APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO AULA 4 –Parte 1 MATEMÁTICA I

(1)

MATEMÁTICA I

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 10 de Maio 2012

AULA 4 – Parte 1

APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO

2

Custo Marginal:

Suponha que C(x) é o custo total de produção de x unidades de um produto por uma companhia. A função C é chamada de função custo. Se o número de itens

produzidos aumenta de x

₁

para x

₂

, então, o custo adicional será ∆∆∆∆ C = C(x

₂

) – C(x

₁

) e a taxa média de variação do custo em relação à variação da produção será:

será:

Quando ∆∆∆∆ x → → → → 0, obtém-se a variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos, e este custo é denominado de custo marginal. Assim:

∆ x

)

∆ x) C(x C(x

x x

) C(x )

C(x

∆ x

∆ C

₁ ₁

1 2

1

2

= + −

−

= −

(2)

Exemplo 1: Em uma fábrica a receita da produção de x produtos é dada por:

R(x) = -0.01x

²

+ 2x + 2000 O custo é dado por:

C(x) = 0,08x + 1000

Então:

(i) A receita marginal é:

R’(x) = -0,02x + 2

Seja x = 10, então, **R(10)=-0.01*(10)**

²

+ 2*(10) + 2000

= 2019. Se x = 11, qual será o incremento em R(x)?

**Basta verificar que: R’(10) = -0,02*(10) + 2 = 1,80 e ocorrerá um aumento de 1,80 na receita se a produção aumentar de uma unidade. De fato, R(11)** = -0.01*(10)

²

+ 2*(10) + 2000 = 2020,80.

4

O custo é dado por:

C(x) = 0,08x + 1000

LIMITES E DERIVADAS

(ii)O custo marginal é:

C’(x) = 0,08

Seja x = 10, então, **C(10)=0.08*(10) + 1000 = 1000,80.**

Se x = 11, qual será o incremento em C(x)?

Basta verificar que: C’(10) = 0,08 e ocorrerá um

aumento de 0,08 no custo se a produção aumentar de

uma unidade. De fato, C(11) = 0.08*(11) + 1000 =

1000,88.

(3)

A receita da produção de x produtos é dada por:

R(x) = -0.01x

²

+ 2x + 2000 O custo é dado por:

C(x) = 0,08x + 1000

(iii)O Lucro marginal é:

L’(x) = R’(x) - C’(x) = (-0,02x + 2) – (0,08)

= -0,02x + 1,92

Seja x = 10, então, L(10)= R(10) – C(10)= 2019 – 1000,80 = 1018,20. Se x = 11, qual será o incremento em L(x)?

Basta verificar que: L’(10) = -0,02(10) + 1,92 = 1,72 e ocorrerá um aumento de 1,72 no lucro se a produção aumentar de uma unidade. De fato, L(11) = R(11) – C(11) = 2020,80 – 1000,88 = 1019,92.

LIMITES E DERIVADAS

6

Definição:

Uma função tem máximo absoluto (global) em c se f(c)

≥≥≥≥ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio de f, e f(c) é dito valor máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em D se f(c) ≤ f(x) para todo x em D e f(c) é dito valor mínimo de f. Os valores máximo e mínimo de f são ditos valores extremos.

Máximo Global

y Máximo Global

y

f(x)

(4)

Definição:

Uma função f tem máximo local em c se f(c) ≥≥≥≥ f(x) quando x estiver na vizinhança de c. Analogamente, f tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x está na vizinhança de c.

Máximo local

y

Mínimo local

x y

f(x)

Vizinhança

LIMITES E DERIVADAS

8

y=x

²

y

Exemplo 2: Seja f(x) = x

²

, seu gráfico é dado por:

f(0)=0 é mínimo, pois

f(0) ≤ f(x) para qualquer x.

-1 0 1 x

1 para qualquer x.

Mínimo Global em x = 0

(5)

y=1-x

²

y

1 Exemplo 3: Seja f(x) = 1-x

²

, seu gráfico é dado por:

f(0)=1 é máximo, pois

f(0) ≥≥≥≥ f(x) para qualquer x.

-1 0 1 x

para qualquer x.

Máximo Global em x = 0

LIMITES E DERIVADAS

10

y=x

³

y

Exemplo 4: Seja f(x) = x

³

, seu gráfico é dado por:

A função f não tem ponto

de máximo nem de mínimo.

-1 0 1 x

nem de mínimo.

Não tem máximo global !

(6)

Definição:

Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f onde f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.

y f’(c

₁

) = 0

f’(c

₃

) = 0

f’(c

₂

) = 0

x f(x)

c

₁

c

₂

c

₃

c

₄

no. crítico

f’(c

₃

) = 0

f’(c

₄

) = 0

LIMITES E DERIVADAS

12

Máximo Global

y

Definição:

Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então, c é um número crítico de f.

f’(c

₁

) = 0 Máximo local

Mínimo local

Mínimo Global

x f(x)

c

₁

c

₂

c

₃

c

₄

no. crítico

f’(c

₁

) = 0

(7)

y=1-x

²

y

1 Exemplo 5: Para encontrar os números críticos de f(x) = 1-x

²

: f’(x) = 0 → → → → –2x = 0 → → → → x = 0

f(0)=1 é máximo, pois

f(0) ≥≥≥≥ f(x) para

-1 0

y=1-x

²

1 x

1 ^{f(0) ≥≥≥≥} _para ^f(x)

qualquer x.

Máximo Global em x = 0

14

Exemplo 6: Encontrar os pontos críticos da função de lucro definida no Exemplo 1.

L(x) = R(x) – C(x) onde :

R(x) = -0.01x

²

+ 2x + 2000 e C(x) = 0,08x + 1000

LIMITES E DERIVADAS

Para encontrar os pontos críticos usa-se L’(x)=0:

L’(x)=0 → → → → **-0,02x + 1,92 = 0 → → → → x = 1,92/0,02 → → → → x= 96 Para este valor de produção x=96 o lucro é dado por:**

L(96) = R(96) – C(96) = 2099,84 – 1007,68 = 1092,16

(8)

APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO AULA 4 –Parte 1 MATEMÁTICA I

MATEMÁTICA I

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

AULA 4 – Parte 1

APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO

Custo Marginal:

Suponha que C(x) é o custo total de produção de x unidades de um produto por uma companhia. A função C é chamada de função custo. Se o número de itens

produzidos aumenta de x

para x

, então, o custo adicional será ∆∆∆∆ C = C(x

) – C(x

) e a taxa média de variação do custo em relação à variação da produção será:

será:

Quando ∆∆∆∆ x → → → → 0, obtém-se a variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos, e este custo é denominado de custo marginal. Assim:

∆ x

)

∆ x) C(x C(x

x x

) C(x )

C(x

∆ x

∆ C

= + −

−

= −

Exemplo 1: Em uma fábrica a receita da produção de x produtos é dada por:

R(x) = -0.01x

+ 2x + 2000 O custo é dado por:

C(x) = 0,08x + 1000

Então:

(i) A receita marginal é:

R’(x) = -0,02x + 2

Seja x = 10, então, R(10)=-0.01*(10)

+ 2*(10) + 2000

= 2019. Se x = 11, qual será o incremento em R(x)?

Basta verificar que: R’(10) = -0,02*(10) + 2 = 1,80 e ocorrerá um aumento de 1,80 na receita se a produção aumentar de uma unidade. De fato, R(11) = -0.01*(10)

+ 2*(10) + 2000 = 2020,80.

O custo é dado por:

C(x) = 0,08x + 1000

LIMITES E DERIVADAS

(ii)O custo marginal é:

C’(x) = 0,08

Seja x = 10, então, C(10)=0.08*(10) + 1000 = 1000,80.

Se x = 11, qual será o incremento em C(x)?

Basta verificar que: C’(10) = 0,08 e ocorrerá um

aumento de 0,08 no custo se a produção aumentar de

uma unidade. De fato, C(11) = 0.08*(11) + 1000 =

1000,88.

A receita da produção de x produtos é dada por:

R(x) = -0.01x

+ 2x + 2000 O custo é dado por:

C(x) = 0,08x + 1000

(iii)O Lucro marginal é:

L’(x) = R’(x) - C’(x) = (-0,02x + 2) – (0,08)

= -0,02x + 1,92

= -0,02x + 1,92

Seja x = 10, então, L(10)= R(10) – C(10)= 2019 – 1000,80 = 1018,20. Se x = 11, qual será o incremento em L(x)?

Basta verificar que: L’(10) = -0,02(10) + 1,92 = 1,72 e ocorrerá um aumento de 1,72 no lucro se a produção aumentar de uma unidade. De fato, L(11) = R(11) – C(11) = 2020,80 – 1000,88 = 1019,92.

LIMITES E DERIVADAS

Definição:

Uma função tem máximo absoluto (global) em c se f(c)

≥≥≥≥ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio de f, e f(c) é dito valor máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em D se f(c) ≤ f(x) para todo x em D e f(c) é dito valor mínimo de f. Os valores máximo e mínimo de f são ditos valores extremos.

Máximo Global

y Máximo Global

y

f(x)

Definição:

Uma função f tem máximo local em c se f(c) ≥≥≥≥ f(x) quando x estiver na vizinhança de c. Analogamente, f tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x está na vizinhança de c.

Máximo local

y

Mínimo local

x y

f(x)

Vizinhança

Vizinhança

LIMITES E DERIVADAS

y=x

y

Exemplo 2: Seja f(x) = x

, seu gráfico é dado por:

Seja x = 10, então, **R(10)=-0.01*(10)**

**Basta verificar que: R’(10) = -0,02*(10) + 2 = 1,80 e ocorrerá um aumento de 1,80 na receita se a produção aumentar de uma unidade. De fato, R(11)** = -0.01*(10)

Seja x = 10, então, **C(10)=0.08*(10) + 1000 = 1000,80.**