efeito mais forte resulta em magnetização no sentido do campo magnético. Os materiais com χm > 0 são chamados de paramagnéticos. Aproximadamente metade dos elementos na Tabela Periódica são paramagnéticos. A tabela 2 lista dez exemplos. As susceptibilidades magnéticas são pequenas, ainda que, no geral, um pouco maiores do que os módulos das susceptibilidades na tabela 1. Para entender o que distingue um material diamagnético de um paramagnético, vamos comparar as figuras 10, que mostra os elétrons no átomo de hélio, e 11, que mostra alguns dos elétrons no átomo de vanádio. O He é diamagnético, como mostra a tabela 1, e tem dois elétrons. O V, que aparece na tabela 2, é paramagnético e tem 23 elétrons; desses, cinco são retratados na figura. Cada elétron do hélio possui um momento magnético, gerado por seu spin. Na mecânica quântica, em lugar de se mover ao longo de órbitas, os elétrons de um átomo somente podem estar em certos estados, conhecidos como orbitais. Os orbitais são rotulados por um número e uma letra. O número indica a energia do orbital, e a letra, o seu momento angular. A letra pode ser s (momento angular zero), p (momento angular igual à constante de Planck h), d (momento angular 2h), f (momento angular 3h) etc.. Cada orbital acomoda um certo número de elétrons. Os orbitais s acomodam até dois elétrons com spins opostos. Os orbitais p acomodam até seis elétrons, três com spin para cima e três com spin para baixo. Os orbitais d, até dez elétrons, e os orbitais f , até catorze. Os dois elétrons do átomo de hélio estão no orbital 1s. Na figura, o orbital 1s é representado, esquematicamente, por uma circunferência azul. Como dois é o número limite para o orbital s, um deles tem spin para cima e o outro, para baixo, como a figura 10 mostra. O resultado é que os momentos magnéticos, opostos, somam zero. No hélio, o único efeito do campo magnético é a reação provocada pela lei de Faraday; por isso, o gás é diamagnético. No vanádio, os elétrons mais externos estão no orbital 3s, mas há mais 21 elétrons. O vanádio é um metal de transição. Os metais de transição ocupam a parte central da Tabela Periódica. Neles, parte dos elétrons estão no orbital 3d. No vanádio, há três elétrons no orbital 3d, como a figura 11 indica. Como o orbital acomoda até dez elétrons, os três não precisam ter spins opostos; de fato os três elétrons têm spins no mesmo sentido. Os momentos magnéticos dos três elétrons se somam, em lugar de se cancelarem. Quando se aplica um campo magnético, o momento magnético tende a alinhar-se com ele. Resulta uma magnetização no sentido do. ↓. 15. ↑. +. Figura 10: Desenho esquemático da estrutura eletrônica do átomo de hélio.. ↓. ↑ ↑. ↑. +. ↑. Figura 11: Desenho esquemático da estrutura eletrônica de um átomo de vanádio. Para não carregar, a ilustração mostra apenas cinco dos 23 elétrons..

(16) 16. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. campo, o que torna a susceptibilidade positiva. Por isso, o vanádio é paramagnético. Nem todos os elementos paramagnéticos são metais de transição. Um exemplo é o alumínio, que tem treze elétrons. Como o número de elétrons é ímpar, já podemos ver que é impossível haver cancelamento entre os spins dos elétrons. De fato, dois dos elétrons do Al estão no orbital 1s, dois estão no orbital 2s, seis estão no orbital 2p, dois estão no orbital 3s e o último está no orbital 3p. Os momentos magnéticos dos doze primeiros elétrons se cancelam, mas o do último não tem com que se cancelar. O momento magnético do átomo de Al é o desse último elétron. O átomo de alumínio, assim, é paramagnético. Na prática, não estamos interessados no átomo, mas sim no alumínio em estado sólido; o alumínio das latas de cerveja ou de refrigerante, por exemplo. Num bloco do material, há um número enorme de elétrons. Metade deles terá spin para cima e a outra metade, spin para baixo. Esses elétrons, entretanto, estão sujeitos a agitação térmica, que constantemente inverte os seus spins. Na média, na ausência de campo magnético, essa inversão não tem consequência, porque a cada momento, em média, o número de spins que está virando de baixo para cima é igual ao de spins que está virando no sentido oposto. Quando se aplica um campo magnético, o equilíbrio entre inversões num sentido e no outro é rompido. O campo magnético favorece inversões que alinham os momentos magnéticos dos elétrons na direção e ~ Assim, como no vanádio, aparece uma magnetização no sentido de H. no sentido do campo, o que torna o alumínio paramagnético. Quando imersos em campo magnético, os materiais paramagnéticos se comportam como se fossem ímãs muito fracos. Eles são atraídos por ímãs permanentes. Se o polo Norte de um ímã estiver voltado para um objeto paramagnético, a magnetização paralela ao campo do ímã fará com que apareça um polo Sul no objeto, na face voltada para o ímã, e o objeto será atraído. Se a orientação do ímã for invertido, de forma que seu polo Sul esteja agora voltado para o objeto, a magnetização neste último também se inverterá. Aparecerá um polo Norte na face voltada para o ímã, e haverá atração, outra vez. Esse comportamento, oposto ao dos diamagnéticos, pode ser visto no vídeo www.youtube.com/watch?v=u36QpPvEh2c. A figura 12 mostra uma esfera paramagnética imersa num campo magnético inicialmente uniforme. Ao contrário do que ocorre na figura 9, a magnetização aqui reforça o campo magnético, e as linhas de campo se adensam na região próxima à esfera. ~ no exterior Figura 12: Linhas do campo H de uma esfera paramagnética, vista em corte. Análoga à figura 9..

(17) magnetismo em materiais. Materiais ferromagnéticos. O ferro, o cobalto, o níquel, o gadolíneo, o térbio e o disprósio são ferromagnéticos. Os três primeiros são metais de transição. Assim como no átomo de vanádio, os elétrons 3d dos átomos de ferro, cobalto e níquel têm momento magnético. No estado sólido, se a temperatura não for alta demais, os momentos magnéticos de um desses materiais se orientam uns aos outros e dão origem a uma magnetização espontânea. Para isso, não é necessário campo magnético externo. O gadolíneo, o térbio e o disprósio são lantanídeos (ficam na primeira das duas linhas que são tradicionalmente apresentadas abaixo da Tabela Periódica). Nos lantanídeos, os orbitais d estão totalmente ocupados, com dez elétrons cada, mas o orbital 4 f está parcialmente preenchido. Os momentos magnéticos dos elétrons no orbital 4 f se somam e resulta um momento magnético, como nos metais de transição. No gadolíneo, no térbio e no disprósio em estado sólido, os momentos magnéticos também se auto-orientam para gerar uma magnetização espontânea, mas isso somente ocorre a temperaturas relativamente baixas: abaixo de 292 K para o gadolíneo, abaixo de 217 K para o térbio e abaixo de 88 K para o disprósio. Por isso, é muito improvável que você veja um ímã de gadolíneo. Ímãs feitos com ligas de outros materiais com terras raras são muito comuns, hoje em dia. A magnetização pode ser tão grande que o material é chamado de superímã. Infelizmente, os conceitos de mecânica quântica necessários para explicar a formação da magnetização espontânea, mesmo qualitativamente, estão bem acima do que podemos discutir aqui. Descreveremos, apenas, observações experimentais. Experimentalmente, verifica-se que a magnetização espontânea diminui monotonicamente à medida que a temperatura aumenta. Para cada material ferromagnético, existe uma temperatura, chamada de temperatura de Curie, acima da qual a magnetização desaparece. Como já explicado, as temperaturas de Curie para o gadolíneo, térbio e disprósio são relativamente baixas. O gadolíneo, por exemplo, deixa de ser magnético num dia de temperaturas agradáveis. Os três metais de transição têm temperaturas de Curie bem mais elevadas. A do níquel é 627 K, a do ferro, 1043 K, e a do cobalto, 1400 K. É possível, portanto, transformá-los em ímãs permanentes. Essa informação parece estar em conflito com uma observação do dia-a-dia. Todos nós estamos acostumados a manusear objetos de ferro que não exibem magnetização. Uma agulha recém-saída de uma loja de armarinhos não atrai nem repele outra agulha. Somente após ser aproximada de um ímã passa a se comportar como ímã. Cabe perguntar por quê.. 17.

(18) 18. física iii — aulas de 13 e 14 de julho. Ciclo de histerese Para melhor especificar a pergunta no final da questão anterior, convém saber o que ocorre quando a agulha, ou qualquer outro material ferromagnético é submetido a um campo magnético externo. A figura 13 descreve os resultados experimentais. A figura mostra em gráfico a magnetização que resulta quando uma agulha nova é submetida a um campo magnético. Vamos seguir a trajetória indicada pelas setas, a partir da origem do sistema de eixos. ~ = Começamos, portanto, com a agulha desmagnetizada e campo H 0. À medida que H cresce, a magnetização da agulha cresce, quase linearmente. Para campos fracos, o processo é reversível: se o campo for reduzido a zero, a magnetização também desaparecerá. Se o campo crescer, a magnetização crescerá, até chegar ao ponto rotulado como 1 no diagrama da figura 13. Daí por diante, o comportamento deixa de ser reversível. Se o campo continuar a crescer, a magnetização crescerá até chegar ao ponto 2; com campos ainda maiores, a magnetização crescerá pouco a pouco até alcançar uma saturação. Se o campo for reduzido a partir do ponto 2, a trajetória acompanhará o ramo superior da curva e passará pelos pontos 3, 4 e 5 até saturar-se no sentido oposto. A partir do ponto 5, se o campo for reduzido, a magnetização seguirá o ramo inferior da curva até retornar ao ponto 2, onde completará o circuito. O gráfico na figura 13 é conhecido como ciclo de histerese. Dois pontos merecem atenção especial. Nos pontos 3 e 6, a agulha está magnetizada sem aplicação de campo magnético. O material tenderá para um desses dois pontos se um campo magnético forte for aplicado e depois eliminado. É isso o que ocorre quando se aproxima um ímã da agulha. Explica-se, assim, a imantação de um material inicialmente desmagnetizado. Falta, porém, explicar por que a agulha comprada na loja de armarinhos é desmagnetizada, muito embora nós vivamos bem abaixo da temperatura de Curie do ferro.. 2. M. 3. 1. 4. 7 H. 6. 5. Figura 13: Ciclo de histerese.. Domínios magnéticos A figura 14 mostra uma imagem idealizada do interior de um amostra de material ferromagnético, abaixo de sua temperatura de Curie. Em lugar de magnetização uniforme, a amostra se divide em domínios de magnetização. Os tamanhos, da ordem de 10 ¯m, variam no tempo e no espaço, e a distribuição espacial dos domínios é irregular. Cada domínio é, aproximadamente, uniformemente magnetizado. Os domínios se formam para reduzir a energia. Para ver por quê, visualize uma amostra uniformemente magnetizada como uma coleção de domínios com a mesma magnetização, como se na figura 14. Figura 14: Domínios magnéticos em um material ferromagnético. Para facilitar a visualização, os domínios foram dispostos em uma matriz quadrada. Na realidade, os domínios têm vários tamanhos e se distribuem desordenamente na matéria. Dentro de cada domínio, a magnetização é aproximadamente uniforme, mas o campo magnético produzido por um domínio tende a orientar a magnetização dos que estão a seu lado no sentido oposto. Corresponde à origem das coordenadas no ciclo na figura 13..

(19) magnetismo em materiais. todos as setas apontassem na mesma direção e sentido — vertical ascendente, por exemplo. Com essa orientação, cada domínio teria polo Norte no topo e polo Sul na parte inferior. As linhas de campo magnético de cada domínio sairiam dele pelo Polo Norte, desceriam e entrariam de volta no polo Sul. Em torno do domínio, o seu campo magnético apontaria para baixo. O campo de cada domínio, portanto, tende a orientar os vizinhos no sentido oposto. No arranjo de magnetização uniforme, com os momentos magnéticos numa mesma direção, a energia devida à interação de dois domínios vizinhos é alta. A orientação desordenada de domínios, como na figura 14 reduz a energia de interação entre vizinhos e é, portanto, mais estável. Na situação retratada na figura 14, a agulha está na origem do di~ força os domínios agrama da figura 13. A aplicação de um campo H a se orientarem na direção paralela a ele. No início, o efeito é pequeno e, se o campo for removido, os domínios tendem a voltar para o arranjo desordenado. Se o campo for muito forte, entretanto, o momento magnético de cada domínio girará para apontar na direção de ~ como ilustrado pela figura 15. Essa situação corresponde ao ponto H, 2 na figura 13. Se o campo magnético for removido, a interação entre domínios vizinhos causará reorientação parcial, e a magnetização da amostra se reduzirá, como indicado pela figura. Os domínios tendem a voltar para um arranjo desordenado, como na figura 14. O retorno, porém, é um processo muito lento, porque a rotação do momento magnético de cada domínio aumenta a energia, antes de reduzi-la. É como fazer três pontos no basquete: a bola precisa subir antes de descer rumo à cesta. Na rotação de cada domínio há, portanto, uma barreira de energia a superar. Quanto maior for a magnetização, maior será a barreira. A agitação térmica pode oferecer suficiente energia, mas a concentração de energia térmica num ponto é um processo aleatório. O tempo necessário para que um dado domínio reúna a energia necessária para superar uma barreira alta é muito longo. Por isso, a situação retratada na figura 16, embora instável, pode manter-se por muitos anos. Os ímãs tendem a perder magnetização, mas a escala de tempo é enorme.. 19. ~ H. Figura 15: Domínios da figura 14 após aplicação de um campo magnético intenso. Corresponde ao ponto 2 do ciclo na figura 13.. Figura 16: Domínios parcialmente desordenados após remoção do campo magnético da figura 15. Corresponde ao ponto 3 do ciclo na figura 13..

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