Fundamentos Tecnológicos

Sistemas de equações

de 1º Grau

Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma

Geral de um sistema com duas variáveis.

 A forma genérica de um sistema de equações de 1º grau é dada por:

 Onde a, b, m e n são os coeficientes da equação, c e p são os termos independentes da equação e , x e y são as variáveis (incógnitas).

ቊ

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma

Geral de um sistema com duas variáveis.

 Resolver um sistema de equações, consiste de determinar os valores de

x e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações.

 Por exemplo, o sistema:

, pois apenas estes valores satisfazem ambas as igualdades.

൝

5𝑥 + 𝑦 = 16

2𝑥 − 3𝑦 = 3

tem solução para ቊ

𝑥 = 3

𝑦 = 1

൜

5𝑥 + 𝑦 = 5 . 3 + 1 = 15 + 1 = 16

2𝑥 − 3𝑦 = 2 . 3 − 3 .1 = 6 − 3 = 3

Problema envolvendo sistema de equação de

1º Grau

 Antônio e Gustavo vão disputar uma partida de lançamento de

dardos.

 Combinaram só valer ponto quando acertassem o centro do

alvo.

 Cada um lançaria dez vezes.

 Terminada a partida, os dois, juntos, marcaram 12 pontos e

Antônio ganhou por uma diferença de 8 pontos.

 Quantos pontos fez cada um?

Problema envolvendo sistema de equação de

1º Grau

 O primeiro passo é montar o sistema onde representamos os

pontos feitos por Antônio por x e os pontos feitos por Gustavo por y.

 Definidas as variáveis o próximo passo, consiste de montar o

sistema de equações com duas variáveis:

൜

𝑥 + 𝑦 = 12

𝑥 − 𝑦 = 8

Problema envolvendo sistema de equação de

1º Grau

 Este sistema pode ser resolvido de duas maneiras:

 A primeira é através do método da substituição, método que consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e substituir a expressão encontrada na outra equação.

 A segunda é através do método da adição, método que consiste em somar as equações anulando uma das variáveis.

Método da Substituição

 Dado o sistema:

1º) Escolhe-se uma das equações e isola-se um dos termos (x ou y).

2º) Substitui o valor do termo isolado na outra equação e determina-se o valor da outra variável.

൜

𝑥 + 𝑦 = 12

𝑥 − 𝑦 = 8

𝑥 + 𝑦 = 12

𝑥 = 12 − 𝑦

𝑥 − 𝑦 = 8

12 − 𝑦 − 𝑦 = 8

−2𝑦 = 8 − 12

−2𝑦 = −4

𝑦 =

= 2

𝑦 = 2

Método da Substituição

4º) Substituindo y=2 , em uma das equações tem-se:

Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2 ou seja:

𝑆 = {(10 , 2)}

 Após ter resolvido o sistema de equações, podemos concluir que

Antônio fez 10 pontos e Gustavo fez 2 pontos durante o jogo de dardos.

𝑥 + 𝑦 = 12

𝑥 = 12 − 𝑦

𝑥 = 12 − 2 = 10

Exercícios – Método da Substituição

 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o método

da substituição:

a)

൜

𝑥 = 5𝑦

𝑥 + 𝑦 = 12

b)

൜

𝑥 − 𝑦 = 10

2𝑥 + 3𝑦 = 10

c)

൜

𝑥 = 𝑦 + 3

4𝑥 + 𝑦 = −3

Método da Adição

 Dado o sistema do problema anterior (Jogo de dardos).

1º) Somando-se as equações temos:

2º) Isolando o termo anterior tem-se que:

൜

𝑥 + 𝑦 = 12

𝑥 − 𝑦 = 8

2𝑥 = 20

𝑥 =

= 10

𝑥 = 10

+

𝑥 + 𝑦 = 12

𝑥 − 𝑦 = 8

2𝑥 = 20

Método da Adição

4º) Substituindo x=10 , em uma das equações tem-se:

Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2 ou seja:

𝑆 = {(10 , 2)}

 Como no método anterior, também podemos concluir que

Antônio fez 10 pontos e Gustavo fez 2 pontos durante o jogo de dardos ou seja foram obtidos os mesmos resultados que satisfazem o sistema da equação.

𝑥 + 𝑦 = 12

𝑦 = 12 − 𝑥

𝑦 = 12 − 10

Exercícios – Método da Adição

 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o método

da adição:

a)

൜

𝑥 + 𝑦 = 6

2𝑥 − 𝑦 = 24

b)

൜

𝑥 + 2𝑦 = 5

𝑥 + 3𝑦 = 8

c)

൜

3𝑥 + 4𝑦 = −5

𝑥 − 2𝑦 = 5

Exercícios – Extraclasse

 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquer

um dos métodos de resolução vistos em sala de aula.

a)

൜

𝑥 + 𝑦 = 5

𝑥 − 𝑦 = 1

b)

൜

3𝑥 − 𝑦 = −2

2𝑥 − 𝑦 = −4

c)

൜

𝑥 + 𝑦 = 20

𝑥 − 3𝑦 = −12

Exercícios – Extraclasse

 Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquer

um dos métodos de resolução vistos em sala de aula.

d)

ቐ

3𝑥 − 𝑦 = 4

2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1

−𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 2

e)

ቐ

−𝑦 + 2𝑥 − 6𝑧 = 2

−4𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 = 4

−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3

Exercícios – Extraclasse

Problemas envolvendo sistemas de equações

de 1º Grau

1. Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a mais que na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer em cada etapa? R: (420 Km e 360 Km).

2. A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números. R: (9 e 6).

3. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas que se encontram no pátio? R: (13 carros e 39 bicicletas).

Exercícios – Extraclasse

 Dado o sistema abaixo resolva o seguinte sistema de frutas:

Exercícios – Extraclasse

 Considerando as balanças em equilíbrio, monte o sistema de

equações correspondente e determine o peso em gramas da pera e da maçã.

Exercícios – Desafio

 Qual é o valor da corrente e da tensão no resistor de 4 para o

circuito mostrado abaixo sendo as seguintes equações de malha.

ቐ

2𝐼

− 𝐼

= −2

−𝐼

+ 6𝐼

− 3𝐼

= 4

−3𝐼

+ 7𝐼

= 5

1=−0,39A, 𝐼2=1,22A, 𝐼3=1,24A

V4=4,94V

Exercício para pensar

 Um bêbado disse a seguinte frase:

“ Se ontem fosse amanhã, hoje seria sexta-feira”.

a) Qual foi o dia em que ele fez esta afirmação?

Utilizando os conceitos de sistema de equações vistos em sala de aula como que este problema poderia ser resolvido?