MicroFinanceira Lista1

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Lista de Exerc´ıcios I – Microeconomia Financeira

Mestrado Profissional

Universidade de Bras´ılia – Departamento de Economia

Jos´

e Guilherme de Lara Resende

PARTE 1 – INTRODUC¸ ˜AO

1.1) Suponha uma taxa de juros anual de 12%.

a) Se a capitaliza¸cão for semestral, qual será a taxa de juros anual efetiva? b) Se a capitaliza¸cão for trimestral, qual será a taxa de juros anual efetiva?

c) Se a capitaliza¸cão for mensal, qual será a taxa de juros anual efetiva? d) Se a capitaliza¸cão for diária, qual será a taxa de juros anual efetiva?

e) Se a capitaliza¸c˜ao for cont´ınua, qual ser´a a taxa de juros anual efetiva?

1.2) Suponha uma taxa de juros anual de 12% e que uma pessoa vai receber o valor de R$ 1.000.000 daqui a quatro anos.

a) Se a taxa de juros for composta anualmente, ent˜ao calcule o valor presente desse recebi-mento.

b) Se a taxa de juros for composta semestralmente, ent˜ao calcule o valor presente desse recebimento.

c) Se a taxa de juros for composta mensalmente, ent˜ao calcule o valor presente desse rece-bimento.

d) Se a taxa de juros for composta diariamente, ent˜ao calcule o valor presente desse recebi-mento.

e) Se a taxa de juros for composta continuamente, ent˜ao calcule o valor presente desse recebimento.

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PARTE 2 – REVIS ˜AO MATEM ´ATICA

2.1) Demonstre ou dˆe um contra-exemplo (pode utilizar diagramas de Venn para responder). a) A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A.

b) A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B.

c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

d) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (B ∩ A).

2.2) Mostre que:

a) S \ ∅ = S, S \ S = ∅ e ∅ \ S = ∅, para todo conjunto S ∈ U . b) A \ B = B \ A se, e somente se A = B.

c) Leis De Morgan: Para todos conjuntos A, B e C em U , vale que: • A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C), e

• A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).

2.3) Sejam f : A → B fun¸c˜ao, X, Y ⊂ A; Z, W ⊂ B conjuntos. Mostre os seguintes itens, se verdadeiro, ou dˆe um contra-exemplo, se falso.

a) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ). b) f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ). c) X ⊂ Y ⇔ f (X) ⊂ f (Y ). d) Z ⊂ W ⇔ f−1(W ) ⊂ f−1(Z). e) f−1(Z ∪ W ) = f−1(Z) ∪ f−1(W ). f) f−1(Z ∩ W ) = f−1(Z) ∩ f−1(W ).

2.4) Seja A o conjunto dos triˆ_{angulos do plano. Considere a regra f : R}+ → A, que a cada

número real não-negativo associa triângulo f (x) que possui área x. f é uma fun¸cão? Justifique sua resposta.

2.5) Seja f : A → B uma fun¸c˜ao.

a) Mostre que f−1(f (X)) ⊃ X, ∀X ⊂ A.

b) Mostre que f ´e injetiva se, e somente se f−1(f (X)) = X, ∀X ⊂ A. c) Mostre que f (f−1(Y )) ⊂ Y , ∀Y ⊂ B.

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2.6) Sejam X, Y e Z conjuntos não-vazios e considere f, g : X → Y e u, v : Y → Z fun¸cões arbitrárias. Prove que:

a) Se f é sobrejetiva e u ◦ f = v ◦ f , então u = v. b) Se u é injetiva e u ◦ f = u ◦ g, então f = g.

c) Se f e u são injetivas (sobrejetivas), então u ◦ f também é injetiva (sobrejetiva).

2.7) Calcule as seguintes derivadas: a) f (x) = 10x4_{+ 32x}2_{− 23x + 10.}

b) g(x) = x2_{× ln(x) (use o fato de que a derivada de ln(x) ´e 1/x)}

c) h(x) = ln (x2+ 2x)

d) Calcule as derivadas acima nos pontos x = 1 e x = 10.

e) Determine os pontos cr´ıticos, caso existam, das fun¸c˜oes descritas nos itens a), b) e c).

2.8) Calcule as derivadas parciais com rela¸cão a cada uma das variáveis para as fun¸cões abaixo: a) f (x, y) = 2x ln(y).

b) f (x, y, z) = 2x ln(y)_z .

c) f (x, y) = x2_y3 _{+ xy − 10y.}

d) f (x, y, z) = x2y3z + xy − 10y.

e) Calcule as derivadas parciais acima nos pontos (x, y) = (1, 1), quando a fun¸cão for de duas variáveis apenas, e no ponto (x, y, z) = (1, 1, 1) quando ela for de três variáveis.

2.9) Para as fun¸c˜oes descritas nos itens da quest˜ao 2.7), calcule as integrais definidas para os seguintes intervalos:

a) [1, 10]. b) [10, 20].

c) [1, 20].

d) Como as integrais calculadas para os itens a) e b) se relacionam com a integral calculada para o item c)? Esse resultado ´e esperado?

2.10) Para as fun¸c˜oes descritas nos itens da quest˜ao 2.8), calcule as integrais definidas para os seguintes intervalos:

a) Fun¸c˜oes itens a) e c): x ∈ [0, 10] e y ∈ [10, 20]

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PARTE 3 – REVIS ˜AO ESTAT´ISTICA

3.1) Sejam A, B e C trˆes eventos aleat´orios em um espa¸co de probabilidade (Ω, A, p). Mostre que:

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) e que:

p(A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A ∩ B) − p(A ∩ C) − p(B ∩ C) + p(A ∩ B ∩ C) Você consegue enunciar a propriedade similar que vale para o caso de n eventos aleatórios? 3.2) Certo experimento consiste em lan¸car um dado equilibrado duas vezes, independente-mente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabilidade condicional de:

a) pelo menos um dos n´umeros ser 6? b) a soma dos n´umeros ser 8?

3.3) Com rela¸c˜ao `a Teoria da Probabilidade, marque Verdadeiro ou Falso e justifique a sua resposta.

a) Sejam A e B eventos independentes que possuem a mesma probabilidade. Ent˜ao P (A | B) = P (B | A).

b) Se Ac _{denota o evento complementar do evento A, ent˜}_{ao P (A) + P (A}c_{) = 0.}

c) Se A, B são eventos disjuntos e C é um evento com P (C) 6= 0, então: P (A ∪ B | C) = P (A | C) + P (B | C) . d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se,

P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)

e) Se A e B são eventos com A ⊂ B, e C é um evento com P (C) 6= 0, então: P (Ac∩ Bc_{| C) = P (A}c_{| C) ,}

onde Ac _{e B}c _{representam os eventos complementares de A e B, respectivamente.}

f) Se A, B e C são eventos, então o evento “exatamente um dos eventos ocorre” é expresso na nota¸cão de conjunto como (A ∩ Bc_{∩ C}c_{) ∪ (A}c_{∩ B ∩ C}c_{) ∪ (A}c_{∩ B}c_{∩ C), onde E}c

denota o complementar do evento E, E um evento qualquer.

g) Se A e B s˜ao dois eventos quaisquer, ent˜ao P (A ∪ B) ≥ P (A) + P (B).

h) Se A, B e C s˜ao eventos com probabilidade positiva, ent˜ao P (A ∩ B ∩ C) = P (C | A ∩ B)P (B | A)P (A).

i) Se A e B s˜ao dois eventos quaisquer, onde P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 e P (A ∪ B) = 3/4, ent˜ao P (Ac_{∩ B) = P (A}c_{∩ B}c_{), onde A}c _{e B}c _{denotam os eventos complementares de A}

e B, respectivamente.

j) Se A e B s˜ao dois eventos quaisquer com probabilidade positiva, ent˜ao se P (A | B) > P (A) tem-se que P (B | A) > P (B).

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3.4) Em uma universidade, 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemática. Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é escolhido aleatoriamente:

a) A probabilidade dele estudar matem´atica ´e 0,255.

b) Se o estudante escolhido estuda matemática, então a probabilidade de que seja uma mulher é 0,09.

c) Se o estudante escolhido estuda matem´atica, ent˜ao a probabilidade de que seja um homem ´

e 0,647.

d) A probabilidade dele não estudar matemática é 0,65.

e) A probabilidade dele estudar matem´atica e ser homem ´e 0,165.

3.5) Sejam X e Y vari´aveis aleat´orias tais que E(X) = 3, E(Y ) = 2, E(X2_{) = 10, E(Y}2_{) = 7}

e E(XY ) = 6. Podemos afirmar que: a) Var(X + Y ) = 4.

b) Var(Y − X) = 3.

c) O coeficiente de correla¸cão entre X e Y é 0,5. d) X e Y são independentes.

e) X é uma variável aleatória simétrica em torno da sua média.

3.6) O pre¸co X de um produto é uma variável aleatória com fun¸cão densidade de probabilidade dada por f (x) = kx3_{, se 0 ≤ x ≤ 3, e 0 caso contr´}_{ario. Podemos afirmar que:}

a) O pre¸co m´edio deste produto ´e aproximadamente 2,42.

b) A probabilidade de o pre¸co ser menor do que 2 é menor do que 70%. c) A probabilidade de o pre¸co ser maior do que 1,5 é maior do que 50%. d) O valor de k é 1/80.

e) A variˆancia do pre¸co deste produto ´e aproximadamente 9,1.

3.7) A fun¸cão de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por:

fXY(x, y) =

4xy, se 0 < x < 1, 0 < y < 1 0, em caso contr´ario Responda os itens abaixo:

a) Calcule as fun¸cões de densidade de probabilidade e de distribui¸cão acumulada das variáveis aleatórias X e Y .

b) Calcule o valor esperado e a variância de X. c) Calcule o valor esperado e a variância de Y . d) Calcule a covariância e a correla¸cão entre X e Y .

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3.8) Considere a distribui¸cão de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias (X, Y ), de acordo com a tabela abaixo:

X −2 0 2 Y −2 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 2 1/8 1/8 1/8 Pode-se afirmar que:

a) O coeficiente de correla¸cão entre X e Y é igual a zero. b) As variáveis aleatórias X e Y são independentes.

c) Se Z = aX + b e W = cY + d, onde a, b, c e d são constantes com a e c diferentes de zero, então o coeficiente de correla¸cão entre Z e W pode ser diferente de zero.

d) A variˆancia de X ´e igual a 3.

e) O coeficiente de assimetria de X, dado por E[(X − EX)3_{], ´}_{e igual a 0.}

3.9) A probabilidade de que o pre¸co dos combust´ıveis aumente no mês vindouro é estimada em 0,4. Se isto ocorrer, a probabilidade de que os pre¸cos dos transportes coletivos também aumentem é de 0,5; caso contrário, esta probabilidade é de 0,1. Se naquele mês o pre¸co da passagens, de fato, subirem, qual a probabilidade de os pre¸cos dos combust´ıveis não terem sofrido majora¸cão?

3.10) Suponha que você está no show Porta dos Desesperados, do Serginho Malandro. Você tem que escolher uma entre três portas, nomeadas A, B e C. Atrás de uma dessas portas tem uma bicicleta, e atrás das outras duas têm palha¸cos com tortas que serão jogadas em você. Você escolhe a porta A. Serginho Malandro, que sabe o que está atrás de cada porta, abre uma outra porta, a B, que possui um dos palha¸cos. Ele pergunta se você quer trocar a sua escolha para a porta C. Calcule a probabilidade de que a bicicleta esteja atrás da porta C, dado que você escolheu a porta A inicialmente e dado que o Serginho Malandro abriu a porta B, que tinha um dos palha¸cos.

3.11) A probabilidade de uma arqueira acertar um alvo é de 80%. Suponha que ela dispare 4 flechas em dire¸cão ao alvo. Calcule a probabilidade dela acertar pelo menos 3 flechas no alvo. 3.12) Suponha que a probabilidade de ter um filho homem é 50%, e que essa probabilidade independe do sexo de outros filhos nascidos. Calcule quantos filhos uma fam´ılia deve ter para que ela tenha pelo menos uma filha e um filho com probabilidade de no m´ınimo 99%.