1
Motivação
1.1
Teorema fundamental da álgebra
Vivamos num mundo sem os complexos. Um dia, resolvendo um problema real do nosso mundo, nos de-paramos com a equação
3x2+ 1 = 0 : (1)
Fácil ver que, neste nosso mundo onde só existem os reais, esta equação não possui soluções. Obviamente, a incapacidade de tratar uma expressão matemática qualquer, além de frustrante, implica numa série de limitações práticas no tratamento de problemas do mundo real.
A inexistência de soluções reais da equação (1) é uma manifestação do fato do conjunto dos números reais não formar um corpo algebricamente fechado. Um corpo F diz-se algebricamente fechado se qualquer polinômio de uma variável de grau maior ou igual a 1, com coe…cientes em F , tiver pelo menos uma raiz em F .
Para não corrermos mais o risco de obter equações polinomiais “intratáveis” de…nimos então um novo conjunto maior, dos quais os R fazem parte, mas que qualquer polinômio neste novo conjunto possua soluções que também sejam elementos deste conjunto. Este processo é chamado de fechar algebricamente o conjunto. Fazendo isso com os reais, o que se obtém é precisamente o conjunto dos números complexos C. Disse então que C é o fecho algébrico de R. Esta característica dos números complexos é uma conseqüência do Teorema fundamental da álgebra.
Theorem 1 Qualquer polinômio p(z), z 2 C, com coe…cientes complexos e de grau n 1 tem alguma raiz complexa.
Em outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p(z) = 0 possui n soluções não necessariamente distintas.
1.2
Teorema da identidade
O teorema da identidade (identity theorem) para funções holomor…cas (funções de variáveis complexas difer-enciáveis) estabelece que:
Theorem 2 Dada duas funções holomor…cas f e g de…nidas num aberto (conexo) D C, se f = g em alguma vizinhança de z contida em D, então f = g em D.
Assim, uma função holomor…ca está completamente determinada uma vez conhecido seu valor numa vizinhança arbitrariamente pequeno. Esta propriedade não é válida para funções reais diferenciáveis. É graças à propriedade acima que podemos tão facilmente estender uma função real para o plano complexo,
pois a existência da diferencial de primeira ordem implica na existência das diferenciais de qualquer ordem. Assim, mostrando-se que uma função complexa possui uma primeira derivada, automaticamente se mostra que ela é in…nitamente diferenciável e, conseqüentemente, que ela é uma função analítica (pode ser expandida em série de Taylor).
O fato de uma função possuir uma expansão em série de…nida em todo seu domínio é de fundamental importância tanto em matemática quanto em física. Assim, dada uma certa função real f (x), se conseguirmos entender esta função para o plano complexo, i.e., encontrar uma função diferenciável f (z) de…nida em C que para Im z = 0 seja igual a f (x), esta função será única (pelo teorema da identidade) e analítica.
Assim, o estudo das propriedades de funções com variáveis complexas é de fundamental importância não apenas teóricos, mas também práticos.
2
Números complexos
Um número complexo é um mapa z : R2 ! R2 onde de…nimos duas operações (+; ) com as seguintes
propriedades algébricas
zi z (xi; yi) ; xi; yi2 R ;
z1(x1; y1) + z2(x2; y2) z (x1+ x2; y1+ y2) = z2+ z1 ;
z1(x1; y1) z2(x2; y2) z1z2 z (x1x2 y1y2; y1x2+ x1y2) = z2z1 :
Chamemos o conjunto de todos os z de C. Vamos ver porque esta escolha de operações, aparentemente arbitrária, é tão importante. Das de…nições acima é fácil ver que
z1(x; y) + z2(0; 0) = z1(x; y) ; _x; y ; (2)
z1+ (z2+ z3) = (z1+ z2) + z3; (3)
_ z1(x; y) 9 z2( x; y) j z1+ z2= z (0; 0) : (4)
A existência do elemento z0= z(0; 0) (2) e as propriedades (3) e (4) acima fazem deste conjunto um grupo
pela primeira operação binária (a soma, +). O fato da soma ser comutativa, faz deste um grupo abeliano. Além disso, podemos ver também que
z1(x; y) z2(1; 0) = z (x; y) ; _x; y ; (5)
z1(z2z3) = (z1z2) z3 ; (6)
z1(z2+ z3) = z1z2+ z1z3 : (7)
A existência da segunda operação binária (produto, ), do elemento z(1; 0) (5) (identidade do produto) acima e da associatividade do produto (6), fazem deste conjunto um monóide. Todas estas propriedade, juntamente
com propriedade distributiva da multiplicação (7), fazem deste conjunto um anel. A comutatividade da multiplicação faz deste um anel abeliano.
Finalmente, todas estas propriedades, mais o fato do conjunto C z (0; 0) formarem um grupo pela multiplicação, devido às propriedades seguintes
z1(z2z3) = (z1z2) z3 ; _ z1(x; y) ; x2+ y26= 0 9 z2 x x2+ y2; y x2+ y2 j z1z2= z (1; 0) ;
fazem deste anel abeliano um corpo.
É pelo fato de C ser um corpo que podemos fazer com z 2 C tudo que fazemos com os números reais. Assim, polinômios estão bem de…nidos, bem como as séries in…nitas. Destarte podemos de…nir funções trigonométricas, exponenciais etc. E, o mais importante, podemos procurar pelo inverso de todas estas funções.
2.1
Realização ou representação de
C
Vamos começar de…nindo o seguinte símbolo para nos referirmos aos elementos de C: z (x; y) x + iy ; x; y 2 R ;
onde x é chamado parte real de z (x = Re z) e y parte imaginária (y = Im z). É importante ter em mente que a quantidade acima é apenas um símbolo, não representando nenhuma soma, ou qualquer coisa parecida.
Para efetivamente trabalharmos (manipularmos) este símbolo, precisamos encontrar uma de…nição baseada em entidades que já saibamos trabalhar. Ou seja, precisamos realizar esta quantidade em algum espaço con-hecido. Vejamos três possibilidades para esta realização.
2.1.1 Representação matricial
Podemos de…nir o símbolo introduzido acima como uma matriz x + iy x y
y x !
;
e especi…carmos que a soma e o produto deste símbolo respeita a álgebra usual de matrizes. Exercise 3 Veri…que que o símbolo assim de…nido obedece às propriedades de soma e multiplicação de…nidas na seção anterior.
Agora que temos uma representação concreta para o nosso símbolo, podemos efetuar cálculos completos. Por exemplo, podemos calcular ei =2:
ei = exp " 0 =2 =2 0 !# = 1 X n=0 1 n! 0 =2 =2 0 !n = 1 X n=0 ( =2)n n! 0 1 1 0 !n = 1 0 0 1 ! + =2 0 1 1 0 ! +( =2) 2 2! 0 1 1 0 !2 +( =2) 3 3! 0 1 1 0 !3 + ::: observando que 0 1 1 0 !2 = 1 0 0 1 ! ; 0 1 1 0 !3 = 0 1 1 0 ! ; ::: temos ei = 1 0 0 1 ! + =2 0 1 1 0 ! ( =2)2 2! 1 0 0 1 ! ( =2)3 3! 0 1 1 0 ! + ::: = 1 0 0 1 ! 1 X n=0 ( 1)n( =2)2n (2n)! + 0 1 1 0 ! 1 X n=0 ( 1)n( =2)2n+1 (2n + 1)! = 1 0 0 1 ! cos 2 + 0 1 1 0 ! sin 2 = 0 1 1 0 ! = 0 + i1 i : Da mesma forma ei2 = 1 0 0 1 ! = 1 + 0i 1 :
Observe que o símbolo 1 da igualdade acima não tem o mesmo signi…cado (apesar de compartilhar as mesmas propriedades) do símbolo 1 como elemento dos reais. Mais especi…camente, o nosso 1 aqui é uma matriz. Exercise 4 Podemos escrever ez1+z2 = ez1ez2?
De forma geral, ex+iy = ex " 1 0 0 1 ! cos y + 0 1 1 0 ! sin y # = ex cos y sin y sin y cos y ! = ex(cos y + i sin y) : (8)
Exercise 5 Obtenha a relação acima. 2.1.2 Representação algébrica
Outra forma de se representar um elemento de C (talvez a mais conhecida) é a…rmar que estas quantidades respeitam a álgebra usual dos reais acrescida da seguinte de…nição
i:i 1 :
Exercise 6 Veri…que que esta de…nição reproduz as operações de soma e produto de…nidas na seção anterior. A veri…cação da compatibilidade desta de…nição com a anterior é imediata
i:i = 0 1 1 0 ! 0 1 1 0 ! = 1 0 0 1 ! = 1 + 0:i = 1 : 2.1.3 Representação geométrica
Uma terceira forma de se representar os elementos de C é a…rmar que estes são pontos no plano x y e identi…car a operação de soma com a álgebra (usual) dos vetoresque partem da origem até o ponto x; y. Neste caso é conveniente utilizar a representação polar deste ponto
z = r (^x cos + ^y sin ) ; r2= x2+ y2 ; y
x = tan : Neste caso costuma-se ainda introduzir a notação
^
y i ; ^x 1 =) z = r (cos + i sin ) : Usando o resultado (8), que deve ser válido em qualquer representação, temos
z = r (cos + i sin ) = rei :
Nesta notação r é a magnitude de z (r = jzj) e a fase ou argumento ( = arg z).
A operação de múltimplicação de dois números z1= r1ei 1 e z2= r2ei 2 é identi…cada como o aumento da
magnitude de z1por um fator r2seguido de uma rotação deste vetor de um ângulo 2. O que na representação
polar possui uma forma bastante simples
Exercise 7 Veri…que que a introdução dos símbolos acima é compatível com a representação algébrica. Todas as representações apresentadas são, obviamente, equivalentes. A utilização de uma certa represen-tação depende apenas das conveniências do problema.
2.2
Funções
Uma função W (z) de uma variável complexa é também um número complexo, cuja parte real U = Re W e imaginária V = Im W dependem, na nossa representação geométrica, da posição de z no plano x y. Usando as notações introduzidas anteriormente escrevemos
W (z) = U (x; y) + iV (x; y) :
Podemos escolher duas diferentes representações grá…cas para W . A primeira é representar U (x; y) e V (x; y) como superfícies sobre o plano complexo x y. Esta representação, que é útil em certas ocasiões, possui o inconveniente de não explicitar a relação das duas funções U e V como elementos de C.
Outra possibilidade é representar o próprio número complexo W como um ponto no plano U V . Neste último caso, a função W (z) fornece um mapa (R2 ! R2) do plano z = x y no plano W = U V e, para
cada ponto no plano z, pode corresponder mais de um valor ponto no plano W . Exemplo
W (z) = z2= (x + iy)2= x2 y2+ 2ixy = r2e2i ; U = x2 y2; V = 2xy :
O semi-circulo no plano z é mapeado num círculo no plano W e a linha x = 1 é mapeada na parábola 4U = 4 V2.
Exercise 8 O que acontece com um circulo de raio R centrado em (a; b)? Rint: use a equação do circulo em coordenadas polares
Esta …gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (2nd. Edition Addison Wesley, 1971)
Exercise 9 Estude a função 1=z.
No exemplo W (z) = z2 os pontos z e z são mapeados no mesmo ponto W . Isto implica em problemas
na de…nição do mapa inverso
W (z) = z1=2=prei =2 : Este é um exemplo de uma função multivalente.
Uma vez que na função acima z= arg z = (arg W ) =2 = W=2, os pontos z e z+ 2 , que representam
os mesmos pontos no plano z, são dois pontos distintos W e W + . Assim, uma curva fechada no plano
Figure 1: Esta …gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (2nd. Edition Addison Wesley, 1971)
ponto com esta característica é chamado ponto de rami…cação1. Por exemplo, a função W = pz a tem
um ponto de rami…cação em a. Assim as funções multivalentes estarão bem de…nidas apenas se não circularmos um ponto de rami…cação. Para garantir isso, traçamos uma linha deste ponto até o in…nito, chamada linha de rami…cação (ou corte de rami…cação) e, ao trabalharmos com a função, concordamos em nunca cruzar esta linha. No caso da rami…cação na origem é conveniente tomar como linha de rami…cação o semi-eixo real positivo ou negativo.
O plano z cortado desta forma é chamado uma folha de Riemann da função em consideração. Esta folha é mapeada de forma unívoca numa parte do plano W (no nosso caso a metade deste plano) chamada ramo da função. A outra metade do plano W (o outro ramo da função) também é mapeada em todo o plano z.
Podemos evitar o problema da multivalência do mapa (ou da “função”) dizendo que existem várias cópias (ou folhas) do plano z e, ao cruzar a linha de rami…cação, passamos de uma folha para outra. As curvas se comportam como se estas folhas fossem ligadas na linha de rami…cação. As folhas assim ligadas formam uma superfície de Riemann. Esta superfície mapeia sem ambiguidade todo o plano W . Agora uma curva fechada no plano W é também uma curva fechada na superfície de Riemann S.
Então, quando escrevemos W (z) = z2, precisamos ser bem claros se estamos falando de W : C ! C ou
W : C ! S. Estas são duas funções diferentes. A segunda possui uma inversa (raiz quadrada), enquanto a segunda não.
Exercise 10 Onde está o problema na seguinte “demonstração” 1 =p1 =pei2 = ei2
2 = ei = 1 ???
O número de folhas ligadas de…ne a ordem do ponto de rami…cação.
Outras raizes (r1=nei =n) podem ser descritas da mesma forma. A função W (z) = z1=3 necessita de 3 folhas e tem a origem como ponto de rami…cação de ordem 3.
Exercise 11 Qual o ponto de rami…cação e a ordem deste ponto para a função W (z) = ln z? No caso de funções com mais de um ponto de rami…cação, por exemplo,
W (z) =p(z a) (z b) ;
temos diferentes formas de traçar a linha de rami…cação. Na função acima podemos construir duas linhas partindo uma de a e outras de b até o in…nito, ou podemos traçar apenas uma linha de a até b. A forma das superfícies de Riemann dependem desta escolha.
Esta descrição mostra que, apesar de todos os benefícios vindos da extensão das funções para o plano complexo, este procedimento não é uma tarefa trivial nem mesmo para um caso simples como x2.
2.3
Diferenciação
Para uma função f : R ! R ser diferenciável num ponto x 2 R, os seguintes limites f0(x) = lim
dx! 0
f (x + dx) f (x)
dx ;
devem existir e serem iguais. Por exemplo, a função
f (x) = x jxj ;
não tem o limite limx! 0f (x) de…nido no ponto x = 0. Outro exemplo, a função (contínua)
f (x) = jxj não é diferenciável em x = 0, porque
lim dx!+0 f (0 + dx) f (0) dx = 1 ; dxlim! 0 f (0 + dx) f (0) dx = 1 :
assim analisar o limite
lim
z!wf (z) = u ; w; z; u 2 C :
A única diferença entre este limite e o conceito usual na reta real e que, sendo w um ponto no plano (f : R2 ! R2), existem várias formas diferentes de se aproximar do ponto w. Um problema semelhante ao
que ocorre em uma dimensão, onde os limites pela direita e pela esquerda podem ser diferentes. Quando isso ocorre dizemos que este limite não existe. Da mesma forma, se o limite para w depender do caminho escolhido no plano, dizemos que o limite não existe.
Uma função f é diferenciável num ponto z se existir o limite f0(z) = lim dz!0 f (z + dz) f (z) dz df dz (9)
e este for independente do caminho pelo qual dz se aproxima de zero. Uma função é analítica2 (regular
ou holomor…ca) numa região E se for diferenciável nesta região. Praticamente toda a teoria de funções de uma variável complexa se aplica apenas a funções analíticas.
Exemplo: a função f (z) = jzj2. Precisamos analisar jz + dzj jzj dz = (z + dz) (z + dz) zz dz = zz + zdz + zdz + dzdz zz dz = zdz + zdz + dzdz dz = z dz dz+ z dz dz + dz dz dz = zdz dz+ z + dz Fazendo dz ! 0 pelo eixo real dz = dx = dz
df dz = z
dx
dx+ z + dx = z + z Fazendo dz ! 0 pelo eixo imaginário dz = idy = dz
df dz = z
( idy)
idy + z + dz = z + z Para ser diferenciável devemos ter
z + z = z + z =) z = z :
Esta função só pode ser difereciável em z = 0. O que é verdade, porque neste ponto df
dz z=0= 0 dz
dz+ 0 + dz = dz = 0 ;
independente do caminho. Assim, f (z) = jzj2é diferenciável apenas no ponto z = 0 e não é analítica em nenhuma região.
Da seção anterior temos que a região de regularidade de uma função multivalente deve ser de…nida numa superfície de Riemann.
Pode-se provar (Knopp Vol.I) que se uma função f (z) possui uma derivada numa região, esta derivada é necessariamente contínua. Assim, uma função f (z) sempre pode ser expandidada numa série de Taylor em torno de um ponto z0numa região onde esta função é analítica
f (z) = a0+ a1(z z0) + ::: + an(z z0)n ; a0= f (z0) ; an = 1 n!f (n)(z 0) : (10)
O raio de convergência desta expansão é um circulo cujo raio se estende até o ponto onde a função é singular, i.e., um ponto onde a função deixa de ser analítica. O contrário também é verdade, qualquer série de potência convergente numa região representa uma função analítica nesta região.
Se uma função W (z) = U (x; y) + iV (x; y) é analítica e fazemos dz = dx + idy em (9) podemos fazer dz ! 0 pela horizontal (dy = 0) ou pela vertical (dx = 0). Se a função é analítica devemos obter o mesmo limite (9) para estas duas variações de dz,
dW dz = @W @x dx dz + @W @y dy dz ; dx dz = 1 ; dy dz = i dW dz dx=0= @W @y i dW dz dy=0= @W @x ) =) @W@y i = @W @x ; (11)
se usarmos agora a nossa representação matricial de W
W (z) = U + iV = U V V U ! ; @W @x = @U @x @V @x @V @x @U @x ! @W @y i = @U @y @V @y @V @y @U @y ! 0 1 1 0 ! = @V @y @U @y @U @y @V @y ! temos @W @y i = @W @x =) @U @x @V @x @V @x @U @x ! = @V @y @U @y @U @y @V @y ! o que fornece @U @y = @V @x ; @V @y = @U @x : (12)
Estas são as equações diferenciais de Cauchy-Riemann (CR) e fornecem condições necassárias e su…cientes para uma função W = U + iV ser analítica numa região, desde que as quatro derivadas parciais existam e sejam contínuas.
De outra forma, as condições de CR são necessárias, mas não su…cientes, para estabelecer a diferenciabili-dade da função. Como mapas de R2 ! R2estas funções são diferenciáveis se as derivadas parciais existirem e forem contínuas, mas como mapas de C ! C, estes mapas, além de serem contínuos, precisam satisfazer as condições de CR.
É muito importante compreender o signi…cado das igualdades acima. Como vimos anteriormente, toda função complexa pode ser vista como um mapa de R2 ! R2. Existe uma in…nidade de mapas que são
diferenciáveis como funções reais (todas as derivadas parciais acima existem), mas que não satisfazem as relações acima. Estes mapas não são funções complexas diferenciáveis. Para que exista a derivada de uma função complexa (e ser chamada de diferenciável) esta função tem de obedecer as equações de Cauchy-Riemann. Está é uma restrição bastante forte e implica que várias funções reais diferenciáveis não serão funções complexas diferenciáveis.
Exemplo: f (z) = jzj2= x2+ y2=) U = x2+ y2 ; V = 0 @U @x = 2x ; @U @y = 2y ; @V @x = @V @y = 0
as funções U e V acima são diferenciáveis (como funções reais) em qualquer ponto. Mas as condições cd CR fornecem @U @y = @V @x =) 2y = 0 ; @V @y = @U @x =) 2x = 0 ;
Que só são satisfeitas na origem x = y = 0. Vemos (novamente) que a função f (z) = jzj2só é diferenciável no sentido complexo (f : C ! C) na origem, mesmo que como uma função de R2 ! R2 ela seja diferenciável
em todos os pontos.
Assim, se a derivada de uma função W = U + iV existe num ponto z0, as derivadas parciais de U e V
existem neste ponto, obedecem a condição de CR, então a derivada W0 pode ser calculada como (11) W0(z0) = dW dz z=z0= @W @x = @ (U + iV ) @x = @U @x + i @V @x : (13) Ou, usando CR, W0 =@U @x i @U @y : (14)
Dada uma função complexa diferenciável, valem também as regras usuais de diferenciação de somas e produtos de funções. Todos os argumentos usados para demonstrar estas regras para funções reais continuam válidos.
Exercise 12 Veri…que se e onde é diferenciável a função: W = z2. Resp:
z2 = (x + iy) (x + iy) = x2 y2+ 2ixy U = x2 y2 ; V = 2xy @U @x = 2x ; @U @y = 2y ; @V @x = 2y ; @V @y = 2x
Esta função é diferenciável em todos os pontos e, consequentemente, analítica em qualquer região. Exercise 13 A conjugação complexa z (ou z ) de um número z de…nida por
z = x + iy =) z = z x iy = re i Veri…que se e onde é diferenciável a função: W = z .
Exercise 14 Veri…que se e onde é diferenciável a função: W = jzj2= zz . Resp: U = x2+ y2 ; V = 0
@U @x = 2x ;
@U @y = 2x
esta função só pode ser analítica na origem. Para veri…car se esta função é realmente analítica na origem, precisamos veri…car se as derivadas parciais são contínuas. O que de fato é verdade. Então, a função acima é diferenciável na origem. Mas esta função não é analítica em nenhuma região.
Como vimos, a última função é uma função real perfeitamente diferenciável. Como um mapa R2 ! R2
W = U + iV = x2+ y2, U = x2+ y2; V = 0 ambas as funções perfeitamente diferenciáveis. Assim, a
condição de diferenciação complexa é algo mais forte que a diferenciação real.
Se uma função f : C ! C satisfaz as equações de CR e as derivadas parciais existem e são contínuas, a derivada complexa desta função existe e é dada por
f (z) = U (x; y) + iV (x; y) =) f0(z) = @U @x + i
@V @y : Exercise 15 Mostre que, em coordenadas polares, as condições de CR se tornam
e que a derivada de uma função pode ser calculada como: f0(z) = @U @x + i @V @y = (cos i sin ) @U @r + i @V @r : Resp: Veja o livro do Churchil pg 65.
De…nition 16 Se f : C ! C possui diferencial complexa em todos os pontos num aberto centrado em z0,
dizemos que f é analítica, ou holomor…ca, em z0.
De…nition 17 Uma função f : C ! C é dita inteira (entire function) se for analítica em qualquer ponto de C .
De…nition 18 Uma função f : C ! C possui uma singularidade no ponto z1 se ela não for analítica neste
ponto. Isto inclui o caso em que f não está de…nida em z1.
Proposition 19 Se f e g são funções analíticas num domínio E então: 1. f + g é analítica em E
2. f g é analítica em E
3. wf é analítica em E para todo w complexo ou real 4. f g é analítica em E
5. f =g é analítica em E exceto nos zeros de g.
Proposition 20 Se f; g : C ! C são funções analíticas, então a composta f g : C ! C é analítica. Exercise 21 Veri…que que se f (z) e f (z) são ambas analíticas numa região D, então f é constante em D. Resp: pg 73 Churchill.
3
Funções harmônicas
Como vimos, a característica de uma função ser diferenciável complexa é uma restrição bastante forte nesta função (bem mais forte que diferenciabilidade real). Estas condições estão relacionadas com a equação de Laplace. A equação de difusão do calor e a equação de onda, no case estacionário se reduz a equação de Laplace. Como veremos nos exemplos a seguir, esta equação possui uma in…nidade de aplicações, em especial, no eletromagnetismo e na dinâmica dos ‡uidos.
Uma função H : Rn ! R é chamada harmônica num certo domínio D se suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas em D e H satisfaz a equação diferencial
n X i=1 @2H @x2 n = 0
conhecida como equação de Laplace. No que segue, estamos interessados no caso em duas dimensões H : R2 ! R,
Hxx(x; y) + Hyy(x; y) = 0 ; (15)
Por exemplo, a distribuição de calor num corpo u obedece a equação @u
@t r
2u = 0
no regime estacionário (@u=@t = 0) em duas dimensões temos a equação (15).
Funções harmônicas possuem a notável propriedade de se você traçar um círculo ao redor de um ponto, e encontrar o valor médio da função dentro deste círculo, este valor é sempre igual ao valor da função no centro deste círculo. Desde que a função esteja de…nida dentro de todo o círculo e em sua fronteira. Esta propriedade pode ser usada para resolver, de forma iterativa, o problema de Dirichlet, i.e., …xada a condição na fronteira, qual o valor da função numa região.
Este efeito pode ser observado numa chapa quente.
Vejamos como estas funções se relacionam com as funções analíticas.
Theorem 22 Se uma função f (z) = u (x; y) + iv (x; y) é analítica, então as funções u e v são harmônicas. Assumindo que f é analítica em D, então nesta região ela deve obedecer às condições de CR
@u @x = @v @y ; @u @y = @v @x (16)
diferenciando ambos os lados destas igualdades em relação a x temos @2u @x2 = @2v @x@y ; @2u @x@y = @2v @x2
Da mesma forma, diferenciando com relação a y temos @2u @y@x = @2v @y2 ; @2u @y2 = @2v @y@x Lembrando que a continuidade da derivada parcial garante que
@2u @y@x = @2u @x@y ; @2v @y@x= @2v @x@y
temos @2u @x@y = @2v @x2 = @2u @y@x = @2v @y2 =) @2v @y2 + @2v @x2 = 0 ; @2u @y2 = @2v @y@x = @2v @x@y = @2u @x2 =) @2u @x2 + @2u @y2 = 0 :
Ou seja u e v são harmônicos em D.
Por outro lado, se duas funções u e v são harmônicas em D e suas derivadas parciais satisfazem às condições de CR, ou seja, é possível construir uma função complexa analítica u + iv com estas funções, então v é chamada de harmônica conjugada de u.
Theorem 23 Uma função f (z) = u (x; y) + iv (x; y) é analítica em D apenas se v é a harmônica conjugada de u.
É importante notar que se v é a harmônica conjugada de u, isso não garante que u é a harmônica conjugada de v (observe que as condições de CR (16) não são simétricas em u e v).
Por exemplo, as funções
u (x; y) = x2 y2 ; v (x; y) = 2xy :
Enquanto a função
f = u + iv = z2
é analítica. A função
f = v + iu ; não é analítica em nenhum ponto.
Exercise 24 Veri…que a a…rmação acima.
É possível mostrar (ver Churchill) que se uma função u é harmônica em D, então ela é a parte real de alguma função analítica em D. Além disso, se a harmônica conjugada existe, ela é única a menos de uma constante aditiva.
Assim, dada uma função harmônica, podemos sempre construir uma função analítica. Por exemplo, u (x; y) = y3 3x2y
é harmônica. Pela primeira relação de CR (16) sua harmônica conjugada deve obedecer @u @x = @v @y =) @v @y = 6xy =) v (x; y) = 3xy 2+ (x)
usando agora a segunda relação @v @x = 3y 2+ 0(x) = @u @y = 3y 2 3x2 =) 3y2 0(x) = 3y2 3x2=) 0(x) = 3x2=) (x) = x3+ C
Assim v (x; y) = 3xy2+ x3+ C é a harmônica conjugada de u e a seguinte função é analítica
f (z) = y3 3x2y + i 3xy2+ x3+ C :
Utilizando as propriedades das funções analíticas é possível concluir uma série de propriedades para as funções harmônicas quando estas são conjugadas. Por exemplo, se f é analítica então
f = u + iv =) f2= u2 v2 + i (2uv)
também será. Assim o produto e a diferença do quadrado de duas funções harmônicas conjugadas também são funções harmônicas.
Remark 25 O produto de duas funções harmônicas não é em geral uma função harmônica.
Remark 26 Toda solução da eq. de Laplace pode ser expandida em série de potências numa região sem singularidades.
Encontrar soluções da equação de Laplace (e de equações diferenciais em geral) não é uma tarefa triv-ial. Por isso as soluções conhecidas são compiladas em tabelas que possam ser consultadas por quem deseje resolver um determinado problema prático. Características e o método de construção da conjugada de-scrito acima permite, a partir do conhecimento de uma solução, contruir um par de soluções conjugadas e, consequentemente, encontrar vários outros elementos para compor estas tabelas.
Remark 27 Se f : C ! R é harmônica e g : C ! C é analítica então f g é harmônica. Dizemos que mapas analíticos preservam soluções da equação de Laplace, ou que a equação de Laplace é invariante por transformações analíticas.
3.1
Campos irrotacionais de divergência nula
Uma grande quantidade de problemas em física envolve a presença de campos conservativos, i.e., campos cujo trabalho necessário para se movimentar sob sua ação independe do caminho seguido. Por exemplo, o movimento de uma massa num campo gravitacional, ou de uma carga num campo elétrico constante (r E= @B=@t). Estes campos são irrotacionais.
Por exemplo, um ‡uido newtoniano incompressível de viscosidade constante é descrito pela seguinte particularização da equação de Navier–Stokes
@v
@t + v:rv = rp + r
2v;
no caso estacionário onde não há nenhum tipo de aceleração (@v=@t + v:rv = 0) e não há gradiente de pressão (rp = 0) temos a equação de Laplace para as componentes de v. A incompressibilidade implica ainda r:v = 0, e se não houver rodamoinhos no ‡uído r v= 0.
Consideremos então campo vetorial num plano, que pode ser tanto um problema de mecânica dos ‡uidos, como de eletromagnetismo, onde o ‡uido poderia ser o campo elétrico.
Podemos descrever este campo vetorial como
V(x; y) = u (x; y) ^x + w (x; y) ^y :
Se este ‡uído é irrotacional (um campo conservativo ou um ‡uído sem rodamoinhos)
r V= 0 =) @ @x @ @y Vx Vy =@Vy @x @Vx @y = @w @x @u @y = 0 =) @w @x = @u @y (17)
Se não houver nenhuma fonte ou sorvedouro do nosso ‡uído (sem cargas, ou um ‡uido incompressível), então sua divergência também será nula
r V (x; y) = @V@xx +@Vy @y = 0 =) @u @x = @w @y (18) Assim, a função f = V u iw obedece as condições de CR (17) e (18).
Assim, se V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros, então a função f = V : C ! C é diferenciável. Além disso, se as derivadas parciais de V forem contínuas, f será uma função analítica.
Ademais temos que as componentes de f são funções harmônicas.
Lembrando que um campo irrotacional sempre pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, pois V (x; y) = r (x; y) = @@xx +^ @ @yy =) r^ V= @ @x @ @y @ @y @ @x = 0 :
escrever V(x; y) = r (x; y) =) u = @ @x ; w = @ @y f = u iw = @ @x i @ @y Lembrando a expressão (14) que obtivemos anteriormente
F = u + iv =) F0 =@u @x i @u @y F0 = f = @ @x i @ @y =) = Re F (19)
Vemos que, nas condições acima, a função é a parte real da antiderivada de f . Este resultado também é bastante útil.
Por exemplo, vamos encontrar o potencial que gera o campo
V(x; y) = 2x^x 2y ^y =) V = 2x i2y f = V = 2x + i2y = 2 (x + iy)
f (z) = 2z
Fácil que f é analítica (veri…que!). Assim V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros que, consequentemente, pode ser descrito por um escalar. Observando que
F = z2=) F0 = 2z = f Do fato de F0 ser também analítica e usando a relação (19) temos
= Re F = x2 y2:
O estudo da equação de Laplace, ou o estudo das funções harmônicas, é chamado de teoria dos potenciais. Toda função analítica corresponde a um campo irrotacional de divergência nula. Um ‡uido incompressível sem rodamoinhos, um campo elétrico sem cargas etc.
4
Integral
Como f : C ! C pode ser vista como composta por um par de funções R2 ! R (mais algumas
pro-priedades) é natural supor que, assim como ocorre na diferenciação, o conceito de integral de uma função complexa também se relacione com a integral de funções no plano.
Observe que, a princípio, poderíamos tentar de…nir a integral de uma função complexa como a integral da parte imaginária e real, i.e., como a integral de duas funções no plano
Z f (z) dz=? Z Z (U (x; y) + iV (x; y)) dx dy = Z Z U (x; y) dx dy + i Z Z V (x; y) dx dy ; (20) ou seja, a integral de uma função complexa seria uma integral de área. Mas, neste caso, a integral da função f (z) = 2z seria f (z) = 2z = 2 (x + iy) Z Z 2x dx dy + i Z Z 2y dx dy = Z 2x dx Z dy + i Z 2y dy Z dx = yx2+ ixy2:
Mas observe que desta forma a derivada desta "primitiva" F = yx2+ ixy2 não corresponde a cuja derivada complexa de novamente f (z), pois
yx2+ ixy26= z2 ; d dzz
2= 2z
Ou seja, a de…nição (20) não corresponde a uma opreração inversa a nossa de…nição de diferenciação. Este é um argumento de porque não de…nimos a integral desta forma.
Além disso, lembrando da nossa representação grá…ca dos números complexos, temos que dz = dx + idy pode ser visto como um vetor in…nitesimal no plano x; y, ou seja, se comporta como dr = ^{dx + ^|dy. Todos estes argumentos indicam que a de…nição de integral que queremos não se relaciona com integrais de áreas, mas sim com integrais de curvas.
Como vimos acima, o conceito de limite no plano complexo deve levar em conta que temos vários caminhos possíveis para nos aproximarmos do ponto em questão. Da mesma forma, o conceito de integrar entre dois pontos, possui a mesma questão de qual caminho percorremos para chegar de um ponto a outro. Este problema também existe na integral de linha de funções no plano. Assim, vamos primeiro rever o que acontece neste último caso.
4.1
Teorema de Green
Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever o comportamento de um ‡uido, um campo eletromagnético etc.
Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o trabalho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, queremos mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou uma massa num campo gravitacional, ou ainda um barco por um rio.
Em todos estes casos, o trabalho realizado será: W =
Z
C
F:dr (21)
onde F (x; y) = U (x; y)^{ + V (x; y) ^| é o campo vetorial (neste caso a força) e dr = ^{dx + ^|dy um elemento de deslocamento na trajetória C. Em geral este trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentido que este caminho é seguido.
Exemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo F= (3x y) i + (x + 5y) j
sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como x = cos !t ; y = sin !t ; t 2 0;2!
onde ! está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim W = Z C F:dr = Z C (U (x; y) dx + V (x; y) dy) x = x (t) ; y = y (t) =) dx = dx dtdt ; dy = dy dtdt ; W = Z 2 ! 0 (3x y)dx dt + (x + 5y) dy dt dt dx dt = ! sin !t ; dy dt = ! cos !t W = Z 2 ! 0
((3 cos !t sin !t) ( ! sin !t) + (cos !t + 5 sin !t) (! cos !t)) dt =
Z
! ( (3 cos !t sin !t) sin !t + (cos !t + 5 sin !t) cos !t) dt = !
Z
3 cos !t sin !t + sin2!t + cos2!t + 5 sin !t cos !t dt
= ! Z (( 3 + 5) sin !t cos !t + 1) dt = ! Z 2 ! 0 (2 sin !t cos !t + 1) dt = ! Z 2 ! 0 2 sin !t cos !tdt + Z 2 ! 0 1dt ! = ! 2 Z 2 ! 0 sin !t cos !tdt + 2 ! ! = ! 2 Z 2 ! 0 1 2sin 2!t dt + 2 ! ! = ! Z 2 ! 0 sin 2!t dt +2 ! ! = ! 1 2!cos 2!t 2 =! 0 +2 ! ! = ! 2 ! = 2 :
Observe como o valor calculado não depende de!, a velocidade com que percorremos a curva. Vamos calcular a integral (21) para um campo F arbitrário, mas para um caminho especí…co, por exemplo, um retângulo: (0; 0) ! (a; 0) ! (a; b) ! (0; b) ! (0; 0) W = Z C F:dr = Z C (U (x; y)^{ + V (x; y) ^|) : (^{dx + ^|dy) = Z C (U (x; y) dx + V (x; y) dy) :
Na primeira parte do caminho (0; 0) ! (a; 0) ; dr = ^{dx =) dy = 0: W j(a;0)(0;0)= Z (a;0) (0;0) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) = Z a 0 U (x; 0) dx
Enquanto na segunda parte (a; 0) ! (a; b) ; dr = ^|dy =) dx = 0 W j(a;b)(a;0)= Z (a;b) (a;0) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) = Z b 0 V (a; y) dy Da mesma forma W j(0;b)(a;b) = Z 0 a U (x; y) dx = Z a 0 U (x; b) dx W j(0;0)(0;b) = Z 0 b V (x; y) dy = Z b 0 V (0; y) dy O trabalho total é a soma do trabalho de cada parte:
W = W j(a;0)(0;0)+ W j(a;b)(a;0)+ W j(0;b)(a;b)+ W j(0;0)(0;b) = Z a 0 [U (x; 0) U (x; b)] dx + Z b 0 [V (a; y) V (0; y)] dy (22) Um ponto importante é que cada uma das integrais acima é uma integral ordinária em apenas uma variável. Assim, no cálculo de qualquer das integrais acima a função integrada pode ser tratada como uma função de uma única variável. Assim, podemos fazer, por exemplo:
U (x; y) = fx(y) =) f 0 x(y) = dfx(y) dy =) Z b 0 fx0(y) dy = fx(b) fx(0) fx0(y) = dfx dy = limdy*0 fx(y + dy) f (y) dy = limdy*0 U (x; y + dy) U (x; y) dy = @U @y Z b 0 fx0(y) dy = fx(b) fx(0) =) Z b 0 @U @ydy = U (x; b) U (x; 0) Da mesma forma Z a 0 @V @xdx = V (a; y) V (0; y)
Substituindo em (22) temos W = Z a 0 Z b 0 @U @ydy dx + Z b 0 Z a 0 @V @xdx dy = Z a 0 Z b 0 @V @x @U @y dx dy Assim, para o nosso caminho quadrado
W = Z C F:dr = Z C (U (x; y) dx + V (x; y) dy) = Z Z R @V @x @U @y dA
Suponha agora que o nosso quadrado tenha sido dividido, por exemplo, por uma linha vertical no ponto x = h < a e clculamos o trabalho para percorrer cada um dos dois quadrados:
W1 = W(0;0)(h;0)+ W(h;0)(h;b)+ W(h;b)(0;b)+ W(0;b)(0;0) W2 = W(h;0)(a;0)+ W (a;b) (a;0)+ W (h;b) (a;b) + W (h;0) (h;b) onde W(h;0)(h;b) = Z b 0 V (h; y) dy W(h;b)(h;0) = Z 0 b V (h; y) dy = Z b 0 V (h; y) dy = W(h;0)(h;b) Então W1+ W2= W(0;0)(h;0)+ W (0;b) (h;b)+ W (0;0) (0;b) + W (a;0) (h;0)+ W (a;b) (a;0) + W (h;b) (a;b)
Agora observamos que
W(0;0)(h;0)+ W(h;0)(a;0) = Z h 0 U (x; 0) dx + Z a h U (x; 0) dx = Z a 0 U (x; 0) dx = W(0;0)(a;0) W(a;b)(h;b)+ W(h;b)(0;b) = W(a;b)(0;b) Assim
W1+ W2= W j(a;0)(0;0)+ W j(a;b)(a;0)+ W j(0;b)(a;b)+ W j(0;0)(0;b) = W
Ou seja, não importa que divisão façamos no nosso quadrado todas as contribuições das partes internas irão se cancelar (porque são percorridas na ordem inversa) e sobrará apenas as bordas.
Assim, para uma superfície fechada qualquer, podemos subdividi-la em quadrados, somar todas as con-tribuições dos quadrados e o que teremos será a integral de linha nas bordas da região interna do caminho.
É importante notar que qualquer buraco na nossa área, i.e., regiões que não pertencem ao domínio das funções geraram bordas e contribuirão para a integral.
Assim, de forma geral, para um caminho fechado que encerre uma superfície simplesmente conexa (sem buracos) temos: I C F:dr = I C (U (x; y) dx + V (x; y) dy) = Z Z R @V @x @U @y dA (23)
Este é o teorema de Green e permite, através do cálculo de integrais de áreas, que não envolve produtos vetoriais, calcular uma integral de linha.
Exemplo: Vamos voltar ao nosso exemplo anterior
F = (3x y) i + (x + 5y) j U = (3x y) ; V = (x + 5y) @V @x = 1; @U @y = 1 I C F:dr = Z Z R @V @x @U @y dA = Z Z R [1 + 1] dA = 2 Z Z R dA = 2 :
Este teorema também permite ver que, se @V @x = @U @y =) I C F:dr =0 ;
para qualquer curva fechada. Ou seja, F é um campo conservativo. Veja que esta expressão concorda com (17) que obtivemos porque F é um campo gradiente.
Se F é um campo conservativo temos F = rf = @f @x^x+ @f @y^y=) Z C F:dr = Z C @f @x^x+ @f @yy^ : (^{dx + ^|dy) Z C F:dr = Z C @f @xdx + @f @ydy = Z C df = f (B) f (A) para A e B os limites de C. Assim Z
Crf:dr =f (B)
f (A)
é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para funções de várias variáveis.
Como veremos a seguir, todo o material desenvolvido acima está intimamente ligado com o cálculo de integrais de funções complexas.
4.2
Integrais complexas
Como vimos na seção anterior podemos escrever um campo vetorial conservativo como as funções conjugadas de uma função complexa. Assim, a integral de funções sobre o plano complexo nada mais é que a integral de campos vetoriais conservativos.
Agora se tratarmos a integral Z
C
f (z) dz
como uma integral de linha sobre uma curva C no plano complexo, podemos, assim como na integral de linha, parametrizar esta curva por um parâmetro t qualquer e escrever
C (t) = x (t) + iy (t) =) dx = dxdtdt = _xdt ; dy =dy dtdt = _ydt Z C f (z) dz = Z C f (x (t) + iy (t)) ( _x + i _y) dt
Para o caso de caminhos C sobre o eixo dos reais (dy= 0) a integral acima é da forma
Z b
a w (t) dt ; a; b 2 R :
Vamos ver o que acontece com a integral da função w (z (t)) w (t) = u + iv. Usando o teorema fundamental do cálculo para funções reaistemos
Z b a w (t) dt = Z b a (u + iv) dt = Z b a u dt + i Z b a v dt = [U (t)]ba+ i [V (t)]ba= [W (t)]ba U0 = du dt ; V 0= dv dt ; W = U + iV Da expressão acima vemos que
Z b a
w (t) dt = [W (t)]ba ; W0 = w (24)
onde, obviamente, a mesma parametrização z (t) deve ser usada para w e W . O resultado acima diz que, para funções complexas com argumentos reais, temos uma generalização do teorema fundamental do cálculo.
Exemplo: calcular Z =4 0 eitdt = ieit 0=4= p1 2 + i 1 1 p 2
4.3
Contornos
Usando as de…nições e os resultadoas acima podemos calcular a inegrau de funções complexas no plano complexo. Estas integrais são chamadas de integrais de contorno.
Exemplo: vamos integrar f (z) = z de 1 até i por duas linhas retas de 1 0 e 0 i linha reta Z C z dz = Z 0 1 (x iy) (dx + idy) + Z i 0 (x iy) (dx + idy) = Z 0 1 x dx + Z 1 0 y dy = 1 2 + 1 2 = 0 E ao longo do arco Z C z dz = Z =2 0 e i (i) d = i Z =2 0 e i d = i ie i =2 0 = (i 1)
Do resultado acima vemos que a integral, em geral depende do caminho de integração.
Exemplo 2: Vamos integrar a nossa função f (z) = 2z como uma integral de linha, por exemplo, do ponto 0 ao ponto 1 + i por uma linha reta
x = y =) x = t ; y = t =) _x = 1 = _y Z C f (z) dz = Z 1 0 2 (t + it) (1 + i) dt = (1 + i)2 Z 1 0 2tdt = 2 (1 + i)2 t 2 2 1 0 = (1 + i)2= 2i
E por duas linhas retas 0 1 e 1 (1 + i) Z C f (z) dz = 2 Z 1 0 (x + iy) (dx + idy) + Z 1+i 1 (x + iy) (dx + idy) = 2 Z 1 0 x dx + Z 1 0 (1 + iy) (idy) = 2 Z 1 0 x dx + Z 1 0 1 (idy) + i Z 1 0 y (idy) = 2 Z 1 0 x dx + Z 1 0 idy Z 1 0 y dy = 2 Z 1 0 idy = 2i
Observe também que se assumirmos que a integral é uma antiderivada temos Z C 2z dz = z2 1+i 0 = (1 + i) 2 = 2i :
Então neste caso, e isso pode ser veri…cado para qualquer pontos iniciais e …nais, nossa de…nição concorda com a ideia de antiderivação.
Vamos agora cálcular a integral de uma função analítica.
Vamos agora usar a nossa de…nição de integral complexa como uma integral de linha, temos f = u + iv =) Z C f (z) dz = (25) Z C (u + iv) (dx + idy) = Z C [(u dx v dy) + i (u dy + v dx)]
A existência da integral acima depende da existência da integral de u e v e, assim como no caso dos campos, a curva C deve ser lisa por partes.
Lembrando que C é um caminho sobre o plano complexo, i.e., o plano x; y cada uma das duas integrais
acima é da forma Z
C
(u (x; y) dx + v (x; y) dy) ou seja, temos duas integrais de caminho (reais) para os campos vetoriais
F1= u^x v^y; F2= v ^x + u^y
Podemos então agora usar o teorema de Green (23) para cálcular I C F1:dr = Z Z R @ ( v) @x @u @y dA I C F2:dr = Z Z R @u @x @v @y dA Usando agora as relações de CR temos
@u @y = @v @x =) I C F1:dr = Z Z R @v @x @u @y dA = Z Z R @u @y @u @y dA = 0 @v @y = @u @x =) I C F2:dr = Z Z R @u @x @v @y dA = Z Z R @v @y @v @y dA = 0
complexas como integrais de linha no plano complexo, garantem que cada um dos termos em (25) é zero. De outra forma, se f é uma função analíitica num domínio E C a integral sobre qualquer curva fechada em E, lisa por pedaços (uma exigência para que a integral dos campos esteja bem de…nida), então
I
f (z) dz = 0 :
Este é o teorema de Cauchy-Goursat. Como consequencia, a integral de f de um ponto z1 até um ponto z2
depende apenas dos pontos e independe do caminho. Z C f (z) dz = Z z2 z1 f (z) dz :
Obviamente toda a discução acima dependem do fato da função ser analítica e, consequentemente, não possuir singularidades na região em consideração. Em geral a integral de uma curva fechada que envolva uma singularidade não será igual a zero.
4.4
Antiderivada
O resultado acima pode ser usado para se de…niar a integral inde…nida de uma função complexa, sua primitiva ou a antiderivada.
Se f é analítica, sabemos que para qualquer caminho temos Z z2 z1 f (z) dz = Z 1 0 f (z (t)) ( _x + i _y) dt
com z (0) = z1 e z (1) = z2terá o mesmo valor. Usando (24) temos
Z b a w (t) dt = [W (t)]ba ; W0 = w (21) Z 1 0 f ( _x + i _y) dt = [F ]10 ; F0 = f ( _x + i _y) = f _z
mas para qualquer função F (z (t))
F0(z) = dF
dz _z = f _z =) dF
dz = f :
Assim, se para uma função analítica f de…nirmos um caminho qualquer z0(t) ; t 2 [0; 1]
F (z) = Z z 0 f (z0(t)) dz0 = Z 1 0 f (z0(t)) ( _x0+ i _y0) dt
com z0(t = 0) = 0 e z0(t = 1) = z teremos
F0= f
e podemos dizer que F é a antiderivada de f . Observer que isso só é possível porque f é analítica e, consequentemente, a integral só depende dos extremos do caminho. O resultado acima é o nosso teorema fundamental do cálculo complexo para funções analíticas.
Do nosso estudo de derivadas é fácil ver que, assim como no caso de funções reais F está de…nido a menos de uma constante.
Exemplo: A utilização da antiderivada é no cálculo de integraia é identico ao cálculo nos reais Z 1+i 0 z2dz = z 3 3 1+i 0 = (1 + i) 3 3 = 2 3(i 1) :
4.5
Integrais de contorno
Vamos agora integrar a função
f (z) = 1 z
num caminho C que seja um circulo de raio unitário começando e terminando em 1. Podemos parametrizar o circulo fazendo
x = cos t ; y = sin t =) C (t) = cos t + i sin t dx = sin t dt ; dy = cos t dt Z C 1 z dz = Z C z zz dz como no circulo zz = 1 Z C 1 z dz = Z C z dz = Z C (x iy) (dx + idy) = Z 2 0
(cos t i sin t) ( sin t + i cos t) dt =
Z 2 0
i dt = i2 :
Diferente de zero. Porque f não é analítica em todos os pontos dentro do contorno. Alternativamente poderíamos ter feito simplesmente feito
z = eit=) dz dt = ie it Z C z dz = Z 2 0 e it dz dtdt = Z 2 0 e it ieitdt = i Z 2 0 dt = 2 i :
Figure 2: Figura 3
A parametrização acima mostra ainda que qualquer circulo em torno da origem daria o mesmo resultado. Observe agora que se …zermos a integral pelo caminho da …gura abaixo
Ou seja, de A até D pelo circulo, depois de D até C então de C até B pela …gura externa e, …nalmente de B de volta para A teremos percorrido um caminho fechado que não contem nenhuma singularidade, i.e., nesta região a função é analítica. Assim, neste contor C0
I
C0
1 z dz = 0
Mas a integral sobre o caminho D ! C é igual ao negativo da integral B ! A e, consequentemente, a integual na curva externa é igual a integral da curva interna. Este resultado mostra que: se f é uma função analítica com uma singularidade num ponto, qualquer integual ao redor desta singularidade (percorrida na mesma direção), tem o mesmo valor independente da curva. Assim,
I
C
1
z dz = 2 i para qualquer curva C que circule a origem.
De…nition 28 Dizemos que a função f tem um pólo no ponto w se lim
Vamos calcular a integral I
C
1 (z z0)n
dz :
num contorno C que circule z0. Esta função tem uma singularidade em z = z0. Mas sabemos que qualquer
caminho dará o mesmo resultado. Assim, escolhemos o caminho C que é um circulo unitário centrado em z0,
i.e., C é o circulo z0 = z0+ ei . Com isso
z = z0+ ei ; _z = i ei I C 1 (z z0)n dz = Z 2 0 1 (ei )n ie i d =Z 2 0 e i niei d = i Z 2 0 ei (1 n) d = ( 2 i para n = 1 0 para n 6= 1 (26) Exemplo: Calcule a integral I
C
z z2 1 dz
com C um círculo centrado na origem de raio 2.
Primeiro se veri…ca-se quantas singularidades estão no interior do circuito. No caso, as duas. Depois se faz a decomposição z (z2 1) = z (z + 1) (z 1) = 1 2 (z + 1) + (z 1) (z + 1) (z 1) = 1 2 (z + 1) (z + 1) (z 1)+ (z 1) (z + 1) (z 1) = 1 2 1 (z 1) + 1 (z + 1) com isso I C z z2 1 dz = I C 1 2 1 (z 1)+ 1 (z + 1) dz = 1 2 I C 1 (z 1) dz + I C 1 (z + 1) dz = 1 2[2 i + 2 i] = 2 i :
Exemplo: Calcular f (z) = z em torno do círculo de raio unitário e em torno do quadrado 1 i Em torno do círculo temos Z
2 0 e i iei d = i Z 2 0 d = 2 i
Ao redor do quadrado z = 1 + ti =) Z 1 1 (1 ti) i dt = 2i z = 1 ti =) Z 1 1 (( 1 + ti) i) dt = 2i z = t i =) Z 1 1 (t + i) dt = 2i z = t + i =) Z 1 1 ( t i) i dt = 2i Num caso 2 i no outro 8i.
Resumindo:
Integrais de funções não analíticas devem ser calculadas em todos os pontos da curva.
Integrais de funções inteiras (analíticas em todo o plano complexo) sobre domínios fechados são zero. Integrais de funções inteiras não depende do caminho (podemos escolher de acordo com a conveniência). Integrais de funções analíticas com singularidades podem ser calculadas por qualquer caminho que não contorne a singularidade
Integrais fechadas de funções analíticas que envolvem singularidades só precisam ser calculadas ao redor dos pontos de singularidade.
4.6
A formula integral de Cauchy
Se f é uma função analítica num domínio E C pelos resultados acima temos que I
C0
f (z)
z w dz = 0
para qualquer caminho C0 que não contorne o ponto z = w (pois f é analítica, mas o integrando tem uma singularidade).
Vamos imaginar uma curva como a da …gura 2 com w no centro do círculo interno (observe que há um circulo interno que circunda a singularidade, mas há o caminho externo que não circunda). O ponto crucial é que o cálculo da integral na …gura, por qualquer caminho, independe do tamanho (raio) do círculo interno. Isso signi…ca que, se C é o circulo interno, que circunda a singularidade em w, esta integral terá o mesmo valor para qualquer círculo, em especial (a seguir eu usei o símbolo ?C ! 0 para indicar que o diâmetro do círculo tende a zero) I
Mas como f é analítica, quando o círculo tente ao ponto z = w temos lim
z !wf (z) = f (w)
para qualquer caminho do limite (lembrando que para funções analíticas o limite acima não depende do caminho). Assim temos
lim ?C !0 I C f (z) z w dz = f (w) I C 1 z w dz : Usamos agora a integral de contorno (26) e calculamos
I
C
1
z w dz = 2 i Retornando este resultado em (27) temos
I C f (z) z w dz = ?C !0lim I C f (z) z w dz = f (w) I C 1 z w dz = f (w) 2 i ou ainda f (w) = 1 2 i I C f (z) z w dz (28)
onde lembramos que C é qualquer curva que circunde a singularidade (i.e., que circunde w). Esta é a fórmula integral de Cauchy.
A fórmula acima mostra a característica bastante peculiar das funções analíticas de que seu valor numa certa região é totalmente determinado pelo valor nas bordas desta região. Assim, uma vez de…nido as condições da função na fronteira, não há mais nenhuma liberdade na de…nição dos seus valores internos. Ou ainda, qualquer alteração em qualquer ponto da fronteira, altera todos os demais valores da função. Este comportamento pode ser visto, por exemplo, no estado de equilíbrio de uma chapa aquecida, onde o valor da temperatura nos pontos da borda da chapa determina seu valor em toda a chapa (lembrando que a parte real e imaginária de uma função analítica obedece, cada uma, a equação de Laplace).
Exemplo de aplicação: Calcule a integral I
C
z
(9 z2) (z + i)dz
onde o caminho C é um circulo de raio 2 (jzj = 2) centrado no ponto z0= i. Solução: Apesar do integrando
ter uma singularidade no interior do caminho, observe que a função f (z) = z
é analítica em toda a região de interesse. Assim, podemos usar a fórmula integral de Cauchy para escrever f ( i) = 1 2 i I C z (9 z2) 1 (z + i) dz = ( i) 9 ( i)2 =) I C z (9 z2) 1 (z + i) dz = 2 i ( i) 9 ( i)2 = 5 :
4.7
Derivadas de funções analíticas
Vamos voltar à integral I
C
f (z) z w dz
para uma curva C que circunda a singularidade w. Vamos agora parametrizar esta curva por z (t), t 2 [0; 1],
com isso I C f (z) z w dz = Z 1 0 f (z (t)) z (t) w _z dt : Usando agora a fórmula integral de Cauchy (28) temos
f (w) = 1 2 i Z 1 0 f (z (t)) z (t) w _z (t) dt : Vamos calcular agora a derivada da função f (w)
d dwf (w) = f 0 (w) = 1 2 i d dw Z 1 0 f (z (t)) z (t) w _z dt :
Observe que a quantidade dentro do sinal de integral pode ser considerada como uma função de w e t. Usando agora a regra de Leibniz (que garante que, para integrais reais, nós podemos diferenciar através do sinal de integral) temos f0(w) = 1 2 i Z 1 0 @ @w f (z (t)) z (t) w _z dt :
(observe que a integral é uma função apenas de w mas o integrando é uma função de w e t por isso, quando entra na integral a derivada total vira uma derivada parcial). Efetuando agora a diferenciação
f0(w) = 1 2 i Z 1 0 f (z) (z w)2 _z dt = 1 2 i I C f (z) (z w)2 dz :
Repetindo este procedimento n vezes temos que f(n)(w) = n! 2 i I C f (z) (z w)n+1 dz ;
esta é a fórmula de Cauchy para as derivadas. Do resultado acima temos o importante:
Theorem 29 Se f é uma função analítica numa região E C; e C é uma curva simples (cujo percurso não se cruza) fechada em E, então para um ponto z0dentro da curva C, a n-ésima derivada de f existe e é dada
por f(n)(z0) = n! 2 i I C f (z) (z z0)n+1 dz : (29)
Este resultado garante que, se a função é analítica, além de ser diferenciável (como já sabíamos), ela pode ser in…nitamente diferenciável. Além disso, como esta derivada estará de…nida para todos os pontos z0
dentro do contorno, todas estas derivadas também serão funções analíticas na mesma região E, pois se f(n+1)
existe em todos os pontos de E, enão f(n)é analítica em E (lembre que uma função f é analítica em z0se, e
somente se, existe uma vizinhança deste ponto onde a derivada de f existe em cada ponto desta vizinhança). A existência de todas estas derivadas garante que podemos expandir uma função analítica em série de Taylor (que é a de…nição de funções analíticas para funções de variáveis reais).
O resultado acima é mais uma diferença gritante entre funções reais diferenciáveis e funções complexas diferenciáveis. (Obviamente, se uma função real possui uma derivada de ordem n isso não garante a existência da derivada de ordem n + 1 e, conseqüentemente, a função pode não ser expansível em série de Taylor.)
Como corolário do teorema acima temos:
Corollary 30 Se u : R2 ! R é uma função harmônica, então ela possui derivadas de todas as ordens,
e cada uma destas derivadas também são funções harmônicas, pois se f = u + iv é analítica, e portanto contínua, segue que
f0= @u @x+ i @v @x = @u @y + i @v @y
e, portanto as derivadas de u e v também são contínuas e assim sucessivamente para as demais derivadas. Existe também uma versão inversa do teorema de Cauchy-Goursat.
Theorem 31 Se f = u + iv é dada por funções u e v contínuas numa região e satisfaz a condição I
C
f (z) dz = 0 ; para qualquer contorno fechado, então f é analítica nesta região.
Este é o teorema de Morera.
Os resultados acima são essenciais para o estudo de série de potências de funções analíticas. Assim, exemplos de aplicação destes resultados serão dados diretamente no desenvolvimento das seções seguintes.
5
Séries de Taylor
A decomposição em série de funções possui uma in…nidade de aplicações práticas, por exemplo, para se estimar o valor de certas funções (quando se pressiona o botão seno da calculadora o que ela faz é calcular a série do seno até uma certa ordem e assim em todos os cálculos numéricos). Para funções complexas, além desta aplicação prática, uma série de outras propriedades das funções (além do seu valor) podem ser obtidas pela sua expansão em série de potências.
Para funções complexas, se f (z) é uma função in…nitamente diferenciável num ponto z0, então (como no
caso de funções reais) de…nimos sua série de Taylor em torno de um ponto z0como
1 X k=0 f(k)(z 0) k! (z z0) k onde f0= f e 0! = 1! = 1.
Observe que para funções reais, em geral, esta série não é igual a f . Por exemplo a função
f (x) = (
0, para x 0
e101exp x12 , para x > 0
:
Esta função é in…nitamente diferenciável em qualquer ponto x e todas as derivadas são zero na origem. Assim, a série de Taylor desta função em torno da origem calculada no ponto 1 vale 0, o que, obviamente é bem diferente de f (1) = e101e 1= e100.
Além disso, uma série de Taylor pode não convergir. E do exemplo acima vemos que, mesmo que ela convirja, pode convergir para algo que não se relaciona com a nossa função.
De forma geral, a questão da convergência desta série é um ponto bastante intrincado. Entretanto, como veremos, esta questão se torna muito mais simples quando nos restringimos apenas a funções analíticas.
Se f (z) é uma função analítica numa região E, para qualquer ponto em z 2 E podemos usar a formula integral de Cauchy (28) para escrever
f (z) = 1 2 i I C1 f (z0) z0 z dz0
onde C1 é um caminho fechado interior a E que tomaremos como um círculo de raio r1. Vamos tomar C1
dentro de E de sorte que possamos traçar um novo circulo C0 maior que C1.
Observe agora que
1 z0 z = 1 (z0 z0) (z z0) = 1 (z0 z0) 1 1 z z0 z0 z0 (30)
mas para qualquer complexo com 6= 1 temos 1
1 = 1 + +
2+ ::: + n 1+ n
1 Para ver isso, multiplique ambos os lados por (1 )
1 = (1 ) 1 + + 2+ ::: + n 1 + n
= 1 + + 2+ ::: + n 1 + 2+ ::: + n 1+ n + n = 1 n+ n
Assim, podemos escrever (30) como 1 z0 z = 1 z0 z0 " 1 + z z0 z0 z0 + ::: + z z0 z0 z0 n 1 + 1 1 z z0 z0 z0 z z0 z0 z0 n#
multiplicando por f (z0) temos
f (z0) z0 z = f (z0) z z0 + f (z 0) (z0 z0)2(z z0) + ::: + f (z0) (z0 z0)n(z z0) n 1 + f (z 0) (z0 z0) (z0 z0)n 1 1 z z0 z0 z0 (z z0)n = f (z0) z z0 + f (z0) (z0 z0)2(z z0) + ::: + f (z0) (z0 z0)n(z z0) n 1 + f (z0) (z0 z0)n 1 (z0 z)(z z0) n
Dividindo cada termo por 2 i e integrando ao longo de C1 temos 1 2 i I C1 f (z0) z0 z dz0 = 1 2 i I C1 f (z0) z z0 dz0+ 1 2 i I C1 f (z0) (z0 z0)2(z z0) dz 0+ +::: + 1 2 i I C1 f (z0) (z0 z) (z0 z0)n(z z0) n dz0 (31)
Usando agora a fórmula de Cauchy para a derivada (29) temos que 1 2 i I C1 f (z0) (z z0)k+1 dz0 = 1 k!f (k)(z 0)
Podemos então escrever (31) como
f (z) = f (z0) + f0(z0) (z z0) + ::: + f(n 1)(z 0) (n 1)! (z z0) n 1 + Rn (32) onde Rn = (z z0)n 2 i I C1 f (z0) (z0 z) (z0 z0)n dz 0 :
Vamos chamar de r1 o raio da nossa curva C1. Pegando agora um ponto z dentro da curva C1 e um ponto
z0 na curva C1, i.e., jz0 z0j = r1 e jz z0j = r < r1. Com isso temos jz0 zj = j~r1 ~rj r1 r (lembre
que z0 é o caminho sobre o circulo C
1de raio r1). Assim jRnj rn 2 2 r1M (r1 r) r1n = r1M r1 r r r1 n ;
onde M é o valor máximo do módulo de f (jf (z0)j M ; z02 E), este valor existe porque f é analítica em
E. Mas r=r1< 1 e, com isso,
lim
n!1Rn= 0 :
Assim, quando n tende a in…nito o limite da soma dos n termos do segundo membro da igualdade (32) converge. f (z) = f (z0) + 1 X n=1 an(z z0)n ; an= f(n)(z) n! z=z0
Como resultado, quando f é analítica no interior do circulo C0 a convergência da sua série de Taylor
está garantida. De outra forma, a convergência da série de Taylor em torno de um ponto z0 de uma função
analítica está garantida até o primeiro ponto de singularidade da função (i.e., onde a função deixa de ser analítica). Este é o raio de convergência da série de Taylor de uma função analítica.
Para o caso especial em que z0= 0 esta série é chamada de série de Maclaurin f (z) = f (0) + 1 X n=1 f(n)(0) n! z n :
Exemplo: Vamos desenvolver a série de Maclaurin da função f (z) = ez
Veri…que que f é inteira (exercício). Para esta função temos f(n)(0) = 1 Assim, temos ez= 1 + 1 X n=1 zn n! para jzj < 1 : Exemplo 2: f (z) = 1 1 + z ; f 0(0) = " 1 (1 + z)2 # z=0 = 1 f00(0) = " 2 1 (1 + z)3 # z=0 = 2 ; f(n)(0) = " ( 1)nn! 1 (1 + z)n+1 # z=0 = ( 1)nn! :
a série de Maclaurin vale
1 1 + z = 1 X n=0 ( 1)nzn
Exemplo: uso da antiderivada no cálculo da integral de funções multivalentes.
Vamos calcular a integral da função f (z) =pz do ponto 1 até 1 através de um semi-circulo acima do eixo real, C = ei ; 0 .
Como vimos anteriormente, esta função possui vários ramos. Apesar de todos estes ramos possuírem a mesma forma funcional, seus domínios de de…nição são diferentes para cada corte escolhido. Por exemplo, suponha que se escolheu o seguinte corte:
f1(z) = [z (r; )]1=2 pr exp (i =2) ; r > 0 ; 0 < < 2
Neste corte não podemos efetuar a integral pelo método da anti-derivada, porque a função não é analítica no caminho (este ramo não é analítico, não está de…nido, em z = 1). Podemos resolver este problema fazendo o corte em outro lugar. Por exemplo, fazendo o corte = =2
f2(z) = [z (r; )]1=2 pr exp (i =2) ; r > 0 ; =2 < < 3 =2
Neste caso, como nosso caminho não cruza a linha de corte e, conseqüentemente, o ramo escolhido é analítico em todo o percurso, podemos calcular
F = 2 3z 3=2=) F0 = z1=2 Z C z1=2 dz = 2 3z 3=2 r=1; = r=1; =0 = 2 3 p r exp 3 2i r=1; = r=1; =0 = 2 3 exp 3 2i = =0 =2 3 exp 3 2i exp (0) = 2 3[ i 1] = 2 3(1 + i)
Qualquer caminho acima do eixo real pode ser calculado da mesma maneira.
Agora, se quisermos efetuar o mesmo cálculo por um caminho C2que liga o mesmo ponto, mas passa pela
parte abaixo do eixo real, devemos escolher um novo ramo da função. Por exemplo, podemos fazer o corte em = =2
f3(z) = [z (r; )]1=2 pr exp (i ) ; r > 0 ; =2 < < 5 =2
F = 2 3z 3=2 =) F0 = z1=2 Z C z1=2 dz = 2 3z 3=2 r=1; = r=1; =2 = 2 3 p r exp 3 2i r=1; = r=1; =2 = 2 3 exp 3 2i = =2 =3 2 exp 3 2i exp 3 2i2 = 2 3 exp 3 2i exp (3i ) = 2 3[ i ( 1)] = 3 2[1 i]
Observe que, mesmo tendo a mesma forma funcional, o resultado é diferente. Falar da convergência de Rn.
Exemplo: Voltando para o problema das séries de Taylor, vamos calcular a série de Maclaurin da função f1=
1 1 z calculando as derivadas temos
f(n)(z) = n!
(1 z)n+1 =) f
(n)(0) = n!
e a série toma a forma
f1(z) = X f(n)(0) n! z n =) 1 1 z = 1 X n=0 zn
coju raio de convergência vale jzj < 1 (até o ponto de singularidade z = 1). Exempo: Calcule a série de Maclaurin da função
f2=
1
1 + z para jzj < 1
Vamos usar aqui a importante característica de que a série, se existir, é única. Diferente do exemplo anterior, o ponto de singularidade desta função é z = 1. Entretanto, como jzj = j zj os pontos de interesse também estão no raio de convergência do exemplo anterior. De outra forma, podemos usar a
expanção anterior para os pontos para cálcular f1( z) = f2(z) ; f1(z) = 1 X n=0 zn=) f1( z) = 1 X n=0 ( z)n= 1 1 + z = f2 ; 1 1 + z = 1 X n=0 ( 1)nzn ; jzj < 1 :
Continuando com o exemplo, podemos fazer a substituição z0 = z + 1 z0 1 = z tanto ná série quanto no raio de convergênciada série acima
1 1 + z = 1 X n=0 ( 1)nzn ; jzj < 1 =) 1 1 + z0 1 = 1 z0 = 1 X n=0 ( 1)n z0 1 n ; z0 1 < 1
Temos assim a série de Taylor em torno do ponto z = 1 da função f3(z) = z 1.
5.1
Serie de Laurent
Exemplo: Vamos calcular a série para a função
f (z) = 1 + 2z
2
z3+ z5 :
Para isso, vamos escrever esta função na forma f (z) = 1 z3 1 + 2z2 1 + z2 = 1 z3 1 + 2z2+ 2 2 1 + z2 = 1 z3 2 z2+ 1 1 1 + z2 ! = 1 z3 2 1 1 + z2
Esta função não pode ser expandida em torno de z = 0. Mas o segundo membro dentro do parêntezes pode, 1 1 + z = 1 X n=0 ( 1)nzn ; jzj < 1 =) 1 1 + (z2) = 1 X n=0 ( 1)nz2n ; jzj < 1
Então, nos pontos jzj < 1, onde a série acima está de…nida, e para o ponto z 6= 0 onde 1=z3 também está de…nido tempos 1 z3 2 1 1 + z2 = 1 z3 2 1 X n=0 ( 1)nz2n ! = 1 z3 2 1 + z 2 z4+ z6+ ::: = 1 z3 + 1 z3z 2 z1+ z3+ ::: 0 < jzj < 1
Assim, apesar de ter uma singularidade na origem nós conseguimos expandir a função em série na região entre dois círculos concêntricos jzj > 0 e jzj < 1. Esta é uma série (num anel) em torno de um ponto singular z = 0.
Diferente das séries de Taylor, a série acima contém potências negativas de z. Ou seja, é possível tomar em conta a singularidade da função se adicionarmos a série potências negativas do termo de expansão. Uma série de potências com potências negativas é chamada de série de Laurent.
Se a função f é analítica na região entre os círculos r2 < jz z0j < r1 da …gura, temos pela fórmula
integral de Cauchy f (z) = 1 2 i I C1 f (z0) z0 zdz0 1 2 i I C2 f (z0) z0 zdz0 :
Na segunda integral fazemos 1 z0 z = 1 (z z0) (z0 z0) = 1 (z z0) 1 1 z0 z0 z z0 usando 1 1 = NX1 n=0 n+ N 1 temos =z 0 z 0 z z0 =) 1 1 z0 z0 z z0 = NX1 n=0 (z0 z0)n (z z0)n + (z0 z0) N (z z0)N 1 (z z0) assim 1 z0 z = NX1 n=0 (z0 z 0)n (z z0)n+1 + 1 (z z0) (z0 z 0)N (z z0)N ! mudando n ! n 1 1 z0 z = N X n=1 (z0 z0)n 1 (z z0)n + 1 (z z0) (z0 z0)N (z z0)N !
com o que, a segunda integral …ca, 1 2 i I C2 f (z0) z0 zdz 0 = 1 2 i I C2 1 z0 z f (z 0) dz0 = 1 2 i I C2 N X n=1 (z0 z0)n 1 (z z0)n + 1 (z z0) (z0 z0)N (z z0)N !! f (z0) dz0 = N X n=1 1 2 i I C2 N X n=1 (z0 z0) n 1 f (z0) dz0 1 (z z0)n + 1 2 i I C2 1 (z z0) (z0 z0)N (z z0)N f (z0) dz0 = N X n=1 bn 1 (z z0)n + Qn onde bn = 1 2 i Z C2 (z0 z0) n 1 f (z0) dz0 = 1 2 i Z C2 f (z0) (z0 z0) n+1dz 0 n = 1; 2; 3; ::: QN = 1 2 i (z z )N Z (z0 z 0)N (z z0) f (z0) dz0
A primeira integral pode ser tratada exatamente como no caso da série de Taylor 1 z0 z = 1 (z0 z0) (z z0) = 1 z0 z0 1 1 z z0 z0 z0 = z z0 z0 z0 =) 1 1 z z0 z0 z0 = NX1 n=0 (z z0)n (z0 z0)n + (z z0)N (z0 z0)N 1 1 (z0 z) 1 2 i Z C1 f (z0) z0 zdz0 = 1 2 i Z C1 f (z0) 1 z0 zdz0= 1 2 i Z C1 f (z0) 1 z0 z0 1 1 z z0 z0 z0 dz0 = 1 2 i Z C1 f (z0) 1 z0 z0 "N 1 X n=0 (z z0)n (z0 z0)n + (z z0)N (z0 z0)N 1 1 (z0 z) # dz0 = NX1 n=0 1 2 i Z C1 f (z0) (z z0) n (z0 z0)n+1 dz 0 + 1 2 i Z C1 f (z0) (z z0) N (z0 z0)N 1 (z0 z)dz0 = NX1 n=0 an(z z0)n + 1 2 i Z C1 f (z0) 1 z0 z0 (z z0)N (z0 z0)N 1 1 (z0 z)dz0 an = 1 2 i Z C1 f (z0) (z0 z0)n+1 dz 0 ; n = 0; 1; :::: RN = (z z0)N 2 i Z C1 f (z0) (z0 z) (z0 z0)N dz 0
Tanto os coe…cientes anquanto RN são os mesmos obtidos para a série de Taylor. Sabemos que limN!1jRNj =
0. De forma análoga (só trocando > por <) é possível mostrar que
jQNj = 1 2 jrjN Z C2 (z0 z0)N (z z0) f (z0) dz0 1 2 rN r2 r NZ C2 jf (z0)j j(z z0)j dz0 1 2 rN r2 r N N (r r2)
em todo o domínio r2< jz z0j < r1 então, com a devida orientação, I C1 = I C2 = I C
onde C é qualquer caminho na região anular onde a função é analítica. Temos então o teorema:
Theorem 32 Se f é analítica na região entre os círculos C1 de raio r1 e C2 de raio r2, ambos centrados em
z0 então em cada ponto z da região r2 < jz z0j < r1, f (z) é representada por uma série convergente de
potências positivas e negativas de (z z0),
f (z) = 1 X n=0 an(z z0)n+ 1 X n=1 bn (z z0)n an = 1 2 i I C f (z0) (z0 z0)n+1 dz 0 bn = 1 2 i I C f (z0) (z0 z0) n+1 dz 0
onde C é qualquer caminho simples fechado na região r2< jz z0j < r1.
Esta fórmula pode ser escrita na forma mais compacta
f (z) = 1 X n= 1 An(z z0)n ; An = 1 2 i I C f (z0) (z0 z0)n+1 dz 0 : (33)
É importante observar que, mesmo no caso dos coe…cientes dos termos positivos an, não podemos mais
identi…car as integrais com as derivadas da função (usando a fórmula (29)) porque a função não é mais analítica no interior da curva fechada C. Assim, no caso geral, os coe…cientes devem ser calculados com as técnicas de integração já desenvolvidas. Entretanto, como veremos, estes coe…cientes raramente precisam ser calculados explicitamente.
Se a função é analítica em todos os pontos (incluindo z0)
bn= 1 2 i Z C f (z0) (z0 z0) n+1 dz 0= 0 ; n > 0
porque não há singularidade no integrando. Assim, neste caso, voltamos a ter a série de Taylor. Exemplo: Encontrar a série de Laurent em torno de z = 0 da função
f (z) = e
z
z2 ; jzj > 0
