Universidade de S˜ao Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Departamento de Ciˆencias Exatas
Professor: Mauricio Mota
Lista 1- Estatistica de Ordem- 03/09/2012
1. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X com f.d.p. f (x), suporte A = {x ∈ R | f(x) > 0} e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumu-lada F (x). Seja Yn = max(X1, X2, . . . , Xn). Vamos obter a Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao,
Gn(yn) bem como sua f.d.p. gn(yn). Seja y real.
Gn(y) = P (Yn≤ y) = P (max(X1, X2, . . . , Xn)≤ y) = P (X1 ≤ y, X2 ≤ y, . . . , Xn ≤ y)
= P (X1 ≤ y)P (X2 ≤ y) . . . P (Xn ≤ y) = F (y)F (y) . . . F (y) = F (y)n
A f.d.p. de Yn pode ser obtida por diferencia¸c˜ao de Gn(yn) em seus pontos de continuidade, assim
gn(y) = n[F (y)]n−1f (y)IA(y). 2. Seja X ∼ Unif( [0, θ]), A = [0 , θ]. Mostre que:
a. F (x) = x θA I(x) + I(θ ,∞)(x). b. Gn(y) = [y θ ]n A I(y) + I(θ ,∞)(y). c. gn(y) = n yn−1 θn IA(y), A = [0 , θ].
3. Seja X uma v.a.c. com f.d.p. dada por f (x) = 2x
θ2IA(x), A = [0 , θ]. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de tamanho n de X. Mostre que:
a. F (x) = x 2 θ2IA(x) + I(θ ,∞)(x). b. Gn(y) = [ y2n θ2n ] IA(y) + I(θ ,∞)(y). c. gn(y) = 2ny2n−1 θ2n IA(y), A = [0 , θ].
a. F (x) = x + θ 2θ IA(x) + I(θ ,∞)(x). b. Gn(y) = [ y + θ 2θ ]n IA(y) + I(θ ,∞)(y). c. gn(y) = n (y + θ)n−1 (2θ)n IA(y), A = [−θ , θ].
d. Mostre que Z = |X| ∼ Unif( [0, θ]). Considere Zi =|Xi|, i = 1, 2, . . . , n. Qual a distribui¸c˜ao de Wn = max(Z1, Z2, . . . , Zn)?
5. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X com f.d.p. f (x), suporte A = {x ∈ R | f(x) > 0} e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumu-lada F (x). Seja Y1 = min(X1, X2, . . . , Xn). Vamos obter a Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao,
G1(y1) bem como sua f.d.p. g1(y). Seja y real.
G1(y) = P (Y1 ≤ y) = P (min(X1, X2, . . . , Xn)≤ y) = 1− P (min(X1, X2, . . . , Xn) > y)
= 1− P (X1 > y, X2 > y, . . . , Xn> y) = 1− P (X1 > y)P (X2 > y) . . . P (Xn > y)
= 1− [1 − F (y)][1 − F (y)] . . . [1 − F (y)] = 1 − [1 − F (y)]n
A f.d.p. de Y1 pode ser obtida por diferencia¸c˜ao de G1(y) em seus pontos de
con-tinuidade, assim
g1(y) = n[1− F (y)]n−1f (y)IA(y).
6. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X ∼ Exp(θ), θ > 0. Mostre que
Y1 = min(X1, X2, . . . , Xn)∼ Exp(nθ).
7. Dizemos que uma vari´avel aleat´oria possui uma distribui¸c˜ao exponencial-truncada de parˆametros λ > 0 e θ > 0, X ∼ ExpT runc(λ, θ), se sua f.d.p. ´e da forma:
f (x) = λe−λ (x−θ)I(θ ,∞)(x).
Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X ∼ ExpT runc(1, θ). Mostre que
Y1 = min(X1, X2, . . . , Xn) ∼ Exptrunc(n, θ). Mostre que E(Y1) = θ + 1/n e
V (Y1) = 1/n. Seja Zn= n(Y1− θ). Calcule a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Zn. Calcule lim
8. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X com f.d.p. f (x), suporte A = {x ∈ R | f(x) > 0} e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
acumulada F (x). Sejam Y1 = min(X1, X2, . . . , Xn) e Yn = max(X1, X2, . . . , Xn). Vamos obter a Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Conjunta, G(y1, yn) bem como sua f.d.p.c.
g(y1, yn). Seja A ={−∞ < y1 < yn<∞} . G(y1, yn) = P (Y1 ≤ y, Yn ≤ yn) = P (Yn)≤ yn)− P (Yn ≤ yn, Y1 > y1) = P (Yn)≤ yn)− P (y1 < X1 ≤ yn, y1 < X2 ≤ yn, . . . , y1 < Xn ≤ yn)) = Gn(yn)− n ∏ i=1 P (y1 < Xn ≤ yn) = [F (yn)]n− [F (yn)− F (y1)]n A f.d.p.c. de Y1 e Yn´e dada por: g(y1, yn) = ∂2G(y1, yn) ∂y1∂yn . Assim,
g(y1, yn) = n(n− 1)[F (yn)− F (y1)]n−2f (y1)f (yn)IA(y1, yn).
9. Seja X ∼ Unif(0, 1) e X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X. Mostre que a f.d.p.c. de (Y1, Yn) ´e dada por
g(y1, yn) = n(n− 1)[yn− y1]nIA(y1, yn), A ={0 < y1 < yn < 1}. Calcule tamb´em o coeficiente de correla¸c˜ao de (Y1, Yn).
10. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X ∼ Unif( [0, θ]), A = [0 , θ]. Y =
max(X1, X2, . . . , Xn) e Z = min(X1, X2, . . . , Xn). Sejam S = (Z + Y ), V = S/2,
U = 2 ¯X.
a. Ache o valor esperado e o erro m´edio quadr´atico, EQM , de U . b. Ache o valor esperado e o erro m´edio quadr´atico, EQM , de Y . c. Ache o valor esperado e o erro m´edio quadr´atico, EQM , de S.
d. Encontre uma fun¸c˜ao de Y , W = h(Y ), de sorte que E(W ) = θ. Ache o erro m´edio quadr´atico,EQM , de W .
e. Dentre as transforma¸c˜oes do tipo aY ache aquela que tem o menor erro m´edio quadr´atico. Chame-a de T . Ache o valor esperado e o erro m´edio quadr´atico de T .
11. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X com f.d.p. f (x), suporte A = {x ∈ R | f(x) > 0} e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
acumulada F (x). Sejam Y1 = min(X1, X2, . . . , Xn) e Yn = max(X1, X2, . . . , Xn). Vamos obter a f.d.p. h(w) de W = Yn− Y1. Seja a vari´avel auxiliar Z = Y1.
a. Mostre que a f.d.p.c. de h(w, z) ´e dada por:
h(w, z) = n(n−1)[F (w+z)−F (z)]n−2f (z)f (w+z)IB(w, z), B = (0,∞)×(−∞, ∞). b. A marginal de W ´e dada por h1(w) =
∫∞
−∞h(w, z)dz. No caso X ∼ Unif(0, 1) a marginal de W ∼ Beta(n − 1, 2).
12. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X com f.d.p. f (x), suporte A = {x ∈ R | f(x) > 0} e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
acumulada F (x). Sejam Y1 = min(X1, X2, . . . , Xn) e Yn = max(X1, X2, . . . , Xn). A quantidade M = (Y1+ Yn)/2 ´e chamada de midrange e W = Yn− Y1, a amplitude amostral.
a. Mostre diretamente que a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de M ´e dada por:
GM(m) = n ∫ m
−∞
[F (2m− x) − F (x)]n−1f (x)dx.
b. Mostre diretamente que a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de W ´e dada por:
GW(w) = n ∫ m
−∞
[F (x + w)− F (x)]n−1f (x)dx.
c. Para o caso em que X ∼ Unif[0 , 1] obtenha f.d.p.c. de W = Yn− Y1 e
M = (Y1+ Yn)/2
d. Mostre que M tem uma distribui¸c˜ao triangular. Dizemos que uma vari´avel aleat´oria V tem uma distribui¸c˜ao triangular de parˆametros 0 < p < 1, a real e
h≥ 0, V ∼ T r(p, a, h) se sua f.d.p. ´e da forma: f (v) = 2(x− a)
h2p I[a , a+ph](v) +
2(h + a− x)
h2(1− p) I(a+ph , a+h](v).
Al´em disso E(V ) = a +h(1 + p)
3 e V ar(V ) =
h2(1− p + p2)
18 .
e. Mostre que R∼ Beta(n − 1, 2)
13. Considere as vari´aveis aleat´orias independentes X ∼ Exp(1) e Y ∼ Exp(1) . Sejam
V = min(X, Y ) e U = M ax(X, Y ).
a. Mostre que D = U − V exponencial de parˆametro 1. b. Mostre que D = U − V e V s˜ao independentes.
14. Y1 < Y2 < Y3 s˜ao as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho 3
de uma uniforme padr˜ao. Determine a distribui¸c˜ao condicional de Y2 dado Y1 = a
e Y2 = b. Qual a esperan¸ca dessa distribui¸c˜ao condicional?
15. Mostre que a mediana de uma amostra aleat´oria de tamanho (2n + 1) de uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo (0 , 1) tem uma distribui¸c˜ao Beta de parˆametros
a = n + 1, b = n + 1. Mostre que a distribui¸c˜ao obtida ´e sim´etrica em torno do ponto c = 1/2.
16. Seja X1, X2, . . . , Xn um conjunto de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas independentes e identicamente distribu´ıdas tendo a mesma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F . Sejam seus valores ordenados ,Y1 < Y2 < . . . < Yn. Se X, independente de Xi, i = 1, 2, . . . , n, tamb´em tem distribui¸c˜ao F . Mostre que:
a. P (X > Yn) = 1 n + 1. b. P (X > Y1) = n n + 1. c. P (Yi < X < Yj) = j− 1 n + 1, 1 < i < j ≤ n.
17. Seja X1, X2, . . . , Xn um conjunto de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas independentes e identicamente distribu´ıdas. Seja N ≥ 2 tal que:
X1 ≥ X2 ≥ . . . ≥ XN−1 < XN.
Isto ´e N ´e o ponto no qual a sequˆencia para de decrescer. Mostre que: a. P (N ≥ n) = 1
n!.
b. E(N ) = e.
18. Usando o fato que se Y ´e uma variavel aleat´oria cont´ınua n˜ao negativa com esperan¸ca finita, pode-se calcular o valor esperado de Y atrav´es de:
E(Y ) =
∫ ∞
0
[1− G(y)]dy.
Aplique o fato para calcular E[max(X1, X2, . . . , Xn)] e E[min(X1, X2, . . . , Xn)] em que X1, X2, . . . , Xn ´e uma amostra aleat´oria de X tendo distribui¸c˜ao uniforme padr˜ao.
19. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.50-pg-161) Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 as estat´ısticas de
ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho 4 da distribui¸c˜ao X ∼ Exp(1). Mostre que:
20. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.51-pg-161) Seja X1, X2, X3 uma amostra aleat´oria de tamanho 3 da distribui¸c˜ao X ∼ Beta(2, 1). Mostre que a probabilidade de que o menor desses valores exceda a mediana populacional de X ´e 1/8.
21. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.53-pg-162) Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 as estat´ısticas
de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho 5 da distribui¸c˜ao X ∼ Exp(1). Mostre que Z1 = Y2 e Z2 = Y4 − Y2 s˜ao vari´aveis independentes.
22. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.54-pg-162)Sejam Y1 < Y2 < Y3 < . . . < Yn as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n de uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [0, 1]. Mostre que Yk , a k-´esima estat´ıstica de ordem , possui uma distribui¸c˜ao Beta de parˆametros (a = k, b = n− k + 1). Assim
E(Yk) =
k
n + 1 e V ar(Yk) =
k(n− k + 1)
(n + 1)2(n + 2).
23. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.55-pg-162) Sejam Y1 < Y2 < . . . < Yn as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n da distribui¸c˜ao X ∼ W eibull(a, b). Ache a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao e a f.d.p. de Y1.
24. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.56-pg-162) Ache a probabilidade de que a amplitude amostral de uma amostra aleat´oria de tamanho 4 da distribui¸c˜ao X ∼ Unif(0, 1) seja menor do que 1/2.
25. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.57-pg-162) Sejam Y1 < Y2 < Y3 as estat´ısticas de ordem
de uma amostra aleat´oria de tamanho 3 da distribui¸c˜ao X ∼ Beta(2, 1). Mostre que Z1 = Y1/Y2,Z2 = Y2/Y3 e Z3 = Y3 s˜ao vari´aveis independentes.
26. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.58-pg-162) Se uma amostra aleat´oria de tamanho 2 ´e retirada de X ∼ Beta(1, 2) calcule a probabilidade de que um item seja pelo menos duas vezes maior do que o outro.
27. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.59-pg-162) Sejam Y1 < Y2 < Y3 as estat´ısticas de ordem
de uma amostra aleat´oria de tamanho 3 da distribui¸c˜ao X ∼ Unif(0, 1). Seja
Z = Y1+ Y3
2 , a amplitude m´edia da amostra(mid range). Ache a f.d.p. de Z. 28. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.60-pg-162) Sejam Y1 < Y2 as estat´ısticas de ordem de
uma amostra aleat´oria de tamanho 2 da distribui¸c˜ao X ∼ N(0, σ2). Mostre que E(Y1) = −
σ √
π.
29. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.62-pg-163) Seja Y a mediana de uma amostra aleat´oria de tamanho n = 2k + 1 da distribui¸c˜ao X ∼ N(µ , σ2). Prove que o gr´afico da
30. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.63-pg-163) Seja X ∼ Beta(2, 1) e Y ∼ Beta(3, 1), inde-pendentes. Sejam U = min(X, Y ) e V = max(X, Y ). Mostre que a f.d.p.c. do vetor (U, V ) ´e dada por:
g(u, v) = 6uv(u + v)I{0<u<v<1}(u, v).
31. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.64-pg-163) Seja (X, Y ) um vetor aleat´orio bidimensional com f.d.p.c. dada por:
f (x, y) = 12x(x + y)
7 I(0,1)(x) I(0,1)(y).
Sejam U = min(X, Y ) e V = max(X, Y ). Mostre que a f.d.p.c. do vetor (U, V ) ´e dada por:
g(u, v) = 12(u + v) 2
7 I{0<u<v<1}(u, v).
32. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.65-pg-163) Sejam X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ao qualquer. Uma medida do spread ´e a diferen¸ca m´edia de Gini
G, que ´e definida como:
G = ∑n j=2 ∑j−1 i=1( |Xi− Xj| n 2 ) .
a. Se n = 10, ache a1, a2, . . . , a10 de sorte que 10
∑ i=1
aiYi, onde Y1, Y2, . . . , Y10 s˜ao as
estat´ısticas de ordem da amostra. b. Mostre que E(G) = √2σ
π se a amostra vem de uma popula¸c˜ao normal N (µ, σ 2).
33. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.66-pg-163)Sejam Y1 < Y2 < . . . < Yn as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n da distribui¸c˜ao X ∼ Exp(1).
a. Mostre Z1 = nY1, Z2 = (n− 1)(Y2 − Y1), Z3 = (n− 2)(Y3 − Y2), . . . , Zn = (Yn− Yn−1) s˜ao estocasticamente independentes e cada
Zi = (n− i − 1)(Yi− Yi−1), Y0 = 0, i = 1, 2, . . . , n ,
tem distribui¸c˜ao exponencial.
b. Demonstre que todas as combina¸c˜oes lineares de Y1, Y2, . . . , Yn, da forma ∑n
i=1aiYi podem ser expressas como combina¸c˜oes lineares de vari´aveis aleat´orias inde-pendentes.
34. Sejam X1, X2,· · · , Xnvari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas
a X ∼ U(0, 1]. Pede-se:
a. A f.d.p do M´ınimo entre elas; b. A f.d.p do M´aximo entre elas;
c. A f.d.p da k-´esima estat´ıstica de ordem; d. A f.d.p.c do M´ınimo e do M´aximo entre elas;
e. A f.d.p da amplitude amostral entre elas; f. A correla¸c˜ao entre o M´ınimo e o M´aximo.
35. Aqui Y1 < Y2 < . . . < Yn s˜ao as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria
X1, X2, . . . , Xn de uma distribui¸c˜ao cont´ınua com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada
F (x) e fun¸c˜ao densidade de probabilidade f (x) com suporte A. Al´em disso θp ´e o quantil de ordem p da distribui¸c˜ao, isto ´e, F (θp) = p. Assim fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao da k-´esima estatistica de ordem ´e dada por:
GYk(y) = n ∑ w=k ( n w ) [F (y)]w[1− F (y)]n−w, e P (Yi ≤ θp ≤ Yj) = j−1 ∑ w=i ( n w ) pw(1− p)n−w = γ.
Dessa maneira [Yi , Yj] ´e um IC[θp, γ].
Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria
de tamanho 5 de uma distribui¸c˜ao do tipo cont´ınuo. Calcule: a. P (Y1 ≤ θ0,5 ≤ Y5].
b. P (Y1 ≤ θ0,25≤ Y3].
c. P (Y4 ≤ θ0,80≤ Y5].
36. Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de
tamanho 4 de uma distribui¸c˜ao do tipo cont´ınuo. Qual a probabilidade de que o intervalo aleat´orio [Y1, Y4] inclua a mediana da distribui¸c˜ao?
37. Ache o menor valor de n para o qual P (Y1 ≤ θ0,5 ≤ Yn)≥ 0, 99, em que Y1 < Y2 < . . . < Yn s˜ao as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n de uma distribui¸c˜ao do tipo cont´ınuo.
38. Sejam Y1 < Y2 < . . . < Y25 as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de
tamanho n=25 de uma distribui¸c˜ao do tipo cont´ınuo. Calcule o valor exato (usando o R) e o valor aproximado de:
a. P (Y8 ≤ θ0,5 ≤ Y18].
b. P (Y2 ≤ θ0,2 ≤ Y9].
c. P (Y18≤ θ0,80≤ Y23].
39. A amostra ordenada de tamanho n=27 de uma distribui¸c˜ao do tipo cont´ınuo ´e dada: 61, 69, 71, 74, 79, 80, 83, 84, 86, 87, 92, 93, 96, 100, 104,
105, 113, 121, 122, 129, 141, 143, 156, 164, 191, 217, 276.
Nosso objetivo ´e estimar θ0,25 o primeiro quartil dessa distribui¸c˜ao.
a. Qual a estimativa pontual de θ0,25?
b. Qual a confian¸ca associada ao intervalo [Y4, Y10]. Quem ´e a estimativa desse
IC?
40. As vari´aveis aleat´orias X1, X2, . . . , Xn s˜ao ditas permut´aveis ( exchangeable) se para cada permuta¸c˜ao i1, i2, . . . , in dos inteiros 1, 2, . . . , n
P (Xi1 ≤ x1, Xi2 ≤ x2, . . . , Xin ≤ xn) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn≤ xn),
para qualquer (x1, x2, . . . , xn. Isto ´e, as n vari´aveis aleat´orias s˜ao permut´aveis se a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conjunta ´e a mesma n˜ao importando a ordem na qual elas s˜ao observadas. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X ∼ Unif([0 , 1]) e Y1 < Y2 < . . . < Yn as estat´ısticas de ordem. Sejam V1 = Y1 e Vi = Yi − Yi−1,
i = 1, 2, . . . , n.
Mostre que V1, V2, . . . , Vn s˜ao permut´aveis.
41. (Magalh˜aes - exerc´ıcio 34- pg 173.) Seja X ∼ U[0 , 2] e defina Y = min(X, 1). Classifique Y e obtenha sua fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao G(y). Fa¸ca um esbo¸co gr´afico de
G(y).
42. (Magalh˜aes - exerc´ıcio 35- pg 173.) Seja X ∼ Exp(2) e defina Y = max(X, 2). Classifique Y e obtenha sua fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao G(y). Fa¸ca um esbo¸co gr´afico de
G(y).
43. (Magalh˜aes - exerc´ıcio 41- pg 175.) As vari´aveis X1 e X2 s˜ao independentes e tem
distribui¸c˜ao comum Exp(λ).
a. Obtenha a fun¸c˜ao densidade conjunta de Y1 = min(X1, X2) e Y2 = max(X1, X2)
b. Determine a densidade de A = Y2− Y1, a amplitude amostral.
44. (Magalh˜aes - exerc´ıcio 24- pg 237.) Sejam X e Y vari´aveis aleat´orias independentes com densidade uniforme em [1, β], β > 1. Calcule E(M in(X, Y )M ax(X, Y )). 45. (Rohatgi - exerc´ıcio 8 - pg 503.) Sejam Y1 < Y2 as estat´ısticas de ordem de uma
amostra aleat´oria de tamanho 2 de uma distribui¸c˜ao X Exponencial com parˆametro
θ.
a. Mostre que Y1 e Y2− Y1 s˜ao independentes.
b. Ache a densidade de Y2− Y1.
c. Ache a densidade de |X2− X1|.
d. Compare as densidades obtidas nos itens b e c.
46. (Roussas- exerc´ıcio 16 - pg 504) Sejam X, Y vari´aveis aleat´orias independentes com a mesma densidade f . Ache a distribui¸c˜ao conjunta de U = min(X, Y ) e V =
max(X, Y ) e depois a densidade de W = min(X, Y )
max(X, Y ) nos seguintes casos:
a. X ∼ U[0 , 1]. b. X ∼ Exp(1).
47. (Casella & Berger- exerc´ıcio 4.26 - pg 193) Sejam X ∼ Exp(λ) e Y ∼ Exp(µ) vari´aveis aleat´orias independentes. ´E imposs´ıvel observar diretamente X e Y . Na realidade s´o podemos observar as vari´aveis aleat´orias
Z = min(X, Y ) e W =
{
1 se Z = X 0 se Z = Y.
( Esta ´e uma situa¸c˜ao que aparece, em particular, em experimentos m´edicos. Assim
X e Y s˜ao vari´aveis censuradas).
a. Ache a distribui¸c˜ao conjunta de Z e W .
b. Prove que Z e W s˜ao independentes. (Sugest˜ao: Mostre que P (Z ≤ z|W =
i) = P (Z ≤), i = 0, 1.
48. (Casella & Berger- exerc´ıcio 5.34 - pg 242) Sejam X, Y vari´aveis aleat´orias indepen-dentes com a mesma distribui¸c˜ao normal padr˜ao. Defina V = min(X, Y ). Prove que V2 ∼ χ2(1).
49. (Roussas- exerc´ıcio 11 - pg 503) Sejam X1, X2, X3 vari´aveis aleat´orias independentes
com f.d.p.:
f (x) = exp(−(x − θ))I[θ, ∞).
50. (Rohatgi - exerc´ıcio 4 - pg 503) Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 as estat´ısticas de ordem
de uma amostra aleat´oria de tamanho 4 de uma distribui¸c˜ao Beta com parˆametros
a = 1, b = 2. Ache:
a. P (0, 3 < Y3 < 0, 5).
b. P (1/3 < Y2 < 3/4).
51. Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de
tamanho 4 de uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [0, θ], θ > 0. Seja
K(θ) = P (Y4 ≤ 1/2) + P (Y4 > 1). Mostre que: K(θ) = 1 para 0 < θ < 1/2 1 16θ4 para 1/2≤ θ < 1 1− 1 16θ4 para θ≥ 1
52. Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria
de tamanho 5 de uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [0, θ].
a. Qual a lei de Y3 , a mediana amostral. Qual a m´edia e a variˆancia de Y3? Mostre
que T1 = 2Y3 ´e um estimador n˜ao viciado de θ. Na realidade vocˆe vai provar
que E(T1) = E(2Y3) = θ. Mostre tamb´em que V ar(T1) = V ar(2Y3) = θ2 7. b. Mostre que a f.d.p.c. de (Y3, Y5) g(y3, y5) = 60 y2 3 (y5 − y3) θ5 IA(y3, y5), em que A ={0 < y3 < y5 < θ}.
c. Calcule a distribui¸c˜ao condicional de V = Y3|Y5. Mostre que
E(T2) = E(2Y3|Y5 = y5) =
6y5
5 e V ar(T2) = V ar(2Y3|Y5 = y5) =
θ2
35. d. Mostre que E(T2) = θ. Assim vocˆe tem dois estimadores n˜ao viciados para θ,
T1 e T2 e deve agora escolher um baseado no crit´erio de menor variˆancia. Qual
estimador vocˆe escolheria?
53. (Rohatgi - exerc´ıcio 5 - pg 503) Uma amostra aleat´oria de tamanho 9 ´e retirada de uma distribui¸c˜ao uniforme de parˆametros (a = 0, b = 1). Ache a probabilidade de a mediana amostral ser menor que 0,3.
54. (Rohatgi - exerc´ıcio 6 - pg 503) Uma amostra aleat´oria de tamanho 9 ´e retirada de uma distribui¸c˜ao do tipo cont´ınuo. Suponha que o terceiro quartil (Q3) dessa
distribui¸c˜ao seja 16,4. Ache: a. P (Y6 < 16, 4).
b. P (Y4 < 16, 4 < Y6).
55. (Magalh˜aes - exerc´ıcio 57- pg 177) Considere X1, X2, . . . , Xnvari´aveis independentes com densidade Exp(λi), i = 1, 2, . . . , n.
a. Verifique que Y1 = min(X1, X2, . . . , Xn) ´e Exp ( n ∑ i=1 λi ) .
b. Mostre que P (Xk= min(X1, X2, . . . , Xn)) =
λk n ∑ i=1 λi .
c. Calcule a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Yn= max(X1, X2, . . . , Xn).
56. (Magalh˜aes - exerc´ıcio 58- pg 178) Sejam Y1 < Y2 < . . . < Ynas estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n de uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [0, 1]. Obtenha a distribui¸c˜ao conjunta de Vn = Yn e Vi =
Yi
Yi+1
, i = 1, 2 . . . , n− 1.
Elas s˜ao independentes?
57. (Roussas- exerc´ıcio 10 - pg 202) Sejam Xj, j = 1, 2, . . . , n vari´aveis aleat´orias independentes com f.d.p. f do tipo cont´ınuo. Se m ´e a mediana de f , calcule a probabilidade de que todas as X′s excedam m. Calcule tamb´em a probabilidade
P (Yn≤ m).
58. (Roussas- exerc´ıcio 9 - pg 202) Sejam Xj, j = 1, 2, . . . , n vari´aveis aleat´orias independentes com f.d.p. f do tipo cont´ınuo e com F sua fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada. Ache a distribui¸c˜ao da vari´avel aleat´oria Z = F (Y1) e tamb´em sua
esperan¸ca.
59. (Rohatgi - exerc´ıcio 21 - pg 504) Ache o menor n para o qual [Y1 , Yn] ´e um intervalo
de confian¸ca de 90% para:
a. O quantil de ordem 0.25, isto ´e, o primeiro quartil(Q1) da distribui¸c˜ao.
b. O quantil de ordem 0.70, isto ´e, o s´etimo decil(D7) da distribui¸c˜ao.
c. O quantil de ordem 0.80, isto ´e, o oitavo decil(D8) da distribui¸c˜ao.
60. (Rohatgi - exerc´ıcio 20 - pg 504) Uma amostra aleat´oria de 8 fam´ılias de uma pequena cidade forneceu as seguintes rendas em milhares de reais.
24, 5− 36, 8 − 19, 4 − 27, 9 − 40, 5 − 32, 5 − 28, 9 − 38, 3.
Encontre um estimador pontual para a mediana da renda populacional nessa cidade bem como um intervalo de confian¸ca de 98% para a mesma.
61. (Rohatgi - exerc´ıcios 12 e 13 - pg 503) Considere um sistema com n componentes
C1, C2, . . . , Cn conectados em s´erie. Se cada componente tem tempo de vida com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro λi, i = 1, 2, . . . , n.
a. Qual a confiabilidade do sistema? Isto ´e, ache a sua fun¸c˜ao de sobrevivˆencia. b. Qual o tempo m´edio de vida para este sistema?
c. Responda aos itens a e b se os componentes est˜ao conectados em paralelo. 62. (Rohatgi - exerc´ıcio 9 - pg 503) Sejam Y1 < Y2 < . . . < Ynas estat´ısticas de ordem de
uma amostra aleat´oria de tamanho n de uma distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro
β. Qual a f.d.p da amplitude amostral A = Yn− Y1?
63. (Casella & Berger- exerc´ıcio 5.36, pg 242) Sejam Y1 < Y2 < . . . < Yn as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n de uma distribui¸c˜ao
f (x) = axa−1 θa se 0 < x < θ 0 outros valores
Obtenha a distribui¸c˜ao conjunta de Vn = Yn e Vi =
Yi
Yi+1
, i = 1, 2 . . . , n− 1. Elas
s˜ao independentes? Identifique as distribui¸c˜oes envolvidas.
64. U1 e U2 s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes, com distribui¸c˜oes exponenciais, com
parˆametros α1 e α2, respectivamente. Seja T =min(U1, U2).
Calcule P (T > t, T = U1).
65. Sejam T1, T2, . . . vari´aveis aleat´orias independentes identicamente distribu´ıdas com
distribui¸c˜ao exponencial de m´edia 1. Mostre que se Mn = m´ax(T1, . . . , Tn) ent˜ao
Mn tem a mesma distribui¸c˜ao de ∑n
i=1Si, onde S1, S2, . . . s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes e Si tem distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro i.
66. Seja X1, X2, . . . uma seq¨uˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes, tal que, para cada n ≥ 1, Xn∼ Exp(n), ou seja, Xn tem densidade de probabilidade dada por
fXn(x) = { ne−nx x > 0, 0 c.c a) Obtenha a distribui¸c˜ao de Y = m´ın(X1, X2, X3). b) Determine E(e−∑100n=1Xn).
67. (Casella & Berger- exerc´ıcio 4.16 - pg 192) Sejam X, Y vari´aveis aleat´orias inde-pendentes com a mesma distribui¸c˜ao geom´etrica. Mostre que U = min(X, Y ) e
68. Sejam X1,...,Xnvari´aveis aleat´orias independentes com densidade comum de Rayleigh
com parˆametro θ > 0, isto ´e,
fXi(xi) =
xe−(2θ2x2)
θ2 I(0,∞)(xi)
a) Ache a densidade do U =min(X1,...,Xn). (Como se chama essa distribui¸c˜ao?); b) Calcule a distribui¸c˜ao de Z = X1/X2.
69. Sejam Y1 < Y2 < Y3 < . . . < Yn as estat´ısticas de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n de uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [0, θ]. Seja A = Yn− Y1 , a amplitude amostral (range). O midrange ´e uma medida de localiza¸c˜ao como a m´edia ou a mediana amostral e ´e definido por V = Y1+ Yn
2 . Mostre que. a. A densidade conjunta de (A, V ) ´e dada por:
f (a, v) = n(n− 1)an−2 θn se 0 < a < θ e a/2 < v < θ− a/2 0 outros valores
b. A marginal de A ´e dada por:
fA(a) = n(n− 1)an−2(θ− a) θn se 0 < a < θ 0 outros valores
c. A marginal de V ´e dada por:
fV(v) = n(2v)n−1 θn se 0 < v < θ/2 n[2(θ− v)]n−1 θn se θ/2 < v < θ 0 outros valores
70. (Prova Mestrado-Ime- 17/02/2005) Sejam (Xi, i = 1, 2, 3, 4) vari´aveis aleat´orias in-dependentes e identicamente distribuidas, sendo Xi ∼ U[0, 1], i = 1, 2, 3, 4. Calcule
a) P [min{max(X1, X2), max(X3, X4)} ≤ 13];
71. Seja X ∼ Geo(p) e M um inteiro positivo.
a. Obtenha a f.p de Y = min(X, M ).Calcule sua m´edia. b. Obtenha a f.p de Z = max(X, M ).
c. Obtenha a f.p de Y = mediana(3, X, 7).
72. Uma caixa tem r bolas numeradas de 1, 2, . . . , r. Uma amostra aleat´oria de tamanho
n com reposi¸c˜ao ´e retirada. Sejam Y o maior e Z o menor dos n´umeros retirados. a. Calcule P (Y ≤ y) e obtenha a f.p. de Y .
b. Calcule P (Z ≥ z) e obtenha a f.p. de Z. c. Obtenha P (Y = y, Z = z).
73. (Hoel,Port & Stone, exerc´ıcio 12,pg 78) Uma caixa tem r bolas numeradas de 1, 2, . . . , r. Uma amostra aleat´oria de tamanho n sem reposi¸c˜ao ´e retirada. Sejam
Y o maior e Z o menor dos n´umeros retirados. a. Calcule P (Y ≤ y) e obtenha a f.p. de Y . b. Calcule P (Z ≥ z) e obtenha a f.p. de Z.
c. Obtenha P (Y = y, Z = z).
74. (Hoel,Port & Stone, exerc´ıcio 19,pg 80) Sejam X ∼ Geo(p) e Y ∼ Geo(p) indepen-dentes. Considere Z = Y − X e M = min(X, Y ).
a. Mostre que para inteiros z e m≥ 0
P (M = m, Z = z) =
{
P (X = m− z)P (Y = m), z < 0 P (X = m)P (Y = m + z), z≥ 0.
b. Usando a mostre que para inteiros z e m≥ 0
P (Z = z, M = m) = p2(1− p)2m+|z|.
c. Mostre que Z e M s˜ao independentes.
75. A Loto(loteria de n´umeros) seleciona todas as semanas, cinco dezenas no conjunto
{01, 02, . . . , 80}.
a. Qual ´e a distribui¸c˜ao do m´aximo do conjunto das dezenas sorteadas?
b. Qual ´e a distribui¸c˜ao da diferen¸ca entre o m´aximo e m´ınimo do conjunto das dezenas sorteadas?
76. (Hogg & Craig-exerc´ıcio 4.52-pg-162) Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e uma distribui¸c˜ao uniforme em A, isto ´e,
f (x) = 1
6IA(x).
Seja X1, X2, X3, X4, X5 uma amostra aleat´oria de X. Mostre que:
a. A fun¸c˜ao de probabilidade de Y1 = min(X1, X2, X3, X4, X5) ´e dada por:
g(y1) = [( 7− y1 6 )5 − ( 6− y1 6 )5] IA(y1).
b. A fun¸c˜ao de probabilidade de Y5 = max(X1, X2, X3, X4, X5) ´e dada por:
g(y5) = [(y 5 6 )5 − ( y5− 1 6 )5] IA(y5).
c. Mostre que P (Y1 = a) = P (Y5 = 7− a), a = 1, 2, . . . , 6.
77. Sejam X e Y duas vari´aveis aleat´orias independentes tendo densidades geom´etricas de parˆametros p1 e p2 respectivamente. Obtenha:
a) P (X ≥ Y ); b) P (X = Y );
c) A densidade de Z = min(X, Y ); d) A densidade de W = X + Y ;
78. Seja X e Y duas vari´aveis aleat´orias independentes com densidade uniforme em
{0, 1, ..., N}. Determine: a) P (X ≥ Y ); b) P (X = Y ); c) A densidade de Z=min(X, Y ); d) A densidade de W =m´ax(X, Y ); e) A densidade de T = |Y − X|.
79. Seja (Xn)n≥1 uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas com distribui¸c˜ao uniforme (0, 1). Seja Yn= min(X1, X2, . . . , Xn):
a. Qual a distribui¸c˜ao de Yn? Identifique-a.
b. Mostre que Vn = nYn converge em distribui¸c˜ao e determine a distribui¸c˜ao limite.
80. Consideremos uma urna com N bolas idˆenticas numeradas de 1, . . . , N . Uma amostra aleat´oria de tamanho n com reposi¸c˜ao, X1, X2, . . . , Xn ´e retirada sendo
Xi a numera¸c˜ao da i-´esima bola retirada . Mostre que : a. P (Xi = k) =
1
NIA(k), A ={1, 2, . . . , N}, i = 1, 2, . . . , n.
b. a f.p. de Yn= max(X1, X2, . . . , Xn) ´e dada por:
fYn(k) = [( k N )n − ( k− 1 N )n] IA(k). c. E(Yn) = N−n [ Nn+1− n ∑ k=1 (k− 1)n ] .
d. E(Yn) ∼= n+1n N, para N grande. e. Seja V = Y
n+1
n − (Yn− 1)n+1
Yn
n − (Yn− 1)n
. Mostre que E(V ) = N .
81. (Casella & Berger- exerc´ıcio 5.36, pg 242) Sejam Ui, i = 1, 2, . . . ,∞ vari´aveis
aleat´orias independentes todas com a mesma distribui¸c˜ao uniforme padr˜ao e seja
X uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao
P (X = x) = c
x!, x = 1, 2, 3, . . . ,
em que c = 1/(e− 1). Ache a distribui¸c˜ao de Z = min(U1, U2, . . . , UX).
Sugest˜ao: Trata-se de calcular o M´ınimo aleat´orio de vari´aveis aleat´orias em que o tamanho da amostra n ´e um valor da distribui¸c˜ao X com distribui¸c˜ao de Poisson truncada no ponto Zero com (λ = 1). Assim
Z|X = x ´e a primeira estat´ıstica de ordem de uma amostra de tamanho x.
82. Seja X1, X2, . . . , Xnuma amostra casual sobre os inteiros A = {0, ±1, ±2, . . . , ±M}, onde M ´e inteiro n˜ao negativo.
a. Mostre que a distribui¸c˜ao conjunta da amostra pode ser posta na forma:
f (x1, x2, . . . , xn; M ) = [ 1 2M + 1 ]n IA(yn), em que yn = max(x1, x2, . . . , xn).
b. Mostre que a fun¸c˜ao de probabilidade de Yn = max(X1, X2, . . . , Xn) ´e dada por:
fYn(y) =
(y + M + 1)n− (y + M)n (2M + 1)n IA(y).
83. Seja Yna n-´esima estat´ıstica de ordem de uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ao do tipo cont´ınuo com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F (x) e f.d.p f (x) = F′(x). Mostre que a distribui¸c˜ao assint´otica de Zn = n[1− F (Yn)]∼ Exp(1).
84. Seja Y2 a segunda estat´ıstica de ordem de uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ao
do tipo cont´ınuo com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F (x) e f.d.p f (x) = F′(x). Mostre que que a distribui¸c˜ao assint´otica de Wn= nF (Y2)∼ Gama(1, 2).
85. Seja Yn a n-´esima estat´ıstica de ordem de uma amostra aleat´oria de tamanho n de uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo (0, θ). Mostre que a distribui¸c˜ao assint´otica de
Zn= n[θ− Yn]∼ Exp(1/θ).
86. (Casella & Berger- exerc´ıcio 5.35 - pg 242) Sejam X ∼ N(0, 1) e Y ∼ N(0, 1) vari´aveis aleat´orias independentes. Seja Z = min(X, Y ). Mostre que Z2 ∼ χ2
1.
87. Sejam X ∼ Unif(0, 1) e Y ∼ Unif(0, 1) vari´aveis aleat´orias independentes. Sejam
U = min(X, Y ) e V = max(X, Y ). Calcule Cov(U, V ).
88. Seja{Un}n≥1 uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias i.i.d. com distribui¸c˜ao uniforme em (0, 1). Sejam X e Y vari´aveis aleat´orias independentes uma da outra e da sequˆencia {Un}n≥1, com fun¸c˜oes de probabilidade dadas por:
P (X = x) = (e− 1) e−x, x = 1, 2, . . . e
P (Y = y) = 1
(e− 1)y!, y = 1, 2, . . . .
Defina V = max(U1, U2, . . . , UY) e Z = X− V. (a) Obtenha a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de V .
(b) Determine a fun¸c˜ao geradora de momentos de X. (c) Calcule a fun¸c˜ao geradora de momentos de Z.
(d) Prove que Z tem distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro 1( ou seja fZ(z) =
e−z, z > 0).
89. As vari´aveis aleat´orias X, Y e Z s˜ao independentes, X ∼ Exp(2), Y ∼ Exp(3) e
Z ∼ U[0, 5]. Calcule:
(a) P [min(X, Z)≤ 1]. (b) P [max(X, Y, Z)≤ 3].
90. Sejam X1, X2, X3 vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas
com distribui¸c˜ao uniforme em A = {0, 1, 2}. Determine a distribui¸c˜ao conjunta de
