Quest˜ ao 1. Calcular e simplificar a solu¸c˜ ao expl´ıcita de:

universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2017.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turma q3

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EXERC´ICIO ESCOLAR v. 1.1 – 28/06/2017

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´e estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao ´e importante. Apenas solu¸c˜oes leg´ıveis e justificadas rece- ber˜ ao pontos: escrever os passos, detalhes e propriedades relevantes. Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circundar as respostas ! Integrais de convolu¸c˜ao devem ser calculadas! O valor de cada item est´a entre parˆenteses. Ex.: “1.a (1,0).”

Quest˜ ao 1. Calcular e simplificar a solu¸c˜ ao expl´ıcita de:

1.a (1,0). dy dt −

Z t 0

cos(v) y(t − v) dv = 1; y(0) = −6 1.b (1,0). dy

dt − 2y = δ(t − 3); y(0) = −5 1.c (1,0). d

y

dt

+ 3t dy

dt − 6y = 1; y(0) = 0, y

(0) = 0

Quest˜ ao 2. Sabendo que g ´e a fun¸c˜ ao de per´ıodo 4 determinada por g(x) = 3 −2x para −2 < x ≤ 2, calcular:

2.a (2,0). SF {g} (x), a s´erie de Fourier associada a g (com L = 2);

2.b (0,5). Os valores da s´erie do Item 2.a em x = 4 e x = 6 (Justificar!);

2.c (1,0).

∞

X

n=1

1

n

usando os resultados do Item 2.a e a identidade de Parseval.

Quest˜ ao 3 (3,5). Considere-se a EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:







u

(x, t) = 9 u

(x, t) para 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t > 0,

u(x, 0) = 7 sen(3 π x) − 12 sen(5 π x), u

(x, 0) = 30 sen(5 π x), 0 ≤ x ≤ 1.

3.a. Pelo m´etodo da separa¸c˜ ao de vari´ aveis, reescrever a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas como dois problemas (um em x e um t) e, a partir deles, calcular a s´erie formal que ´e solu¸c˜ ao da EDP com as condi¸c˜oes homogˆeneas (dicas abaixo);

3.b. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular os coeficientes de u(x, t) subme- tida a todas as condi¸c˜ oes do problema dado.

Dicas. Seguem-se bases para as autofun¸c˜ oes de Z

(z) = −λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (autovalor −λ) submetidas ` as respectivas condi¸c˜oes de contorno (n ´e inteiro).

Caso Z

(0) = 0 = Z

(L): Z

(z) = cos n π z L

, λ

= n π L

2

para n > 0; e Z

(z) = 1, λ

= 0 (para n = 0);

Caso Z (0) = 0 = Z (L): Z

(z) = sen n π z L

, λ

= n π L

2

para n > 0.

Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parˆ ametros e o n´ u- mero de cada regra no passo em que ´e utilizada. (Ex.: “Regra 01, a = 3”)

Regra f (t) = L

{F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f (t)}(s)

01 e

a ∈

(a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈

(0, +∞) s/(s

+ ω

)

03 sen(ωt) ω ∈

(0, +∞) ω/(s

+ ω

)

04 cosh (ωt) ω ∈

(|ω|, +∞) s/(s

− ω

)

05 senh(ωt) ω ∈

(|ω|, +∞) ω/(s

− ω

)

06 t

n ∈

(0, +∞) n! / s

07 t

r ∈ (−1, +∞) (0, +∞) Γ(r + 1) / s

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞)

e

Regra f (t) = L

{F (s)}(t) Const. F (s) = L{f (t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈

a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F(s/a) / a

11 e

f (t) a ∈

F (s − a)

12 t

f (t) n ∈

(−1)

F

(s)

13 f (t)

t se h´ a lim

t→0⁺

f (t) t

Z ₊∞ s

F(v) dv

14 f

(t) k ∈

s

F(s) −

k−1

X

=0

f

(0) s

15

Z t 0

f (u) du F (s)

s

16 u

(t) f (t) c ∈ (0, +∞) e

L{f (t + c)}(s) 17 u

(t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e

F (s) 18 Se f (t + P) = f (t) P ∈ (0, +∞) 1

1 − e

0

e

f (t) dt

19 (f ∗ g)(t) ←− Convolu¸c˜ao! F (s) G(s)

Regra 20 lim

s→+∞

F (s) = 0

21 lim

s→+∞

s F (s) = lim

t→0⁺

f (t)

22 lim

s→0⁺

s F (s) = lim

t→+∞

f (t)