MÁRCIO HOLSBACH
COSTA
coM1›oRTAMEN'1¬o
no
ALGo1u'1¬Mo
FXLMS
EM
s1s'rEMAs
coM
CAMINHQ
SECUNDÁRIO
NÃo-L1NEARz
Ê' I
APLICAÇAO
AO
CONTROLE
ATIVO
DE
RUIDO
FLQRIANÓPOLIS
UNIVERSIDADE
FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA
DE
Pós-GRADUAÇÃO
EM
ENGENHARIA
ELETRICA
COMPORTAMENTO DO
ALGORITMO
FXLMS
EM
SISTEMAS
COM
CAMINHO
SECUNDÁRIO
NÃO-LINEAR:
APLICAÇÃO
AO CONTROLE
ATIVO
DE
RUÍDO
Í
Tese
submetidaàUniversidade Federal de Santa
Catañna
-
como
parte dos requisitos para aobtenção -do grau de
Doutor
em
Engenharia Elétrica.MÁRCIO HOLSBACH
COSTA
Floúanópolis,
maio
de 2001.COMPORTAMENTO DO
ALCORITMO
EXLMS
EM
sIsTEMAs
COM
CAMINHO
SECUNDÁRIO
NÃO-L1NEARz
APLICAÇÃO
AO
CONTROLE
ATIVO
DE
RUIOO
Márcio Holsbach Costa
pu..
“Esta Tese foi julgada
adequada
para obtençãodo
Títulode
Doutor
em
EngenhariaElétrica,
Área
de Concentraçãoem
Sistemas de Informação, e aprovadaem
suaforma
fmal pelo Pro gramatde
Pó
s-Graduaçãoem
Engenharia Elétricada
Universidade Federalde
Santa
Cataryif
Prof. ,/Joséfífermudez,
Ph.D. . A- ~ Orientad ›› . I-W
E (__ ,` À __. ‹‹ \¡:?` ,èyg
`i
7 . '/
_ -Prof. z. n Roberto e Pieri, Dr. .
Coordenador do Program ~ e Pós-Gra nação
em
Engenharia ElétricaBanca
Examinadora: 'Prof. José\GárQs__M reira Éermudez, Ph.D.
Presidente ›
Prof. Carlos Aurélio Faria da Rocha, D.Sc.
Prof. Je rson Luiz
Brum
Marques, Ph.D.~À-4
Prof. João Marcos Tra assos
Romano,
Dr.Prof. Paulo Sérgio
Rami
z Diniz, Ph.D.AGRADECIMENTOS
Aos
funcionários daUFSC:
Elton Fontão, JoãoMarco
Ferreira,Marcos
Assis eWalter Gontijo pelo auxílio técnico-administrativo. _
Ao
professor Victorino Piccinini pelo grande auxíliocom
a língua portuguesa. _Aos
professoresdo programa
de pós-graduaçãoem
engenharia elétrica peloambiente de aprendizado.
À
Universidade Católica de Pelotas e àCapes
pela oportunidade, incentivo e financiamento.Aos' colegas Alexandre Pino, Cássio Lopes, Maurício Tavares, Orlando Tobias,
Pedro Inácio
Hübsher
e SérgioAlmeida
pelas instigantes discussões e contribuições.Ao
professor NeilBershad
pela valiosa ajuda e disposição ao longo de todo otrabalho.
Ao
meu
orientador J osé CarlosBermudez,
pela grande atenção,empenho
eamizade
ao longo destes anos.
A
Resumo
da Tese
apresentada àUFSC
como
parte dos requisitos necessários paraa obtençãodo
grau deDoutor
em
Engenharia Elétrica.CQMPQRTAMENTQ
Do
ALGORITMO
I‹¬xLMs
EM
s1sTEMAs
coM
CAMINHQ
SECUNDÁRIO
NÃo-LINEARz
APLICAÇÃO
Ao
coNTRoL1:
Arlvo
Dr;
Ruivo
Márcio Holsbach
Costa
Maio/2001
Orientador: J osó Carlos Moreira
Bermudez,
Ph.~D.4
Área
de Concentração: Sistemas de Informação.Palavras-chave:
Algoritmo
LMS,
Controle Ativo de Ruído, Sistemas Não-Lineares.Número
de Páginas: 203.RESUMO
Este trabalho apresenta
um
estudo sobre ocomportamento do
algoritmoLMS
Filtrado
(FXLMS)
quando
ocaminho
secundário (saídado
filtro adaptativo) émodelado
por
um
sistemaWiener-Hammerstein.
Essa configuração é de especial interesseem
aplicações de controle ativo de ruído acústico e vibrações,
onde
a característica não-lineardo
tipo saturação representa as distorções introduzidas pelos transdutores e amplificadores de potência.São
obtidas equações detemiinísticas para ocomportamento médio
dos coeficientes, erromédio
quadrático emomentos
desegunda
ordem
para sinais gaussianos.A
partir dessas, soluções para 0 regime permanente são obtidas. SimulaçõesMonte
Carlodemonstram
excelente concordânciacom
ocomportamento
previsto pelosmodelos
teóricos.
Os
resultados analíticos e as simulações apresentados neste trabalhodemonstram
o impacto significativo
que
caraterísticas não-linearespodem
ter sobre ocomportamento
do
sistema adaptativo.Abstract of Thesis presented to
UFSC
as a partial fulfillment of the requirements for the degree ofDoctor
in Electrical Engineering.BEHAVIOR OF
THE
F
XLMS ALGORITHM
IN
SYSTEMS
WITH
A NONLINEAR
SECONDARY
PATH:
APPLICATION
TO
ACTIVE
NOISE
CONTROL
Márcio Holsbaeh
Costa
May/2001
Advisor: J osé Carlos Moreira
Bermudez,
Ph.D.Area
of Concentration: Information Systems.Keywords:
Adaptive Systems, Acoustic Noise, Nonlinear Systems.Number
of Pages: 203. .ABSTRACT
This
work
presents a statistical analysis of the FilteredLMS
algorithm behaviorwhen
the secondary path (output 'of the adaptive filter) ismodeled by
a Wiener-Hammerstein
system. This system is of special interest for active acoustic noiseand
vibration control,
where
the saturation nonlinearitymodels
the nonlinear distortionintroduced
by
thepower
amplifieisand
transducers. Deterministic nonlinear recursions arederived for the
mean
and
second ordermoments
of the adaptive weightsand
for themean
square error for Gaussian inputs. Steady-state conditions are derived
from
these results.Monte
Carlo simulationsshow
excellent agreement with the behavior predictedby
the theoretical models.The
analyticaland
simulation results presentedshow
the significant impact thateven
little nonlineaiities canhave on
the adaptive filter behavior.SUMÁRIO
INTRODUÇÃo...
... ... ... ... ... ....1.1
PILTRAGEM ADAPTATIVA
... .. 11.1.1
OALOORITMO
LMS
... ..41.2
CONTROLE
ATIVO
DE RUÍDO
ACÚSTICO
E
VIERACÕES
... 8~ 1.2.1
n×ITRODUçAO
... ..S 1.2.2TIPOS
DE
SISTEMAS
ANC
... ... .. 111.2.3
ALOORITMOS ADAPTATIVOS PARA
SISTEMAS
ANC
... .. 141.3
NÃO-LINEARIDADES
EM
SISTEMAS
ANC
... .. 171.4
PILTROS
ADAPTATIVOS
SUJEITOS
A
NÃO-LINEARIDADES
... .. 191.5
OBJETIVOS
DESTE
TRABALHO
... ..20
1.6
JUSTIFICATIVA
E
RELEVÂNCIA
... ..20
1.7
ESTRUTURA
DO
TRABALHO
... .. 2]2
DEFINIÇAO
DO
PROBLEMA
... ... ... ... ...22
2.1
INTRODUÇÃO
... ..22
2.2
ALOORITMO
I=xLMs SUJEITO
A
UM
SISTEMA
WH
... ..26
2.3
CARACTERISTICAS
DOS
SINAIS
E
DINÃMICA
DO
SISTEMA
... ..27
2.4
INFLUÊNCIA
LINEAR
DO CAMINHO
SECUNDÁRIO
... .. 3‹›2.5
MODELO
ANALÍTICO
DA
NÃO-LINEARIDADE
... ._32
2.6GRAU
DE
NÃO-LINEARIDADE
DO
SISTEMA
ANC
... ..37
2.7
CASOS
PARTICULARES
DE
INTERESSE
... ..38
2.7.1
SISTEMA
WIENER
... ._39
2.7.2SISTEMA
SEM MEMÓRIA
... ..39
3.
ANÁLISE
DA
SUPERFÍCIE
DE
DESEMPENHO
...41
3.1
DETERMINAÇÃO
ANALÍTICA
DA
SUPERFÍCIE
DE
DESEMPENHO
.... .. 413.1.1
SISTEMA
WIENER
... ..45
3.1.2
SISTEMA
SEM
MEMÓRIA
... ..46
3.2
PONTOS
ESTACIONÁRIOS
... ..47
3.2.1
SOLUÇAO APROXIMADA
PARA
O CASO GERAL
.....
so
3.2.2
SISTEMA
WIENER
... ..53
3.2.3
SISTEMA
SEM MEMÓRIA
... ..55
3.3
HESSIANO
DA
SUPERFÍCIE
DE
DESEMPENHO
... ..55
3.4
MÍNIMO
ERRO
MÉDIO QUADRÁTICO
... ..59
3.4.1
SOLUÇÃO APROXIMADA
PARA
O CASO GERAL
... ..60
3.4.2
SISTEMA
WIENER
... ..óo
3.4.3-SISTEMA
SEM MEMÓRIA
... ..eo
4.COMPORTAMENTO
MÉDIO
DOS
COEFICIENTES
62
4.1ANÁLISE
DO
COMPORTAMENTO
MÉDIO DOS
COEFICIENTES
... ..63
4.1.1.
SISTEMA
WIENER
... ..óó
4.1.2SISTEMA
SEM MEMÓRIA
... _.ó7
4.2COEPICIENTES
EM
REGIME
PERMANENTE
... ..ós
4.2.1SISTEMA
WIENER
...69
4.2.2
SISTEMA
SEM MEMÓRIA
... ..70
4.3
MODELO
SIMPLIPICADO
... ..70
4.4
ANÁLISE
DA
ESTABILIDADE
... ..72
4.5
INTERPRETAÇÃO
DO
PARÃMETRO
ff ... ._73
5.ERRO MÉDIO
QUADRÁTICO
... . . .. ...76
5.1
ANÁLISE
DO
ERRO
MEDIO QUADRÁTICO
.... ... ..76
5.1.1
SISTEMA
WIENER
... .. S1 5.1.2SISTEMA
SEM MEMÓRIA
... .. SI 5.2ERRO MEDIO QUADRÁTICO
EM
REGIME
PERMANENTE
... ..S2
5.2.1SISTEMA
WIENER
... .. S3 5.2.2SISTEMA
SEM
MEMÓRIA
... .. S3 5.3MODELO
SIMPLIFICADO
... ..84
6.
MOMENTOS
DE
SEGUNDA
ORDEM
... ... ... ... ..86
6.1
ANÁLISE
DOS
MOMENTOS
DE
SEGUNDA
ORDEM
... ..86
6.1.1
SISTEMA
WIENER
... .. 1026.1.2
SISTEMA
SEM MEMÓRIA
... ..103
70 RESULTADOSnouçoooouonóuooonnnouuoounnoooøoouoooouoooncsnnu ooooooo nuonoo ooooo ou ooooooooooooooooo ao I) 7.1
ANÁLISE
DA
SUPERFÍCIE
DE
DESEMPENHO
... .. 1057.1.1
DISTORÇOES
DA
SUPERFÍCIE
DE
DESEMPENHO
... .. 105Ç 7.1.2
PONTOS
ESTACIONÁRIOS
... .. 1037.1.3
ERRO
EM
EXCESSO DEVIDO
À
NÃO-LINEARIDADE
... ..114
7.2
COMPORTAMENTO EM
REGIME
TRANSITÓRIO
... .. ... .. 1157.2.1
COEFICIENTES
E
ERRO
MEDIO
QUADRÁTICO
... .. 1157.2.2
EFEITOS
DOS
MOMENTOS
DE
SEGUNDA
ORDEM
... .. 1217.2.3
EFEITOS
DO
PASSO
DE CONVERGENCIA
... .. 1237.2.4
EFEITOS
DO GRAU
DE
CORRELAÇÃO
E
DA DURAÇÃO DA
RESPOSTA
DA
PLANTA
... .. 12ó 7.3COMPORTAMENTO
EM
REGIME
PERMANENTE
... .. 1.211 7.3.1POLARIZAÇÃO DOS
COEFICIENTES
... .. 1297.3.2
ERRO
MEDIO QUADRÁTICO
EM
EXCESSO
... _.130
7.3.3DESAIUSTE
EM
REGIME
PERMANENTE
... .. 1317.3.4
ESTABILIDADE
... ..132
,,, ~
SDISCUSSAOECONCLUSOES
.... ... ... ... ..134
8.1
PROPOSTAS
PARA
CONTINUAÇÃO
DO
TRABALHO
... .. 1369.
ANEXO
1-
DETERMINAÇÃO
DE
E{g
( y,)Y2}
... ... ..13s
10.ANEXO
2
_
DETERMINAÇÃO
DE
E{g(y. )g(y2 )} ... ...142
11.
ANEXO
3
-
DETERMINAÇÃO
DE
E{Y,Y{
w,w§Y,Y}}
... ..14s
12.
ANEXO
4
-
DETERMINAÇÃO
DE
E{g
( yl ) y2Y,Y}'} ... ..13.
ANEXO
5 -›DETERMINAÇÃO
DE
E{g
(y) y”} ... ..
154
14.
ANEXO
õ
_
DETERMINAÇÃO
DE
E{g
(yl )g
(yz )Y,Y}'}15.
ANEXO
7
-
DETERMINAÇÃO
DE
E{g(y, )g(y2 )y,2} ... ..162
16.
ANEXO
s
-
DETERMINAÇÃO
DE
E{g(y, )g(y2 )y, y,_.}17.
ANEXO
9
_
DETERMINAÇÃO
DE
ff ... ..18.
ANEXO
10
-PUBLICAÇOES
... ... ..184
19.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
... ..Introdução l
1.
INTRODUÇÃO
O
objetivo desta seção é introduzir os principais conceitos necessáxios àcompreensão do
trabalho. Basicamente quatro tópicos são abordados: filtragem adaptativa;controle ativo de ruído acústico e vibrações
(ANC);
não-linearidadesem
sistemasANC;
ealgoritmos adaptativos sujeitos a não-linearidades.
A
partir dos tópicos abordados na revisãoda
bibliografia descrita acima, sãotraçados os objetivos
do
trabalho, suas justificativas e relevância. Finalizando, éapresentada a estrutura sob a qual analisamos os problemas levantados.
1.1
Filtragem
Adaptativa
O
processamento adaptativo de sinais teveum
grande impulso a partir da década de60
atravésdo
desenvolvimentodo
algoritmoLMS
(WIDROW
eHOFF,
1960).Desde
então essa técnica
tem
sidoamplamente
exploradaem
um
grandenúmero
de aplicaçõesem
diferentes áreas,
como:
sistemas de transmissão de dados(MODEMS,
telefoniamóvel
1comunicações
por satélite); processamento de sinais biológicos; radar e sonar; exploração geofísica;compressão
de voz; cancelamento de eco; equalização; filtragem; controle; estimação espectral; e,mais
recentemente, na área de controle ativo de ruído acústico e devibrações
(WIDROW
et al., 1975,HAYKIN,
1991,KUO
eMORGAN,
1996).A
filtragem adaptativatem
cativado a atenção de inúmeros pesquisadores por sua capacidade intrínseca de otimização dedesempenho, usando pouca
informaçãoa
priorisobre as características
do
sistema. Essa propriedade 6 especialmente vantajosaquando
osistema
em
questão não écompletamente
descritoou
conhecidoem
temios de suasIntrodução 2
Processamentos off-line
permitem
a utilização de algoritmosmatematicamente mais
sofisticados, possibilitando
uma
buscamais
apuradada
solução ótima. Entretanto,em
algumas
aplicaçõesem
tempo
real esse tipo de sofisticação toma-se praticamente inviável.Basicamente
um
autômato (ou filtro) adaptativo éuma
estrutura ajustável de talmodo
que
seudesempenho
possa ser otimizado porum
algoritmo numérico.De
uma
forma
geral, pode-se entender esse autômato
como
um
filtro (geralmente digital) cujoscoeficientes são modificados de
forma
a minimizaruma
função objetivo (geralmentedeterminada
em
funçãodo
sinal de saída desse filtro).Segundo
WIDROW
eSTEARNS
(1985), os sistemas adaptativospossuem
todasou
algumas
das seguintes características:0 adaptação automática à
medida
que
ocorre amodificação do
ambiente e/ou alteraçõesdo
sistema (auto-otimização);0
'podem
ser treinados para desenvolveruma
tarefa especilica de filtragemou
decisão,
ou
seja,podem
serprogramados
através deum
processo de treinamento(autoprogramáveis);
0
em
decorrênciado
item anterior,não
necessitam procedimentos elaborados desíntese, são basicamente autoprojetáveis; '
0
podem
extrapolar o espaço deconhecimento
e lidarcom
novas situações após0
treinamento
com
um
pequeno
conjunto de padrões de entrada (auto-aprendizado);
. até certo ponto
podem
reparar a simesmos,
ou
seja,podem
adaptar-seem
regiões
próximas
da ótimamesmo
quando
sujeitos a certos tipos de defeitosou
Introdução 3
v geralmente são
mais complexos
e difíceis de analisarque
sistemas não- adaptativos,mas
oferecem a possibilidade deum
desempenho
substancialmentemelhor quando
as característicasdo
ambiente são desconhecidasou
variantesno
temp‹›. _
-
A
partirdo
exposto pode-se concluirque
os autômatos adaptativos são essencialmente sistemas não-lineares e variantesno
tempo. Entretanto, os parâmetros deuma
certa classe desses filtros t‹›mam-seaproximadamente
constantes apósalgum tempo
de funcionamento.
Quando
isso ocorre, sua ação sobre o sistema torna-se linear. Tais sistemas,chamados
de filtros adaptativos lineares, são bastante úteis,tendem
a sermatematicamente
tratáveis e geralmente sãomais
fáceis de analisarque
a maioria dos autômatos adaptativos.Em
termos de identilicação de sistemas lineares pode-se dividi-losem
duas classes quanto àforma de
sua resposta ao impulso: resposta finita ao impulso (FIR - finite impulseresponse) e resposta infinita ao impulso (IIR - infinite impulse response).
Existem
diferentes estruturas de implementação,
conforme
a classe aque
o sistema analisadopertence
(OPPENHEIM
eSCHAFER,
1989).Tratando-se
da
classede
sistemas adaptativos lineares,podem
ser encontrados inúmeros trabalhos de análise, projeto e aplicações.Apenas
para citar alguns dosalgoritmos
mais
utilizados, tem-se(GLENTIS
et al., 1999):0
LMS;
0LMS
Filtrado(FXLMS);
0 Lea/cyLMS;
0 ~LMS
Normalizado; 0RLS
e suas variações.Introdução .
Atualmente
os esforços encontram-se direcionados para a procura de estruturasaltemativas e de
novos
algoritmos. Entretanto, diversas questõespermanecem
nãoresolvidas
com
relação à dinâmica edesempenho
desses sistemas, entre elas:0 efeitos de precisão finíta (quantização);
0 características
do
sinal de excitação (as análises são geralmente baseadasem
~
considerações de ruído branco gaussiano);
'
0 influências de
componentes
associados (características não-linearesde
transdutores associados, atrasos associados ao sistema analisado, distorções de
sinais devido ao hardware, etc).
1.1.1
0Algoritm0
LMS
Embora
escape ao propósito deste trabalhouma
descrição e análise detalhada dos diferentes algoritmos adaptativos, faz-se necessáriauma
introdução rápida ao algoritmoque
será a base de nosso estudo: oLMS.
Havendo
a necessidade deum
maior
rigorem
suadescrição e
em
seus derivados(FXLMS,
NLMS,
Leaky
LMS,
...), diversas referênciaspodem
ser utilizadas:MANOLAKIS
et al. (2000),HAYKIN
(1991) eWIDROW
eSTEARNS
(l 985). _V
O
algoritmoLMS
foi desenvolvido porWIDROW
eHOFF
em
1959
naUniversidade de Stanford e se popularizou por sua simplicidade computacional. Este
algoritmo adaptativo utiliza
uma
estimação instantânea da superfície dedesempenho
para produzir sucessivas atualizações dos coeficientes atravésdo
método do
gradientedescendente.
Devido
a essa característica oLMS
é dito pertencente à classe de algoritmosbaseados
no
método
do
gradiente estocástico e é consideradocomo
padrão nacomparação
de
desempenho
entre algoritmos adaptativos.Introdução 5
O LMS
pode
ser consideradocomo
um
sistema de controle realimentado e basicamente consistena combinação
de dois processos básicos:0 processo adaptativo: consiste
no
ajuste automático deum
conjuntode
coeficientes;0 processo de ñltragem: envolve (a) o cálculo
do
produtointemo
entre o vetor de sinais de entrada e o vetor de coeficientes,formando
assimum
sinal de saída e (b) a geração deum
sinal de erro atravésda comparação
entre o sinal produzido pelo algoritmo eum
sinal dito desejado. Esse sinal de erro é utilizadoem
conjuntocom
o sinal de entrada para atualizar o processo adaptati vo.A
flgura
1.1 apresenta o diagramaem
blocos deum
problema
deidentificaçãolcontrole
onde
o objetivo é minimizar a potênciado
sinal de saída e(n) atravésda especificação
do
controladorW.
A
z(n)
X
H
d
Ú
8 Il;E5E;E§E§E§§¿Í›z1 1ã5Íz'5E;š§. š\
fz.5=:íz:5í5if5í5z=~ *'='5'ë;555=.= .-.. z.z';~z=zš5=z`=šz2z1?55Ii. fiššišã sx ã;55='zí1~:=š5f555='
-
W”
Figura 1.1
-
Diagrama
em
blocosdo problema
analisadoA
figura I.l apresentaum
sistemaW”,
considerado linear, excitado porum
sinal x(n) (onde “n” representa o instante de tempo), produzindoum
sinal de saída d(n).W
é ocontrolador que, sujeito ao
mesmo
sinal de excitação x(n)ou
aum
sinal dealguma forma
eon'elacionado a este, produz
uma
saídadenominada
de y(n).O
sinal x(n) corresponde aoruído dc medição.
O
objetivodo problema
6 determinar o controlad‹›r ótimoW,
em um
Introdução 6
O
sistemaW”
é considerado possuindo resposta finita ao impulso (FIR) e portantopode
ser representadopor
um
filtro transversal, ou,como
comumente
échamado,
porum
combinador
linear. Portanto, a saída d(n)pode
ser avaliada atravésda
seguinte equação:N-l
d("),=ZwÍx("'Í)
(1_1)_/#0
ou,
na forma
vetorial, por:d(n)
z w°fx(n)
(1.z›onde
Q T o __ o o oW
-[wo
wl wN_,:lX(n)=l:x(n)
x(n-1)
x(n-N+l):|
(1.3) 7'Ou
seja, o vetorW°
é constituído poruma
série ordenadade
coeficientesque
corresponde à resposta ao impulso
do
sistema.O
vetorX(n)
é o vetor de amostrasatrasadas
do
sinal de excitação (ou,como
comumente
échamado,
sinal de referência).No
próximo
instantede
tempo “n+l”
todas as amostras deX(n)
são deslocadas para a direita,a amostra mais antiga é descartada e a
nova
amostrado
sinal de excitaçãoocupa
a primeiraposição
do
vetor.Da
mesma
forma, tem-seque
N-1
›'(")
=
EW,-×("“/`)
=
WT
(")X(")
(1.4)¡=o
e, conseqüentemente, o sinal de erro instantâneo é
dado
pore(n)
=
d(n)
-
y(n)
= W°TX(n) -
WT
(n)X(n)
+
Z(n)
'Introdução 7
O
erromédio
quadráticopode
ser avaliado elevando-se (1.5) ao quadrado etomando-se
seu valor esperado.É
fácil demonstrarque
esse resultado éuma
funçãoquadrática
do
vetorde
coeficientesdo
controladorW.
Portanto,E{e2
éum
hiper-paiabolóide
no
espaço dos coeficientes deW
. Essa superfície denomina-se superfíciede
desempenho
do problema
analisado.Para determinar o conjunto de coelicientes
que minimiza
(produzo
mínimo
valor) a superfíciede desempenho,
pode-se utilizar ométodo do
gradiente descendente:w(zz+1)=
w(zz)-iz‹,vz‹.¬{e2(,z)} ‹1.õ›onde
,u0'= p. / 2 6uma
constante de adaptaçãodenominada
de passo dc convergência.Ou
seja, partindo-se deum
valor inicial arbitrário paraW(0)
, acada
iteraçãodo
algoritmo
pequenos
passos são dadosem
direção ao conjunto ótimo de coeficientes.O LMS
utilizauma
estimativado
gradienteda
superfi'cie de'desempenho
pararealizar a adaptação.
Ao
invésdo
erromédio
quadrático ele utiliza o en°o instantâneo,ou
seja:
VE{e2 (n)}5Ve2
(n)=2e(n)~=-2e(n)X(n)
(1.-7)Substituindo (l.7)
em
(l.6) tem-secomo
resultado a equação de atualização doscoeíicientes
do
LMS:
W(n+l)=W(n)+¡ue(n)X(n)
(1-8)`
Ao
longo deste trabalho será utilizada a seguinte notação:0 grandezas escalares: letras minúsculas;
Introdução 8
1.2
Controle Ativo
de
Ruído
Acústico
e
Vibrações
1.2.1 Introdução
Dentro
do
contextode
abrangência de filtros adaptativos encontra-se a técnicade
controle ativo de ruído
(LEITCH
eTOKHI,
1987,STEVENS
eAHUJA,
1991,MORGAN,
1991,
ELLIOT
eNELSON,
1993,FÚLLER
eFLOTOW,
1995,NELSON
eELLIOT,
1995,
KUO
eMORGAN,
1996,HANSEN,
1997,KUO
eMORGAN,
1999).Basicamente, pode-se descrever o processo de controle de ruído acústico
(ANC)
como
sendo o cancelamento das ondas de pressão (som)em um
determinado pontoou
região
no
espaço, atravésda
criação deum
campo
acústico artificial demesma
intensidade,porém
com
fase inversa.A
sobreposição deambos
os efeitos ocasiona a diminuiçãoou o
cancelamento dos níveis sonoros,dependendo do
desempenho
do
sistema utilizado(NELSON
eELLIOT,
1995,KUO
eMORGAN,
1996).Os
fundamentos
desta técnicaforam
idealizadosna
década de30
por PaulLueg
(GUICKING,
1990),porém
apenas nos anos50
uma
maior
atenção foi dadaao
assunto.Atualmente,
com
o
advento dos sistemas dedicados ao processamento de sinais,o
controlede ruído acústico
tem
sido cada vezmais
explorado(KUO
eMORGAN,
1996,KUO
et al.,1996).
Até
o surgimentodo
ANC,
o controle de ruído era realizado apenas pormeios
passivos,
como:
forrações, espumas, amortecedores de absorção e reflexão, isoladores esilenciadorcs, entre outros.
Porém,
as técnicas passivas funcionambem
apenas paramédias
e altas freqüências (acima de
500
Hz).Além
disso,quando
utilizadas para baixasfreqüências, soluções passivas
podem
servolumosas
e possuir peso considerável.Em
contraposição, sistemas ativos são eficientes apenas abaixo de
1000
Hz
(KUO
et al., .1996,ERl.KSSON
eZUROSKI,
1997).Introdução
9
entendida são a interferência destrutiva e a variação da impedância de acoplamento.
O
cancelamento das ondas de pressão não 6 trivial e
depende
tantoda
posição espacialcomo
do
instante de tempo.De
forma
prática, o controle ativodo
som
é realizado através de sistemaseletroacústicos.
Em
suaforma mais
simples,um
sistema de controle (geralmentemicroprocessado) aciona
um
alto-falante deforma
a produzirum
campo
sonoroque
éuma
imagem
espelhada (antifase) exatado
ruídodo
ambiente. Essaimagem
espelhada écriada a partir daamostragem do
ruído através de microfones,ou
a partir deum
sinal de referênciaobtido
com
o auxíliode
outros transdutores.Na
realidade essa tarefa é mais complicada eexige
um
grande esforço computacional, na maioria das vezessem
gerar o cancelamentocompleto do
ruído. -Existem
dois tipos básicos de enfoque para o controle ativo de ruído: cancelamento ativode
ruído acústico e controle ativo acústico-estrutural.No
cancelamento de ruído acústico, os atuadores são fontes acústicas (alto-falantes)que
produzem
um
sinal desom
em
antifase aodo
ambiente,como
já explicado.No
casodo
controle estrutural os atuadores são geralmente transdutores piezoelétricosque
modificam
omodo
de vibração deuma
estrutura, alterando, dessa maneira, o ruído irradiado(NELSON
eELLIOT,
1995,KUO
eMORGAN,
1996).O
controle ativo de ruídotem
um
melhor
desempenho
para sonsque possuem
um
comportamento
espacial simples.Um
exemplo
clássico seria o de ondas desom
de baixafreqüência propagando~se através de
um
duto,um
problema
.. essencialmenteunidimensional.
O
controle completo de sonscom
características espaciais complicadasainda não é possível nos dias de hoje
(GUO
ePAN,
1995).Porém,
as técnicas atuais sãobastante eficientes para o controle de ruído
em
espaços fechados(NELSON
et al., 1987,BULLMORE
et al., 1987,ELLIOT
et al., l987b), taiscomo
em
cabines de aeronaves e de veículos, cem
dutos poronde
fluem gases(BURGESS,
l98l,MASSARANI,
l99(),OSÓRIO
eNÓBREGA,
1995,NELSON
eELLIOT,
1995,BERNHARD,
1995,KUO
eIntrodução 10
do
ruído, outro fatorde
importância é o posicionamentoadequado
dos transdutores(BAEK
eELLIOT,
1995).Um
dos grandesproblemas
da redução de ruídoem
regiões de localizaçãoespecífica é a amplificação
do
ruído nas imediaçõesdo
localem
questão.Os
sistemasde
controle
tendem
a reduzir o ruído localmente ao invés de globalmente. Geralmente, aredução global é obtida apenas para
campos
sonoros simples,onde
omecanismo
primário é o acoplamento de impedâncias. Entretanto, o cancelamento direcional é possívelmesmo
aelevadas freqüências se os atuadores e o sistema de controle estiverem aptos a isso.
Na
maioria das aplicações, a descrição completado
sistema a ser controladonão
épossível.
Além
disso, tais sistemas são Freqüentemente não-estaeionáiios devido amudanças de
temperaturaem
tubos de exaustãoou
a modificaçõesdo
ambiente causadaspela
movimentação
de pessoasou
máquinas.Assim,
uma
grande parte dos sistemasimplementados
faz uso de filtros adaptativos ao invésde
técnicas de controle convencional.Dentre os algoritmos adaptativos
mais
utilizados pode-se citar o algoritmoLMS
e sua variação, oFXLMS
(KUO
eMORGAN,
1996). -Diversas aplicações desta técnica
têm
sido sugeridasna
literatura. Dentre essaspode-se citar:
0 dutos de ventilação
(BURGESS,
1981,MASSARANI,
1990);0 sistemas de ar-condicionado;
0 eletrodomésticos (aspiradores,
máquinas
de lavar, refrigeradore_s,...);0 sistemas automotivos
(ELLIOT
et al., 1988,BERNHARD,
1995,LY,
1997);I estruturas espaciais
(W
OODARD
eNAGCHAUDHURI,
1998); .0 ambientes industriais;
Introdução 1 1
1.2.2 Tipos
de
SistemasANC
Pode-se classificar os sistemas
ANC
em
quatro tipos principais,dependendo da
forma
de construção e dos objetivosque
sepropõem
(NELSON
eELLIOT,
1995,KUO
eMORGAN,
1996,KUO
et al., 1996):0 sistemas não-rcalimentados dc banda-ltuga;
0 sistemas não-realimentados de banda-estreita;
0 sistemas realimentados;
0 sistemas de múltiplos canais.
Apresenta-se a seguir
um
pequeno resumo
sobre cadaum
dos tipos de sistemaANC,
assimcomo
seus diagramasem
blocos.0 Sistemas
não-realimentados de banda-larga
A
figura
1.2 apresenta o diagrama simplificado deum
cancelador não-realimentadode banda-larga.
A
fonte de ruído é amostrada porum
microfone, produzindoum
sinalelétrico de referência
denominado
x(n).O
controladorproduz
um
sinal elétricoque
acionaum
alto-falante para produzir0
cancelamentodo
sinal acústico indesejável.A
respostado
controlador é ajustada a partir de x(n) e
do
sinal de erro e(n) (captado pelo microfone deerro) de
modo
a aumentar a eficiênciado
cancelamento.H Sistemas
não-realimentados de
banda-estreitaEm
aplicaçõesonde
a fonte de ruído é periódica (ou quase periódica),como
éo
caso de
mídos
produzidos por -máquinas rotativas, o microfone de entradapode
ser substituído por sensores não-acústicos,como
tacômetros, acelerômetrosou
sensoresópticos.
A
figura
1.3 mostra esse tipo de implementação.O
sensor não-acústico forneceum
sinal sincroni'1.a_do
com
o ruído, permitindo a determinação de sua freqüência fundamental.O
sinal de erro permite orcfinamento
(adaptação)do
sistema.Introdução Ruído primário
uu
Alto-falante fësíššt `.
v
.
MicrofoneÉ
_Fgmz
de de referênciaMmofone
ruído de erro ly(»)
x
(n ) ›1:5¿¿í=1~ =` .:,.'5§5.55¿.z;=;,:_5;5§5:=-=§:;z_z.z,›>5;2_=;=aãamakdaas
Figura l.2 - Sistema de controle de ruído não-realimentado de banda-larga
em
um
dutoFonte de ruído Ruído primário .zzgzëzšízë _ =`\
@§É§|uuinaaaaaa§aa›
Awrawmz
VÍ
.
1
1
Microfone Sensor não-acústico (16 ¢lT0 ~y(n)
AFigura 1.3 - Sistema
ANC
não-realimentado de banda-estreita0 Sistemas realimentados
Este tipo de configuração faz
uso
de apenasum
transdutor acústico, do qual forneceo sinal de erro (figura 1.4).
Em
alguns casos, a reduçãodo
ruído indesejável requerum
elevado
ganho
namalha
de realimentação. Assim, os atrasos de fasepodem
tornar osistema instável. Essa configuração é mais facilmente controlável
no
caso de controle deruído de banda-estreita
(KUO
eMORGAN,
1996). .Biblioteca
uni
s ~ i ,fi um J -VÊ n)~ 2. \‹ Introdução zf z i , S;-*S ._-i›"~ ' 13 Fonte de ruído Ruído primárioum
Alw-falanteÉ
É
.
_ Microfone de erroy(fl)
Figura 1.4 - Sistema realimentado de cancelamento de ruído
0
Sistemas
de
múltiplos canaisQuando
a geometriado problema
é complexa, a utilização de apenasuma
fontesecundária para o cancelamento
do
ruído não é suficiente.Nesse
casodevem
ser utilizadosconjuntos de fontes associadas.
Um
sistema de múltiplos canais é apresentadona
figura1.5.
Nesse
caso existem diversos sinais de erroque
devem
sercombinados
em
uma
funçãoobjetivo a ser
minimizada
(ELLIO'I'I` ez al., 1992).Sistema acústico _ . ›'zz-z=z=z=׋~~*'›=.\›z>fz=-_. ._ i . É -:‹-‹Ê:‹:-:-~"1':lÊi':ʧ` .,\_.\\›`:§Í`;";-. . Fonte de ruído Sensores acústicos Alto-falantes Microfones de erro . ê ..1'zëz.;=.iâ== .. I \ \ × šz§êë2\\×_. _ = _E;š51;Ej1=1.j5'-zz5:1-rízšzã ' \\\t›$s§\.‹=z-.. E ='= 1+ j~=:_{Ê5ë5f5§\x , ....z-z-z š-.:.~› \> š W Sensor não-acústico xl. (fl) 6,. (n) ' '
ANC
Introdução
1.2.3 Algoritmos Adaptativos
para
SistemasANC
Diversas técnicas
têm
sido exploradas para aimplementação
de sistemasANC.
Entre elas pode-se citar:
0 técnicas de controle convencional (controladores PID);
0 técnicas de controle robusto
(TOKHI
eLEITCH,
1991);0 filtros adapta-tivos lineares
(VIPPERMAN
eBURDISSO,
1995);0 algoritmos genéticos
(HANSEN
et al., 1996);0 redes neurais
(HAYKIN,
1999).Embora
resultados satisfatóriospossam
ser obtidosem
certas aplicações utilizando-se técnicas convencionais de controle, as formas adaptativas têm-se mostrado de grande
valia, visto
que
a maioria dos sistemasANC
nãopode
sercompletamente
descritaem
termos analíticos
ou
são não-estacionários. 'A
complexidade
estrutural das redes neurais e dos algoritmos genéticos necessáriosà solução de problemas práticos dificulta sobremaneira a análise da dinâmica de seu
funcionamento. Assim, apesar de
fomecerem
resultados relevantes, essespodem
ser dedifícil otimização.
Grande
parte dos sistemasANC
é baseadaem
liiltros adaptativos lineares. Essapopularidade deve~se à baixa complexidade estrutural e computacional desses (iltros, as
quais facilitam a análise de sua dinâmica, permitindo a compreensão, pelo projetista, das
diversas variáveis envolvidas na obtenção da solução ótima.
Filtros adaptativos lineares IIR
tendem
amodelar
sistemas físicoscomplexos
com
um
número menor
de coeñcientesque
os equivalentes FIR, resultandoem
menor
custocomputacional por iteração
do
algoritmo adaptativo. Entretanto,como
grande revés,possuem
características indesejáveis,como:
convergência lenta, existência demínimos
locais e regiões de instabilidade.
Em
especial,em
aplicações de controle de ruído acústico,Introdução 15
dependendo da
aplicação, tanto estruturasFIR
como
IIRpodem
possuirum
grandenúmero
de coeficientes
em
decorrência das característicasdo meio
acústico de propagação.Devido
a esses fatos, a maioria das aplicações faz uso de filtros
FIR
(ERIKSSON
et al., 1987,LIAVAS
eREGALIA,
1998). _Embora
existam diferentes estruturas deimplementação
de filtrosFIR
(cascata, faselinear, lattice, entre outras),
com
diferentes propriedades, aforma
transversal é amais
utilizada
em
decorrência de suamenor
complexidade
(custo computacional).'
Diversos algoritmos
podem
ser encontrados na literatura para aimplementação
desistemas
ANC
baseados emfiltros adaptatives linearescom
estrutura transversal. Dentreeles pode-se citar: o
LMS,
FXLMS
eLeaky
FXLMS.
O
presente trabalho restringe-se àanálise
do
algoritmoFXLMS.
O LMS
é tratadocomo
um
caso particulardo
FXLMS.
Caminho primário š.- ... ... .. , l Sinal 08 referência ... ... .. 1... ...._...»..-__.~...__. ... _....a..--...n L.” ` ! . .=;;§*§2;íÍ=I=;1§;‹}¿;51%.zézfãfi§§§í§E3;;'§í§-§=§§;š;.§=š'§I1`i§íi=;í§*2" j _
y
(fl) Smfll de z -erro = e (") :f:›ãzëiã;;fãâââââââ¿;__zI¿M§;â.z.â,i¿z;;;â§.§íí;%2fâ ;;. C°fl“°1a<1°fFigura 1.6 - Sistema básico de controle ativo de ruído acústico baseado
no
algoritmoLMS
A
figura
1.6 apresenta o diagrama básico deum
sistema de controle baseadono
algoritmo
LMS.
O
sistema utilizaum
filtro adaptativoW(n)
para
minimizar o erromédio
quadrático
na
saídado
módulo
somador. Isso ocorre através da estimaçãoda
respostado
Introdução 16
De uma
forma
simplificada, a saídado
filtro adaptativo deve convergir paraum
sinal
próximo
ao sinal na saída deW”.
Quando ambos
os sinais são combinados, o erroresidual tende a anular-se.
Visto
que
o cancelamento se dá por superposição das ondas de pressão, o sinalda
segunda parcela da equação de atualização dos coeficientes (1.8)deve
ser negativo.'
Um
grandeproblema
dessemodelo no
caso de aplicaçõesANC
é a existênciado
chamado caminho
acústicosecundário
(CHEN
et al., 1996).O
sinal gerado pelo filtroadaptativo 6 sujeito a
uma
série de modificações antes de ser utilizado para cancelar o ruídosonoro. Essas modificações são decorrentes da atuação
do
conjunto: conversor digital-analógico, pré-amplificadores, iiltro de reconstrução, amplificadores de potência, alto-
falantes,
meio
de propagação, microfones, filtros, amplilicadores e conversor analógico-digital
(KUO
eMORGAN,
1996).Uma
descriçãomais
representativado
sistemamencionado pode
ser apreciadana figura
1.7.Caminho primário
x
(fz) i. -d
(H) . I-í§;;;'3;í:1Éš'E2z,fg;§;§§j';W£§fífíz§šÍ-šffzÊffifÍ:Êi=í§fâf:` ^ i 7* '==.;E'1¡._'.II;.5Ijš;55E5535_.;z5.5:5E;5;E;E_E;.5}5E;E5E5E¡E¡E;I5z;z; 5.;-,;I=E;5=I=E1` ` ;;::13:1:1:;;;;::;2:3:::13:ii:::::::::::::::::::::;""';._-...-;...§...§§§.'§j ffíííffíff â 1 ›'(n)i y f ( ) ~._›z;.¡;;z¡z_:¡.¡z~z¿z¿,. ,.¿¡ zzz .z .zz _z;:¡,.-z:_':; \ . :;z¡z¡z¡:;:¡.-¡z›.-:› › .¡z¡z¡;;_-z_z¡--zVz,z cz z É * /ff//z `... ... i Caminho secundário 6 (fl) Í _ . c‹›m‹‹›1a‹‹‹›fFigura 1.7 -
Diagrama
em
blocos deum
sistema básico de controle de ruído levando-seem
consideração a influência
do caminho
acústico secundário.Com
o intuito decompensar
a influência deS,
o algoritmoFXLMS
utilizauma
Introdução 17
1996,
ZHANG,
et al., 2000). Basicamente, sua função é filtraro
sinal de excitação x(n)antes de este ser utilizado
na
atualização dos coeficientes.Tanto melhor
será odesempenho
desse algoritmo quanto
mais
próxima
forS
de S. Esse artifício é utilizado pelo fatode
afunção
S
não sersempre
fase mínima,ou
seja,não
existe necessariamente a função inversaS".
Dependendo
da
aplicação,S pode
ser estimada antesda
etapa de controle, oupode
ser estimada
em
tempo
real durante a atuaçãodo
sistema de controle.O
diagrama
em
blocos daimplementação
prática deum
sistema de controle ativo deruído acústico
~
em
um
duto, utilizando o algoritmoFXLMS,
pode
ser visto nafigura
1.8.RUÍÕO Pf¡máf¡0 Alto-falante
í-z›
Microfone de referênciaÉ
. V Microfone _,,...t... ... ____._...t,.a¿ de erro 5:55 Ã C0nIr0lad0¡ = :I ›..-.. ..‹... ... '. ,ÁFigura 1.8 - Sistema de controle de ruído
em
um
duto acústico utilizando oFXLMS
Supondo-se que
S
6 linear, entãoquando
S
=S
as característicasdo
sistemaem
regime
permanente
seriam equivalentes às deum
sistemasem memóiia
nocaminho
secundário, cujo
caminho
primário 6 definido pela eonvolução entre os sistemasW"
eS"
,e sinal de excitação filtrado por S.
H
1.3
Não-Linearidades
em
Sistemas
ANC
Introdução 18
FXLMS
pode
ser estudado atravésda
teoria de filtragem adaptativa. Diversos trabalhos estabelecem critérios dedesempenho
e estabilidade a partir demodelagens
analíticasdo
comportamento
desses sistemas.A
maioria desses trabalhosassume que
a propagaçãodo
som
no
arou
de vibraçõesem
estruturaspode
ser descrita,em uma
primeira instância,como
um
problema puramente
linear. Entretanto, esses sistemaspodem
incluircomponentes
com' características substancialmente não-lineares.Funções do
tipo zona-morta, quantização
ou
saturação, entre outras,podem
ser identificadasno
meio
físico,em
transdutores
ou no hardware
associado(SUTTON
eELLIOT,
1995,TAO
eKOKOTOVIC,
1996).'
Para exemplificar, muitos dos transdutores (acústicos e de vibração) utilizados
em
sistemas
ANC
caracterizam-se por possuíremcomportamento
não-linear(KLIPPEL,
1990,KLIPPEL,
1992,SCOTT
et al., 1996,HEINLE
et al., 1998). Esseproblema
geralmente éminimizado, limitando-se as excursões de sinal relativamente à capacidade dos atuadores.
(ELLIOT
eNELSON,
1993,SUYKENS
et al., 1995,HANSEN,
1997,KUO
eMORGAN,
1999,
DOUGLAS,
1999). Entretanto, por razõeseconômicas
pé de grande interesseque
asespecificações
do
sistemanão
sejam superdimensionadas.Um
outro elemento não-linear deinteresse é a etapa de amplificação de potência
do
sinal a ser entregue aos transdutores. Essa etapapode
acarretar distorçãoou
atémesmo
saturaçãodo
sinal de controle.Da mesma
forma que
sistemasANC
são afetados por essas não-lineaiidades,também
diversas outras aplicações de c‹›ntr‹›le/identificação adaptativaque
utilizam osmesmos
transdutores o são; por exemplo: cancelamento de eco(NOLLET
eJONES,
1997,STENGER
eRABENSTEIN,
1998,STENGER
eKELLERMAN,
2000) e aplicaçõesbiomédicas
(MELO
et al., 1998,MELO
et al., 2000).Considerando a existência dessas influências não-lineares, toma-se importante o
aprimoramento
dosmodelos
analíticos existentes.Os
novosmodelos
devem
permitir a determinação dos efeitos dc não-linean`dadcs representativasdo
comportamento
do sistemaIntrodução 19
1.4 Filtros
Adaptativos
Sujeitos
a
Não-Linearidades
O
estudo dos efeitos de não-linearidadesno comportamento
de algoritmosadaptativos ainda 6 incipiente. Entretanto, a influência de elementos não-lineares
com
características
como
saturação e quantização é de grande interesse por partedo
projetista.Freqüentemente, efeitos não-lineares são
modclados
por aproximações linearizadas(GITLIN
et al., 1973,CARAISCOS
e LIU, 1984,ALEXANDER,
1987).Alguns
trabalhosrecentes
desenvolvem modelos
não-linearesque
consideram a natureza exata da não-linearidade envolvida
(BERMUDEZ
eBERSHAD,
l99óa
e l996b,BERSHAD
eBERMUDEZ,
1996a
e 1996b).Uma
técnica eficiente de análise utiliza não-linearidadesdo
tipo saturação
como
aproximação
analítica de não-linearidades reais(DUTTWÉILER,
1982,
BERSHAD,
1986,BERSHAD,
1988,SHYNK
eBERSHAD,
1991,BERSHAD
etal.
1993a
e l993b,BERSHAD
et al., 1999). Outros trabalhosque
devem
sermencionados
são:
ROWE
(1982),DOUGLAS
eMENG
( 1994a) e (l994b).A
utilização de funções não-linearesdo
tipo saturação possibilitauma
adequada
modelagem
das distorções por limitação de excursão de sinal, tantoem
nível de software (overflow) quanto de hardware.Funções
desse tipo são úteistambém
na
análise de redesneurais. Muitas dessas redes
podem
ser entendidascomo
filtros adaptativoscom
não-linearidades
em
suas saídas.A
facilidade de manipulação analítica de funções de saturaçãopode
viabilizar a análise de estruturas bastante complexas.A
utilização dessa tecnica produziu interessantes conclusões.. na análisedo
comportamento do
neurônio artificial(SHYNK
eBERSHAD,
1991,BERSHAD
et al.,1993a
e l993b,BERSHAD
et al., 1996,BERSHAD
et al. 1997), na identificação desistemas não-lineares
com
memória
(BERSHAD
et al., 1999,BERSHAD
et al., 2000) eno
LMS
sujeito à saturaçõesdo
sinal de erro(BERSHAD,
1988).1
Apesar
de todos esses trabalhos, até 0moment‹›
desconhecem-se esforçosno
Introdução 20
em
sistemasANC
baseadosno
algoritmoLMS
decorrente da influência de não-linearidades. V
1.5
Objetivos
deste
Trabalho
VEstudar o
comportamento
de algoritmos adaptativos baseadosno
algoritmoLMS
sujeitos à influência de não-linearidades através de
uma
metodologia de análise capaz defornecer
modelos
analíticosque
possam
prever,com
adequada
precisão,o comportamento
de sistemas reais tanto
em
regime transitóriocomo
permanente.Em
um
segundo
momento
determinar figuras de mérito capazes de qualificar/quantificar o
desempenho
dessessistemas
em
condições determinadas, auxiliando o projetista de sistemas adaptativos.1.6 Justificativa e
Relevância
Diversos sistemas de interesse
do
ponto de vista da filtragem adaptativapossuem
características não-lineares; dentre esses pode-se citar: sistemas biológicos, controle ativo
de ruído acústico, redes neurais e sistemas de identificação e controle de
um
modo
geral.Principalmente nas áreas de controle ativo de ruído e identificação de sistemas, a
presença de
componentes
não-lineares (transdutores .C amplilicadores) éuma
constante.A
modelagem
analítica usualdo comportamento
de algoritmos adaptativos desconsidera a influência dessas não-linean`dades, 0que
produz resultadosnem
sempre
condizentescom
asituação real.
A
literatura técnica especializada apresenta diversos estudos sobre ocomportamento
de sistemas não-lineares.No
entanto,poucos
desses estudospodem
ser utilizados (aindaque
aproximadamente) paramodelar
a inlluência de não-linearidadesem
sistemas de controle ativo de ruído e vibrações
que
utilizam algoritmos baseados noLMS.
Introdução 2
l
neurais artificiais.
1.7
Estrutura
do
Trabalho
Inicialmente, foi apresentada a
fundamentação
teórica necessária à análisedo
problema.
No
capítulo 2 será feita a definição formaldo problema
genérico abordado nestetrabalho.
Dessa
formulação geralpodem
ser extraídos,como
casos particulares,uma
sériede problemas
de filtragem adaptativa extensivamente estudados na literatura.O
capítulo 3 apresenta a análise da superfície dedesempenho
do
sistema de controlesob
o
ponto de vista deum
problema
de estimaçãomédia
quadrática não-linear.Os
capítulos 4, 5 e 6 apresentam a análise estatística propriamente dita, resultando
na
obtençãode
modelos
analíticos para ocomportamento médio
dos coelicientes, evoluçãodo
erromédio
quadrático emomentos
de segundaordem
do
vetor de coeficientes. Mostra-seque
para o caso limiteem
que
a influência da nã‹›-linearidade é desprezível, as expressõesobtidas neste trabalho reduzem-se às expressões já descritas
na
literatura para os casosparticulares analisados, supondo-sc sistemas
puramente
lineares._Nesse
sentido, o presentetrabalho generaliza a
modelagem
do comportamento
estocástico deuma
grande classe desistemas adaptativos lineares e não-lineares.
No
capítulo 7 são avaliados osmodelos
analíticos e apresentadas confrontaçõesentre os resultados teóricos e os resultados de simulações computacionais.
No
capítulo 8são feitas observações gerais sobre o trabalho e apresentadas conclusões e propostas para
sua continuação.
Nos
anexos encontram-se vários desenvolvimentos matemáticos descritos-Definição do Problema 22
2.
DEFINIÇÃO
no PROBLEMA
~Neste capítulo é formalizada a descrição
do problema
a ser analisado.São
apresentados os
modelos
analíticos e as principais considerações estatísticas e funcionaisque
serão utilizados ao longodo
trabalho. '2.1
Introdução
Como
já descritono
capítulo I, o algoritmoLMS
é o algoritmo mais popularem
aplicações
de
tempo
real etem
sido utilizadocom
sucessoem
inúmeras áreas. Entretanto,certos sistemas caracterizam-se por introduzir operações de filtragem
no caminho de
realimentação
do
algoritmo (saídado
filtro adaptativo).Em
aplicações de controle ativo deruído acústico isso ocorre devido à presença
do
sistema de atuação acústica(caminho
acústico secundário).
Os
elementosdo caminho
acústico secundário criam atrasosque
podem
causar a degradaçãodo
desempenho
ou
atémesmo
a instabilidadedo
processo de adaptação. Pararesolver esse
problema
foi desenvolvidauma
versãomodifieada
do
LMS
denominada
dealgoritmo
LMS
Filtrado (Filtered~X LeastMean
Square),também chamado
deFXLMS
(BURGESS,
1981,WÍDROW
et al., l98l,BJARNASON,
1995,KUO
cMORGAN,
1996).Nesse
algoritmo, o sinal de referência é filtrado demodo
acompensar
os filtrosque
se
encontram
dentrodo
laço de realimentação eletroacústico. Essa filtragem adicionalno
sistema adaptativo gera correlações entre os sinais e, por conseguinte, complica de
forma
significativa o
comportamento
e análisedo
algoritmo adaptativo. Essas correlaçõesinvalidam
o
uso da teoria da independência(MAZO,
1979), muito utilizada para simplificar a análise estatísticado comportamento
do
algoritmoLMS.
Portanto, a análiseDefinição do Problema 23
Diversos trabalhos tratam da análise
do
algoritmoFXLMS.
SNYDER
eHANSEN
(1994) avaliaram
o comportamento médio
dos coeficientes e, posteriormente,BJARNASON
(1995) desenvolveu expressões para osmomentos
de primeira esegunda
ordem
para o caso de estimação corretado
caminho
secundário, especializando seusresultados para o caso
do
algoritmoDelayed
LMS
(caso particulardo
FXLMS).
Entretanto,essas análises basearam-se
na
teoriada
independência. Recentemente,TOBIAS
(1999)desenvolveu
um
modelo
analíticomais
acurado para ocomportamento médio
e para osmomentos
desegundaordem
dos coeficientesdo
algoritmoFXLMS
sem
recorrer à teoriada
independência. 'Outra importante característica de sistemas
ANC
é a existênciade
efeitos não- linearesno
laço de realimentaçãodo
algoritmoem
decorrênciado comportamento
dosamplificadores e transdutores utilizados.
Em
termos de análise, essa caracteristica éfreqüentemente ldesconsiderada, supondo-se
que
o sistema seja puramente linear(BERNHARD
et al., 1997). Para isso,uma
série de precauções deveria ser tomada,como:
limitação das excursões dos sinais dentro da região linear dos amplificadores de potênciae
escolha
de
atuadores estritamente lineares. Entretanto, issonem
sempre
é possível, devido tanto a aspectoseconômicos
como
a operacionais.'-.~t;z¡.=;-..=,1-,=.=_.... 1'-.éIz;az.i,z.z¿,_;.:;z;. z >---.'z_›:': ›- -':'-.=¡=;':' -'¢z¬;Çzj'. \ ~ -.`. ~z,- ~, ~~zztz‹`z-<‹.z«‹.›.zz.-fëâëfi ff../.'z"×-f :-fm' -_-ífšiíf :ij-_ ~f'\ ¬. 'z;':tz -t ° » =_'_=I,';=z‹-_ -A :-9 * ' - faz/ 4 «nv ášrf-'...<ø; :'4×// \×.~šz\¬-kr->.›.~às\\\~::t-..».‹\z.-.~.«,z-.â›- \-.,«.-Y-.z. (a) Sistema Wiener
8
(') < S2 \\§ Q \\ \\\\` (b) Sistema Hammerstein _-;:.-,z¡_z:z ¿S_l_'__,_,z:.À---V-_>:-:' ::. .z._.:::;¿,¿.:z _. š . V ¿ A -¡.... (c) Sistema Wiener-HammersteinrFigura 2.1
