Usinagens de cavidades em formas arbitrarias

19 2. 39 8 U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A O E P A R T A M E N T O DE E N G E N H A R I A DE P R O D U Ç S O E S I S T E M A S U S I N A G E N S DE C A V I D A D E S E M F O R M A S A R B I T R Á R I A S D I S S E R T A Ç Ã O S U B M E T I D A A U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A P A R A A O B T E N Ç S O DO G R A U DE M E S T R E E M E N G E N H A - R I A F R A N C I S C O E S T E V Í O C O T A I F L O R I A N Ó P O L I S - SC

US INAGENS DE C A V I D A D E S E M F O R M A S A R B I T R Í R I A S F R A N C I S C O E S T E V X O C O T A E s t a d i s s e r t a ç ã o foi i u l g a d a a d e q u a d a p a r a o b t e n ç ã o do t í t u l o " M E S T R E EM E N G E N H A R I A " E s p e c i a l i d a d e E n g e n h a r i a de P r o d u ç ã o e a p r o v a d a em sua f o r m a final p e lo p r o g r a m a de P ó s - G r a d u a ç ã o Prof. R i c a r d o M i r a n d a B a r c i a , Ph.D. C o o r d e n a d o r do P r o g r a m a Prof. E d i s o n da R o s a, M . E n g .

R E S U M O E s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a u m m a c r o de a u x í l i o ao p r o g r a m a ­ dor e m s u a t a r e f a de c o n f e c ç ã o do p r o g r a m a CN, no q u e se r e f e r e este à p a r t e g e o m é t r i c a do p r o g r a m a GN. O p r e s e n t e m a c r o d e n o ­ m i n a d o " c a v i d a d e " t e m a f u n ç ã o de d e s b a s t a r a u t o m a t i c a m e n t e uma ár ea d e l i m i t a d a por um c o n t o r n o e x t e r n o f e c h a d o , d a d o por s e g m e n t o s de reta e a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a . N e s t a d i s s e r t a ç ã o sã o a p r e s e n t a d o s os f u n d a m e n t o s m a t e ­ m á t i c o s e c o m p u t a c i o n a i s d e s t e p r o c e s s a d o r g e o m é t r i c o . O s o f t w a r e p r o d u z i d o t e m o p ç ã o de e n t r a d a p r ó p r i a ou a t r a v é s de u m s i s t e m a CAD, no c a s o o C A D T E C ou A U T O C A D . A s a í d a de d a d o s , que dá o c a ­ m i n h o da f e r r a m e n t a ( f r e s a ) é s i m u l a d a no v í d e o , t e n d o - s e t a m b é m a o p ç ã o de g e r a r o p r o g r a m a C N na l i n g u a g e m da n o r m a D I N 8 6 0 2 5 , a t r a v é s de um p ó s - p r o c e s s a m e n t o . C o m o e x e m p l o , foi d e s e n v o l v i d o um q ue pós p r o c e s s a p a r a u m C e n t r o de U s i n a g e m da T h y s s e n H u l l e r N B H B 5 c o m C o m a n d o N u m é r i c o S i e m e n s

7

M , d I s p o n í v e I na U F SG . A s o l u ç ã o t e ó r i c a g e o m é t r i c a o b t i d a é e f i c a z , isto s i g ­ n i f i c a r á a base de u m C A M A u t o - P r o g r a m á v e l a d u a s d i m e n s õ e s c o m a u s i n a g e m do i n t e r i o r p a r a o e x t e r i o r da c a v i d a d e .

A B S T R A C T in this work, a s u b r o u t i n e f or a i d i n g p r o g r a m m e r s to c r e a t e the g e o m e t r i c p a r t s of a NC p r o g r a m is p r e s e n t e d . Th e s u b r o u t i n e call " c a v i d a d e " , p e r m i t s a u t o m a t e m i l l i n g of an a r e a e n c l o s e by a e xt e rn a l c o n t o u r , f o r m e d by l i n e s on c i r c l e arcs. T h e t h e o r i c a l and c o m p u t a t i o n a l f u n d a m e n t a l s of t h i s g e o m e t r i c p r o c e s s o r , are p r e s e n t e d . The p r o p o s e d s o f t w a r e a l l o w s inp ut s , to be i n t r o d u c e d by a C A D s y s t e m <eg. C A D T E C or A U T O C A D ) and also p r o v i d e s an s p e c i a l i n p u t p r o c e d u r e for e l e m e n t s and c o n t o u r . The t o o l ' s pat h, g i v e n as o u t p u t , is s i m u l a t e d at the c o m p u t e r s c r e e m b e i n g a l s o p o s s i b l e to c r e a t e , by p o s ~ p r o c e s s i n g , a NC p r o g r a m in D I N 6 6 0 2 5 l a n g u a g e . As an e x a m p l e a p o s - p r o c e s s o r for the* a v a i i a b I e M a c h i n i n g c e n t r e of T h y s s e n H u i l e r N B H 6 5 w i t h N u m e r i c a l C o n t r o l S i e m e n s 7M, is deveI o p e d . Th e t h e o r i c a l g e o m e t r i c s o l u t i o n o b t a i n e d is e f f i c a c i o u s , and t h e r e f o r e , g iv e t he b a s e s for a t w o d i m e n s i o n s A u t o - P r o g a m m i n g G A M w i t h m i l l i n g f r o m the i n n er to the o u t e r of the p o c k e t .

V S U M Á R I O C A P Í T U L O I 1. I N T R O D U Ç S O ... . . 1 ... 1 1.1. C o n s i d e r a ç õ e s I n i c i a i s ... .. 1 1.2. O r i g e m do T r a b a l h o ... ... .. 2 1.3. O b J e t i v o do T r a b a l h o ... 3 1.4. E s t r u t u r a do T r a b a l h o ... .. 3 C A P Í T U L O II 2. P R O G R A M A Ç Ã O ... .. 5 2.1. I n t r o d u ç ã o ... .. 5 2.2. P r o g r a m a ç ã o ... .... 5 2 . 3 . 1 . C a r a c t e r í s t i c a s d o s M é t o d o s de P r o g r a m a ç ã o ... .... 5 2 . 3 . 2 . P r o g r a m a ç ã o M a n u a l ...5 2 . 3 . 3 . P r o g r a m a ç ã o S e m i - A u t o m á t i c a ... ..6 2 . 3 . 4 . P r o g r a m a ç ã o A u t o m á t i c a ... ... ..6 2 . 3 . 5 . A u t o - P r o g r a m a ç ã o ... ..7 2 . 4 . 1 . M a c r o s de P r o g r a m a ç ã o ... ... ..7 2 . 4 . 2 . C o n t o r n o ... ... 8 2 . 4 . 3 . C a v i d a d e ( P o c k e t ) ... ..8

3. N O M E N C L A T U R A U T I L I Z A D A ... 3.1. I n t r o d u ç ã o ... 3 . 2 . 1 . C i r c u n f e r ê n c i a ... 3 . 2 . 2 . E s f e r a ... * ... 3 . 3 . 1 . E q u i d i s t a n t e ... 3 . 3 . 2 . E q u i d i s t a n t e à reta ... ... 3 . 3 . 3 . E q u i d i s t a n t e à c i r c u n f e r ê n c i a ... 3.4. S e n t i d o de d e s l o c a m e n t o ... 3 . 5 . 1 . C o n t o r n o ... 3 . 5 . 2 . C o n t o r n o f e c h a d o ... . . . . ; ... 3 . 5 . 3 . C o n t o r n o inicial ... ... 3 . 5 . 4 . C o n t o r n o de r e f e r ê n c i a ... 3 . 5 . 5 . C o n t o r n o d e r i v a d o ... 3 . 5 . 6 . S u b c o n t o r n o ... 3.6..C o n j u n t o c o n v e x o ... 3 . 7 . 1 . A r c o c ô n c a v o ... 3 . 7 . 2 . A r c o c o n v e x o ... ... 3.8. E l e m e n t o s c r i a d o s ... 3.9. S u b - e I e m e n t o s ... ... 3 . 1 0 . 1 . Á r e a da c a v i d a d e ... 3 . 1 0 . 2 . S u b - á r e a ... ... 3 . 1 0 . 3 . Â r e a c ô n c a v a ... 3 . 1 1 . 1 . S e t o r g e o m é t r i c o de r e f e r ê n c i a de a r c o ----3 . 1 1 . 2 . S e t o r g e o m é t r i c o de r e f . d e s e g m e n t o de reta 3 . 1 2 . C a n c e l a m e n t o ( s ) de e l e m e n t o ( s ) ... ... 3 . 1 3 . I n c e n t r o ... C A P Í T U L O III

VII C A P Í T U L O IV 4. C A V I D A D E S ... ... 20 4 . 1 . I n t r o d u ç ã o ...20 4 . 2 . C a v i d a d e ( P o c k e t ) ... - 20 4 . 3 . M é t o d o s de d e s b a s t e de uma c a v i d a d e ...20 4 . 4 . C a v i d a d e s ( P o c k e t s ) T i p o I ... .2 2 4 . 5 . C a v i d a d e s ( P o c k e t s ) T i p o II ... .26 C A P Í T U L O V, 5. E L E M E N T O S DO C O N T O R N O ... ... 29 5 . 1 . I n t r o d u ç ã o ... ... 29 5 . 2. F o r m a - c a n ô n i c a d o s e l e m e n t o s do C o n t o r n o ... 29 5 . 2 . 1 . F o r m a c a n ô n i c a da re ta ... ... 29 5 . 2 . 2 . F o r m a c a n ô n i c a p a r a a c i r c u n f e r ê n c i a ... 31 5 . 3 . D e s l o c a m e n t o d o s E l e m e n t o s ... ... 31 5 . 4. Us o de S e l e t o r e s ... 3 2 5 . 5 . P r o c e s s a m e n t o do c o n t o r n o inicial ... 34 C A P Í T U L O VI 6. D E S E N V O L V I M E N T O M A T E M Á T I C O ... ... .36 8 . 1 . I n t r o d u ç ã o ... ... ... 38 6 . 2 . 1 . C á l c u l o do I n c e n t r o do T r i â n g u l o ... ... .38 6 . 2 . 2 . i n c e n t r o s d o s P o l í g o n o s ... .39 6 . 2 . 3 . I n c e n t r o s de C a v i d a d e s ... .4 2 6 . 2 . 4 . C á l c u l o de i n c e n t r o s e m c a v i d a d e s ...43 6.3. D i v i s ã o do S u b c o n t o r n o ... .4 5 6 . 4. M o n t a g e m da í r v o r e de R e c o n h e c i m e n t o ... .49

V i 1 1 C A P Í T U L O VII 7. E S T R U T U R A DO S O F T W A R E ... .5 4 7 .1 . I n t r o d u ç ã o . ... ...5 4 7 .2. E n t r a d a dos d a d o s g e o m é t r i c o s do c o n t o r n o . ...55 7 . 3 . P r o c e s s a m e n t o do c o n t o r n o Inicial ... ... 57 7.4. P r é - p r o c e s s a m e n t o g e o m é t r i c o ...57 7 . 5 . E n t r a d a dos d a d o s t e c n o l ó g i c o s ... .59 7 . 6 . 1 . S a í d a d o s d a d o s ... ... .60 7 . 6 . 5. S a í d a p e l o v í d e o ... ... 64 7 . 6 . 3 . S a í d a por p ó s - p r o c e s s a m e n t o ... . 85 C A P Í T U L O VIII 8. C O N C L U S Õ E S ... 67 8.1...I n t r o d u ç ã o ... ... 67 8.2. L i m i t a ç õ e s do P r o c e s s a d o r G e o m é t r i c o ... 67 8.3. OtI m l z a ç ã o ... ... 67 8.4. C o n c l u s õ e s ... 88 8. 5. E x t r a p o l a ç õ e s e s u g e s t õ e s ... 70 B I B L I O G R A F I A ... 73 A P Ê N D I C E A ... 76 A P Ê N D I C E B ... ... 79 A P Ê N D I C E C ... 87 A P Ê N D I C E 0 97

... .. 116 A P Ê N D I C E E ...

1 X

C A P Í T U L O I 1. I N T R O D U Ç Ã O 1.1. C o n s i d e r a ç õ e s in i c i a i s A n e c e s s i d a d e c r e s c e n t e das i n d u s t r i a s r a c i o n a l i z a r e m os m é t o d o s de p r o d u ç ã o d e s e n c a d e o u u m p r o c e s s o c a d a vez m a i o r de m u d a n ç a s d os s i s t e m a s t r a d i c i o n a i s de p r o d u ç ã o p a r a os p r o c e s s o s a u t o m a t i z a d o s . Esta a u t o m a t i z a ç ã o e s t á v i n c u l a d a d i r e t a m e n t e a os a v a n ç o s da m i c r o e l e t r ô n i c a , e se t o r n a e v i d e n t e q u a n d o se d e p a r a c o m a i m e n s i d ã o de a p l i c a ç õ e s do c o m p u t a d o r a t u a l m e n t e . Na f a b r i c a ç ã o o c o m p u t a d o r é u t i l i z a d o no P l a n e j a m e n t o e C o n t r o l e da P r o d u ç ã o , C o n t r o l e de Q u a l i d a d e , c o n t r o l e de P r o c e s ­ sos e na P r o g r a m a ç ã o das M a q u i n a s de C o m a n d o N u m é r i c o < C N ) , n o p r ó p r i o c o m a n d o da m á q u i n a , e n t r e o u t r a s a p l i c a ç õ e s . O in í c i o do C o m a n d o N u m é r i c o na d é c a d a de c i n q u e n t a se deu a n t e s da d i f u s ã o dos s i s t e m a s r í g i d o s de p r o d u ç ã o ( t i p o l i n h a s t r a n s f e r ) , e c o m f i n a l i d a d e t o t a l m e n t e d i f e r e n t e : f a ­ b r i c a ç ã o de p e ç a s c o m p l e x a s em p e q u e n a e s c a l a p ar a o uso na i n d u s t r i a a e r o e s p a c i a l .

Sua u t i l i z a ç ã o ini ci al foi p a r a o f r e s a m e n t o o n d e a c o m p l e x i d a d e dos m o v i m e n t o s da f e r r a m e n t a e m geral é m a i o r , c o m os b o n s r e s u l t a d o s o b t i d o s , o C N p a s s o u a ser u t i l i z a d o t a m b é m e m o u t r o s p r o c e s s o s , t a i s c o m o , f u r a ç ã o , t o r n e a m e n t o , d o b r a m e n

-2 to, e I e t r o e r o s ã o , r e t i f i c a , s o l d a g e m , r o b ó t i c a , etc. E s t e p r o c e s s o g e r o u uma n o v a f u n ç ã o ; a do p r o g r a m a d o r de p e ç a s ( p r o c e s s i s t a ) de C o m a n d o N u m é r i c o . L e n t a m e n t e s u r g i r a m l i n g u a g e n s e a p l i c a t i v o s que a u x i l i a m os p r o g r a m a d o r e s n e s t a á r d u a t a r e f a . De a c o r d o c o m /1B/ e x i s t i a m e m 1 9 7 0 c e r c a de t r i n t a e t r ê s l i n g u a g e n s , e a c r e d l t a - s e q u e e x i s t a m a t u a l m e n t e m a i s de c e m l i n g u a g e n s d i f e r e n t e s / 6 / , l e v a n d o - s e e m c o n s i d e r a ç ã o as l i n g u a g e n s c o m a p l i c a ç õ e s e s p e c í f i c a s e f a c i l i d a d e s de e n t r a d a e s aí d a. 0 t r a b a l h o q u e s e r á d i s s e r t a d o r e f e r e - s e à p a r t e g e o m é ­ t r i c a dos m é t o d o s de p r o g r a m a ç ã o enu G o m a n d o N u m é r i c o . 1.2. O r i g e m do T r a b a l h o C o m o d i t o a n t e r i o r m e n t e a f u n ç ã o do p r o c e s s i s t a é nova, e é h o J e um dos g a r g a l o s na f a b r i c a ç ã o , e m f u n ç ã o da f a l t a de b o n s p r o g r a m a d o r e s . De a c o r d o c o m /3/ e / 8 / ; não e x i s t e m bons p r o c e s s i s t a s c a p a z e s de u t i l i z a r os a v a n ç o s d i s p o n í v e i s na á r e a de C o m a n d o N u m é r i c o (CN). E s t e t r a b a l h o vai ao e n c o n t r o da s o l u ç ã o d e s t e p r o b l e ­ ma, ou seJa, a u x i l i a r o p r o g r a m a d o r e m s u a s t a r e f a s : e f e t u a n d o os c á l c u l o s c o m s e g u r a n ç a , o t i m i z a n d o e s i m u l a n d o s e u s r e s u l t a ­ dos, e é Isto uma d a s b a s e s da c o m p u t a ç ã o . A p a r t i r d e s t e t r a ­ b a l h o o b t e r - s e - a u ma r e d u ç ã o no c u s t o da p r o d u ç ã o de P r o g r a m a s CN, qu e é s i g n i f i c a t i v o em r e l a ç ã o ao c u s t o da f a b r i c a ç ã o de uma p e ç a u n i t á r i a , isto t o r n a - s e v e r d a d e p o i s o CN, a i n d a hoJ e , é m a i s a p l i c a d o pa r a lot es p e q u e n o s e m é d i o s .

3 1.3-. O b j e t i v o O o b j e t i v o é t o r n a r t r a n s p a r e n t e o c e r n e de u m p r o c e s ­ s a d o r g e o m é t r i c o em d ua s d i m e n s õ e s , e e l a b o r a r u m p r o g r a m a que d e t e r m i n e t o d o o p e r c u r s o de u s i n a g e m de u m a f e r r a m e n t a ( f r e s a ) a p a r t i r da p r o g r a m a ç ã o do c o n t o r n o e x t e r n o de u m a c a v i d a d e , d a ­ do por s e g m e n t o s de reta e ar c o s de c i r c u n f e r ê n c i a . Oo p e r c u r s o d e t e r m i n a d o é g e r a d o u m p r o g r a m a - p e ç a d i r e c i o n a d o a u m C e n t r o de U s i n a g e m ou uma F r e s a d o r a que u t i l i z a C o m a n d o N u m é r i c o , t e n d o c o m o c o n s e q u ê n c i a o d e s b a s t e I n t e r n o ao c o n t o r n o . 0 m é t o d o das e q u i d i s t a n t e s , e m vez de z i g u e z a g u e de c o r t e da c a v i d a d e , foi e s c o l h i d o por ser uma s o l u ç ã o o t i m i z a d a p a r a c a v i d a d e s c o m p l a n o s de c o r t e s p a r a l e l o s . Uma c a r a c t e r í s t i c a a d i c i o n a l do t r a b a l h o é m o s t r a r a n e c e s s i d a d e de se f a z e r u m l e v a n t a m e n t o inicial de t o d o o d e s m e m b r a r da c a v i d a d e , c o m o s e r á v i s t o ad i a n t e . 1.4. E s t r u t u r a do T r a b a l h o E s t e t r a b a l h o e s t á d l v i d l v o e m o i t o c a p í t u l o s e a d i c i o ­ n a d o por s e i s a p ê n d i c e s que c o n t é m e x e m p l o s de e n t r a d a e s a í d a dos r e s u l t a d o s o b t i d o s , c á l c u l o s m a t e m á t i c o s , e o p r o g r a m a . No p r i m e i r o c a p í t u l o são a p r e s e n t a d o s a o r i g e m e o b J e -ti vos do t r a b a lho. O s e g u n d o c a p í t u l o d e s c r e v e s o b r e a P r o g r a m a ç ã o e m M á q u i nas de C N . O t e r c e i r o c a p í t u l o r e l a c i o n a a n o m e n c l a t u r a u t i l i z a d a

no t r a b a l h o . O q u a r t o c a p í t u l o , d e n o m i n a d o " c a v i d a d e s " , d i s c o r r e à o- bre os d o i s tip os de c o m p o r t a m e n t o g e o m é t r i c o d e s t a s , e se u s m é t o d o s de d e s ba s te . Na p r i m e i r a p a r t e do q u i n t o c a p í t u l o é d i s c u t i d a a m e l h o r f o r m a de m a n u s e i o d os e l e m e n t o s do c o n t o r n o , e a s e g u n d a p a r t e nos dá a s e q u ê n c i a de p r o c e s s a m e n t o do c o n t o r n o i n i c i a i . O c a p í t u l o s e x t o , i n t i t u l a d o D e s e n v o l v i m e n t o M a t e m á t i ­ co, d e s e n v o l v e a base m a t e m á t i c a das i d é i a s e n v o l v i d a s , no t r a b a l h o . No s é t i m o c a p í t u l o é m o s t r a d a ; a o r g a n i z a ç ã o do s o f t w a r e c o n s t r u í d o . O ú l t i m o c a p í t u l o a p r e s e n t a os l i m i t e s do p r o c e s s a d o r g e o m é t r i c o , c o n c l u s õ e s , e x t r a p o l a ç õ e s e s u g e s t õ e s . 4

C A P Í T U L O II 2. P R O G R A M A Ç Ã O 2.1. I n t r o d u ç i o E s t e c a p í t u l o r e f e r e - s e à p r o g r a m a ç ã o e m C o m a n d o N u m é r i co. 2.2. P r o g r a m a ç ã o 0 qufr o b i e t l v a a P r o g r a m a ç a o ? O b t e r um a s e q u ê n c i a de i n f o r m a ç õ e s g e o m é t r i c a s e t e c n o l ó g i c a s c o d i f i c a d a s e m f o r m a u t i l i z á v e l na u n i d a d e de c o n t r o l e da m á q u i n a f e r r a m e n t a . 2 . 3 . 1 . C a r a c t e r í s t i c a s d os M é t o d o s de P r o g r a m a ç ã o . A p r e p a r a ç ã o do p r o g r a m a C N por u m p r o c e s s i s t a p o d e ser o b t i d a e m t r ê s f o r m a s b á s i c a s /21/, / 2 2 / , / 24 / qu e são: m a n u a l , s e m i - a u t o m á t I ca e a u t o m á t i c a . 2 . 3 . 2 . P r o g r a m a ç ã o M a n u a l Na p r o g r a m a ç ã o m a n u a l , o p r o g r a m a CN é p r e p a r a d o em f o r m a de s e n t e n ç a s de p r o g r a m a ç ã o p e l a s I n f o r m a ç õ e s do d e s e n h o da p e ç a c o m o m e s m o f o r m a t o das f l t a s p e r f u r a d a s , isto é, no c ó d i g o de m á q u i n a CN, e t e m as s e g u i n t e s c a r a c t e r í s t i c a s : - U t i l i z a m á q u i n a p e r f u r a d o r a de f i ta , c a l c u l a d o r a s e t a b e l a s m a t e m á t i c a s , não h a v e n d o e n t ã o n e c e s s i d a d e de s o f i s t i c a ç ã o c o m p u t a c i o n a l .

m e n t a r , não e x i g i n d o g r a n d e s r e cu rs o s. - D e m a n d a m u i t o t e m p o na e l a b o r a ç ã o dos p r o g r a m a s , v a r i a n d o d i r e t a m e n t e à c o m p l e x i d a d e das p e ç a s . - o p r o g r a m a é e s p e c í f i c o p a r a d e t e r m i n a d o m o d e l o de m á q u i n a f e r r a m e n t a , n e c e s s i t a n d o p o is, de c o n h e c i m e n t o s e e x p e r i ê n c i a s e s p e c í f i c a s p ar a cada m á q u i n a . - A o t i m i z a ç ã o é o n e r o s a d e v i d o a o s c á l c u l o s e n v o l -v i d o s . - R e s p o n s a b i l i d a d e da f a b r i c a ç ã o é do p r o c e s s i s t a . - D i f i c u l d a d e de v e r i f i c a ç ã o do p r o g r a m a . 2 . 3 . 3 . P r o g r a m a ç ã o S e m i - A u t o m á t I ca Na p r o g r a m a ç ã o s e m i - a u t o m á t i c a a g e r a ç ã o do p r o g r a m a CN é e f e t u a d a de m a n e i r a u m p o u c o m a i s c o n f o r t á v e l do que a p r o g r a ­ m a ç ã o m a n u a l , po i s f a z - s e o uso de mini e m i c r o c o m p u t a d o r e s e s i s t e m a s de a p o i o como: - A p o i o m a t e m á t i c o , c o m o i n t e r s e c ç ã o e a r r e d o n d a m e n t o e n t r e os e l e m e n t o s . - A u x í l i o na e d i ç ã o de p r o g r a m a s . - A u x í l i o c o m a i u d a de m a c r o s . - S i m u l a ç ã o do p r o g r a m a no c o m p u t a d o r . 2 . 3 . 4 . P r o g r a m a ç ã o A u t o m á t i c a Na p r o g r a m a ç ã o a u t o m á t i c a o p r o g r a m a d o r f o r m u l a o p r o ­ g r a m a C N não m a i s s e n t e n ç a a s e n t e n ç a , m a s c o m d e c l a r a ç õ e s m a i s c o m p l e t a s de uma l i n g u a g e m o r i e n t a d a p a r a a p r o g r a m a ç ã o das p e ç a s , t e n d o as c a r a c t e r í s t i c a s como: - u t l l l z a - s e t a m b é m c o m p u t a d o r de g r a n d e p orte. - L i n g u a g e m de a l t o nlvel c o m p ó s - p r o c e s s a m e n t o . 8

- R e c u r s o s m a i s p o d e r o s o s f a c i l i t a n d o a d e f i n i ç õ e s de e I e m e n t o s . - P r o c e s s a d o r t e c n o l ó g i c o i n t r í n s e c o 2 . 3 . 5 . A u t o - P r o g r a m a ç ã o P e r c e b e - s e que no p r o c e s s o e v o l u t i v o da p r o g r a m a ç ã o há uma t e n d ê n c i a do p r o c e s s i s t a e x e c u t a r m e n o s t a r e f a s r e p e t i t i v a s , c o n s e q u e n t e m e n t e os p r o g r a m a s vão d i m i n u i n d o de t a m a n h o a t r a v é s da i n s e r ç ã o de m a c r o s , d i m i n u i n d o a q u a n t i d a d e de e r r o s e o t e m p o de e l a b o r a ç ã o do p r o g r a m a . No p r o c e s s o de d e s e n v o l v i m e n t o da p r o g r a m a ç ã o c a d a e t a p a t e n d e a i n c o r p o r a r os a v a n ç o s a n t e r i o r e s . S u a e v o l u ç ã o d e v e c h e g a r a o u t r o m é t o d o de o b t e n ç ã o do p r o g r a m a GN: a A u t o - P r o g r a m a ç ã o . N ele, o s i s t e m a g e r a o p r o g r a m a C N d i r e t a m e n t e dos d a d o s g e o m é t r i c o s e t e c n o l ó g i c o s , s e m a n e c e s s i d a d e de um p r o g r a m a d o r . 2 . 4 . 1 . M a c r o s de P r o g r a m a ç ã o S ã o m ó d u l o s de p r o g r a m a ç ã o q u e a u x i l i a m o t r a b a l h o do p r o g r a m a d o r , f a c i l i t a n d o a e l a b o r a ç ã o de t r e c h o s r e p e t i t i v o s de p r o g r a m a s (Ex. c o n t o r n o ,c a v l d a d e s >. É c o m u m a e x i s t ê n c i a de p e ç a s tot a l ou p a r c i a l m e n t e s i m i l a r e s e m s u a s c a r a c t e r í s t i c a s g e o m é t r i c a s , n e s t e c a s o não há a n e c e s s i d a d e de se f az e r t o d o um n o v o p r o g r a m a , pois o q u e m u d a s ão a l g u n s p a r â m e t r o s na p r o g r a m a ç ã o . E s p e c i f i c a m e n t e no f re sarnento t e m - s e , por e x e m p l o , os s e g u i n t e s m a c r o s p a r a m é t r i c o s : - F r e s a m e n t o de topo; - F r e s a m e n t o de c a v i d a d e c i r c u l a r ; - F r e s a m e n t o de c a v i d a d e s q u a d r a n g u I a r e s .

8 2 . 4 . 2 . C o n t o r n o O c o n t o r n o é d e f i n i d o c o m o u ma s e q u ê n c i a de e l e m e n t o s ( s e g m e n t o s de reta e a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a ) c o n e c t a d o s , for m a n d o u m perfil ú n i c o c o n t í n u o . O c o n t o r n o é b a s t a n t e u t i l i z a d o nos s i s t e m a s de g e r a ç ã o de p r o g r a m a s C N ( AP T /1 / , E X A P T / 2 / , C O M P A C T I I / 1 7 / . N E L A P T / 1 6 / ) e m f u n ç õ e s como: g e r a ç ã o de c o r t e s e q u i d i s t a n t e s a t r a v é s de r e d u ç ã o ou a u m e n t o d e s t a s e q u ê n c i a de e l e m e n t o s . O c o n t o r n o pode ser f e c h a d o ou a b e r t o , e n e s t e t r a b a l h o t r a t a r - s e - a a p e n a s dos c i c l o s f e c h a d o s , o n de o ú l t i m o e l e m e n t o i n t e r c e p t a o p r i m e i r o , f o r m a n d o um c i c l o f e c h a d o . 2 . 4 . 3 . C a v i d a d e ( P o c k e t ) O u t r o m a c r o p o d e r o s o e x i s t e n t e e m v á r i o s s o f t w a r e s é o d e n o m i n a d o " c a v i d a d e " ( p o c k e t ) . E s t e m a c r o t e m a s e g u i n t e f u n ç ã o de d e s b a s t a r a u t o m a t i c a m e n t e u ma á r e a d e l i m i t a d a por u m c o n t o r n o f e c h a d o . Pa r a sua o p e r a ç ã o o p r o c e s s i s t a i ns e r e o c o n t o r n o e x t e r n o de uma c a v i d a d e e o s i s t e m a g e r a o p r o g r a m a que e f e t u a o d e s b a s t e i n t e r n o a e s t e c o n t o r n o . E s t e t r a b a l h o d e s e n v o l v e um m a c r o p a ra e s s a f u n ç ã o c a v i d a d e . 0 p r o g r a m a " c a v i d a d e " foi d e s e n v o l v i d o p ar a o p e r a r no s i s t e m a DOS, em m i c r o c o m p u t a d o r e s do t i p o c o m p a t í v e l ao IBM PC. Foi e s c r i t o em B a s i c e n e s t e e s t á g i o atual o c u p a 7 5 K b y t e s de m e m ó r i a . Há v á r i a s l i n g u a g e n s q u e u t i l i z a m o m a c r o " p o c k e t , por e x e m p l o : C O M P A C T II, N E L A P T e E X A P T o f e r e c e m " p o c k e t s " a b a s e de U n h a s e a r c o s no e n t a n t o o . A P T na v e r s ã o IV ! M a p r e s e n t a um " p o c k e t " l i m i t a d o a p o l í g o n o s c o n v e x o s c o m no m á x i m o v i n te

e l e m e n t o s . P o d e - s e m a n u a l m e n t e s u b d i v i d i r u m a c a v i d a d e c o m p l e x a e m " p o c k e t s " p o l i g o n a i s a u x i l i a n d o o d e s b a s t e i n t e r n o , n e s t e caso o p r o g r a m a d o r t e m a p e n a s que e x e c u t a r o p a s s e e x t e r n o da c a v i d a d e , c a s o s e j a n e c e s s á r i o . P o d e - s e t a m b é m c o n c e i t u a r o " p o c k e t " d e s e n v o l v i d o n e s t e t r a b a l h o c o m o p r o c e s s a d o r g e o m é t r i c o , por a p r e s e n t a r as s e g u i n ­ tes c a r a c t e r í s t i c a s : 1 - a u x i l i a r o r e c e b i m e n t o dos d a d o s de e n t r a d a , 2 - e f e t u a r c á l c u l o s g e o m é t r i c o s e d e t e r m i n a r o c a m i n h o da f e r r a m e n t a , 3 - e m i t i r u m a r q u i v o de s a í d a que s e r á o p r o g r a m a CN. C o m e s t e s d a d o s pode h a v e r e n t ã o uma a p l i c a ç ã o e s p e c í f i c a na u s l n a g e m de m a t r i z e s . E x i s t e m e m p r e s a s que c o m e r c i a f I z a m s o f t w a r e s G A D / C A M no B r a s i l , que i n c l u e m m a c r o s d e n o m i n a d o s " p o c k e t s " , por e x e m p l o : M u l t i c a d c o m s i s t e m a C A L M A , C o m p u g r a f c o m s i s t e m a E U C L I D ,S i s g r a f c o m s i s t e m a I N T E R G R A P H e C o m i c r o c o m s i s t e m a p a r a m i c r o V e r s a C A D / S m a r t C A M .

C A P Í T U L O IIt 3. N O M E N C L A T U R A U T I L I Z A D A 3.1. I n t r o d u ç ã o N e s t e c a p í t u l o s e r ã o r e l a c i o n a d o s e e x p l i c a d o s a l g u n s t e r m o s u t i l i z a d o s f r e q u e n t e m e n t e no d e s e n r o l a r do t r a b a l h o , s e r v i n d o a s s i m como uma t e r m i n o l o g i a p a r a o m e s m o . 3 . 2 . 1 . C i r c u n f e r ê n c i a : L u g a r g e o m é t r i c o dos p o n t o s n u m p l a n o que e q u i d i s t a m de um pon to fixo. 3 . 2 . 2 . E s f e r a : L u g a r g e o m é t r i c o d os p o n t o s

que .

e q u i d i s t a m de um p o n t o fixo. 3 . 3 . 1 . E q u i d i s t a n t e (t>: É u m v a l o r da d i s t â n c i a e n t r e e l e m e n ­ tos ( s e g m e n t o s de reta e a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a ) , s u b s e q u e n ­ t e m e n t e d i s t â n c i a e n t r e c o n t o r n o s . 3 . 3 . 2 . E q u i d i s t a n t e à reta: L u g a r g e o m é t r i c o d os p o n t o s que e s t ã o a uma d i s t â n c i a c o n s t a n t e (t) a uma d e t e r m i n a d a reta. E n ­ t ã o s e r i a t o d a reta p a r a l e l a a um a reta de r e f e r ê n c i a ( f i g . 3 . 1 ) , c o m o c o n s e q u ê n c i a a i n c l i n a ç ã o de q u a l q u e r reta e q u i d i s t a n t e é a m e s m a da r et a de r e f e r ê n c i a .

11

reta de r e f e r ê n c i a

F i g u r a 3.1 - E q u i d i s t a n t e s è reta

3 . 3 . 3 . E q u i d i s t a n t e à c i r c u n f e r ê n c i a : L u g a r g e o m é t r i c o d o s p o n ­ tos q ue e s t ã o a uma d i s t â n c i a c o n s t a n t e de uma d e t e r m i n a d a c i r c u n f e r ê n c i a ( f i g u r a 3 . 2 ) , isto nos d a r á c o m o c o n s e q u ê n c i a c i r c u n f e r ê n c i a s c o n c ê n t r i c a s ( m e s m o c e n t r o ) . No t r a b a l h o se u t i l i z a r á a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a , n a t u r a l m e n t e o m e s m o r a c i o c i n t o é v á l i d o .

C i r c u n f e r ê n c i a de

re f e r ê n c i a

C irc unf e r ê n c i a s

e q u i d i s t a n t e s F i g u r a 3 . 2 - E q u i d i s t a n t e s à c i r c u n f e r ê n c i a

3.4. S e n t i d o de d e s l o c a m e n t o (k = 1 ou -1): S e n t i d o de d e s l o c a ­ m e n t o dos e l e m e n t o s . P a r a as re tas a d o t o u - s e a a b c i s s a c o m o p r i m e i r a o p ç ã o de c á l c u l o , e n t ã o q u a l q u e r t r a n s l a ç ã o q ue e n v o l v a a u m e n t o da a b c i s s a s i g n i f i c a k = 1 e n a t u r a l m e n t e p a r a u m a d i m i ­ n u i ç ã o da a b c i s s a k = -1 <flgs.3.3a' e 3 . 3 b ) . No c a s o d o s a r c o s , se e s t e for c ô n c a v o , k = 1, c o n s e q u e n t e m e n t e k= -1 p a r a o a r c o c o n v e x o . 12 Figs. 3 . 3 a e 3 . 3 b - S e n t i d o de d e s l o c a m e n t o das r e t a s 3 . 5 . 1 . C o n t o r n o : É d e f i n i d o c om o uma s e q u ê n c i a de e l e m e n t o s ( s e g m e n t o s de reta e a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a ) c o n e c t a d o s f o r ­ m a n d o um p er f il ú n i c o c o n t í n u o . 3. 5. 2 . C o n t o r n o f e c h a d o : é o c o n t o r n o e m q u e o ú l t i m o e l e m e n t o i n t e r c e p t a o p r i m e i r o e l e m e n t o f o r m a n d o c o n s e q u e n t e m e n t e u m c i ­ clo f e c h a d o . N e s t e t r a b a l h o só s e r ã o m a n u s e a d o s c o n t o r n o s fe c h a d o s . 3 . 5 . 3 . C o n t o r n o inicial (t =0): é o c o n t o r n o f o r m a d o p e l o s e l e ­ m e n t o s ( s e g m e n t o s de reta e a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a ) , e s t e s sao os d a d o s de e n t r a d a i n i c i a l , c o n s e q u e n t e m e n t e é o p e rf i l e x t e r n o

13 da c a v i d a d e . 3 .5 . 4 . C o n t o r n o de r e f e r ê n c i a < t =0 ): é o c o n t o r n o f o r m a d o p e ­ los e l e m e n t o s de e n t r a d a , c o n t u d o a c r e s c i d o s d o s a r c o s c ô n c a v o s de ra i o z e r o i n s e r i d o s p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d os c o n t o r n o s d e r i v a d o s , q u a n d o e s t e s f o r e m n e c e s s á r i o s . T a m b é m p o d e ser d e f i n i d o c o m o o c o n t o r n o d e r i v a d o de d e s l o c a m e n t o n u l o < t = 0). 3 . 5 . 5 . C o n t o r n o d e r i v a d o ( t > = 0): Q u a l q u e r c o n t o r n o f e c h a d o que e q u i d i s t a do c o n t o r n o i ni c ia l . N e s t e t r a b a l h o só s e r ã o g e r a d o s c o n t o r n o s i n t e r n o s ao c o n t o r n o inicial ( f i g 3 . 4 ) . 3 .5 . 6 . S u b c o n t o r n o < t > =0 ) : C o n t o r n o que e q u i d i s t a do c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a e que a p r e s e n t a a l g u m a m o d i f i c a ç ã o a e s t e (fig 3.4). A m e s m a a n a l o g i a é u t i l i z a d a m e s m o q u a n d o - s e e s t i v e r g e r a n d o s u b c o n t o r n o de o u t r o s u b c o n t o r n o . E n t ã o q u a l q u e r s u b ­ c o n t o r n o s e r á d i f e r e n t e de o u t r o s u b c o n t o r n o . 0 p r i m e i r o s u b ­ c o n t o r n o é c o n s i d e r a d o o p r ó p r i o c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a (t=0). F i g u r a 3 . 4 - C o n t o r n o s da c a v i d a d e

3.6. C o n j u n t o c o nv ex o : é a q u e l e o nd e t o m a n d o - s e q u a i s q u e r d o i s p o n t o s p e r t e n c e n t e s ao c o n j u n t o i n t e r n o e. I l g a n d o - o s por m e i o de uma r e t a t e m - s e os p o n t o s d e s t e s e g m e n t o de r e t a p e r t e n c e n t e s ao c o n j u n t o , c a so c o n t r á r i o e s t e c o n j u n t o é d i t o c ô n c a v o < f l g . 3 . 5 ) . P a r a u m s i s t e m a de d ua s d i m e n s õ e s m a t e m a t i c a m e n t e se r ia : x = h * xl + < 1 - h) * x2 y = h * yl + ( 1 - h> * yS o n de ( x 1 ,y 1) e < x 2 , y 2 ) slo p o n t o s p e r t e n c e n t e s ao c o n ­ j u n t o S e h é um n ú m e r o real p e r t e n c e n t e ao i n t e r v a l o C O , 13, e n ­ tão c o n s t r o i - s e a reta c o m p o s t a p e l o s p o n t o s < x ,y) e n t r e os p o n ­ tos < x 1 , y 1 ) e < x 2 ,y 2 ) d e t e r m i n a d a p e l a v a r i a ç ã o do p a r â m e t r o h. 14 F i g u r a 3 . 5 - C o n j u n t o c ô n c a v o 3 . 7 . 1 . A r c o c ô n c a v o : é a q u e l e q ue q u a n d o o b s e r v a d o do e x t e r i o r da c a v i d a d e p a r a o i n t e r i o r (o c e n t r o do a r c o se p o s i c i o n a ao lado do o b s e r v a d o r ) se a p r e s e n t a m e n o s e l e v a d o ao c e n t r o < f i g u r a 3 . 6 ) , c o m o c o n s e q u ê n c i a no m o m e n t o de se g e r a r e q u i d i s t a n t e s p a r a o i n t e r i o r da c a v i d a d e o seu ralo t e r á o v a l o r a u m e n t a d o .

15 F i g u r a 3 . 8 - A r c o c ô n c a v o e c o n v e x o 3 . 7 . E. Ar c o c o n v e x o : é a q u e l e qu e q u a n d o o b s e r v a d o de e x t e r i o r da c a v i d a d e para o i n t e r i o r ( o c e n t r o do a r c o se p o s i c i o n a do lado o p o s t o ao o b s e r v a d o r ) se a p r e s e n t a m a i s e l e v a d o ao c e n t r o , c o m o c o n s e q u ê n c i a no m o m e n t o de se g e r a r e q u i d i s t a n t e s p a r a o In­ t e r i o r da c a v i d a d e o seu raio t e r á o v a l o r d i m l n u i d o < f i g . 3 . B ) . 3.8. E l e m e n t o s c r i a d o s : P a r a r e p r e s e n t a r f i e l m e n t e um c o n t o r n o d e r i v a d o é n e c e s s á r i a a i n s e r ç ã o de u m a r c o c ô n c a v o q u a n d o o â n g u l o e n t r e e l e m e n t o s a d j a c e n t e s é m a i o r do que 180 g r a u s ( f i g u r a 3.7 ) . N a t u r a l m e n t e e s t e p r o c e d i m e n t o só s e r á e f e t u a d o a p ó s a e n t r a d a do c o n t o r n o i n i c i a l . F i g u r a 3 . 7 - E l e m e n t o c r i a d o (6 1

3.3. S u b - e l e m e n t o s : A fi m de r e p r e s e n t a r t o d o c o n t o r n o d e r i v a ­ do, as v e z e s é n e c e s s á r i a a s u b d i v i s ã o do c o n t o r n o e m o u t r o s < f i g u r a 3 . 8 ), n e s t e caso se t o r n a p r o v i d e n c i a l a i n s e r ç ã o de e l e m e n t o s Í5 e 6} nos c o n t o r n o s d e r i v a d o s , e e s t e s e i e m e n t o s a c r e s c e n t a d o s são d e n o m i n a d o s s u b - e I e m e n t o s . 16 F i g u r a 3 . 8 - S u b - e l e m e n t o s {5 e 6} 3 . 1 0 . 1 . Á r e a da c a v i d a d e : N e s t e t r a b a l h o s e r á c o n c e i t u a d o c o m o toda a á r e a i n t e r n a ao c o n t o r n o i ni c ia l . 3 . 1 0 . 2 . S u b - á r e a : Q u a l q u e r á r e a c o n t i d a em u m c o n t o r n o d e r i v a d o ( f i g u r a 3 . 9 ) . N e s t e t r a b a l h o a á r e a da c a v i d a d e s e r á c o n s i d e r a d a t a m b é m co mo uma s u b - á r e a ( e q u i d i s t a n t e t =0). F i g u r a 3 . 9 - S u b - á r e a da c a v i d a d e

3 . 1 0 . 3 . írea c ôn c av a: Q u a l q u e r á r e a que c o n t é m p e l o m e n o s um arco c ô n c a v o , m e s m o que e s t e s e J a de raio zero, c o m o p o d e r á o c o r r e r na c o m p o s i ç ã o do c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a .

3 . 1 1 . 1 . S e t o r g e o m é t r i c o de r e f e r ê n c i a de arco: é o s e t o r g e o m é t r i c o d e l i m i t a d o por r e t a s que p a s s a m pelo c e n t r o do a r c o e p e l o s e x t r e m o s d es t e < f i g 3 . 1 0 ) . E s t e s e t o r d e l i m i t a a á r e a e m que o a rc o p od e e x p a n d i r ou d e c r e s c e r . 17 Fig. 3 . 1 0 - S e t o r g e o m é t r i c o de r e f e r ê n c i a de ar co 3 . 1 1 . 2 . S e t o r g e o m é t r i c o de r e f e r ê n c i a do s e g m e n t o de reta: é a á r e a d e l i m i t a d a p e l a s d u a s r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s ao m e s m o , que p a s s a m p e l o s se u s e x t r e m o s ( f i g . 3 . 1 1 ) .

18 3. 1 2 . C a n c e I a m e n t o < s ) de e l e m e n t o ( s ) : Na g e r a ç ã o de s u b c o n t o r n o o b s e r v a - s e que na r e p r e s e n t a ç ã o fie» do c o n t o r n o d e r i v a d o nã o há m a i s a n e c e s s i d a d e de a t g u n s e l e m e n t o s , c o m o na f i g u r a ( 3 . 12). E n t ã o o s u b c o n t o r n o s e m p r e terá m e n o r q u a n t i d a d e de e l e m e n t o s que o s u b c o n t o r n o a n t e r i o r . C o m e s t e r a c i o c í n i o o p r i m e i r o s u b c o n t o r n o (t =0) é o p r ó p r i o c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a . 1 (s c l) t = o t = tl t = t2 F i g u r a 3 . 1 2 - C a n c e l a m e n t o do e l e m e n t o 11} 3.13. in c e n t r o : 0 i n c e n t r o r e p r e s e n t a o p o n t o de e n c o n t r o das b i s s e t r i z e s de um t r i â n g u l o ( f i g u r a 3 . 1 3 ) . S e r á t a m b é m d e n o m i n a d o i n c e n t r o q u a l q u e r p o n t o que e q u l d i s t a a pelo m e n o s t r ê s e l e m e n t o s do c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a ( f i g s . 3 . 1 4 , 4 . 6 a e 4 . 6 b ) . F i g u r a 3 . 1 3 - I n c e n t r o do t r i â n g u l o

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C A P Í T U L O IV 4. C A V I D A D E S 4 .1 . I n t r o d uç ão Neste c a p í t u l o é d a d o o c o n c e i t o de c a v i d a d e ( p o c k e t ) , s e u s m é t o d o s de d e s b a s t e e t a m b é m a e s p e c i f i c a ç ã o de s e u s dois t i p o s , no que se r e f e r e ao c o m p o r t a m e n t o g e o m é t r i c o . 4 .2 . C a v i d a d e ( P o c k e t ) O " p o c k e t " é um p o d e r o s o m a c r o e x i s t e n t e e m v á r i o s s o f t w a r e s e t e m a s e g u i n t e f u n ç ã o : D e s b a s t a r a u t o m a t i c a m e n t e uma á r e a d e l i m i t a d a por um c o n t o r n o f e c h a d o . P a r a sua o p e r a ç ã o o p r o c e s s i s t a t e m que i n s e r i r o c o n t o r n o e o s i s t e m a g e ra t o d o s os d a d o s n e c e s s á r i o s p a ra a c o n f e c ç ã o de um p r o g r a m a CN de d e s b a s t e da c a v i d a d e em q u e s t ã o . 4 .3 . M é t o d o s de d e s b a s t e de uma c a v i d a d e M é t o d o z i g u e z a g u e : N e s t e m é t o d o a u s i n a g e m é g e r a d a p a r a l e l a m e n t e , z i g u e z a g u e a n d o c o r t e s d e n t r o da á r e a l i m i t a d a p e l o c o n t o r n o , t o r n a n d o - s e a s s i m útil p a r a c a v i d a d e s s i m p l e s . N e s t e m é t o d o há a n e c e s s i d a d e de se f a z e r um c o r t e e x t r a p ar a e l i m i n a r o d e n t l l h a d o r e m a n e s c e n t e J u n t o ao c o n t o r n o de r e f e ­ r ê n c i a ( f i g u r a 4 . 1 ) . E s t e m é t o d o foi u s a d o i n i c i a l m e n t e pela m a i o r i a dos s i s t e m a s de c a v i d a d e s ( p o c k e t s ) j u s t a m e n t e p o r q u e é o m é t o d o c i á s s i c o u s a d o e m f r e s a d o r a s c o p i a d o r a s de f e r r a m e n t a - r i a .

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I) F i g u r a 4.1 - D e s b a s t e pelo m é t o d o z i g u e z a g ue M é t o d o das e q u i d i s t a n t e s : N e s t e m é t o d o o m o v i m e n t o da f e r r a m e n t a é d e t e r m i n a d o p e i a g e r a ç ã o de c o n t o r n o s d e r i v a d o s , e e s t e s e r á o m é t o d o aqui a d o t a d o . C o m a f i n a l i d a d e de não se ter o p r i m e i r o p a s s e da f e r r a m e n t a ao lado do c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a ( 1 0 0 % do d i â m e t r o e f e t i v o de c o r t e ) e c o n s e q u e n t e m e n t e r e d u z i r a q u a n t i d a d e de c o r t e a c h e i o da f e r r a m e n t a , os c o r t e s de u s i n a g e m são e f e t u a d o s do i n t e r i o r para o e x t e r i o r da c a v i d a d e . E n t ã o os p a s s e s r e a i s da f e r r a m e n t a se f a r ã o de m a n e i r a p r o g r e s s i v a do i n t e r i o r p a r a as b o r d a s da c a v i d a d e ( f i g u r a 4 . 2 ) F i g u r a 4 . 2 - D e s b a s t e p e l o m é t o d o das e q u i d i s t a n t e s

4 . 4 . C a v i d a d e s ( P o c k e t s ) T i p o I í ^ rr ■ C a v i d a d e t i p o I : é a q u e l a e m q u e só há c a n c e l a m e n t o s de e l e m e n t o s até o p o n t o mai s i n t e r n o da c a v i d a d e , c o n s e q u e n t e ­ m e n t e não há a n e c e s s i d a d e de I n s e r ç ã o de s u b - e I e m e n t o s p o i s não há s u b d l v i s ã o d a c a v l d a d e . As c a v i d a d e s do t i p o I v a r i a m de s i m p l e s c a v i d a d e s q u a - d r a n g u l a r e s e c i r c u l a r e s / 5 / ,/ 1 8 / ,/ S D / , n e s t e c a s o a v i s u a l i z a ­ ção g e o m é t r i c a d a s á r e a s é c la r a , t o r n a n d o - s e fác I I a c o n s t r u ç ã o d e s t e s m a c r o s de u s i n a g e m por q u a l q u e r u m dos m é t o d o s de d e s b a s ­ te, até os d i t o s t i p o I / i / e n e s t e c a s o há a n e c e s s i d a d e de c o n h e c e r um p o u c o m a i s de d e t a l h e s da g e r a ç ã o d o s s u b c o n t o r n o s ( c a n c e l a m e n t o s de e l e m e n t o s ) . C o m o m e n c i o n a d o na s e ç ã o

4

.3 o m é t o d o u t I I l z a d o s e r á o das e q u i d i s t a n t e s . S a b e n d o - s e q ue as ú n i c a s i n f o r m a ç õ e s g e o m é ­ t r i c a s e x i s t e n t e s s ã o as do c o n t o r n o i n i c i a l , não se t e m c o n d i ­ ç õ e s de g e r a r c o n t o r n o s d e r i v a d o s do i n t e r i o r p a r a o e x t e r i o r , J u s t a m e n t e p o r q u e n ã o se s a b e o l i m i t e da c a v i d a d e (o p o n t o m a i s i n t e r n o ) , isto é, a e q u i d i s t a n t e l i m i t e c o r r e s p o n d e n t e ao p r i ­ m e i r o c o r t e ( p o n t o de p a r t i d a do c o r t e ) . A p o l í t i c a de g e r a ç ã o de c o n t o r n o s d e r i v a d o s a d o t a d a , e e s t a s e r á m a i s d e t a l h a d a na s e ç ã o 7 . 6 , é a s e g u i n t e : G e r a r c o n ­ t o r n o s d e r i v a d o s do e x t e r i o r p a r a o i n t e r i o r e e f e t u a r p o s t e r l - m e n t e a i n v e r s ã o da s e q u ê n c i a de c o n t o r n o s d e r i v a d o s . Até a s e ç ã o 7 . 8 t o d o c o m e n t á r i o de g e r a ç ã o de c o n t o r n o s d e r i v a d o s s er á c o m o se f o s s e do e x t e r i o r p a r a o I n t e r i o r e só na d e v i d a s e ç ã o é que se d e t a l h a r á a i n v e r s ã o , q u a n d o d i s c o r r e r á s o b r e a o r g a n I z a ç ã o d o s d a d o s p a r a a g e r a ç ã o do p r o g r a m a CN. A e s t r a t é g i a u t i l i z a d a é a de se f a z e r u m l e v a n t a m e n t o do d e s e n r o l a r da ca.v I d a d e a té o s e u p o n t o m a i s i n t e r n o , via

c á l c u l o dos i n c e n t r o s do c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a , o b t e n d o ~ s e d e s t e m o d o t o d a s as m o d i f i c a ç õ e s da c a v i d a d e a t r a v é s da g e r a ç ã o dos s u b - c o n t o r n o s até o p o n t o m a i s i n t e r n o da c a v i d a d e . H a v e r á , en tã o , a n e c e s s i d a d e de u m r e c o n h e c i m e n t o d as m o d i f i c a ç õ e s ( c a n c e l a m e n t o s de e l e m e n t o s ) da c a v i d a d e do seu c o n t o r n o e x t e r n o para o p o n t o m a i s i n te r no , a n t e s de se i n i c i a r a g e r a ç ã o dos c o n t o r n o s d e r i v a d o s . Pelo c o n c e i t o a d o t a d o para c a v i d a d e t i p o I, p o d e ~ s e c o n c l u i r que n e m s e m p r e a e x i s t ê n c i a de á r e a c ô n c a v a d e t e r m i n a a s u b d i v i s ã o de uma s u b - á r e a em o u tr a s. E n t ã o e x i s t e a p e n a s uma t e n d ê n c i a e m se s u b d i v i d I r , ou seja, a l g u m a s á r e a s a n a l í t i c a - c a m e n t e c ô n c a v a s ( há a r c o c ô n c a v o , e sua v e r i f i c a ç ã o é e f e t u a d a a p ó s a o b t e n ç ã o do c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a ) p o d e m ser o p e r a d a s como se f o s s e m c a v i d a d e s t i p o I e n es t e c a s o só há c a n c e l a m e n t o s de e l e m e n t o s até o p o n t o m a i s i n te r no ( f i g u r a 4 . 3 ) . 23 f i g . 4 . 3 - C a v i d a d e t ip o I, c o m á r e a c ô n c a v a C o m o nos c a s o s t i p o I não há s u b d i v i s ã o , o d e c r e m e n t o da c a v i d a d e se d a r á de f o r m a h a r m ô n i c a s e m a i n s e r ç ã o de s ub e l e m e n t o s , h a v e n d o a p e n a s o c a n c e l a m e n t o de um ou m a i s e l e m e n t o s

( p a r t e s que t e n h a m p o l í g o n o s r e g u l a r e s ou m e s m o c o i n c i d ê n c i a s , que p o s t e r i o r m e n t e s e r ã o m a i s d e t a l h a d a nos c a s o s de i n c e n t r o s i g u a i s ) até c h e g a r ao p o n t o m a i s i n t e r n o da c a v i d a d e , que p e r m i t i r á o c á l c u l o da d i s t â n c i a ao c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a e c o m o c o n s e q u ê n c i a a o b t e n ç ã o do limite m á x i m o da f resa. No e x e m p l o m o s t r a d o na f i g u r a ( 4 . 4) on de t i n h a _ se i n i c i a l m e n t e q u a t r o e l e m e n t o s até a e q u i d i s t a n t e t1 c h e g a n d o no p o n t o A, v ê - s e que o e l e m e n t o {1} não m a i s f a z p a r t e do c o n t o r n o i nt e r n o , c a r a c t e r i z a n d o a s s i m u m s u b c o n t o r n o , ou seia, n e s t e c a ­ so o e l e m e n t o {1} d e v e r á ser c a n c e l a d o p e r m a n e c e n d o a p a r t i r d e s t e m o m e n t o a p e n a s os t r ê s e l e m e n t o s r e s t a n t e s , c h e g a n d o f i ­ n a l m e n t e ao p o n t o m a i s i nt e r n o . E st e é f o r m a d o p e l o s e l e m e n t o s { 2 , 3 , 4 1 , e nele t e m - s e t2 c o m o o m a i o r raio p o s s í v e l da f r e s a . 54 F i g u r a 4 . 4 - C a n c e l a m e n t o do e l e m e n t o Í1) O e v e - s e d e i x a r c o m o o b s e r v a ç ã o que o no r ma l das c a v i d a ­ des é s e r e m f i n a l i z a d a s c o m t r ê s e l e m e n t o s ( s i m i l a r m e n t e ao t r i ­ â n g u l o ) , m a s há os c a s o s e m que o final da c a v i d a d e se d ar á a p e n a s c o m d o i s e l e m e n t o s c o m o na f i g u r a (4 . 5) . Nele, o i n c e n t r o

S5 t1 da c a v i d a d e de três e l e m e n t o s a i n d a não é o p o n t o m a i s tnter é f o r m a d o por p o l í g o n o s r e g u l a r e s ou c o n s t i t u í d o de e l e m e n t o s n u m a e s t r u t u r a s i m i l a r à p o l í g o n o s r e g u l a r e s , e e s t e s t e r ã o m a i s de t r ê s e l e m e n t o s no c o n t o r n o d e r i v a d o m a i s i n t e r n o ( f i g s . 4 . 6 a e 4 . 6 b ) . Fig. 4 . 6 a - Final da c a v i d a d e c o m m a i s de t r ê s e l e m e n t o s Fig. 4 . 5 - Final da c a v i d a d e c o m d oi s e l e m e n t o s

E x i s t e m t a m b é m os c a s o s e m que o final de u ma s u b área

4.5. C a v i d a d e s ( P o c k e t s ) T i p o II C a v i d a d e tipo li : é a q u e l a que p e r m i t e o a p a r e c i m e n t o de d o i s ou m a i s i n c e n t r o s i n d e p e n d e n t e s , c o n s e q u e n t e m e n t e ela leva ao s u r g i m e n t o de m a i s de u m s u b c o n t o r n o p a r a u ma m e s m a e q u i d i s t a n t e , e n a t u r a l m e n t e s u b - á r e a s i n d e p e n d e n t e s . Na c a v i d a d e t i p o II a m e s m a a n a l o g i a de r e c o n h e c i m e n t o a n t e r i o r a t r a v é s da g e r a ç ã o de s u b c o n t o r n o s é e f e t u a d a . V i s u a l i z a n d o a g o r a a g e r a ç ã o de c o n t o r n o s d e r i v a d o s do e x t e r i o r pa r a o i n t e r i o r da c a v i d a d e t i po II, p o d e - s e o b s e r v a r , que n u m a c e r t a e q u i d i s t a n t e , há o a p a r e c i m e n t o de s u b c o n t o r n o s . N e s t e c as o d e v e - s e e s t a b e l e c e r uma e s t r a t é g i a de p o s i c i o n a m e n t o da f e r r a m e n t a nas v á r i a s s u b - á r e a s , j u s t a m e n te p o r q u e n e s t e t i p o de c a v i d a d e há o s u r g i m e n t o de i n c e n t r o s i n d e p e n d e n t e s . r e l a ç ã o ao c o n t o r n o e x t e r n o há a d i v i s ã o da s u b - á r e a em o u t r a s , como p o d e - s e v e r i f i c a r no p o n t o A na f i g u r a (4.7). As si m , a p a r t i r de uma d e t e r m i n a d a e q u i d i s t â n c i a em F i g u r a 4 . 7 - S u b d i v i s ã o da c a v i d a d e e m A

A c o n c a v i d a d e de uma á r e a é o b t i d a a p e n a s s a b e n d o - s e se e s t a c o n t é m a r c o c ô nc a v o . A c o n c a v i d a d e não i m p l i c a e m c a v i d a d e t ip o ii, j u s t a m e n t e p or q u e isto é a p e n a s uma t e n d ê n c i a em se s u b d i v i d i r , c o m o foi dito a n t e r i o r m e n t e na s e ç ã o 4. 4 . Na c a v i d a d e t ip o II a l é m de c a n c e l a r e l e m e n t o s na g e r a ç ã o dos c o n t o r n o s d e r i v a d o s p od e h a v e r a i n s e r ç ã o de e l e m e n t o s a d i c i o n a i s d e t e r m i n a d a p e l a s u b d i v i s ã o e o c o n s e q u e n t e a p a r e c i m e n t o de s u b c o n t o r n o s . A d i f e r e n ç a de r e c o n h e c i m e n t o da c a v i d a d e t i p o II para a c a v i d a d e t i p o I está na g e r a ç ã o de m a i s de u m s u b c o n t o r n o p ar a uma m e s m a e q u i d i s t a n t e , d i v i d i n d o - s e n a t u r a l m e n t e em sub á re a s ; daí a e x i g ê n c i a de u s i n a g e m n u m a c e r t a s u b - á r e a e um p o s t e r i o r p o s i c i o n a m e n t o em o u tr a. C o m e s t a s d i f e r e n ç a s p o d e - s e c o n j e c t u r a r a m o n t a g e m da e s t r u t u r a de p r o g r a m a ç ã o em f o r m a de á r v o r e , o nd e c a d a nó da á r v o r e r e p r e s e n t a r i a um s u b c o n t o r n o . C o n s i d e r a n d o - s e que nas á r e a s t i p o I só há c a n c e l a m e n t o de e l e m e n t o até o seu i n t e ri or , e s t e e n t ã o s e r i a u m s u b - c a s o do m a i s g e n é r i c o ( t i p o II). D e v e - s e r e s s a l t a r que p a ra o c a s o g e n é r i c o aqui t r a t a d o e f e t u a r - s e - á a m o n t a g e m de uma á r v o r e . O b t i d o u m c o n h e c i m e n t o do d e s e n r o l a r da c a v i d a d e até s e u s p o n t o s m a i s i n t e r n o s , p o d e r s e - a c o m e ç a r a u s i n a g e m p r o p r i a m e n t e d ita. P e r c e b e - s e que e xi s t e m d o i s c a s o s r e l e v a n t e s e e s t a s são as d u a s i d é i a s b á s i c a s do t r a b a I h o : 27

E s t a s idéias e n t ã o são: 1- G a n c e t amentoí s ) de e l e m e n t o C s ) 4 o C o n t o r n o : C a n c e i a - se um ou m a i s e l e m e n t o s c o m o ee v e r i f i c o u no c a s o t i p o I ( f i g u r a 4 . 4 )

.

2- S u b d i v i s ã o da c a v i d a d e : N e s t e c a s o d e v e - s e f a z e r um e s t u d o d os arc os c ô n c a v o s , e q u a n d o h o u v e r a e x i g ê n c i a d e s t a s u b d i v i s ã o há a n e c e s s i d a d e de g e r a ç ã o de s u b - e I e m e n t o s ; d o i s e l e m e n t o s a d i c i o n a i s p a r a os c a s o s co m o da f i g . 4 . 7 , um e l e m e n t o a d i c i o n a l para os c a s os c o m o da f i g u r a 4.8, ou a p e n a s uma d i v i ­ são s i m p l e s s e m a i n s e r ç ã o de n e n h u m e l e m e n t o ( f i g u r a 4 . 9). F i g u r a 4 . 8 - O i v i s ã o c o m a c r é s c i m o de u m sub e l e m e n t o F i g u r a 4 . 9 - O i v i s ã o s e m a c r é s c i m o de s u b - e l e m e n t o

C A P Í T U L O V 5. E L E M E N T O S 00 C O N T O R N O 5.1. I n t r o d u ç ã o N e s t e c a p í t u l o é d i s c u t i d a a m e l h o r f o r m a a n a l í t i c a dos e l e m e n t o s a ser u s a d a pa ra c o m p o r os c o n t o r n o s , f a c i l i t a n d o d e s t e m o d o o d e s e n v o l v i m e n t o m a t e m á t i c o s u b s e q u e n t e . T a m b é m é d a d a a s e q u ê n c i a de p r o c e s s a m e n t o do c o n t o r n o in i ci al . 5.2. F o r m a c a n ô n i c a dos e l e m e n t o s do c o n t o r n o

C o m o foi m e n c i o n a d o no cap. IV o c o n t o r n o é a base g e o m é t r i c a em que se a p ó i a a c a v i d a d e , e os e l e m e n t o s , s e g m e n t o s de reta e a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a são os itens q ue c o m p õ e m o c o n t o r n o . C o m o i n t u i t o de s i m p l i f i c a r a v i s u a l i z a ç ã o a n a l í t i c a e os c á l c u l o s c o m p u t a c i o n a i s das e q u i d i s t a n t e s dos c o n t o r n o s o p t o u - s e p e l a s s e g u i n t e s f o r m a s a n a l í t i c a s para os e l e m e n t o s g e o m é t r i c o s : 5 . 2 . 1 . F o r m a c a n ô n i c a da reta A X + 8 Y = D < 1 > O n d e A e B são s e n < k ) e c o s ( k ) r e s p e c t i v a m e n t e , e 0 a d i s t â n c i a da reta à o r i g e m E s t a e q u a ç ã o m o d i f i c a d a é o b t i d a da s e g u i n t e m a n e i r a : Da e q u a ç ã o geral da r et a (2)

30 E s t a e q u a ç ã o pode ser r e p r e s e n t a d a na f o r m a p a r t i c u l a r para r e t a s não p a r a l e l a s ao eixo y (3)

y = < - a / b ) x - c/b (3) O n d e a / b é a i n c l i n a ç ã o da reta a / b = t g ( k ) = s e n < k > / c o s < k ) <4) (4) em (3) y = - s e n < k ) / c o s < k ) x - c / b <5) c o s < k ) y + s e n < k ) x + c o s ( k ) c / b = 0 (6) Do t r i â n g u l o M Ô N < f i g . 5 . 1 ) c o s ( k ) = D / ( - c / b ) = -O b/c <7) <7) em <B)

s en ( k) x + c o s ( k ) y - O = 0

S e n d o A = s e n ( k ) e B = c o s ( k ) a r e p r e s e n t a ç ã o dá reta s e r i a d e s t a f o r m a <1).

5 . 2 . 2 . F o r m a c a n ô n i c a p ar a a c i r c u n f e r ê n c i a

(X - a ) 2 + <Y - b > 2 = r 2 <8)

onde <a,b) é o c e n t r o da c i r c u n f e r ê n c i a e r é o raio.

5.3. D e s l o c a m e n t o dos e l e m e n t o s

C om o foi c o m e n t a d o no cap. IV, h a v e r ã o c á l c u l o s s i s t e ­ m á t i c o s de e q u i d i s t a n t e s aos e l e m e n t o s , e e s t e s s e n d o r e p r e s e n ­ t a d o s d e s t a f o r m a t o r n a - s e fácil a g e r a ç ã o de s u a s e q u i d i s t a n ­ tes. E n t ã o para se c a l c u l a r uma e q u i d i s t a n t e à reta é só a l t e r a r o va lor de sua d i s t â n c i a à o r i g e m no v a l o r (t) e s e n t i d o (K) d e s e j a d o (9). A X + B Y = D + K t <9> 0 m e s m o r a c i o c í n i o é f e i t o pa ra os a r c o s de c i r c u n f e ­ r ê n c i a , o n d e a sua e q u i d i s t â n c i a é a l c a n ç a d a via m u d a n ç a no v a ­ lor do raio c o n f o r m e a e q u a ç ã o (10). ( x - a ) 2 + < y - b ) 2 = <R + K t ) 2 (10) A r a z ã o de se t r a b a l h a r c o m a p e n a s e s t e s e l e m e n t o s se j u s t i f i c a p o i s os c o n t r o l e s das m á q u i n a s só o p e r a m c o m ret as e c i r c u n f e r ê n c i a s . No d e s e n v o l v i m e n t o do c a m i n h o da f e r r a m e n t a , d u r a n t e a u s i n a g e m da c a v i d a d e , o s i s t e m a faz a f e r r a m e n t a a c o m p a n h a r o

c o n t o r n o s e g u i n d o o s e n t i d o h o r á r i o . É m f u n ç ã o d i s s o o p r o g r a m a d o r no s i s t e m a d e s e n v o l v i d o n e st e t r a b a l h o de v e i n s e r i r os e l e m e n t o s que c o m p õ e m o c o n t o r n o inicial s e m p r e no s e n t i d o h o r á r i o . 5. 4. U s o de Se I e t o r e s Q u a n d o e x i s t e a i n t e r s e c ç ã o < e n t r e c i r c u n f e r ê n c i a s ou uma reta e uma c i r c u n f e r ê n c i a ) há d u p l a s o l u ç ã o m a t e m á t i c a , p o i s a e q u a ç ã o da c i r c u n f e r ê n c i a é do s e g u n d o grau. D e v e r á e n t ã o e x i s t i r um s e l e t o r a f i m de d e f i n i r qual é a s o l u ç ã o d e s e j a d a . O p r o c e s s a d o r g e o m é t r i c o o p e r a i n t e r n a m e n t e c o m a u x í l i o de se I e t o r e s ' p a r a i d e n t i f i c a ç ã o do p o n t o de i n t e r s e c ç ã o n e s t e s c asos. Foi a d o t a d o a p e n a s um t ip o de s e l e t o r pa r a d i f e r e n c i a r as i n t e r s e c ç õ e s e e s t e se r i a : S ou L pa ra os c a s o s Small e L a r g e r e s p e c t i v a m e n t e . P r o c u r o u - s e s e m p r e que p o ss í v e l u t i l i z a r a a b c i s s a (x) p a ra d i f e r e n c i á - l o s < f i g u r a 5 . 2 ) , e só u s ar a o r d e ­ n ad a (y) q u a n d o h o u v e r d u p l a s o l u ç ã o em (x) < f i g . 5 . 3 ) . 32 Fig. 5 . 2 - D i f e r e n c i a ç ã o dos s e l e t o r e s pe l a a b c i s s a

33 i P^JJoüc»' Fig. 5 . 3 - D i f e r e n c i a ç ã o dos s e í e t o r e s p e l a o r d e n a d a T a m b é m para os a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a há a n e c e s s i d a ­ de de e s p e c i f i c a r se a u s i n a g e m do a r c o s er á no s e n t i d o h o r á r i o e a n t i - h o r á r i o r e s p e c t i v a m e n t e G 0 2 e G 0 3 na n o r ma D I N 6 6 0 2 5 . N e s t e t r a b a l h o se e s t a b e l e c e u que o c o n t o r n o d e v e ser d e s e n v o l v i d o por uma s e q u ê n c i a de e l e m e n t o s no s e n t i d o h o r á r i o , p o r t a n t o p a ra e s t e ca so p a r t i c u l a r , o b t é m - s e o s e n t i d o do arco da c i r c u n f e r ê n c i a , h o r á r i o e a n t i - h o r á r i o r e l a c i o n a d o s c o m a sua c o n c a v i d a d e ( c ô n c a v o ou c o n v e x o) da s e g u i n t e m a n e i r a : G 0 2 = S e n t i d o h o r á r i o = a r c o c o n v e x o (K = -1) G 0 3 = S e n t i d o a n t i - h o r á r l o = a r c o c ô n c a v o (K = 1) A f i g u r a 5 . 4 a p r e s e n t a u m c o n t o r n o o n d e se i d e n t i f i c a o s e n t i d o dos e l e m e n t o s c o m base em c i r c u n f e r ê n c i a .

F i g . 5 . 4 - D i s t i n ç ã o e n t r e < G 0 3 > e (GQ2)

G03

5.5. P r o c e s s a m e n t o do c o n t o r n o inicial A p ó s o r e c e b i m e n t o do c o n t o r n o inicial na f o r m a analí tica, p r i n c i p i a - s e o p r o c e s s a m e n t o d e s t e , que é e x e c u t a d o na s e g u i n t e s e q u ê n c i a : 1- C á l c u l o das i n t e r s e c ç õ e s dos e l e m e n t o s ( s e r ã o c o n s i ­ d e r a d o s c o m o p o n t o s de p o s i c i o n a m e n t o ) .

2 - C á l c u i o das i n c l i n a ç õ e s das retas.

3- C á l c u l o dos v a l o r e s de s e n t i d o (K) p a r a os s e g m e n t o s de reta e a r c o s de c i r c u n f e r ê n c i a . P a r a i d e n t i f i c a ç ã o do sen ti do de d e s l o c a m e n t o das r e tas foi a d o t a d a a a b c i s s a como p r i m e i r a o p ç ã o de c á l c u l o , daí q u a l q u e r t r a n s l a ç ã o q ue e n v o l v a a u m e n t o da a b c i s s a s i g n i f i c a k = 1 e n a t u r a l m e n t e p a r a uma d i m i n u i ç ã o da a b c i s s a k = - 1 ( f i g s . 5 . 5 a e 5 . 5 b ) .

y

k

= i

Fig s. 5 . 5 a e 5 . 5 b - S e n t i d o de d e s l o c a m e n t o das r e t a s

4 - C á l c u l o das duas t a n g e n t e s de cada c i r c u n f e r ê n c i a . D e r i v a n d o i m p l i c i t a m e n t e a e q u a ç ã o (8) 2 x - 2 a + 2 y ( d y / d x ) - 2 b ( d y / d x ) = 0 t e m - s e a i n c l i n a ç ã o da reta t a n g e n t e : ( d y / d x ) = ( a - x ) / ( y - b ) 5 - S n g u l o e n t r e os e l e m e n t o s . 0 v a l o r do â n g u l o é c a l ­ c u l a d o nos p a s s o s a s e g u i r : Â n g u l o = I n c I i n a ç ã o í i +1 ) - i n c l i n a ç ã o ( i ) Se k(i) * k ( i + 1 ) = 1 e n t ã o â n g u l o = â n g u l o + 180 Se â n g u l o < 0 e n t ã o â n g u l o = â n g u l o + 3 8 0 N e s t e m o m e n t o se d e f i n e pe l a n e c e s s i d a d e ou não da c r i a ç ã o de um a rc o c ô n c a v o ( f i g . 3 . 5 , i n i c i a l m e n t e no c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a t e r á raio z e r o ) p ar a os c a s o s em que o â n g u l o e n t r e os e l e m e n t o s a d j a c e n t e s for m a i o r do que 180 graus.

Um d a do que se t o r n a p r o v i d e n c i a l é a i n s e r ç ã o d e s t e a r c o c ô n c a v o e n t r e os d o is e l e m e n t o s q u a n d o o â n g u l o for m a i o r do que 1803, pois d e s t e m o d o irá r e p r e s e n t a r f i e l m e n t e os c o n t o r n o s d e r i v a d o s . No m o m e n t o em que se o b t é m o c o n t o r n o de r e f e r ê n c i a p o d e - s e c o n c l u i r s o b r e a c o n c a v i d a d e da área, e c a s o isto se c o n f i r m e s i g n i f i c a r á n a t u r a l m e n t e a t e n d ê n c i a de s u b d i v i s ã o da m e s m a . O i f e r e n t e m e n t e do C O M P A C T II /17/ o nd e a c i r c u n f e r ê n c i a e x t r a só é a d i c i o n a d a p a r a â n g u l o s a c i m a de 27 0 g r a u s e m e s m o no " m é t o d o das b i s s e t r l z e s ” ( P e r s o n / 1 9 / ) o n d e se i n s e r e um p e q u e n o a r c o de c i r c u n f e r ê n c i a h a v e n d o c o n s e q u e n t e m e n t e um p e q u e n o erro. Há t a m b é m os que não se p r e o c u p a m c o m e s te p r o b l e m a / 1 4 / , que co mo se o b s e r v a r á a d i a n t e , é f u n d a m e n t a l p a ra r e p r e s e n t a r r e a l m e n t e os c o n t o r n o s d e r i v a d o s .

C A P Í T U L O VI 6. O E S E N V O L V I M E N T O M A T E M Á T I C O 8 . 1 , I n t r o d u ç ã o N e s t e c a p í t u l o é a p r e s e n t a d a a b as e m a t e m á t i c a dos p r i n c í p i o s e n v o l v i d o s no t r a b a l h o , u t i l i z a d o s na m o n t a g e m da á r v o r e de r e c o n h e c i m e n t o a t r a v é s da g e r a ç ã o de s u b c o n t o r n o s . 6 . 2 . 1 . C á l c u l o do i n ce n t r o do T r i â n g u l o O i n c e n t r o c om o v i s t o e m 3 . 1 3 é c o n c e i t u a d o c o m o o pon to de i n t e r s e c ç ã o das b l s s e t r i z e s n u m t r i â n g u l o . O u t r a i n f o r m a ­ ção a d i c i o n a l r e f e r e n t e ao i n c e n t r o é que d e s t e p o n t o p o d e - s e t r a ç a r a c i r c u n f e r ê n c i a i n s c r i t a ( m a i o r c i r c u n f e r ê n c i a i n t e r n a ao t r i â n g u l o ) , e este c o n c e i t o é i m p o r t a n t e p oi s ele d a r á a dis t â n c i a ao m e s m o t e m p o dos t r ê s e l e m e n t o s , ou seja, e s t e p o nt o e q u i d i s t a dos t rê s s e g m e n t o s de reta ( f i g u r a 6. 1).

C o n s i d e r e - s e a g o r a o e x e m p l o da u s i n a g e m de uma c a v i d a ­ de t r i a n g u l a r , à p a r t i r de c o n t o r n o s d e r i v a d o s do e x t e r i o r para o i n t e r i o r ( f i g u r a 6.2 ). 37 F i g u r a 6 . 2 - C o n t o r n o s d e r i v a d o s no t r i â n g u l o O l i m i t e p os s í v e l de g e r a ç ã o de c o n t o r n o s d e r i v a d o s é dado no p o n t o o n d e as t r ês ret a s se e n c o n t r a m , ou sej a, q u a l q u e r c o n t o r n o g e r a d o é c o n c ê n t r i c o , e e s t e p o n t o f i nal é d e n o m i n a d o de i n c e n t r o , c o n f o r m e d e f i n i d o a n t e r i o r m e n t e . , C o m e s t e v a l or do i n c e n t r o (ti) p o d e - s e p r o g r a m a r a u t o ­ m a t i c a m e n t e o d e s b a s t e i n t e r n o à uma c a v i d a d e t r i a n g u l a r , c o m o é f e i t o nos c a s o s de m a c r o s p a r a m é t r i c o s q u a d r a n g u I a r e s e c i r c u l a r e s , p o i s t e m - s e o l im it e (ti) da g e r a ç ã o de c o n t o r n o s der i v a d o s . P a r a c a l c u l a r a n a l i t i c a m e n t e os v a l o r e s dos i n c e n t r o s u t i l i z a - s e uma v a r i á v e l a m a i s na e q u a ç ã o de c a d a reta, g e r a n d o c o n s e q u e n t e m e n t e uma f u n ç ã o c o m um g r a u de l i b e r d a d e . f ( x , y , t ) = 0