AULA 06 – APOIO AO CÁLCULO PROFESSORA LUCIANA
EXERCICIOS PROPOSTOS – regras de derivação
I) Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
a) f(x) = 7x – 5 f’(x) = 7 b) g(x) = 1 – 2x – x² g’(x) = -2 – 2x c) f(x) = x³ - 3x² + 5x – 2 f’(x) = 3x² - 6x + 5 d) 8 4 8 1 x x y y’ = x7 – 4x³ e) 4 2 2 1 4 1 ) (t t t f f’(t) = t3 – t f) ( ) 2 3 12 x x x x f f’(x) = 2x + 3 – 2/x³ g) 4 4 4 1 4 ) ( x x x g g’(x) = 16x3 + 1/x5 h) ( ) 32 54 x x x g g’(x) = -6/x3 – 20/x5 i) f(x) = (2x4 – 1)(5x3 + 6x) f’(x) = 8x³(5x³ + 6x) + (2x4 – 1)(15x² + 6) j) 1 ) ( x x x f 2 ) 1 ( 1 ) ( ' x x f l) 1 2 1 2 ) ( 2 2 x x x x x h 2 2 2 ) 1 2 ( ) 1 ( 4 ) ( ' x x x x h m) f(t) 5t 2 10 5 ) ( ' t t f
II) Calcular a derivada das funções: a) y = 4x + 5 b) y = - x + 3 c) y = 2 2 1 x d) y = x2 + 4x + 5 e) y = 5 7 2 1 2 x x f) y = 0,2 x2 – 4x g) y = (3x2 - 4x) (6x + 1) h) y = (1 - x2) (1 + x2) i) y = (x2 – 4) (x + 2x4) j) y = 2 (x3 - 4x2 + 2x – 1) k) y 4 x l) y9 x m) y3 x n) y6 x o) x y1 p) 63 x y q) 2 2 15 x x y r) 1 4 x x y s) 2 10 x x y t) x x y 1 RESPOSTAS grupo II
a) y’ = 4 b) y’ = -1 c) y’ =
2 1
d) y´= 2x + 4 e) y´ = - x + 5 f) y´ = 0,4x – 4 g) y’= 54 x2 - 42x – 4 h) y’ = - 4x3 i) y’= 12x5 - 32x3 + 3x2 - 4 j) y’=6x2 -16x+4 k) y´ = 4 3 4 1 x l) y´ = 9 8 9 1 x m) y´ = 3 2 3 1 x n) y´ = 6 5 6 1 x o) y´ = 12 x p) y´ = 4 18 x q) y´ =
2
2 2 30 15 x x x r) y´ =
2 1 4 x s) y´ =
2 2 20 x t) y´ =
1
2 1 x EXERCÍCIOS PROPOSTOS – Derivadas sucessivas
1. Calcule f’’ da função f(x)3x2 8x1
2. Determine a derivada segunda das funções abaixo: a) f(x)tgx
b) f(x) x21
3. Encontre todas as derivadas de ordem superior da função 2 6 24 60 ) (x x3 x2 x f :
4. Determine a derivada segunda das funções abaixo:
a) x e y 1 b) yln2x c) 2 cos 2 x y
5. Mostre que a derivada de ordem n da função yeax é dada por y(n) an eax.
6. Encontre todas as derivadas da função
x 3x3 2x2 5x4f
7. Usando as regras de derivação, calcular as derivadas de 1a e 2a ordem da função
3 2 3 2x x x f , no ponto x0 1. Resposta: f(x)'0 e f(x)''68. Usando as fórmulas de derivação, calcular as derivadas de 1a e 2a ordem da função
3 x x10. Usando as fórmulas de derivação, calcular as derivadas de 1a e 2a ordem da função
2 ln t t s , no ponto t0 2. Resposta: s'2
ln
2 1
e s"111. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 2a ordem da função
2 x 3 x f , no ponto x01. Resposta: 9 2 )" x ( f 12. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 2a ordem da função
x 9 4xf , no ponto x02. Resposta: f(x)"4
13. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 3a ordem da função
x e xf , no ponto x0 1. Resposta: f(x)'''e.
14. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 3a ordem da função
8 3 x 2 x f , no ponto x01. Resposta: f(x)'''2688 .15. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 2a ordem das seguintes funções:
a) f
x 32xx2 em x0 0 ; R: y''2 b) f
x cos
2x em x0 0 ; R : f
x 4EXERCÍCIOS PROPOSTOS – Significado físico
1) Um móvel desce num plano inclinada segunda a equação s = 12t2 + 6t . a) encontre sua velocidade 3s após a partida; Resp. v(3) = 78m/s b) encontre a velocidade inicial. Resp. v(0) = 6m/s 2) Um foguete é lançado verticalmente e sua trajetória tem equação horária
s = 160t – 5t2 e o sentido positivo é para cima. Determine:
a) a velocidade do foguete 2 seg após o lançamento; Resp. v(2) = 140m/s b) o tempo que leva o foguete para alcançar a altura máxima. Resp. t = 16s 3) A distância percorrida (em m ) por um ponto é dada, a cada instante pela lei,
s(t) = t2 + 4t + 4 onde t é o número de segundos percorridos. Determine: a) a velocidade média entre t= 1s e t = 3s. Resp. Vm= 8m/s
b) a velocidade inicial. Resp. Vi=4m/s
c) a velocidade no instante t = 3s. Resp. V(3)= 10m/s d) em que instante a velocidade é de 12 m/s Resp. t = 4s
4) Um ponto em movimento tem equação s(t) = 2t3 + 3t2 + t, onde t é o tempo em segundos e s o espaço em metros. Determine:
a) a velocidade no instante t = 4s Resp. V(4) = 121 m/s b) a aceleração quando t = 3 s Resp. V(3) = 42 m/s2 c) em que instante a aceleração é de 30m/s Resp. t = 2s
5) Uma partícula percorre uma curva obedecendo à equação horária S = 3t2 (SI). Determine a sua velocidade no instante t = 5 s. R: v(5) = 30 m/s
6) Um ponto material descreve uma curva tendo para equação horária S t (SI). Determinar a sua velocidade no instante t = 1,5s. R: v(1,5) = 0,408 m/s
7) Um ponto em movimento tem equação da velocidade v t t2 (SI). Encontrar sua aceleração no instante t = 1s. R: a(1) = 2,5 m/s²
8) Encontrar a aceleração no instante t = 8s de um ponto que tem velocidade variável segundo a expressão vt3 t (SI). R: a(8) = 1,08 m/s²
Exercícios propostos – Significado geométrico
1) Qual a equação da reta tangente à curva representativa da função f(x) = 4x3 + 3x2 + x + 5, no ponto de abscissa x = 0? R.: y = x + 5.
2) Determinar a equação da reta tangente à curva da função y = x3 no ponto P de abscissa x = 2. R.: y = 12x - 16.
3) Achar a equação da reta tangente à curva f( x) = x² - 6x + 5, no ponto de abscissa x0 = 2. R.: y = -2 x + 1
4) Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x) x2 no ponto em que x = 3. R: y = -2x + 7
5) Encontrar o coeficiente angular e a reta tangente ao gráfico de f(x) xln(x)2 no ponto em que x = 1. R: 2 5 2 3 x y
6) Determine a equação da reta normal à f(x) = x2 + e3x no ponto (0 , 1). R: 1
3 x y
7) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x³ – 3x + 4, no ponto (2 , 6). R: y = 9x – 12
8) Seja f(x) = x² – ln(x + 1) uma curva. Caso exista, determine a equação da reta tangente a esta curva, tal que seja normal a reta r: 3y + 3x = 6.
R: y = x – 0,75
9) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função 8
3 x
y , no ponto (4 , 8). R: y = 6x - 16
10) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x4 – 4x, no ponto (0 , 0).
R: y = -4x
11) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = 2cos(x) + 1, no ponto em que x = 0. R: y = 3
12) Determine a equação da reta tangente à função y = ex + 1 que seja paralela à reta y = x – 2. R: y = x + 2
REGRAS DE DERIVAÇÃO:
1) f(x) = c f’(x) = 0
2) f(x) = xn f’(x) = n.xn-1
3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’
4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’
5) v u x f( ) 2 ' ' ) ( ' v uv v u x f 6) f(x) = un f’(x) = n.un-1.u’ 7) f(x) = au f’(x) = au.ln a.u’ 8) f(x) = eu f’(x) = eu.u’ 9) f(x) = ln u u u x f'( ) ' 10) f(x) = log a u a u u x f ln . ' ) ( ' 11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u 12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u 13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u 14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u 15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u
16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u
17) f(x) = uv f’(x) = v.uv-1.u’ + uv.v’.ln u ) ' . ln ' ( ) ( ' x u v u v u f v
