Pontos umbílicos em leis de conservação

Pontos Umbílicos em Leis de Conservação

Departamento de Matemática Aplicada Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Pontos Umbílicos em Leis de Conservação

Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Matemática Aplicada

Departamento de Matemática Aplicada Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Tese orientada pelo

AGRADECIMENTOS

Quero agradecer em primeiro lugar ao Professor Doutor José Basto Gonçalves por todo o apoio e atenção, bem como ajuda prestada ao longo da orientação da tese.

Quero ainda agradecer a toda a minha família que sempre me transmitiu ânimo durante a elaboração do presente trabalho.

RESUMO

Neste trabalho começamos por mostrar que, em geral, as singularidades asso-ciadas às condições de Rankine-Hugoniot (condições essas inerentes ao Problema de Riemann) são removíveis por blow-up. Com esse objectivo é descrita a cons-trução do blow-up de uma variedade sobre uma sua subvariedade.

São ainda estudadas as curvas de rarefacção do Sistema de Leis de Conservação

V

u _t

+

'(1

+

X)v + f

o'

através da construção descrita em [6], dando especial atenção à bifurcação em torno do ponto umbílico.

Em [6], Isacson et ai, fazem um estudo geométrico do Problema de Riemann construindo subvariedades e foliações (entre as quais as curvas de rarefacção) da Variedade Fundamental das Ondas, cujas intersecções descrevem as bifurcações existentes. É então aqui feito um resumo de todo este estudo.

Para estudar as curvas de rarefacção do sistema dado acima é encontrada uma parametrização local da Variedade Fundamental das Ondas e da Variedade Ca-racterística, sendo essas variedades representadas graficamente, tendo em conta que o sistema é elíptico em

e que temos um único ponto umbílico para A = 0. São obtidas as equações dife-renciais implícitas que descrevem as curvas de rarefacção, e estudados os retratos de fase correspondentes e as suas bifurcações na Variedade Característica, e na sua projecção sobre o espaço dos estados {v,u).

Este estudo é relacionado com outros estudos já efectuados por Schaeffer e Shearer em [8], Holden em [5] e Bruce e Tari em [3].

SUMMARY

We start this work by proving that in general, the singularities associated to the Rankine-Hugoniot conditions, which are related to the Riemann Problem, are removable by blow-up. With this objective we describe the construction of the blow-up of a manifold over a submanifold.

Afterwards, we present a study of the rarefaction curves of the Conservation Laws of the system

V U _t

+

\l + X)v+f

by a technique developed in [6], confering special atention to the bifurcation around the umbilic point.

In [6], Isacson et ai. study on a geometric perspective the Riemann Prob-lem building, for the purpose, submanifolds and foliations (among which the rarefaction curves can be found) of the Fundamental Wave Manifold, whose in-tersections describe the existing bifurcations. We, then, sum up the main idea of this study.

For the purpose of studying the rarefaction curves of the system above, we found local parametrizations of the Fundamental Wave Manifold and of the Characteristic Manifold, manifolds which were graphically represented having in mind that the system is elliptic on the set

and that there is a single umbilic point for A = 0. Then, we obtain the implicit differential equations that describe the rarefaction curves. Next we study the corresponding phase portraits and their bifurcations on both the Characteristic Manifold and its projection curves on the state space (v, u).

This study is related with others made by Schaeffer and Shearer in [8], Holden in [5] and Bruce and Tari in [3].

ÍNDICE Agradecimentos 5 Resumo 7 Summary 8 1. Introdução 11 2. Soluções Praças 12 3. Problema de Riemann 13 4. Blow-up 14

5. Variedade Fundamental das Ondas 19

6. Variedade Característica 21

7. Ondas e Curvas de Rarefacção 23

8. Local de Inflexão 26

9. Foliação de Choque 28

10. Local Sónico 31

11. Foliação Composta 34

12. Resumo do Estudo Geométrico 36

13. Bifurcação de Curvas de Rarefacção 40

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como principal objectivo estudar o comportamento dos pon-tos umbílicos associados ao Problema de Riemann, para uma família de funções a 1-parâmetro em C2(M2,R2).

Ao longo dos anos tem sido desenvolvido um vasto trabalho em torno do Pro-blema de Riemann. Modelos têm sido estudados através da Análise Matemática e com a ajuda de programas de computador. No entanto, este estudo clássico leva-nos a soluções com descrições bastante complicadas, de tal forma que se torna difícil determinar as propriedades qualitativas de tais soluções.

Isacson et ai., em [6], fazem um novo estudo do problema baseado na cons-trução geométrica de pontos, foliações e subvariedades de uma variedade só, chamada Variedade Fundamental. Tanto para os sistemas hiperbólicos como para os mistos (hiperbólicos-elípticos) o estudo das singularidades presentes e da sua bifurcação é simplificado.

Schaeffer e Shearer, em [8], classificam os sistemas de Leis de Conservação 2 x 2 com um ponto umbílico isolado, com a particularidade que a matriz Jaco-biana do Fluxo não admite valores próprios complexos. Em [5], Holden estuda o comportamento das curvas de rarefacção na região de separação entre as regiões elíptica e hiperbólica, para uma família de sistemas de Leis de Conservação 2 x 2 a 1-parâmetro, não estudando o comportamento dos pontos umbílicos, caso eles existam.

Neste trabalho iremos ver como construir todos os conjuntos importantes para o estudo do problema e ver que perda de transversalidade está estritamente relacionado com bifurcação.

Na base de tal estudo geométrico está a construção do blow-up. Segundo Isacson et ai, muitas das singularidades existentes nos conjuntos e foliações construídas são removíveis por blow-up. A primeira parte deste trabalho con-siste na prova da possibilidade de eliminação das singularidades para con-sistemas genéricos; em [6] essa prova não é feita, assumindo-se uma outra condição que leva a resultado semelhante.

As curvas de rarefação dos sistemas de Leis de Conservação 2 x 2 podem ser representados por equações implícitas. O estudo das curvas soluções das equações diferencias implícitas em R2 é feito por Davydov em [4], e Bruce e por

Tari, em [2], no caso de equações binárias. Bruce e Tari, em [3], fizeram ainda o mesmo tipo de estudo para as bifurcações numa família genérica a 1-parâmetro de equações diferenciais binárias de tipo Morse.

Em [8], tal como já referi, é feita a classificação dos pontos umbílicos dessas curvas apenas para sistemas hiperbólicos. No entanto este é um caso muito particular na medida em que, em geral, os sistemas têm parte hiperbólica e parte elíptica.

Desta forma, neste trabalho será considerada uma família de funções a 1-parâmetro de R2 em R2(que correspondem ao Fluxo das Leis de Conservação)

umbílico isolado existente, quer a bifurcação provocada pela variação do parâ-metro. Mais propriamente, para A = 0 aparece um ponto umbílico isolado, e para os outros valores do parâmetro não aparecem pontos umbílicos; obtemos as equações diferenciais implícitas que descrevem as curvas de rarefacção, e es-tudamos, tal como em [5], o comportamento das curvas de rarefacção na região hiperbólica e, especialmente, na região não estritamente hiperbólica, para A ± 0, bem como a bifurcação correspondente a A = 0, considerando os retratos de fase correspondentes e as suas bifurcações na Variedade Característica, e na sua projecção sobre o espaço dos estados (v, u).

2. SOLUÇÕES FRACAS Os sistemas quase-lineares da forma

Ut + F(U)X = Q

onde U £ M71, F G C2(Q), il Ç R2 aberto, são usualmente designados por Leis

de Conservação.

Ao Problema de valor inicial

(Ut + F(U)x = 0

W \u(xo) = l

-

[

'

\U+, ifx>0;

onde U- e U+ são constantes dá-se o nome de Problema de Riemann.

Sabe-se que, sendo s o inverso do declive da curva de descontinuidade x(t), para o problema de Riemann ter solução, necessariamente temos de ter s(U+ -U.) = F(U+)-F(U.).

Ao tentar estudar o conjunto dos ternos ({/_ ,U+,s) para os quais existe solução deparamo-nos, eventualmente, com singularidades nos pontos em que U- = U+ esê valor próprio de F'(U-), ou nos pontos em que U- ^ U+ e s é valor próprio

duplo de F'(U-) com F'{UJ) = F'(U+) ou s é valor próprio de F'(£/_) com F'{UJ) = F'(U+) não sendo U+-U- e [s+F'{(/+)] linearmente independentes.

Isacson et ai., em [6], afirmam, sem mostrar que, em geral, após fazer blow-up sobre a linha £/_ = U+ as singularidades desaparecem. Nesta primeira fase do trabalho vamos mostrar que realmente isso acontece.

Sistemas físicos podem eventualmente ser representados por equações diferen-ciais do tipo (1). Dada uma condição inicial nem sempre a equação diferencial tem uma solução C1 definida Vi > 0. Como para sistemas físicos pode não fazer

sentido uma solução apenas até um certo instante de tempo, a noção de solução de uma equação diferencial deve ser generalizada.

Uma função u(x,t) diz-se uma solução clássica do Problema de valor inicial (2) ÍUt + F(U)x = Q x e I M > 0 ) U e i r

Deduz-se facilmente que, se u é uma solução clássica de (2), então para qual-quer função $, de classe Cl tal que

supp (*) n {(x,t) : t > 0} ç]o,6[x[0,T[, T € Uo&dx verifica-se

(3) ff (U$t + F(U)$x)dxdt + J^

Definição 1. Uma função u(x, t) mensurável e limitada diz-se uma solução fraca do problema de valor inicial (2) se verificar (3) para toda a função $ 6 C0.

Nota 1 (a) Se a solução £/ encontrada for C\ então 17 é uma solução clássica. (b) Transformações diferenciáveis não preservam soluções fracas das equações.

fc A partir deste momento, quando nos referirmos a uma solução estamos a falar no sentido fraco, isto é, estamos a considerar uma solução fraca. Com esta nova definição passa-se a admitir soluções descontínua^ Suponha-mos que a solução é C1 excepto ao longo de uma linha. Designando tal lrnha

por r e fixando um ponto P e T , seja D uma bola aberta centrada em P, suficientemente pequena, de tal forma que, em D, T pode ser escrito na forma x = x{t).

FIGURA 1

Considerando s = f, prova-se então que U tem de verificar

( 4) s[U+ - UJ\ = F{U+) - F{U-)

onde U+ e U- são os valores à direita e à esquerda da curva, respectivamente. Tal relação é usualmente designada por condição de Rankine-Hugomot.

3. PROBLEMA DE RIEMANN

Considere-se o Problema de Riemann com condição inicial '[/+, i f x > 0

Pelo que já foi visto atrás, a função

í U- if x < st («) U ^ - \ U + i f x >S Í

é solução do problema sse s[U+ - U-] = F{U+) - F(UJ). A este tipo de solução dá-se o nome de onda de choque com velocidade constante s.

Podemos então questionar de que forma são os ternos (£/_,[/+,s) que satis-fazem (4). Esses ternos são de uma das 3 seguintes formas:

a) U+^U-, representando pontos de choque

b) U+ = U- e s valor próprio da matriz Jacobiana F'(U+) (pontos de rare-facção)

c) soluções com U+ = t/_ e s outro valor qualquer

Podemos deduzir b) de a) fazendo \U+ - f7_| -> 0, pois tendo em conta que o Problema de Riemann é invariante para a transformação (x, y) H-> (ax, at) Va > 0, a função U(x, t) = U{j) é solução para t > 0 sse

[-s + F'(Û)]Û' = 0, s=^

Vamos então tentar estudar a forma do conjunto formado por tais pontos. Supondo que í / e P , considere-se a função

([/_,[/+, s) » -s[U+ - U.} + F(U+) - F{U.)

Então, {soluções de (4)} = W-1(0). Calculando a derivada de H

dH(U-, U+, s) = -[U+- U-]ds + [s + F'(U+)}dU+ - [s +

F'(U„)]dU-vê-se, facilmente, que em b) dU é singular. Tal como já foi dito atrás, em geral, é possível remover estas singularidades usando blow-up. Antes de mostrar que tal realmente acontece comecemos por ver como funciona o blow-up.

4. Blow-up

A construção do blow-up de uma variedade sobre uma subvariedade é uma ferramenta importante na resolução de singularidades. As técnicas de blow-up envolvem mudanças de coordenadas que nos permitem expandir os pontos onde existem singularidades.

Sendo V um espaço vectorial e PV o respectivo espaço projectivo, o blow-up de V sobre a origem define-se como sendo o conjunto

r0V:={(x,l)£VxPV:xel}

A projecção

7T : r0v -> V (x, l) i—» x

dá-se o nome de collapsing map, e ao conjunto 0* := 7r_1[0] = PV chama-se

hipersuperfície excepcional, pelo facto de 0* ser uma subvariedade de codimensão 1. f

É, contudo, importante construir as parametrizações de r0^ . Suponhamos

que V é um espaço vectorial de dimensão n. Será adoptada a seguinte notação:

[y] := {ay : a G M} para y ^ 0 e para cada i = 1 , . . . , n, seja

Oi = {(x,[y])- S ^ - ^ 0 , x€[y]}

{Oi} forma, naturalmente, uma cobertura aberta de TQV. Assim sendo, {(£>,, ^ ) ,

% = 1 , . . . , n} formam um atlas para r0V, onde

(

,°M)^ (£,..., «J,^, «to fc)

í/t Í/Í Í/Í y%

TQV e (V\{0}) U PV são isomorfos, sendo o isomorfismo entre eles tal que a cada (x, /) G r0V associamos x se x ^ 0, e / no caso contrário.

Suponhamos, primeiramente, que 0 e O Ç V, O aberto. Por definição o blow-up de O sobre a origem é o conjunto

TQO := ToV^ n (O x PIO

Consideremos agora os conjuntos 0\ e O2 abertos (Oi Ç Vi, O2 Ç V2) tais que 0 G 02 e seja M = 0 i x 02. O blow-up de M sobre a sua subvariedade

51 = 0\ x {0} é definido como sendo o conjunto

T

M := d x r

0

onde, neste caso, o collapsing map é a projecção nas duas primeiras coordenadas, isto é

II: TSM -» M

(xi,x2,/) i-» (xi,x2)

Assim como é possível identificar T0V com (V\{0}) U PV, TSM também é

identificável com (M\S) U(Sx PV2). Nesse caso o collapsing map é a identidade

em M\S e a projecção no primeiro factor em S x PV2.

Note-se que a superfície 5" é expandida, através do blow-up, para S* = n^1(5'),

o qual é isomorfo a PNS (em TSM), na medida em que S x V2 é o fibrado normal

de S como subvariedade de M.

Por último, seja M uma variedade diferenciável e S uma sua subvariedade. Define-se o blow-up de M sobre S como sendo o conjunto

TSM := (M\S) U PNS

O problema de encontrar uma parametrização para PNS reduz-se ao problema de encontrar uma parametrização para 0\ x YQ02

-Consideremos a lei de conservação

Ut + F{U)X = 0

onde U = (v,u) e F e C2 é dada por F{v,u) = {F1{v,u),F2(v,u)). O conjunto

dos pontos (U-,U+,s) que satisfazem a condição de Rankine-Hugoniot verifica H(U-, U+, s) = 0, onde

H{v_,u_, v+, u+, s) = (- s(v+ - v_) + F1(v+,u+) - Fi(u_, w_),

- s ( u + - u _ ) + F2( v+, «+) - F2( v _ , « _ )

Tal como já foi referido existem singularidades no conjunto {(IL, J7+,s) : C/+ = U-}. Para resolver as singularidades vamos fazer blow-up sobre a diagonal

U- — U+. Designe-se por M o espaço total, e por S a sua diagonal. M = í / x [ / x l = l 2x i 2x M ^ M 5

S = {(v-,U-,v+,u+,s) GR5 : v_ =w+,w_ = «+}

É necessário escrever as cartas para o blow-up de M sobre 5. Temos que NS = {(v,u,v,u,s), (a,b, - a , - 6 , 0)) : v,u, s,a,bE M}

e, consequentemente

PNS = {{v, u, v, u, s), [a : b : - a : -b : 0]) : v, u, s, a, b G M} Temos então que as aplicações

iff : {v-.,U-,S,p,u) !-»• (u_,it_,t;_ + p,U_ + po;,s, [1 : w : - 1 : - w : 0]) tp" : (v-,u_,s,p,u) i-> (v_,tt_,w_ + pu),u- +p, s, [LO : 1 : - w : - 1 : 0]) são tais que

Lp'(.,.,.A-)QPNS <p"(.,.,.,0,.)çPNS

WLP'(., .,., í 0,.) ç K5 V ( , . , . , ^ 0,.) ç R5\S

onde 7T é a projecção de PTM5 em M5. Além do mais

^ ( . , . , . , 0 , . ) U / ( . , - , • , 0,.) = PNS

^(.,,.,/0,.)uy(,,.,/0,.) = RV

A aplicação <p' é um difeomorflsmo, na medida em que é diferenciável e tem inversa diferenciável, sendo esta dada por

ip'(y-, u-, v+, u+, s, [ai : a2 : - a i : - a2 : 0]) = (v_, u_, s, w+ - v_, a2/ai)

Analogamente, a inversa de </?" é dada por:

Obtidas as cartas para o blow-up podemos escrever H nas novas coordenadas. Esta é dada por

/ Fifo + p, M- + pw) - Fifo-, M_) 7t =p s H ,

V P

É de realçar que p = 0 corresponde ao caso em que [/_ = U+. Como o

objectivo é resolver as singularidades existentes na diagonal U- = U+ temos de estudar o comportamento da função Ti quando p —> 0. Mas isso é equivalente a estudar o comportamento de H quando p —> 0.

7Í estende-se continuamente a p = 0, sendo

7ífo_,u_,s,0,u;) = {s + -x— fo_,u_)+a;—fo_,M_),

5F2 <9F2

S

+ -^-fo-,«-)+<^fo-,

-))

Jac 7í dv2 ^Udvdu dudv^^du2 l dv2 ^^dudv^^ du2 du

&F2_l_/,d2F2 £ & . , . £ & , , Í 5 J . ( I , £ & J . J Í S , + Í 2

ô«2 + U ;âí; aí í ôudt, + W du2 W 9«2 + U ;aUa i ;+ a ; du2 S ^ du

d2Fl d2Fx d2Fy

dv2 ' dvdu ' cHt2

(7)

Para facilitar a notação, denotemos (Fi, F2, ^ , ^ , ^jf, ^f,

© > £ § , ^ J , espaço dos jactos de ordem 2, por foi, a2, fo, fo, 03, Ai, 7i, 72,73,

74,75,76). Obtemos então, após alguma manipulação algébrica, que um ponto

fo_, U-, s,p,u>) € 7í_1(0) é um ponto singular de H sse

' p = 0 s = -/?i - u(32 fo = 01+vfo-P4) P4 = Pl + 2uP2 74 = 7i - ^273 + ^76) ^75 = 7 2 + ^ 7 3 - 76)

O conjunto formado pelos pontos, em M17, que verificam (7) forma uma

va-riedade diferenciável de codimensão 6. Ignorando a variável p, podemos pensar nessa variedade mergulhada no conjunto J2(M2,E2) x M2 (onde as duas últimas

componentes correspondem às variáveis s e u ) . Aí, a variedade obtida é uma variedade de codimensão 5. Designemos essa variedade por T".

T" é um conjunto semi-algébrico, pois é definido como sendo a intersecção de curvas de nível de ordem zero de funções polinomiais. Denotando por T a projecção de V em J2(R2,R2) segue que T é um conjunto semi-algébrico, na

medida em que a imagem de um conjunto semi-algébrico por uma aplicação polinomial é semi-algébrica.

Sendo T semi-algébrico, admite uma estratificação regular de Whitney com um número finito de estratos, tendo, cada estrato, codimensão maior ou igual a 3, visto a codimensão de V ser 5 e, na projecção, duas das variáveis desa-parecerem. T está, desta forma, nas condições de aplicabilidade do Teorema da Transversalidade, o qual passo a enunciar.

Teorema da Transversalidade. Sejam X e Y variedades e W Ç Jk(X, Y)

um subconjunto estratificado. Então

Tw = {f£C°°(X,Y):jkf<hW}

é residual. Se W é fechado e a estratificação é regular, então Tw é aberto.

T Ç J2(R2 x R2). Como neste caso, dim(R2) = 2 < 3 = codim T, resulta que

jkF (t)T& jkF{X) n T = 0

Mas dizer que jkF(X) n T = 0 é o mesmo que dizer que não existem

singulari-dades em R2.

Concluímos assim, pelo Teorema de Transversalidade, que o conjunto das funções F : R2 —► R2 para as quais, após o blow-up, as singularidades desapare­

cem é denso e aberto.

Poder­se­á questionar agora se o mesmo resultado será válido quando estiver­ mos a trabalhar com n leis de conservação.

Consideremos então a lei de conservação expressa por Ut + F(U)X = 0

onde U = (u\...,un) e F : R" ­» Rn é C2 (F = {F\... ,Fn)). Tal como

no caso anterior, a função H que transcreve a condição de Rankine­Hugoniot é singular quando U- = U+ e s é valor próprio da matriz F'(U+).

O argumento para provar que, em geral, após fazer blow-up as singularidades dsaparecem é rigorosamente o mesmo, utilizado no caso n = 2. Nas novas coordenadas a condição de Rankine­Hugoniot é expressa por

H(u1_,...,un_,p,uj2,...:uJn) = pn(u1_,...,u1l,p,io2,...,u;n)

= 0

„ 2 ...i . Fi(U- + p((l,u*,...,un))-Fi

(U-onde

Wi(tii,... ,un_,p,u2,...,un) = suU

A extensão de H a 0 é tal que

dFi dFi dFn

A matriz Jacobiana para p é dada por

ih + El^ih ••• 7^ + E I U ^ i E ^ V $ ... ft \

­A + à a w V * ••• Tn­i + E ^ ^ , c> £ y T 3 ^ À ••• * + # / onde $ = | 5 e ^f c = ^JÇ^.

Tal como no caso n = 2, /9 = 0 é a expansão da diagonal {7­ = (/+. Pre­ tendemos então estudar o conjunto das singularidades de H em p = 0. Seja T" o subconjunto de J2(R",Rn) x Rn composto por tais singularidades, e T a sua

projecção em J2( Rn, R " ) .

ft_1(0) é expresso por n equações independentes (para cada i podemos resolver

tais equações em ordem a /?f). No entanto, se considerarmos a submatriz de Jac H constituida pelas n primeiras colunas e as n ­ 1 últimas, visto cada uma dessas colunas envolver pelo menos uma variável, diferente de (5\ (para todo i = 1 , . . . , n) que não está presente em nenhuma das outras, temos que T" é definido por pelo menos C2 n _ 1( > 2n + 1) equações independentes, e, consequentemente,

T é um conjunto semi­algébrico de codimensão maior ou igual a n + 1.

Obtemos assim, usando o Teorema da Transversalidade, o seguinte resultado: Teorema 1. O conjunto das funções F : Rn —► M.n, de classe C2, para as quais,

após o blow­up, as singularidades desaparecem é denso e aberto.

5. VARIEDADE FUNDAMENTAL DAS ONDAS

Considere­se novamente o Problema de Riemann dado por (1). Seja U = W e suponhamos que F : Rn —* Rn é diferenciável. O conjunto dos ternos(£/_, U+, s)

que satisfazem (4) forma um subconjunto de V = U x U x R. Denote­se por V* o blow-up de V.

Uma das propriedades mais importantes do blow-up é a sua independência relativamente às coordenadas. Na construcção atrás descrita as coordenadas utilizadas foram as projectivas. Podemos, no entanto, utilizar as coordenadas polares. Sejam então ReRefle S1""1 tais que Rr(Q) = U+ - U-, onde r(Q)

é o vector unitário parametrizado por Çl e aplicado em U = \{U+ + U-). Assim sendo temos que

U+ = U+ -Rr(Ct)

Seja V := U x R x S "­ 1 x R. É de realçar que os pontos (Ú,R,Q,s) e

(Í7, —R, —Q,s) originam exactamente o mesmo terno (U-,U+,s). V* é assim a imagem de V por a : V —* V* que identifica esses dois pontos. V* é uma variedade diferenciável e V uma dupla cobertura de V*.

Definição 2. A 2n­variedade diferenciável Po* = W x { 0 } x P En 1 xM é chamada

hipersuperfície excepcional.

É de salientar que ter R = 0 é o mesmo que ter U- =•£/+, ou seja, i? = 0 representa a expansão da diagonal U- = £/+ por blow-up.

Sendo 7r (7r : T5* ­► P ) a projecção de V* em P , nas novas coordenadas, a

condição de Rankine­Hugoniot pode ser escrita na forma

H o TT(C7, i?, O, s) = fl[­s + A(C7, i?, fi)]r(fi) = 0 onde

(8) A(C7, i2, £í) = / " F'(Û + aRr{Q))da

R = 0 é a solução trivial da condição de Rankine­Hugoniot. O que pretende­ mos estudar é as soluções não triviais. Para tal temos de estudar as soluções de

(9) F(U, R, n, s) := [s + A(U, R, Q)]r(íí) = 0

onde T é uma aplicação de V em Rn (F não está bem definida em T ) .

Definição 3. A Onda Fundamental W é a imagem por a do conjunto de nível

de zero da função T. Se W for uma variedade, então designa­se por Variedade Fundamental das Ondas.

Para W ser variedade basta exigir que zero seja valor regular da função F, tal como o seguinte Teorema mostra

Teorema 2. Suponhamos que zero é valor regular da função ?'. Então W e

wraa subvariedade diferenciável de V*.

Prova. Visto 0 ser valor regular de T podemos concluir que W é uma va­

riedade diferenciável de dimensão n + 1. Pelo facto de f(Û,-R,-Q,,s) = -F(Ù,R,Çl,s), VV é invariante sob transformações antípodas e, consequente­ mente, dado um conjunto aberto O tal que OC\{-0) = 0, temos que a estabelece um difeomorfismo entre W í l O e W í l a (O). □

Isacson et ai. assumiram em todo o artigo que zero era um valor regular de T, citando no entanto existirem sistemas bastante importantes para os quais VV não é variedade. Assim sendo, todos os resultados apresentados em [6] e aqui mencionados têm essa suposição como base.

Lema 1. A hipersuperfície excepcional VQ é transversal a VV.

Prova. VQ — W1 x {0} x S""1 x R forma uma dupla cobertura de VQ. Para

mostrar o lema basta mostrar que V0 é transversal a VV. TR = 0, em VQ, na

medida em que TR ê uma função ímpar em R: e portanto dR é linearmente

Como os pontos de rarefacção ([/_ = ( /+e s valor próprio de Jac F(U­))

representam a intersecção de.R = 0 e . F = 0e, como sabemos que essa intersecção é transversal, temos que os pontos de rarefacção são pontos singulares.

Como imediata consequência desse lema temos o seguinte resultado:

Proposição 1. A Variedade Fundamental das Ondas W representa, geometri­ camente, a aderência, em V*, dos pontos (U­,U+, s) com U+j=U_ a satisfazer

(4).

Prova. O que pretendemos mostrar é que W representa a aderência dos pontos (V, R, Í2, s) e V* com R ± 0 a verificar H o n(U, R, Q, s) = 0. Por outras palavras, queremos mostrar que W é a aderência de W\VQ em V*. Mas isso é

consequências de W (ti VQ­ O

O que a proposição nos diz é que W é constituido pelos pontos de choque e de rarefacção. A partir deste momento vamos apenas estudar estes pontos e "esquecer" as soluções triviais. Para estudar tais pontos vamos ver a construção de vários outros conjuntos mergulhados em W.

6. VARIEDADE CARACTERÍSTICA

Um ponto (Û,R,Çl,s) G W a verificar R ^ 0 corresponde a um ponto de choque, ao passo que se verificar R = 0 corresponde a um ponto de rarefacção. Facilmente se verifica por (8) e (9) que um ponto de rarefacção verifica

(10) [s + F'(Û)]r{ty = 0

Definição 4. O conjunto dos pontos de rarefacção, C = W D VQ forma uma variedade de dimensão n, designada por Variedade Característica.

Seja p : C —► U a projecção que a cada (Û, 0, Q,s) € C associa o elemento UeU.

Por (10), um ponto (U,0,íl,s) € C sse sé valor próprio de U e r(í2) o respectivo vector próprio. Se 0 for tal que F'(U) nãotem valores próprios reais então não existe nenhum ponto em C com projecção U. A essa parte de U dá­se o nome de região elíptica. O resto dos pontos pertence á região hiperbólica. Se Û G M.n for tal que F'(Û) possui n valores próprios distintos então existem

n pontos (U,0,QhSi) 6 C, i = 1,. ■ • ,n, que se projectam em Í7, ou seja, C

representa uma ra­ésima cobertura de uma vizinhança de U (em U).

V

FIGURA 2. Projecção da Variedade Característica C no espaç0R2 x MP1, realçando o facto de que, em C, R = 0 e

s = s(v, u, O). Acima da região estritamente hiperbólica C é cons­ tituído por 2 folhas. A coincidência dos valores próprios corres­ ponde aos pontos onde as duas folhas se unem

Definição 5. 0_ conjunto dos pontos (Û, 0, Q, s) e C tais que s é valor próprio

múltiplo de F'(U) designa­se por Local de Coincidência e denota­se por £.

Definição 6. (Ú, 0, Q, s) e £ diz­se um ponto umbílico se s tem multiplicidade

geométrica maior que 1.

Os pontos de £ podem também ser determinados recorrendo ao seguinte re­ sultado.

Lema 2. O valor próprio real de f ( ï 7 ) , s, com vector próprio correspondente

r(íí), fera. multiplicidade algébrica superior a 1 sse detÇFn, Fs) = 0 em (£/, 0 , 0 , s).

Para além do mais, s tem multiplicidade geométrica 1 sse s ^ 0.

Ora, os pontos de £ são tais que det(^h, Fs) = 0. Para calcular a dimensão de

£, caso seja variedade diferenciável, o que é preciso notar é que a característica de uma matriz nxn tem de ser menor ou igual a n ­ L Assim o conjunto tem codimensão l e m C , sendo portanto uma variedade de dimensão n ­ l n o espaço do blow­up.

A codimensão é deduzida através do seguinte resultado:

Lema 3. O conjunto de todas as matrizes de característica k em L(m, n) forma

uma variedade diferenciável de codimensão (n — k)(m — k). (ver [1], pág. 29).

Suponhamos, por exemplo, que o conjunto formado pelos pontos umbflicos forma uma variedade diferenciável. Qual a sua dimensão? Para (U, 0, Q, s) € £

ser ponto umbílico, a matriz Jac F{Û) tem de ter um valor próprio com multi­ plicidade geométrica superior a 1. Para o cálculo da dimensão o que interessa é que uma matriz de dimensão n x n tem de ter característica menor ou igual a n — 2. No entanto, temos de ter em conta que, só pelo facto de (Û, 0, Q, s) € C, já estamos a exigir que car(Jac F(U)) < n — 1, ou seja, das novas equações uma é linearmente dependente das já existentes. Desta forma, o conjunto dos pon­ tos umbílicos forma uma variedade de codimensão 3 (4­1). É então de realçar que, se estivermos perante um sistema de 2 Leis de Conservação, em geral, não aparecem pontos umbílicos.

O aspecto da variedade característica C no espaço Rn x PRn _ 1 num ponto

([/, 0, Q, s) tal que s é valor próprio múltiplo é bastante diferente caso o ponto seja umbílico ou não.

Teorema 3. A projecção de C em U (p : C ­» U) é singular no ponto p =

(Cf, 0, fi, s) EC sse p G S. Tal singularidade é um ponto dobra para p sse s tem multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.

É de realçar que para n = 2, ou seja, numa 2­lei de conservação, as únicas singularidades para p que poderiam aparecer eram dobras e cúspides. No en­ tanto, como uma cúspide exigiria a existência de 3 folhas sobre a projecção e como cada folha corresponde a um valor próprio distinto, só aparecem dobras.

7. ONDAS E CURVAS DE RAREFACÇÃO

No início da secção "Problemas de Riemann" vimos qual o conceito de onda de choque. No entanto, o Problema de Riemann não tem solução única, tal como o seguinte exemplo mostra.

Exemplo 1.

ÍO se x < | , .

ui(x,t) = < \ u2{x,t)

I l se x > |

são ambas soluções do Problema de Riemann

. . I 0 se x < 0 I l se x > 0

Uma função diferenciável, invariante para mudanças de escala ((x, t) —► (ax, at), Va > 0), U(x, t) = U ( | ) é uma solução do Problema de Riemann sse

(11) [s + F'(0)]U' = 0

0 se x < 0 | se 0 < x < t 1 se x > t

onde s = f. A este tipo de soluções dá­se o nome de onda de rarefacção. Em cada instante t fixo, uma onda de rarefacção não é nada mais nada menos do que uma sequência de ondas de choque consecutivas.

A Variedade Característica C pode ser foliada de tal forma que de cada linha podem ser obtidas as diferentes ondas de rarefacção para as diferentes condições iniciais. Vamos então ver como construir a tal foliação de C e qual a relacção entre os dois conjuntos.

Fixemos U0 G U e suponhamos que F'(U0) tem k valores próprios reais dis­

tintos. Então existe uma vizinhança O de U0 na qual estão definidas, para cada

i = 1 , . . . , k, funções A* e r{ tais que Xi(U) é valor próprio de F'(U), com vector

próprio associado ri(U).

Definição 7. Às curvas integrais da equação diferencial

(12) Û' = n(Û) dá­se o nome de curvas de rarefacção.

Nota 2. Adopta­se que, dados n valores próprios reais, temos \\{U) < X2{U) <

■■■ < Xn(U), e portanto, para cada i — 1 , . . . , n, está associada uma família de

curvas de rarefacção.

Como as funções A* e r; são as funções valores/vectores próprios temos que [-\i(Û) + F'(Û)]ri(Û) = 0

Se a curva for reparametrizada de tal forma que \i(U) = f, como U satisfaz (12) vem que a curva satisfaz (11).

A curva satisfaz a condição genuina de não linearidade AÍ(£0r,(C0 ¥> 0

razão pela qual é possível reparametrizar a curva de tal forma que Aj(C/) = | . Surge, no entanto, um problema: a construcção falha quando os valores próprios não são distintos. Esta dificuldade surge por estarmos a trabalhar em U. Como citado em [6], Palmeira, em [7], resolve o problema: as curvas de rarefacção em U são construídas como sendo a projecção, em U, das curvas inte­ grais do campo de linhas em C (ou seja, no blow-up), correspondente à equação diferencial (12), campo de linhas esse, possivelmente singular, e que passamos a descrever:

Se considerarmos um elemento p = (U,0,fl,s) G VQ, então r(Q) gera uma linha em TaU. Por outro lado, se (Õ",0,Ò,s) G TpP0*, U também pertence

a TfjU. Designemos então por T o conjunto dos espaços tangentes aP0*, de

dimensão n + 1 constituído pelos vectores (Û, 0, Ù, s) G T^QU^VQ tais que U e

r(fi) são colineares. TPC e Tp são subvariedades da subvariedade de V*, R = 0.

Na subvariedade R = 0 (que é uma subvariedade de dimensão 2n) TpC e Tp

têm dimensões n e n + 1, respectivamente. Desta forma, em geral, TPC e Tp

intersectam­se ao longo de uma linha (dim T^C + dim Tp - dim(R = 0) = 1). Ao

e à respectiva curva integral, curva de rarefacção em C. Nos pontos em que, eventualmente, a intersecção dos dois conjuntos tenha dimensão superior a um o campo de linhas é singular, visto não estar bem definido.

Definição 8. Ao conjunto dos pontos para os quais o campo de linhas de rare­

facção é singular, denotado por B0, dá­se o nome de Local de Singularidades de

rarefacção.

Existem, no entanto condições sobre o espaço dos jactos de ordem 1 da função T (e, consequentemente, sobre o espaço dos 1­jactos da função F), para deter­ minar quando é que um ponto está em BQ.

Proposição 2. 0 campo de linhas é singular nos pontos em que (^^(0,),^, Ts)

não tem característica máxima. Em particular B$ Ç £.

Prova. Como C é definido como o conjunto dos pontos a verificar

[R = 0

temos que um vector (Û, R, Ù, è) G T(Û,R,CÏ,S)C s s e

TtyU + TRR + FQÙ + Fss = 0

R = 0

Por outro lado, os vectores de Tp são da forma (|i?r(Q), 0, Ù, è). Os vectores

que pertencem à intersecção verificam

(13) ^F0r(n)R + FQÙ + Tss = 0

sendo esta equação uma equação linear homogénea da forma Ax = b, com dim(A) — (n + 1) x n. O conjunto dos pontos que verificam (13) formam uma linha sse a matriz (^^(fl),^,^) tem característica máxima, logo as singu­ laridades ocorrem quando (^^(Q),^, Ts) não tiver característica máxima.

Em particular, c a r ^ J F ^ Q ) , J ^ b , ^ ) < n => d e t ^ , ^ ) = 0, isto é, p € BQ =>

peS. □

Como imediata consequência temos o seguinte resultado:

Corolário 1. As curvas de rarefacção constituem uma foliação 1­dimensional de C\B0.

Na projecção das curvas de rarefacção de C em U é natural o aparecimento de singularidades. Nos pontos de dobra de C onde o campo de linhas está bem definido aparecem tais singularidades.

Proposição 3. Seja p G £\BQ um ponto dobra de p:C ­*U. Então a curva de rarefacção que passa por p é transversal a £ e a sua projecção é uma cúspide.

A figura que a seguir se segue dá-nos a ideia geométrica do que acontece.

FIGURA 3

Por este resultado se pode ver que muitas singularidades das curvas de rare-facção são eliminadas fazendo um levantamento a C. Como a figura pretende mostrar, em C, fora de B0} o campo de linhas está bem definido nao

apresen-tando as curvas integrais qualquer tipo de singularidades, ao passo que quando projectamos tais curvas, passa a haver formação de bicos.E ainda de realçar que, em cada ponto Û s U tal que F>(Ú) tem n valores próprios distintos existem n curvas de rarefacção a passr por 0, na medida em que temos n pontos em C que se projectam em 0, e, desde que a projecção de cada curva tenha direcções distintas (figura (3)).

Nota 3. Localmente, uma curva integral do campo de linhas de rarefacção, pode ser obtida integrando o campo de vectores

LÍ = det(Jh,Js)r(í2)

' ^ = - a d j ( ^ n , ^ . ) ^ r ( í í )

Vamos então ver qual a relacção entre curvas e ondas de rarefacção. Conside-remos uma onda de rarefacção com t/_-fixo (valor á esquerda da onda) Então UM toma valores na curva integral que passa por U-, associada a rk[U), para

algum Jb, na direcção em que Xk(U) cresce. Consequentemente, quando

fixa-mos U , numa onda de rarefacção não é admitido qualquer valor para U+. U+

também tem de ser um valor na curva de rarefacção U- fixa. 8. LOCAL DE INFLEXÃO

Numa curva de rarefacção é satisfeita a condição genuina de não linearidade

WMU) í

0

Esta condição implica que ao longo da curva de rarefacção as velocidades cari*> terísticas variam monotonamente. Existem, no entanto, pontos onde tal condição a ha Isacson et ai. faz um estudo de como varia s = HU) ao longo da curva

de rarefacção: quando s atinge um extremo e qual a interpretação geométrica de tal ocorrência. Nos pontos estacionários para s, considerando s como função da curva de rarefacção, ocorrem singularidades onde o campo de linhas está contido no hiperplano ds = 0, tal como o seguinte teorema afirma:

Teorema 4. Considerando um pontop G C\S (p = (Û, 0, fi, s)). A condição

genuína de não linearidade falha em U, para a família característica correspon­ dente a s, sse o campo de linhas de rarefacção está contido no hiperplano ds = 0.

A prova deste teorema recorre a um outro resultado que nos expressa a condição do campo de linhas estar contido no hiperplano ds = 0 no espaço dos 1­j actos da função T.

Lema 4. Existe um vector não nulo contido, simultaneamente, no campo de

linhas de rarefacção e no hiperplano ds = 0, num ponto (U, 0, fl,s) G C sse a matriz B0(U,Q,s) := ( | J % r ( í í ) , ^ h ) é singular.

Definição 9. Ao conjunto dos pontos em C onde det(JE?0) = ° dá­se o nome de

Local de Inflexão, e denota­se por S.

Se suposermos que 0 é valor regular da função d e t 50 então S forma uma

subvariedade de C de dimensão n ­ 1, na medida em que det B0 é uma função

de U = Rn em R.

Tal como já foi visto nas curvas de rarefacção, a transversalidade entre os conjuntos e as foliações está estritamente relacionado com bifurcação. Nesse caso, ao estudar o conjunto dos pontos, de T, para os quais o gráfico de Àj atinge um extremo ou um ponto sela, verifica­se que tal está relacionado com a transversalidade ou tangencia entre as curvas de rarefacção e S.

Proposição 4. Considere­se o gráfico de s ao longo da curva de rarefacção

que passa no ponto p, onde p := (Û, 0, íl, s) € S\£ e p é ponto regular para det BQ. Então a segunda derivada da função s anula­se em p sse S e a curva de rarefacção são tangentes em p.

Todos os pontos singulares do campo de linhas de rarefacção são pontos de inflexão, isto é, BQ Ç S Ç £:

p £ B0 =>­ {­J:í,r{p),J:çi,J:s)víã,o tem característica máxima

=^det(-^r(íí),^i,) = 0

=>p<ES

Quando restrito aos pontos dobra de p : C —► U os dois conjuntos coincidem.

Proposição 5. Seja p G C um ponto dobra da função p : C —> U. Então, o

ponto p é uma singularidade do campo de linhas de rarefacção sse p G S.

Definição 10. O local de inflexão excepcional, denotado por Tio, é constituido

pelos pontos de inflexão para os quais a) p não é ponto regular da função det B0

b) W0r = O onde IB0 = 0 = B0r, r = {R,Ù), l ^ 0, r ^ 0 e È0 representa B'0

aplicado ao vector í ^Rr(Q,),Ù, OJ

Temos então, como corolário da Proposição 4, o seguinte resultado:

Corolário 2. Seja p G S um ponto regular para det B0. Se p <£ H0 U #0 e n t óo

a cwrva de rarefacção que passa por p é transversal a S em p. 9. FOLIAÇÃO DE CHOQUE

Começamos por ver que (6) é solução do Problema de Riemann com condição inicial (5) sse o terno (U-,U+,s) satisfaz a condição de Rankine-Hugoniot. Foi então estudado o conjunto dos ternos (U-,U+,s) que verificam tal condição. De seguida é estudado um problema semelhante: fixando o estado esquerdo U- = C/o, encontrar os pontos (U+,s) tais que (U-,U+,s) satisfazem (4) e ver

qual a importância das suas propriedades na resolução do Problema de Riemann. O estudo deste problema será feito no blow-up. Em V* o conjunto das on-das de choque com estado esquerdo C7_ = U0 constante consiste nos pontos

(Û, R, Q,s)eW tal que

U - \BT{U) = U0

Numa vizinhança de cada ponto, não singular, nas condições acima descritas o conjunto solução forma uma variedade de dimensão 1, pelo que o conjunto de tais pontos se designa por curva de choque LL-fixo.

Da mesma forma se pode definir a curva de choque £/+-fixa, como sendo o conjunto dos pontos (£/, R, Í2, s) É W tal que

U + ]-Rr(n) = i/o

z

As curvas também podem ser vistas como as curvas integrais dos campos de linhas dC/_ - 0 e dU+ = 0.

Definição 11. O campo de linhas definido, em W, pelas equações dU- = 0 e

dU+ = 0 são chamados campos de linhas de choque C/_-fixo e C/+-fixo,

respecti-vamente.

Como o estudo de tais curvas é, em tudo semelhante, basicamente em [6] é tratado o estudo das curvas integrais de dU- = 0.

Tal como no campo de linhas de rarefacção também é possível determinar os pontos de singularidade do campo de linhas de choque. Fixando o estado esquerdo U- = U0, pelo Teorema da Função Implícita o conjunto dos pontos

(U,s) tais que (U-,U,s) satisfazem a condição de Rankine-Hugoniot formam uma curva numa vizinhança do mesmo se a derivada de (4)

-[U-U0]ds + [-s + F'{U)]dU

tiver característica máxima. Os pontos onde a característica não é máxima são de dois tipos:

a) Bifurcação Primária: pontos em que U = U0 e s é valor próprio de F'(U0)

Em cada ponto sem valores próprios coincidentes a curva de choque tem n ramificações em U0. Este tipo de singularidades, tal como já foi demonstrado é,

em geral, removível por blow­up

b) Bifurcação Secundária: pontos em que a matriz (U ­ U0, ­s + F'(U)) não

tem característica máxima

O teorema que a seguir se segue diz quais destes pontos são singulares

Teorema 5. p G W\C é singularidade do campo de linhas de choque sse p é um ponto de bifurcação secundária; p 6 C é singularidade do campo de linhas de choque sse é singularidade do campo de linhas de rarefacção.

Prova. Seja p := (£/_,£/+, s) G W\C. (t/_,í/+,s) é tangente a W e pertence,

simultaneamente, ao campo de linhas dLL = 0 sse

'­[U+ ­ U­]è + [­s + F'(U+)]Û+ = 0 Û­ = 0

Então o campo de linhas tem uma singularidade quando a característica da matriz ( „ TT TT ­mm \ I não for máxima, ou seja, quando a carac­

\0 U+ — U­ ­s + F'{U+)J

terística da matriz (U+ — U­,—s + F'(U+)) for inferior a n. Mas esses pontos

correspondem exactamente aos pontos de bifurcação secundária.

Dado um ponto (17, R, Í2, s) € C temos R = 0 e dU­ = dt) ­ \r{Q)dR. Um vector (U, R, Ù, s) é tangente a W, em (Û, 0, Í2, s) e pertence ao campo de linhas de choque sse

í \Tvr{ti)R + Fnà + ^ss ­ 0

( }

\Ù = ir((l)R

na medida em que TR = 0 em C. As singularidades ocorrem quando a matriz [^^(Q),^,^) não tem característica máxima, ou seja, quando o campo de

linhas de rarefacção é singular. □ Nota 4. A relacção existente entre curvas de rarefacção e curvas de choque é

bem notória, se tivermos em conta que o campo de linhas de choque em R = 0 é expresso pela equação

R = 2det(Fn,fs)

a qual difere da das curvas de rarefacção apenas na componente R.

FIGURA 4

Definição 12. Ao conjunto dos pontos em que o campo de linhas de choque

U--&XO é singular dá-se o nome de Local de Bifurcação Secundária à direita e escrevemos BR. Da mesma forma, BL, Local de Bifurcação Secundária à

es-querda, é o conjunto dos pontos onde o campo de linhas de choque tf+-fixo e singular.

As curvas de choque ?7_-fixo e E/+-fixo formam uma foliação 1-dimensional de YV\BR e W\BL, respectivamente.

É possível expressar as condições de ser bifurcação secundária em termos do espaço dos 1-j actos da função T:

Proposição 6. Os pontos de bifurcação secundária BR são os pontos em que a

matriz (TR + ^ur(ty,Fn + l2RFur'(n),Fs) não tem característica máxima. Os

pontos de BL são os pontos em que a matriz [TR-|j%r(f2), Fsi-\RFûr>(®)i?*)

não tem característica máxima.

e, nesse caso, como o Teorema da Transversalidade sugere, é possível relacionar transversalidade com singularidade e, portanto, com bifurcação:

Proposição 7. Consideremos a projecção

U+: W -> U (Û, R, n, s) ^ U+

restrita á curva de choque U--fixo. Esta projecção é singular em p £ W\BR

ssep e£. Um ponto dobra de S\B0 é transversal a S e a projecção tem uma

cúspide.

Este último resultado era natural de esperar. Note-se que, pela segunda parte do teorema atrás apresentado BRDC = BQ = BLnC. Então se, pelo que foi visto

tem uma cúspide nos pontos dobra de E\B0 e, como em C as equações diferem

apenas na componente R, a projecção das curvas de choque também tem uma cúspide.

10. LOCAL SÓNICO

Pelo facto do Fluxo da Lei de Conservação Ut + F(U)X = 0, em geral, não

de-pender linearmente de U, é frequente o aparecimento de várias soluções, quando fixada uma condição inicial. Quando a Lei de Conservação expressa algum sis-tema físico muitas das soluções podem não ter qualquer interpretação. E por-tanto importante saber qual a solução "fisicamente mais aceitável". O critério de Lax permite-nos dizer quais as ondas de choque aceitáveis (vários outros critérios existem, mas o critério de Lax é o mais típico): uma onda de choque é admissível se for uma A;-onda. Uma A;-onda de choque é, por definição, um terno (£/_, U+, s) que satisfaz (4) e tal que

Xk{U+) < s < Xk+l(U+) e Àfc_i(tL) < s < \k(U-)

Esta condição é ainda equivalente a uma outra que, em geral, é a mais utilizada: (15) Àfc(C/+) < s < Xk(U-) e À*_i(EL) < s < Xk+1{U+)

As desigualdades (15) são designadas por desigualdades de entropia ou condições de choque de Lax.

Nota 5. a) Convém apenas salientar que este critério não é global visto não ser adequado para ondas de choque fortes

b) As condições de choque de Lax são condições estáveis visto persistirem sob pequenas perturbações, pois o conjunto das ondas de choque que as satisfazem é aberto

c) Se n = 1, o que as condições de entropia dizem é que F'(U-) > s > F'(U+) Fixemos uma curva de choque com o estado esquerdo fixo (U- = U0). A parte

da curva constituída por ondas de choque admissíveis é limitada por pontos tais que s = Ai (C/L) ou s - Ai(_7+). Tais pontos são designados por sónicos,

à esquerda ou à direita conforme s = \(U-) ou s = A<(C/+), respectivamente.

Desta forma, pela nota b), o bordo, em W, da região constituída pelas ondas de choque admissíveis, é o conjunto das ondas de choque sónicas. As ondas de choque sónicas são importantes na medida em que expressam o comportamento da velocidade s ao longo das curvas de choque.

Proposição 8. Consideremos a curva de choque U--fixo, com CL = U0, e um

ponto U y£ Uo tal que o ponto da curva não é bifurcação secundária. Então o gráfico de s ao longo da curva tem um ponto estacionário em U sse s é valor próprio de F'(U), isto é, sse o ponto é uma onda de choque sónica.

Os pontos de bifurcação secundária para uma curva de choque C/_-fixo são os pontos do conjunto (BR\C) U B0. Assim sendo a proposição anterior pode ser

Teorema 6. Num ponto W\Br com U+ / l/_, ou seja, (W\C)\BR o campo

de linhas de choque está contido no hiperplano ds = 0 sse s é valor próprio de F'(U+).

Num ponto de C\B0 o campo de linhas de choque está contido no hiperplano

ds = 0 sse pertence a S, ou seja, se é um ponto de inflexão.

A segunda parte do teorema seria de esperar pelo que já foi comentado atrás relativamente à nota (4).

Este teorema é provado à custa da maneira de escrever a condição de o campo de linhas de choque estar contido no hiperplano ds = 0 no espaço dos 1-jactos da função T.

Lema 5. Existe um vector não nulo contido simultaneamente no campo de

li-nhas de choque U--fixo e no hiperplano ds = 0 num ponto p = (U, R, £), s) G W sse det B+(p) = 0 onde

B+(ÚR, n, s) := {FR + i ^ r ( í í ) , Fa + ^RF0r\Q))

Da mesma forma existe um vector não nulo contido simultaneamente no campo de linhas de choque dU+ = 0 e no hiperplano ds = 0 em p sse det B-{p) = 0 onde

B-{UR,íl,s) := ÇFR - ^%r(0),JTn - ^RF0r'(n))

Definição 13. O Local Sónico à direita SR é constituido pelos pontos de W

onde det B+ — 0. O Local Sónico à esquerda SL é constituido pelos pontos de

W onde det £_ = 0.

Nota 6. a) Para R^0,SR pode ser definido pela equação det(-s+F'(U+)) =

0. Logo o conjunto é singular sse s for valor próprio com multiplicidade algébrica superior a 1.

b) Se 0 é valor regular de det £_ e det B+ então SL e SR formam variedades

de dimensão n. Isacson et sã., suposeram que 0 era valor regular das duas funções.

c) SL n C = «S = SR n C, pois quando R = 0, TR - 0 e portanto det B+ = 0 =

det B_ reduz-se a det ( | ^ r ( n ) , FQ) = 0. O resultado segue do lema 3.

d) BRÇSReBLÇSL

Proposição 9. Fixemos p = (C/_, U+, s) € SR\BR com U+^U-. O gráfico de

s ao longo da curva U_-fixa que passa porp tem segunda derivada nula emp sse a curva de choque é tangente a SR emp.

Definição 14. O Local de Histerese à direita HR é constituido pelos pontos de

SR tais que IB+r = 0, onde / ^ 0, r ^ 0, IB+ = 0 = B+r, r = (R, Ù) e B+

representa B'+ aplicado ao vector (Ú, R, Ú, 0) com U := ±r(tt)R+lRr'(Q)Ù. De

forma análoga se define o Local de Histerese à esquerda HL-Desta forma podemos escrever o teorema anterior na forma:

Corolário 3. Seja p G SR\BR. A curva de choque. U--fixa que passa por p

transversal a SR em p sse p^HR.

i>?

FIGURA 5. A rosa estão representadas as curvas de choque U+/U--ÛXO.

Proposição 10. HL Í~1 C = HR H C Ç H0. Mats propriamente, p <E Ho sse

peHRf)C ouSR não é transversal aC emp.

Acabamos de ver pelo Corolário 3 uma caracterização dos pontos onde SR

e as curvas de choque E7_-fixo são transversais. De uma forma equivalente se obtém uma caracterização dos pontos onde SL e as curvas de choque í7+-fixo sao

transversais. A proposição seguinte descreve-nos agora os pontos em que SR e as curvas de choque i7+-nxo são transversais.

Proposição 11. A curva de choque U+-fixo é transversal a SR em p (p =

(U- U+ s) e SR\BL, com J7_ ^ U+) sse a onda de choque (U.,U+,s) é

dupla-mente sónica, isto é, d e t ( - s + F'(U+)) « àet(-s + F'(U.)) = 0 (ver Ttfy7)).

Pela definição dos pontos duplamente sónicos temos que estes são os pontos de Si n SR.

Definição 15. O Local duplamente sónico V é constituido pelos pontos de W

tais que

(16) d e t í i T1^ , jrn) + det Qj%r(ft), ^ / ( O ) ) = 0

det Q j ^ r ( 0 ) , ^ o ) + R'àetiR-^R, ^ r ' ( t t ) ) = 0

As equações (16) deduzem-se a partir de detB_ = 0 = det£?+ "eliminando"

R. Então temos o seguinte resultado:

FIGURA 6

FIGURA 7 Teorema 7. A projecção

r_ : W -+ W x K

é singular em, SR. Mais precisamente, p € SR é um ponto dobra para r_ sse

PÍUR.

11. FOLIAÇÃO COMPOSTA

Já falamos de ondas de choque e de ondas de rarefacção, que são soluções do Problema de Riemann. Tais soluções são invariantes para as homotetias

(x, t) i—► (ax, at), a e M. As ondas de choque e de rarefacção não são as únicas soluções com esta propriedade. Consideremos, por exemplo, a função

{

Û (f ) se s0t<x< st

U+ se x > st

onde 0 satisfaz (11), (£/_, E/+, s) verifica (4) e Í7_ = Û{s). Esta função é invari­ ante para as homotetias e representa uma onda de rarefacção seguida, à direita, por uma onda de choque, sem estado intermédio. Para tal poder acontecer e ser solução do Problema de Riemann é necessário que a onda de choque seja sónica. Estas soluções são chamadas de ondas compostas esquerdas. Uma onda de rare­ facção situada à direita de uma onda de choque sónica é uma onda composta direita.

E de realçar que U é unicamente determinada por U0 na medida em que U é

uma solução da equação diferencial (12), U' = ri(U), onde i é tal que s — Xi(U), com condição inicial UQ. U- tem de ser tal que ([/_,[/+,s) formam uma onda de choque sónica e, simultaneamente, tem que pertencer à curva de rarefacção que passa por U-.

Definição 16. Ao conjunto de ondas compostas esquerda com U0 fixo dá­se o

nome de curva composta.

E de realçar que a onda composta (17) pode ser associada à onda de choque sónica ([/_, U+, s), pelo que as ondas compostas podem ser vistas como subcon­ juntos do Local Sónico

SL-Tal como as curvas de rarefacção e de choque, as curvas compostas representam curvas integrais de um campo de linhas, possivelmente singular, cuja construção passo a descrever:

Consideremos um ponto p = (Û, R, ft, s) G SL- Pela nota (6) se pode concluir,

de maneira análoga a SR, que det(—s + F'{UJ)) = 0 em W\C. No entanto,

como [/_ = U(s) segue, por (10), [—s + F'(Û)]r(Q) = 0, que em C também temos det(—s + F'(U-)) = 0. Seja então Tp o conjunto dos vectores (Û, R, Ù, s)

tangentes a SL em p e tais que a í/_­projecção, dada por U :— 0 — ^r(Çl)R — lRr'(Q)Q verifica

(18) ( ­ s + F'(t/_))IL = 0

O subespaço definido por (18) tem dimensão 1, definindo um campo de linhas diferenciável em SL, T, excepto no caso em que car(—s + F'(U-)) < n— 1.

Definição 17. O campo de linhas 7~, possivelmente singular, é chamado campo

de linhas compostas. Uma curva composta é uma curva integral de tal campo de linhas.

Geometricamente:

Corvos

Curvos de droef*

FIGURA 8

Proposição 12. Um ponto p € SL\C é uma singularidade dafoliação composta

à esquerda sse p G D f)HL ou p € St n Bft. í/m ponío p 6 5L n C é uma

singularidade da mesma foliação sse p é um ponto umbílico oup <E W0 oup G BQ.

Existe uma outra maneira de construir os campos de linhas compostas. Esta outra construção é baseada na seguinte proposição

Proposição 13. Dado p £ SL existe um vector tangente aW emp que pertence

simultaneamente a dU+ = 0 e a ds = 0. Seja u_ a sua U^-projecção. Então

[-s + F'{U-)]u- = 0

e w_ anula-se sse p é um ponto umbílico.

Sendo assim, para construir % (p e SL) basta construir a curva de choque

U+-fixo que passa por p e considerar a C/_-projecção de um vector não nulo tangente à curva. Tp é constituido por todos os vectores tangentes a SL cuja t/_-projecçao

tem a mesma direcção de u_.

12. RESUMO DO ESTUDO GEOMÉTRICO

A bifurcação das curvas de ondas é um dos problemas fundamentais na teoria das Leis de Conservação. As mudanças abruptas na natureza das soluções do problema de Riemann são causadas por bifurcações das "wave curves as the origin varies".

Furtado, assumindo o critério de admissibilidade de Lax, identificou a lista completa das formas do Local de Bifurcação das curvas de ondas.

A bifurcação das curvas de ondas representa perda de transversalidade e sin-gularidades entre as foliações das ondas e o bordo de admissibilidade.

1) a foliação é singular

2) o bordo de admissibilidade é singular

3) a curva na foliação é tangente ao bordo de admissibilidade Conjuntos onde cada um dos casos acontece:

1) a) a foliação de rarefacção é singular em B0

b) a foliação de choque é singular nos pontos de bifurcação secundário BL

eBR

c) a foliação composta é singular nos pontos umbílicos, nos pontos singu-lares de S, em (V n UL) U (SL n BR) e (V n UR) U {SR D BL)

Cada um destes locais de bifurcação tem codimensão 2 relativamente às variedades foliadas pelas curvas (C, W e 5L ou 5H, respectivamente).

2) assumindo SL e 5 ^ variedades (que é assumido em [6]) o bordo de

ad-missibilidade tem singularidades apenas nas intersecções dessas variedades: 5 U P , que tem codimensão 2 em W

3) a) a foliação de choque é tangente &SLeSR em HL e UR, respectivamente

b) a foliação de rarefacção é tangente ao local sónico em U0

O grupo de todos os conjuntos importantes definidos, respectivas dimensões (caso sejam variedades) e caracterização está resumido no quadro a seguir apre-sentado.

Conjunto Dimensão Definição e Caracterização W n + 1

. vv ­ J ­ ^ O ) a : V ­» V\ W = er(W)

­ W é a aderência, em P*, dos pontos (U—,U+,s) com t/_ ^ U+ a satisfazer a condição de Rankine­Hugoniot.

C n

_ c = W n

P

*

­ conjunto dos pontos que verifica [—5 + F'(Û)]r(Çl) = 0

- c = ^-l(o)

S n-1

­ é o conjunto dos pontos (£/, 0, fl,s) G C onde s é valor próprio múltiplo de F'(U) ­ conjunto dos pontos onde (Tçt,Fs) é

singular

­ pontos críticos da projecção W —► U

Bo n-2

­ conjunto dos pontos nos quais o campo de linhas de rarefacção é singular

­ conjunto dos pontos para os quais ( l ^ i / r í í í ) , ^ , ^ » ) não tem carac­ terística máxima

S n-1

­ conjunto dos pontos em C onde existe um vector não nulo contido simultanea­ mente no campo de linhas de rarefacção e no hiperplano tangente ds = 0

­ conjunto dos pontos onde a matriz B0 =

( | ^ r ( í í ) , ^ h ) é singular Ho

­ consiste nos pontos de inflexão a veri­ ficar

a) p não é ponto regular de det B0

b) W0r = 0 onde l/r = (R, Ù) ^ 0 v.

p. esq./dir. £?0 e È0 —► B'Q aplicado

BR n-l

- conjunto dos pontos em W onde dU- = 0 é singular

- conjunto dos pontos onde a matriz não tem característica máxima

BL n-l

- conjunto dos pontos em W onde dU+ —

0 é singular

- conjunto dos pontos onde a matriz {TR - i ^ r ( í í ) , ^ n - \RFvr'(SllFs)

não tem característica máxima

SR n

- consiste nos pontos de W onde existe um vector não nulo contido simultane-amente em dU- = 0 e ds = 0

- Conjunto dos pontos onde B+ = {FR +

\T0r(Sl),Tu + |itF&r'(í))) é singular

SL n

- consiste nos pontos de W onde existe um vector não nulo contido simultane-amente em dU+ = 0 e ds = 0

- Conjunto dos pontos onde £?_ = (TR — \F0r{Sl),Fu - \RF0r'(ÇÍ)) é singular KR

- consiste nos pontos em SR tais que lÈ+r = 0

HL

- consiste nos pontos em SL tais que lÈ_r = 0

V n-l

- conjunto dos pontos tais que det £?_ = det B+ = 0 e R ^ 0

13. BIFURCAÇÃO DE CURVAS DE RAREFACÇÃO

Já foi referido na secção "Variedade Característica" que para um sistema de 2 Leis de Conservação em geral não aparecem pontos umbílicos. Só para sistemas com n Leis de Conservação, n > 3, ou famílias de funções a fc-parâmetros, para k>len>2é que, em geral, tais pontos aparecem. O estudo para um sistema de 2 Leis de Conservação, onde o Fluxo F é uma família de funções 1-parâmetro, de uma certa forma genérica, leva a considerar equações implícitas em superfícies. Desta forma, em geral aparecem pontos umbílicos isolados e é possível tanto estudar o comportamento em volta dos pontos umbílicos como a bifurcação existente provocada pela variação do parâmetro do Fluxo.

Consideremos então o sistema de leis de conservação Ut + F(U)x = 0

onde F é a função de M2 em K2 a 1-parâmetro A dada por

u2 F(v, u) = ((1 + \)v +—,\v + u + vu) |Jac F(v,u) — sl\ — 0 1 + À — s u „ * * \ i i , = 0 X + u 1 + v — s <* s2 - (2 + A + v)s + (1 + A)(l + v) - «(A + u) = 0

O sistema dado é hiperbólico nos pontos (v, u) tal que

(2 + A + vf + 4u(A + u) - 4(1 + A)(l + v) > 0 & (A - v)2 + (2u + A)2 - A2 > 0

&(\-v)

+ (2u + \)

>\

Se A = 0 a condição é automaticamente verificada e, portanto, o sistema é hiperbólico. Não é contudo estritamente hiperbólico pois

J a c F ( 0 , 0 ) = ° °

ou seja, na origem 0 é um valor próprio de Jac F com multiplicidade algébrica 2 ((0, 0) é o único ponto com multiplicidade algébrica superior a i ) . Neste caso a multiplicidade geométrica também é 2, logo a origem é um ponto umbílico.

No ponto (0,0)

(A - v)2 + (2« + A)2 = A2 > 0

Então, para cada A ^ 0 existe uma vizinhança da origem para o qual os valores próprios são reais. Essas vizinhanças são da forma

A2 ( | )2

-isto é, são o exterior da elipse com centro em (A, - f ) e semi-eixos |A| e |^|. A elipse correponde à projecção, no plano (v,u), do Local de Coincidência (£). E de realçar que nenhum destes pontos é umbílico.

Para estudar a geometria das curvas de rarefacção é necessário encontrar a função H que caracteriza a condição de Rankine-Hugoniot.

H{v^,u-,v+,u+,s) = -s((v+,u+) - {v-,u-)) + F{v+,u+) - F{v^,u.)

= ((1 + A - s)(v+ - vJ) + -{u\ - u2_),

(1 - s)(u+ - w_) + X(v+ - v_) + v+u+ - v^uJ)

Nas novas coordenadas

(v_,it_) = (v,u) - -R(cosft, sinft) = (v R cos ft, û — -R sin ft)

v 2 2

(v+,u+) = (v,u) + -R(cosíl,smíY) = (v + -R cos ft, û + -R sin ft) temos

.F(v, û, #, ft, s) = ((1 + A - s) cos ft + « sin O, ( 1 + û - s) sin ft + (A + «) cos ft) A Variedade Fundamental das Ondas W é definida como sendo JF-x(0) e

portanto é o conjunto dos pontos tais que

(1 + A — s) cos ft + û sin ft = 0 (1 + v - s) sin ft + (A + u) cos ft = 0 Nota 7. T-v = (0, sin ft)

TÛ = (sin ft, cos ft) ^ = ( 0 , 0 )

jFn = ( - ( l + A - s ) s i n f t + ûcosft, (1 +1; - s) cosft - (A+ w) sin ft)

Ts = (— cos ft, — sin ft)

Temos que d e t ( ^ , J ^ ) = - s i n2 ft e det(.Ffi,.Fs) = cos2 ft - sin2 ft. Estes 2

determinantes não se anulam simultaneamente, pelo que (0,0) é valor regular da função T e consequentemente W é uma variedade diferenciável de dimensão 3.

T não depende de R, pelo que a variável R tem necessariamente de ser uma das variáveis utilizadas na parametrização de W. Quaisquer que sejam as outras duas variáveis, de entre v, Û, ft e s, que se escolha para parametrizar W a parametrização é apenas local. Por exemplo, d e t ^ , ^ ) = - s i n ft e portanto a parametrização só funciona fora de ft = 0.

Suponhamos que parametrizamos W por v,UeR, ou seja, s = s(v, ú, R) e O = Çl(v,u,R). Seja ^ a parametrização. Vamos tentar representar as variedades e foliações no espaço (v,u, R). Em primeiro lugar temos de tentar representar W. Ora, como T não depende de R, um ponto (v,û,R) G ^_ 1( W ) sse (v,û,0) G

V>_1(W). Basta­nos então tentar identificar os pontos (v,U, 0) G ^_ 1( W ) . Como s = s(v,u,R) tem de ser um número real e, para R = 0, (û,w) = (^_,w_) =

(■U_I_,IÍ­I_) necessariamente temos de ter

A

(f)

~

A Variedade Característica C é facilmente representável pois corresponde à intersecção de W com o plano R = 0.

Outra particularidade geométrica interessante nesta família de funções é que dado um ponto (v,u, 0) G ^ " H0) a imagem recíproca, por V, das curvas de

choque está contida num cone com vértice em (v, ti, 0):

(V-,U-) = (v0,Uo)

(v0,u0) = (v,u) - ­i?(cosf2,siní))

\\(v,u) - («o, tio)II = ||­i2(cosíí,siníí)|| ­ -R e ângulo a = arctan | .

Antes de partir para o estudo das curvas de rarefacção neste exemplo, vamos ver qual o resultado obtido por Schaeffer e Shearer quanto à classificação dos sistemas não estritamente hiperbólicos de Leis de Conservação 2 x 2 , ver [8] (relativamente às curvas de rarefacção).

Em primeiro lugar Schaeffer e Shearer começaram por considerar sistemas de Leis de Conservação da forma

(19) Ut + Q(U)x = 0

onde Q : E2 —► E2 é quadrático.

Definição 18. Qi : E2 —► E2 e Q2 : E2 ­» E2, funções quadráticas, dizem­se

equivalentes se existir uma matriz constante invertível S a verificar Q2{U) = S-1Q1{SU) W G E 2

Teorema 8. Seja Q : E2 —► E2 uma função quadrática tal que o sistema (19)

é hiperbólico e possui um ponto umbílico isolado para U = 0. Então existe uma família de funções a 2-parâmetros dada por

Ca,b{x, y) = -ax3 + bx2y + xy2

com a 7^ 1 4­ b2 e tal que Q é equivalente a dC. A estrutura das curvas é