Relações Tensão Deformação

(1)

Relações

Tensão

×

Deformação

MT-717: Introdução a materiais e processos de fabricação

Dr. Alfredo R. de Faria Dr. Ronnie Rego

(2)

Relações Plásticas Tensão × Deformação 3.

Conceitos de Tensão e Deformação 2.

Introdução 1.

(3)

ε_a A E Efeito Bauschinger Histerese Elástica Comportamento Anelástico

(4)

Instabilidade Plástica

A partir de dP = 0 e σ = P/A

Do conceito de Volume constante:

Do conceito de deformação

Portanto:

(5)

Laminação Trefilação

Extrusão Forjamento

(6)

Plasticidade Fundamentos da Conformação Tecnologias de Conformação Processos Não-Convencionais Comportamento mecânico Tipos de Falhas Análise de tensão e deformação Relações plásticas Escoamento plástico Classificação Modelos preditivos Influências: atrito, temperatura; taxa de deformação e anisotropia. Ensaios de conformabilidade Trefilação Laminação Forjamento Extrusão Estampagem Estiramento Repuxamento Soldagem a Ponto Metalurgia do Pó F

(7)

1. DIETER, G. E. Mechanical Metallurgy - SI Metric Edition. Mc Graw-Hill Book Co., Singapore, 1988.

2. CETLIN, P.R.; HELMAN, H. Fundamentos da conformação mecânica dos metais. 2.ed. Artliber editora, São Paulo, 2015.

3. HOSFORD, W.F.; CADDELL, R.M. Metal Forming Mechanics and Metallurgy. Prentice-Hall Inc., Toronto, 1983.

4. CHAKRABARTY, J. Applied Plasticity. Springer, Nova York, 2010.

5. VERLINDEN, B.; DRIVER, J.; SAMAJDAR, I.; DOHERTY, R. Thermo-Mechanical Processing of

Metallic Materials. Elsevier, Oxford, 2007.

(8)

Relações Plásticas Tensão-Deformação 3.

Introdução 1.

(9)

P _P

m

m m´

m´

A A´

O estado de tensões em um ponto é único. No entanto, esse estado de tensões pode ser descrito em diferentes sistemas de coordenadas

Exemplo: um vetor em 2D cujas componentes são descritas em dois sistemas de referência diferentes

x y

(10)

O x z y dA σz τzx τzy resultante de tensão plano de corte

Tensões de cisalhamento no plano z: τ_zx e τ_zy Tensão normal no plano z: σ_z

e_z e_x e_y

(11)

σx σx τxy τxz τyx τyz σy σz τzx τzy σy τyz τ_yx τxy τxz σz τzy τzx z x y           = z zy zx yz y yx xz xy x

σ

τ

σ

τ

σ

] [ A B A B O

(12)

σx τyz τyx τxy τxz σz τzy τzx x y dy dx dz dy y y y _∂ ∂ + σ σ dy y yx yx _∂ ∂ + τ τ dy y yz yz _∂ ∂ + τ τ dx x xz xz ∂ ∂ + τ τ dx x xy xy ∂ ∂ + τ τ dx x x x ∂ ∂ + σ σ dz z zy zy _∂ ∂ + τ τ

(13)

yx xy

τ

= zx xz

τ

= zy yz

τ

= 0 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( =       ∂ ∂ + − + −       ∂ ∂ + +       ∂ ∂ + − + −       ∂ ∂ + +       ∂ ∂ + −       ∂ ∂ + dy dydz dx x dy dydz dx dxdz dx dxdz dy y dy dxdy dz z dy dxdy dx dxdy dx dxdy dz z dy dxdz dy y dx dydz dx x x x x y y y yz zx zx zy yz zy yx yx xy xy σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

Equilíbrio de momento em torno do eixo z

(14)

0 = + −       ∂ ∂ + + −       ∂ ∂ + + −       ∂ ∂ + dxdydz b dxdy dxdy dz z dydz dydz dy y dydz dydz dx x x zx zx zx yx yx yx x x x

τ

σ

0 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x zx yx x _b z y x

τ

σ

0 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ y yz yx y b z x y

τ

σ

0 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z zy zx z _b y x z

τ

σ

Equilíbrio de força: eixo x

Equilíbrio de força: eixo y

(15)

y x z σn An_z An_y An_x y z zy x z zx z z z z y yz x y yx y y y z x xz y x xy x x x n n An n An n An n An n An n An n An n An n An A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ σ τ τ σ τ τ σ σ + + + + + + =

σ

_n direção dada pelo vetor normal

unitário

{n} = {n

_x

n

_y

n

_z

}

T

τ

_t direção dada pelo vetor

tangente unitário

{t} = {t

_x

t

_y

t

_z

}

T τt ) ( ) ( ) ( y z z y yz x z z x xz x y y x xy z z z y y y x x x t t n t n t n t n t n t n t n t n t n + + + + + + + + = τ τ τ σ σ σ τ } ]{ [ } {t T n t σ τ = } ]{ [ } {n T n n σ σ =

(16)

z y x σ_y σz σ_x τ_yz τ_yx τ_zx τ_zy τ_xy τ_xz x σy σ_z σ_x τyz τyx τzx τ_zy τxy τ_xz z y z x y ] ][ [ ] [ ] [σ = l T σ l [l] = [{nx} {ny} {nz}]

(17)

Obter os extremos de

σ

_n

= {n}

T

_[

σ

_]{n}

_{sujeito a}

_{n}

T

_{{n} = 1.}

Definição da função estendida:

σ

_n*

=

σ

_n

−

λ

({n}

T

_{n}

−

₁₎

} 0 { } ]){ [ ] ([ 0 0 0 * * * = − ⇒          = − + + = ∂ ∂ = − + + = ∂ ∂ = − + + = ∂ ∂ n I n n n n n n n n n n n n n n n z z z y zy x zx z n y z yz y y x yx y n x z xz y xy x x x n λ σ λ σ τ τ σ λ τ σ τ σ λ τ τ σ σ problema de autovalor

A solução do problema de autovalor fornece as tensões principais

σ

₁

≥

σ

₂

≥

σ

(20)

Tensões principais (máximas) de cisalhamento

Trabalhando no sistema de coordenadas principais 123

2 1 3 σ n τta τ_tb

Há uma direção normal:

{n}

Há duas direções tangentes:

{t

_a

}

e

{t

_b

}

A matriz de transformação e sua inversa são

          = =           = − bz by bx az ay ax z y x T bz az z by ay y bx ax x t t t t t t n n n l l t t n t t n t t n l] , [ ] [ ] [ 1

(21)

A resultante do cisalhamento ao quadrado é dada por

τ

2

₌

τ

a2

+

τ

b2

az2

_az

bz2

σ

(22)

As tensões principais de cisalhamento ocorrem nas seguintes combinações:

τ3 = (σ1 − σ2)/2 0 ±1/√2 ±1/√2 τ2 = (σ1 − σ3)/2 ±1/√2 0 ±1/√2 τ₁ = (σ₂ − σ₃)/2 ±1/√2 ±1/√2 0 τ n_z n_y n_x

(23)

O tensor de tensões pode ser dividido em dois: tensor desviante e tensor esférico (também denominado hidrostático ou médio)

O tensor desviante (

σ

´_ij) envolve tensões de cisalhamento e, por isso, resulta em deformação plástica

O tensor esférico (

σ

_m) produz apenas mudanças elásticas de volume e

não resulta em deformação plástica

σy σ_x τxy σm (σ_x− σ_y)/2 τ_xy σ_m (σ_y− σ_x)/2

(24)

O tensor desviante possui componentes principais dadas pela equação

(

λ

´)

3

−

_J´

1

(

λ

´)

2

−

J´

2

λ

´

−

J´

3

= 0

onde

J´

₁

=

σ

´

_x

+

σ

´

_y

+

τ

2

+

τ

2

+

τ

2

−

σ

´

σ

´

−

σ

´

σ

´

−

σ

´

σ

´

=

                − − − − − − = ′ ⇒ − = ′ + + = 3 2 3 2 3 2 ] [ , 3 y x z yz xz yz z x y xy xz xy z y x ij m ij ij z y x m σ σ σ τ τ τ σ σ σ τ τ τ σ σ σ σ δ σ σ σ σ σ σ σ

(25)

Duas dimensões: estado plano de tensão ⇒

σ

_z

=

τ

_xz

=

τ

_yz

= 0

σ_y σx τ_xy τxy σx σy θ T z T y T x n n n } 1 0 0 { } { } 0 cos sin { } { } 0 sin cos { } { = − = = θ θ θ θ θ τ θ σ σ θ θ τ θ θ σ σ τ θ τ θ σ σ σ σ θ θ τ θ σ θ σ σ θ τ θ σ σ σ σ θ θ τ θ σ θ σ σ θ θ θ θ σ τ τ σ θ θ θ θ σ τ τ τ σ τ τ τ σ 2 cos 2 sin ) sin (cos cos sin ) ( 2 sin 2 cos 2 2 cos sin 2 cos sin 2 sin 2 cos 2 2 cos sin 2 sin cos 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos 2 2 2 2 2 2 xy x y xy x y y x xy y x y x xy y x y xy y x y x xy y x x y xy xy x T z z y z x z y y y x z x y x x + − = − + − = − − − + = − + = + − + + = + + =           −                     − =          

(26)

2 2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 xy y x y x y x x xy x y y x xy y x y x x τ σ σ τ σ σ σ θ τ θ σ σ τ θ τ θ σ σ σ σ σ +       − = +       + −       + − = + − = + −

equação de uma circunferência

Um ângulo

θ

de rotação corresponde a um ângulo

2 θ

no círculo de Mohr

O mesmo sentido de rotação deve ser usado

Tensões de cisalhamento que causam rotação no sentido horário ficam acima do eixo horizontal do círculo de Mohr

σ_y τ τ B σy τ xy τ

(27)

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 0 45 90 135 180 Te n sõ e s, σ x e τ xy [ M P a ] Rotação, ϴ [°] σ'x τ'xy 45° 45°

(28)

600 200 10

ϴ [°] ϴ [rad] σ'x [MPa] σ'y [MPa] τ'xy [MPa] 0 0,00 600,00 600,00 10,00 5 0,09 598,70 595,23 -24,88 10 0,17 591,36 584,52 -59,01 15 0,26 578,21 568,21 -91,34 20 0,35 559,64 546,78 -120,90 25 0,44 536,22 520,90 -146,78 30 0,52 508,66 491,34 -168,21 35 0,61 477,80 459,01 -184,52 40 0,70 444,58 424,88 -195,23 45 0,79 410,00 390,00 -200,00 50 0,87 375,12 355,42 -198,70 55 0,96 340,99 322,20 -191,36 60 1,05 308,66 291,34 -178,21 65 1,13 279,10 263,78 -159,64 70 1,22 253,22 240,36 -136,22 75 1,31 231,79 221,79 -108,66 80 1,40 215,48 208,64 -77,80 85 1,48 204,77 201,30 -44,58 90 1,57 200,00 200,00 -10,00 95 1,66 201,30 204,77 24,88 100 1,75 208,64 215,48 59,01 105 1,83 221,79 231,79 91,34 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 xy x y y x xy y x y x x θ τ θ σ σ τ θ τ θ σ σ σ σ σ + − = + − = + − -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 0 45 90 135 180 Te n sõ e s, σ x e τ x y [ M P a ] Rotação, ϴ [°]

(29)

(30)

Círculo de Mohr em três dimensões

Todos os possíveis estados de tensão estão na área sombreada

σ1 σ2 σ3 τ₃ σ τ τ₂ τ₁ σ σ

(31)

Diferentes processos, diferentes estados de tensão 1 2 3 4 5 1 Estiramento

2 Forjamento de matriz aberta 3 Estampagem profunda

4 Laminação 5 Corte

(32)

y z P p X Y Z trajetória de um ponto material configuração inicial configuração atual t₀ t X, Y, Z → coordenadas Lagrangeanas x, y, z → coordenadas Eulerianas ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( t Z Y X z z t Z Y X y y t Z Y X x x = = = A mudança de configuração de um Configuração de um corpo: transformação

(33)

X Y Z C A B O c a b o dY dX dZ w u v dZ Z u u ∂ ∂ + dX X u u ∂ ∂ + dY Y u u ∂ ∂ + dX X v v ∂ ∂ + dY Y v v ∂ ∂ + dZ Z v v ∂ ∂ + dX X w w ∂ ∂ + dY Y w w ∂ ∂ + dZ Z w w ∂ ∂ + (π/2 − γ_xz) A(X + dX, Y, Z) B(X, Y + dY, Z) C(X, Y, Z + dZ) u_A = u + (∂u/∂X)dX v_A = v + (∂v/∂X)dX w_A = w + (∂w/∂X)dX u_B = u + (∂u/∂Y)dY v_B = v + (∂v/∂Y)dY w_B = w + (∂w/∂Y)dY u_C = u + (∂u/∂Z)dZ v_C = v + (∂v/∂Z)dZ w = w + (∂w/∂Z)dZ

Deformação: problema geométrico

(34)

dX dX oa OA OA oa x − = − =

ε

      ∂ ∂ + ≈       ∂ ∂ + ≈       ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ + =       − ∂ ∂ + +       − ∂ ∂ + +       − ∂ ∂ + + = X u dX X u dX X w X v X u dX oa w dX X w w v dX X v v u dX X u u dX oa 1 2 1 1 ) ( 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2

Interpretação geométrica das deformações

(35)

) )( ( 2 ) ( ) ( ) ( ˆ cos 2 2 2 oc oa ac oc oa c o a = + − 2 2 2 ) ( , 1 , 1       ∂ ∂ − +       ∂ ∂ − =       ∂ ∂ + =       ∂ ∂ + = dZ Z u dX dX X w dZ ac Z w dZ oc X u dX oa Z u X w dXdZ dXdZ Z u dXdZ X w c o a ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ 2 ) / ( 2 ) / ( 2 ˆ cos Z v Y w Y u X v Z u X w yz xy xz ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ =

γ

, ,

Interpretação geométrica das deformações

(36)

y x z P p X ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( t Z Y X z z t Z Y X y y t Z Y X x x = = = Q q dx u u + du dX                           ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =           dZ dY dX Z z Y z X z Z y Y y X y Z x Y x X x dz dy dx = configuração atual configuração inicial

(37)

X F x d d = gradiente da transformação X H u d dZ dY dX Z w Y w X w Z v Y v X v Z u Y u X u dw dv du d =                           ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =           = X x u = − H I F = + Gradiente da transformação

(38)

y x z P p X_P Q q ∆x ∆X X F x _∆ ∆ = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (∆X T ∆X = ∆x T ∆x = ∆X T FTF ∆X 0 ) ]( [ ) (∆X T I − FTF ∆X = FTF = I x_p ) ( ) ( _P _P _P p F X X X u F X X x x = + − = + + −

Gradiente da transformação e movimento de corpo rígido

configuração atual configuração

(39)

2 2 ] [ } { 2 } { 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ]( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 H H H H I F F I F F X I F F X X I F F X X F F X x x X X T T T T T T T T T T T T T n n dS d dS d dS dS ds d d dS ds d d d d ds d d dS + + = − =       ₋ =       ₋       = − − = − = = = ε } ]{ [ } { } ]{ [ } {n T ε n = n T ε n } ]{ [ } {n = l n T T l l l l] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ε = ε ⇒ ε = ε

Tensor de deformações de Green:

Opção para representação da deformação, seguindo mesmo método aplicado para transformação do tensor de tensões

(40)

Relações deformação × deslocamento Sendo:     xz xy x ε ε ε _       ∂ +     ∂ +     ∂ + ∂ =               ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ =               ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 w v u w Y w Y v Y u Y v X w X v X u X u y x ε ε ε 2 ] [ H H H H T T + + = ε                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = Z w Y w X w Z v Y v X v Z u Y u X u H

(41)

Relações deformação × deslocamento           = =           = z yz xz yz y xy xz xy x z yz xz yz y xy xz xy x ε γ γ γ ε γ γ γ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / ] [ Y w X w Y v X v Y u X u X v Y u Z w X w Z v X v Z u X u X w Z u Z w Y w Z v Y v Z u Y u Y w Z v xy xy xz xz yz yz ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ε γ ε γ ε γ 2 2 2 τ τ deformação de deformação de cisalhamento de cisalhamento engenharia matemática γ_xy ε_xy ε_xy

(42)

Relações deformação × deslocamento

Pequenas deformações: Hipótese: |∂u_i/∂X_j| << 1

Embora |∂u_i/∂X_j| << 1 leve a pequenas deformações, nada pode ser afirmado a respeito dos deslocamentos.

– Existem casos práticos relevantes onde as deformações são pequenas, mas os deslocamentos são grandes.

Y u X v Z u X w Z v Y w Z w Y v X u xy xz yz z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ≈ γ γ γ ε ε ε

(43)

Y u X v Z u X w Z v Y w Z w Y v X u xy xz yz z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ≈ γ γ γ ε ε ε Pequenas deformações Hipótese:

|

∂

u

_i

/

∂

X

_j

| << 1

Embora |∂u_i/∂X_j| << 1 leve a pequenas deformações, nada pode ser afirmado a

respeito dos deslocamentos. Existem casos práticos relevantes onde as deformações são pequenas, mas os deslocamentos são grandes.

(44)

x, X y, Y L L θ u P(X, Y, Z) p(x, y, z) α θ θ θ

θ sin cos sin

cos Y y Y X X x = − = +           − − − = ⇒           − =                     − =           0 0 0 0 1 cos sin 0 sin 1 cos 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ H F Z Y X z y x − θ

(45)

Deformações se transformam segundo a mesma regra das tensões. Logo, é

possível também obter deformações principais assim como foi feito com tensões.

0 ) 2 ( ) ( ) ( 0 2 2 2 2 2 2 2 3 = − − − + − − − − + + + + + − ⇒ = − − − xy z xz y yz x xz yz xy z y x xz yz xy z x z y y x z y x z yz xz yz y xy xz xy x ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε λ ε ε ε ε ε ε ε ε ε λ ε ε ε λ λ ε ε ε ε λ ε ε ε ε λ ε

λ

− I₃ = 0 correspondem às deformações

principais. As direções principais de deformação {n_xi n_yi n_zi}T são obtidas pela solução do sistema indeterminado

          =                     − − − 0 0 0 zi yi xi i z yz xz yz i y xy xz xy i x n n n λ ε ε ε ε λ ε ε ε ε λ ε

Em geral as deformações em um sólido envolvem uma combinação de mudança de volume e mudança de forma

A deformação volumétrica é a mudança de volume por unidade de volume

1 ) 1 )( 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 )( 1 ( − + + + = − + + + = ∆ x y z z y x dxdydz dxdydz dxdydz ε ε ε ε ε ε

Para pequenas deformações

equivalente ao primeiro invariante I₁ do tensor de deformações

Define-se

ε

_m em como deformação média (ou esférica)

z y x ε ε ε + + ≈ ∆ 3 3 ∆ = + + = x y z m ε ε ε ε

(48)

                − − − − − − =           − − − = ′ − = ′ 3 2 3 2 3 2 ] [ y x z yz xz yz z x y xy xz xy z y x m z zy zx yz m y yx xz xy m x ij m ij ij ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε δ ε ε ε

(49)

Definição: variação da deformação ao longo do tempo do processo

Faixa de taxa de

deformação [s-1] Tipo de ensaio

10-8 a 10-5 Ensaio de fluência com carregamento ou tensão constante 10-5 a 10-1 Ensaios de tração "estáticos"

(equipamento acionado hidraulicamente ou por fuso) 10-1 a 102 Ensaios dinâmicos de tração ou compressão

102 a 104 Ensaios de alta velocidade, com barras de impacto (considerando efeito de propagação de onda)

104 a 108 Impacto de hipervelocidade, usando pistolas a gas ou projéteis movidos por explosão (ondas de choque)

L v dt du L dt L u d dt L L d dt d = = + = = = ε [ln( / 0)] [ln(1 / 0)] 1 εɺ

(50)

Influência no escoamento, particularmente a temperaturas elevadas

Relação com tensão: temperatura e deformação constantes:

– Onde C e m são constantes

σ ∆σ ε1 ε2 T m C , ) ( ε ε σ = ɺ ) / ln( / ) / (∆σ σ εɺ₂ εɺ₁ = m

(51)

Relações Plásticas Tensão × Deformação 3.

Introdução 1.

(52)

Regime Elástico:

Relação entre tensões e deformações → Lei de Hooke (σ = Eε) independentemente de como esse estado de tensão foi atingido

Regime Plástico:

Deformações dependem do histórico das tensões

Evolução da deformação demanda abordagem incremental

determinar os incrementos de deformação plástica ao longo do carregamento obter deformação total por meio de integração ou soma dos incrementos

(53)

Equações de Levy-Mises

Deformações elásticas são desprezíveis (sólido idealmente plástico)

No escoamento uniaxial σ₁ ≠ 0, σ₂ = σ₃ = 0, σ_m = σ₁/3 e as tensões desviantes são σ₁´ = σ₁ − σ_m = 2σ₁/3 e σ₂´ = σ₃´ = −σ₁/3

Conservação de volume: dε₁ = −2dε₂ = −2dε₃ → dε₁/dε₂ = σ₁´/σ₂´ Generalizando:

Incrementos de deformação plástica são proporcionais às tensões desviantes

– Geometricamente o vetor de tensões desviantes e o vetor de deformações plásticas incrementais são paralelos.

λ σ ε σ ε σ ε d d d d = ′ = ′ = ′ ₂2 ₃3 1 1 3 2 1 2σ 2σ σ ′ = − ′ = − ′

(54)

₂)/3

Da definição do conceito de deformação efetiva d

ε

= 2d

λσ

/3

Isolando o termo d

λ

, a substituição nas equações de Levy-Mises produz

    + − =     + − =     + − = ( ) 2 1 , ) ( 2 1 , ) ( 2 1 2 1 3 3 3 1 2 2 3 2 1 1 σ σ σ σ ε ε σ σ σ σ ε ε σ σ σ σ ε ε d d d d d d

(55)

Semelhanças com a Lei de Hooke:

I. No lugar de 1/E está a razão de proporcionalidade dε/σ

II. No lugar de ν está 1/2. A razão de proporcionalidade pode ser obtida da curva de tensão × deformação efetiva

    + − =     + − =     + − = ( ) 2 1 , ) ( 2 1 , ) ( 2 1 2 1 3 3 3 1 2 2 3 2 1 1 σ σ σ σ ε ε σ σ σ σε ε σ σ σ σε ε d d d d d d )] ( [ 1 z y x x E σ ν σ σ ε = − +

(56)

Exemplo: cilindro de parede fina (raio/espessura = 20) sob pressão de 7

MPa. Encontrar a deformação plástica circunferencial. A curva de tensão ×

deformação plástica é dada por

σ

= 170

ε

0.25. Tensão circunferencial:

σ

_θ ₌

σ

₁ _{= pr/t}

Tensão longitudinal:

₂ + d

ε

₃ = 0, conclui-se que d

ε

₂ = 0

4 3 ) ( 2 1 , 4 3 ) ( 2 1 ₁ 2 1 3 3 1 3 2 1 1 σ σε σ σ σ σε ε σ σε σ σ σ σε ε d d d d d d = −     + − = =     + − =

(57)

Tensão circunferencial:

σ

₁ = pr/t = 7(20) = 140 MPa

Tensão efetiva:

σ

= √3(140)/2 = 121 MPa

Deformação efetiva:

ε

= (121/170)1/0.25 = 0.257

Deformação efetiva incremental:

Deformação circunferencial: 1 2 / 1 2 1 1 2 1 2 1 3 2 ] ) ( ) 0 ( ) 0 [( 3 2 ε ε ε ε ε ε d d d d d d = − + + + − − = 222 . 0 ) 257 . 0 ( 2 3 2 3 2 3 0 1 1 = ⇒ =

∫

= = ε ε ε ε ε d d d

(58)

As equações de Levy-Mises se aplicam somente a casos onde as deformações elásticas são desprezíveis

No caso de problemas elasto-plásticos é necessário considerar tanto as

deformações plásticas como as elásticas: Equações de Prandtl Reuss

A deformação total é então dividida em duas parcelas:

d

ε

_ij = de_ijE + d

ε

_ijP

Pela lei de Hooke, o incremento nos deformações elásticas é

ij kk ij ij kk ij E ij d E d E d E d E de ν σ ν σ δ ν σ ν σ δ 3 2 1 1 1 − + ′ + = − + =

(59)

No regime plástico o trabalho das tensões é dado por

_ijP

. Logo,

ε σ λ σ λ σ σ ε σ d d d d dW P = _ij′ _ijP = _ij′ _ij′ = 2 = 3 2