UFPE – ´ AREA II – Prof. Fernando J. O. Souza MA129 (c´ alculo 4) – 2012.2 – turmas Q3 e Q6 autovalores e autofun¸ c˜ oes em problemas de contorno:
exemplos resolvidos – v. 1.0
Resolveremos, aqui, dois problemas de contorno que aparecem como pro- blemas auxiliares no m´etodo de separa¸c˜ao para EDPs em v´arias situa¸c˜oes e exemplos importantes. As respostas deles ser˜ao fornecidas no 3
oE.E.
Seja L um n´ umero real positivo. Para cada um dos itens abaixo, calcu- lar todos os poss´ıveis valores reais λ tais que o problema de contorno possui solu¸c˜ao n˜ao-trivial
1X(x) definida e cont´ınua em [0, L]. Para cada um destes calores, calcular encontrar tais solu¸c˜oes.
a.
X
′′(x) + λ X(x) = 0,
X(0) = 0 = X(L); b.
X
′′(x) + λ X(x) = 0, X
′(0) = 0 = X
′(L).
Obs. Em ambas os itens, podemos interpretar o problema de contorno como o problema de autovalores (no caso, −λ) para o operador linear D e
2= d
2dx
2e autofun¸c˜oes (autovetores X) associados a eles, submetendo-se `as condi¸c˜oes de contorno de cada item. O autoespa¸co associado a cada autovalor em quest˜ao consiste de todas as autofun¸c˜oes associadas a ele e da fun¸c˜ao 0 identicamente nula em [0, L], a qual ´e o vetor nulo no espa¸co vetorial em quest˜ao:
D e
2[X(x)] = −λ X(x).
RESOLU ¸ C ˜ AO
Lidaremos primeiro com a solu¸c˜ao geral da EDO comum aos itens. Da sua equa¸c˜ao auxiliar r
2+ λ = 0, temos 3 casos de acordo com o sinal do discriminante ∆ = −4λ, os quais correspondem aos 3 casos do sinal de λ.
Denotaremos a raiz principal de |λ| por µ = p
|λ| ≥ 0:
Caso λ = 0: r
2= −λ = 0 ∴ r = 0 com multiplicidade 2 ∴ X(x) = Ax + B, onde A, B ∈ R ∴ X
′(x) = A;
1
Ou seja, X(x) n˜ ao ´e a fun¸c˜ ao identicamente nula em [0, L].
1
Caso λ < 0: r
2= −λ = |λ| ∴ r = ±µ ∴ X(x) = Ae e
µx+ B e exp
−µx, onde A, e B e ∈ R . Este formato ´e inconveniente para a an´alise de autofun¸c˜oes e, por- tanto, tomaremos um conjunto fundamental (base) de solu¸c˜oes consistindo de uma fun¸c˜ao par e uma ´ımpar: X(x) = A cosh (µx) + B senh (µx), onde A, B ∈ R ∴ X
′(x) = µ [A senh (µx) + B cosh (µx)];
Caso λ > 0: r
2= −λ ∴ r = ±iµ ∴ X(x) = A cos (µx) + B sen (µx), onde A, B ∈ R ∴ X
′(x) = µ [−A sen (µx) + B cos (µx)].
a. Caso λ = 0: 0 = X(0) = A · 0 + B · 1 = B ∴ X(x) = Ax. J´a 0 = X(L)
= A L. Mas L > 0 ∴ A = 0 ∴ X ≡ 0 (n˜ao h´a autofun¸c˜ao);
Caso λ < 0: 0 = X(0) = A · 1 + B · 0 = A ∴ X(x) = B senh (µx). J´a 0 = X(L) = B senh (µL). Mas µ, L > 0 ∴ µL > 0, donde
2senh (µL) > 0 ∴ B = 0 ∴ X ≡ 0 (n˜ao h´a autofun¸c˜ao e, portanto, −λ n˜ao ´e autovalor);
Caso λ > 0: 0 = X(0) = A · 1 + B · 0 = A ∴ X(x) = B sen (µx). J´a 0 = X(L) = B sen (µL) ∴ B = 0 (solu¸c˜ao trivial, nula) ou sen (µL) = 0. Mas µL > 0 ∴ µL = nπ ∴ µ = nπ/L para n = 1, 2, 3 . . . Obtemos, assim, as so- lu¸c˜oes n˜ao-triviais, m´ ultiplas n˜ao-nulas de X
n(x) = sen nπx
L
, que s˜ao as
autofun¸c˜oes associadas ao autovalor −λ
n= nπ L
2, para n inteiro positivo.
b. Caso λ = 0: 0 = X
′(0) = A = X
′(L) ∴ X(x) = Bx. Obtemos, assim, solu¸c˜oes n˜ao-triviais, m´ ultiplos n˜ao-nulos de X
0(x) = 1, que s˜ao as autofun¸c˜oes associadas ao autovalor −λ
0= 0;
Caso λ < 0: 0 = X
′(0) = µ[A · 0 + B · 1] = µB. Sendo µ > 0, temos que B = 0 ∴ X(x) = A cosh (µx). J´a 0 = X
′(L) = µA senh (µL). Mas µ > 0 e, do mesmo modo que foi deduzido acima (no Item a), senh (µL) > 0 ∴ A = 0 ∴ X ≡ 0 (n˜ao h´a autofun¸c˜ao e, portanto, −λ n˜ao ´e autovalor);
Caso λ > 0: 0 = X
′(0) = µ[−A · 0 + B · 1] = µB. Sendo µ > 0, temos que B = 0 ∴ X(x) = A cos (µx). J´a 0 = X
′(L) = −µA sen (µL) ∴ A = 0 (e X ≡ 0 ) ou sen (µL) = 0. Mas µL > 0 ∴ µL = nπ ∴ µ = nπ/L para n = 1, 2, 3 . . . Logo, as solu¸c˜oes n˜ao-triviais s˜ao os m´ ultiplos n˜ao-nulos de X
n(x) = cos nπx
L
, autofun¸c˜oes associadas a −λ
n= nπ L
2, para cada inteiro positivo n.
2
