Prof. Carlos R. Paiva Página 1 QUESTÃO 1
Duas torneiras A e B conseguem encher um tanque em 4 horas. As duas torneiras A e C, por seu turno, enchem o mesmo tanque em 5 horas. Sabe-se que a torneira B enche o tanque duas vezes mais depressa do que C. Quantas horas são necessárias para que a torneira C encha, isoladamente, o tanque?
QUESTÃO 2
Todos conhecem o teorema de Pitágoras: «Num triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a2+b2 =c2». A demonstração clássica de Euclides é tecnicamente elaborada. Porém, se tiver em conta a figura anexa, consegue apresentar uma prova que seja quase evidente do ponto de vista técnico?
QUESTÃO 3
Considere a figura anexa (da página seguinte) que representa uma semi-circunferência
ABC com o triângulo
A BC nela inscrito. Mostre que o ângulo θ é sempre um ângulo recto, i.e., que o triângulo em causa é sempre um triângulo rectângulo.a
a
a
a b
b b
b c
c c
c
Prof. Carlos R. Paiva Página 2 QUESTÃO 4
Considere o mapa xn+1=a xn (1−xn). Represente em MATLAB a evolução deste mapa para os seguintes valores do parâmetro a: 2.7, 3.2, 3.52, 3.97. Considere n∈ e 1≤ ≤n 30. Faça x1=0.1.
QUESTÃO 5
Elabore um programa de computador (e.g., em MATLAB) que desenhe um pentágono regular inscrito na circunferência x2+y2 =1.
QUESTÃO 6
As equações de Maxwell constituem, ainda hoje, as leis fundamentais que regulam a teoria electromagnética ao nível macroscópico. Uma das equações de Maxwell – a equação de Maxwell-Ampère – corresponde a uma generalização da lei de Ampère.
Esta generalização, elaborada por Maxwell, corresponde à introdução de um novo termo: a corrente de deslocamento. Na forma diferencial (ou local), tem-se:
lei de Ampère ,
eq. de Maxwell-Ampère D, D .
t
→ ∇× =
→ ∇× = + =∂
∂ H J
H J J J D
Explique a lógica desta generalização físico-matemática introduzida por Maxwell.
Explicite de que forma é que este novo termo JD (da corrente de deslocamento) permite
A C
B θ
Prof. Carlos R. Paiva Página 3 explicar fisicamente os seguintes factos: (i) a passagem da energia electromagnética, em regime não-estacionário, através de um condensador de planos paralelos contendo um dieléctrico perfeito (i.e., sem perdas); (ii) a radiação electromagnética proveniente de um dipolo eléctrico de Hertz excitado por uma corrente eléctrica (constante, ao longo do dipolo de comprimento λ).
QUESTÃO 7
Dê uma explicação sucinta para o facto do céu, em condições normais, ser azul. Note que o espectro do visível tem a constituição (em termos de comprimentos de onda) da figura anexa (na página seguinte: electromagnetic spectrum). Sugestão: A lei da dispersão de Rayleigh, segundo a qual se tem
4 2 6
2 2
0 2 2
1 cos 2 1
2 1 2
n d
I I R n
θ π λ
+ −
= + ,
descreve de que forma a intensidade óptica I da luz é dispersa por uma partícula de diâmetro d, em que R é a distância de observação em relação à partícula, θ o ângulo de dispersão, n o índice de refracção (da partícula) e λ o comprimento de onda da radiação incidente de intensidade I0 (considerada não-polarizada).
QUESTÃO 8
A série de Maclaurin (i.e., a série de Taylor em torno da origem) para a função
( ) ln 1( )
f x = +x permite escrever
( ) ( ) 1
1
ln 1 1 n n
n
x x
n
∞ +
=
+ =
∑
− .Esta série converge no intervalo − < ≤1 x 1. No caso particular em que x=1, obtém-se
( ) 1
1
ln 2 1
n
n
S n
∞ +
=
= =
∑
−que é a série harmónica alternada. Assim, tem-se
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 S= − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + pelo que daqui se infere, então, que
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 7 15 8 17 9 19 10 S= − + − + − + − + − + − + − + − + − + − +
Prof. Carlos R. Paiva Página 4 Logo, através de um simples reordenamento de termos, ainda se pode reescrever o último desenvolvimento na forma
( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
2 2 1
2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 S = − − + − − + − − + − − + − − +
ou, calculando os termos entre parênteses, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 S = − + − + − + − + − +
2S S
∴ = .
Prof. Carlos R. Paiva Página 5 Porém, como S ≠0 (uma vez que, tal como se viu, S=ln 2), resulta da última equação a identidade FALSA:
2 1= .
Identifique o erro cometido neste raciocínio.
QUESTÃO 9
Qualquer antena na sua zona distante emite um campo electromagnético que, basicamente, varia de forma inversamente proporcional à distância R do observador em relação à antena (considerada como objecto pontual com radiação essencialmente isotrópica). Estamos, naturalmente, a desprezar a existência de perdas no meio.
Explique esta variação do campo com a distância R.
QUESTÃO 10
Considere um número qualquer de três dígitos, e.g., N =547. Escreva este número invertendo a ordem dos dígitos, i.e., N N′ =745. Faça a subtracção destes dois números: P N N= − ′ =745 547 198− = . Some o número assim obtido com o número
891
P′ = que resulta, novamente, da inversão da ordem dos dígitos de P: 198 891
Q P P′= + = + . A soma Q é sempre igual a Q=1089, independentemente do número inicialmente escolhido (experimente alguns casos). Explique porquê.
109 901 792 297
792 297 1089
N N P N N P
Q P P Q
′ ′ ′
= = = − = =
∴ = + ′= + → =
Indique se existe alguma excepção a esta regra e explique a razão da sua ocorrência.
QUESTÃO 11
Num circuito RLC série é aplicada uma tensão U t U( )= 0cos( )ωt . Determine a frequência ω ω= (R L C, , ) para a qual, em regime estacionário, a amplitude da corrente
( )
I t que atravessa o circuito é máxima.
QUESTÃO 12
Determine as trajectórias ortogonais da família de parábolas x c y= 2.
Prof. Carlos R. Paiva Página 6 QUESTÃO 13
Considere o campo escalar Φ( )x y, =xexp−
(
x2 +y2)
. Determine o gradiente de Φ e a derivada direccional ao longo da direcção r e e e= + +1 2 3. Calcule, em particular, essa derivada na origem. Calcule, ainda, os máximos e os mínimos de Φ. Faça um programa, em MATLAB, que represente Φ( )x y, e ainda as curvas de nível e o gradiente.QUESTÃO 14
Use a plataforma computacional MATLAB para simular numericamente a solução do sistema não-linear de equações diferenciais (conhecido por atractor estranho de Lorenz, que constitui um objecto fractal e ilustra o chamado efeito borboleta)
( )
( )
d x y x dt
d y x z y
dt
d z xy z dt
σ ρ
β
= −
= − −
= −
para o caso em que σ =10, ρ=28 e β =8 3. Considere como valores iniciais, para t=0, os seguintes valores: x( )0 =0, y( )0 1= , z( )0 =0. Represente a solução y t( )
para 0≤ ≤t 70. Represente, ainda, as correspondentes projecções da órbita nos planos
(x y, ), ( )x z, e (y z, ). A resolução deste sistema por Edward N. Lorenz (Journal of the Atmospheric Sciences, Vol. 20, pp. 130-141, 1963) foi um dos principais detonadores do interesse contemporâneo pelo estudo do caos e dos sistemas dinâmicos caóticos.
Sugestão: Use o programa ODE45 em MATLAB que aplica o método de Runge-Kutta.
QUESTÃO 15
Na sua teoria da relatividade restrita, Einstein considerou dois postulados, a saber:
P1 – Todos os referenciais de inércia são equivalentes para a descrição das leis da física.
P2 – A velocidade da luz (no vácuo) é a mesma em todos os referenciais de inércia.
Prof. Carlos R. Paiva Página 7 O postulado P1 é conhecido por princípio da relatividade. Daqui resulta que, quando se considera uma onda electromagnética unidimensional descrita pela equação das ondas, vem:
( )
( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
referencial , 1 0 ,
referencial , 1 0 .
S x ct
x c t
S x c t
x c t
∂ Φ ∂ Φ
→ − =
∂ ∂
∂ Φ ∂ Φ
→ − =
∂ ∂
A forma das duas equações de onda é a mesma nos dois referenciais (de acordo com P1). Nos dois referenciais, é c c= (de acordo com P2), tendo-se
0 0
a luz é um fenómeno electromagnético c 1
→ = ε µ .
Mostre que, se admitir que S se afasta de S com uma velocidade constante v e que
( )
( )
1 2
x x t
t t x
γ α
γ β
= −
= −
então tem-se necessariamente (transformação de Lorentz)
( )
2
2 2 1 2
1 2
, ,
1 .
v v c
v c α
β
γ γ γ −
= =
= = = −
