Análise de Variância Multivariada MANOVA

MAE 0330

ANÁLISE MULTIVARIADA DE DADOS

Análise de Variância Multivariada MANOVA

Júlia M Pavan Soler pavan@ime.usp.br

2° Sem/2016

Análise Multivariada de Dados

Unidades Amostrais 1 2 … j … p

1 Y

₁₁

Y

₁₂

Y

_1j

Y

_1p

2 Y

₂₁

Y

₂₂

Y

_2j

Y

_2p

… … … … … …

i Y

_i1

Y

_i2

Y

_ij

Y

_ip

… … … … … … …

n Y

_n1

Y

_n2

Y

_nj

Y

_np

Variáveis

Objetivos:

 p variáveis correlacionadas devem ser analisadas conjuntamente

 Pode existir estrutura de tratamento no esquema de aleatorização dos indivíduos

INFERÊNCIAS SOBRE VETORES DE MÉDIAS

Indiv. Açucar Sódio Potássio

1 3,7 48,5 9,3

2 5,7 65,1 8

3 3,8 47,2 10,9

4 3,2 53,2 12

5 3,1 55,5 9,7

6 4,6 36,1 7,9

7 2,4 24,8 14

8 7,2 33,1 7,6

9 6,7 47,4 8,5

10 5,4 54,1 11,3

11 3,9 36,9 12,7

12 4,5 58,8 12,3

13 3,5 27,8 9,8

14 4,5 40,2 8,4

15 1,5 13,5 10,1

16 8,5 56,4 7,1

17 4,5 71,6 8,2

18 6,5 52,8 10,9

19 4,1 44,1 11,2

20 5,5 40,9 9,4

Média 4,64 45,4 9,97

S 2,879

10,002 199,798

-1,81 -5,627 3,628

Inferência sobre um Vetor de Médias

3 , 2 , 1 :

:

0 1

0 0







i H

H

i i

i i









  ^







3 3 1 0

1

0 0

, , :

:





 μ

μ μ

μ μ

H H

 

 ^{4 , 50 , 10} 

:

10 , 50 , 4 :

1 0

 

  μ

μ H

H

Análise conjunta:

Análise univariada:

Taxas de açucar, sódio e potássio sangüíneas em 20 mulheres adultas

Ex.:

Análise Multivariada de Dados

Objetivos:

 Comparar os Tratamentos para o conjunto das p variáveis  ìnferências sobre muitos vetores de Médias (Efeito do Tratamento)  Delineamento

Completamente Aleatorizado

Unidades Amostrais 1 2 … j … p

1 Y111 Y112 Y11j Y11p

2 Y₁₂₁ Y₁₂₂ Y_12j Y_12p

… … … …

n1 Y1n11 Y1n12 Y1n1j Y1n1p

1 Y211 Y212 Y21j Y21p

2 Y221 Y222 Y22j Y22p

… … … …

n2 Y2n21 Y2n22 Y2n2j Y2n2p

… … … …

1 Yg11 Yg12 Yg1j Yg1p

2 Yg21 Yg22 Yg2j Yg2p

… … … …

ng Ygng1 Ygng2 Ygngj Ygngp

Variáveis

T1

T2

Tg

Tratamento Indivíduos

ijk

:

Y resposta do indivíduo j, do tratamento i, na variável k

MANOVA

Réplica P #GV P #GV P #GV P #GV

1 1082 4,66 1163 5,52 1544 5,18 1644 5,45

2 1070 4,5 1100 5,3 1500 5,1 1600 5,18

3 1180 4,3 1200 5,42 1550 5,2 1680 5,18

4 1050 4,7 1190 5,62 1600 5,3 1700 5,4

5 1080 4,6 1170 5,7 1540 5,12 1704 5,5

Média 1092,4 4,55 1164,6 5,51 1546,8 5,18 1665,6 5,34

S 2558,8 1525,8 1271,2 1908,8

-7,23 0,0255 3,55 0,0251 2,65 0,0062 3,51 0,0231

Cultivar

A B C D

Inferência sobre muitos Vetores de Médias

Respostas de produtividade (P) em kg/ha e número de grãos por vagem (#GV) para 4 variedades de feijão (A, B, C e D) plantadas em 5 canteiros

 Comparação das 4 variedades de feijão relativamente às variáveis produtividade e número de grãos por vagem

 

diferença uma

menos pelo

:

, :

1

2 1 4

3 2

1 0



 





 H

H μ μ μ μ μ

_i



_i



_i

Réplica P #GV P #GV P #GV P #GV

1 1082 4,66 1163 5,52 1544 5,18 1644 5,45

2 1070 4,5 1100 5,3 1500 5,1 1600 5,18

3 1180 4,3 1200 5,42 1550 5,2 1680 5,18

4 1050 4,7 1190 5,62 1600 5,3 1700 5,4

5 1080 4,6 1170 5,7 1540 5,12 1704 5,5

Média 1092,4 4,55 1164,6 5,51 1546,8 5,18 1665,6 5,34

S 2558,8 1525,8 1271,2 1908,8

-7,23 0,0255 3,55 0,0251 2,65 0,0062 3,51 0,0231

Cultivar

A B C D

Inferêcia sobre muitos Vetores de Médias

Respostas de produtividade (P) em kg/ha e número de grãos por vagem (#GV) para 4 variedades de feijão (A, B, C e D) plantadas em 5 canteiros

 Estrutura de Tratamento: 1 único fator fixo (variedade) em 4 níveis

 Estrutura de Aleatorização (atribuição dos tratam. às u.e.)

Delineamento Completamente Aleatorizado

Delineamento em Blocos Completos

Análise Multivariada de Dados

Objetivos:

 Comparar as diferentes condições de avaliação relativamente ao conjunto das p variáveis em um delineamento com medidas repetidas

…

Unid. Am. 1 2 … p 1 2 … p

1 Y

₁₁₁

Y

₁₁₂

Y

_11p

Y

_k11

Y

_k12

Y

_k1p

2 Y

₁₂₁

Y

₁₂₂

Y

_12p

Y

_k21

Y

_k22

Y

_k2p

… … … … … … … … … …

n Y

_1n1

Y

_1n2

Y

_1np

Y

_kn1

Y

_kn2

Y

_knp

Condição 1 Condição K

  ^

 

₁₁

, 

₁₂

,..., 

_1p

, 

₂₁

, 

₂₂

,..., 

_2p

μ

Inferência sobre um Vetor de Médias

Tempo de anestalgia (milisegundos) de acordo com os anestésicos CO2 (nível

de pressão alto e baixo) e Halothane (níveis: ausente e presente)

Animal T1 T2 T3 T4

1 426 609 556 600

2 253 236 392 395

3 359 433 349 357

4 432 431 522 600

5 405 426 513 513

6 324 438 507 539

7 310 312 410 456

8 326 326 350 504

9 375 447 547 548

10 286 286 403 422

11 349 382 473 497

12 429 410 488 547

13 348 377 447 514

14 412 473 472 446

15 347 326 455 468

16 434 458 637 524

17 364 367 432 469

18 420 395 508 531

19 397 556 645 625

Média 368,21 404,63 479,26 502,89 S 2819,29

3568,42 7963,13

2943,5 5303,99 6851,32

2295,36 4065,46 4499,64 4878,99

T1: CO2 alto, sem Halothane T2: CO2 baixo, sem Halothane T1: CO2 alto, com Halothane T2: CO2 baixo, com Halothane

Estrutura Fatorial de Tratamento

 Delineamento com Medidas repetidas

Inferêcia sobre um Vetor de Médias

Animal T1 T2 T3 T4

1 426 609 556 600

2 253 236 392 395

3 359 433 349 357

4 432 431 522 600

5 405 426 513 513

6 324 438 507 539

7 310 312 410 456

8 326 326 350 504

9 375 447 547 548

10 286 286 403 422

11 349 382 473 497

12 429 410 488 547

13 348 377 447 514

14 412 473 472 446

15 347 326 455 468

16 434 458 637 524

17 364 367 432 469

18 420 395 508 531

19 397 556 645 625

Média 368,21 404,63 479,26 502,89 S 2819,29

3568,42 7963,13

2943,5 5303,99 6851,32

2295,36 4065,46 4499,64 4878,99

  ^

 

₁

, 

₂

, 

₃

, 

₄

μ

 Efeito do Halothane:  ^

₃

^{ }

₄

  ^{ }

₁

^{ }

₂



 Efeito do CO2:  ^

₁

^{ }

₃

  ^{ }

₂

^{ }

₄



 Efeito de Interação:  

₁

 

₄

   

₂

 

₃



μ 0 C 

0

: H



C ^-1 ₁ ^-1 _-1 ¹ _{1 -1} ¹

1 -1 -1 1

Intervalos de confiança simultâneos para cada constraste

(testar primeiro o efeito de interação)

Inferência sobre muitos Vetores de Médias

Animal T1 T2 T3 T4

1 426 609 556 600

2 253 236 392 395

3 359 433 349 357

4 432 431 522 600

5 405 426 513 513

6 324 438 507 539

7 310 312 410 456

8 326 326 350 504

9 375 447 547 548

10 286 286 403 422

11 349 382 473 497

12 429 410 488 547

13 348 377 447 514

14 412 473 472 446

15 347 326 455 468

16 434 458 637 524

17 364 367 432 469

18 420 395 508 531

19 397 556 645 625

Média 368,21 404,63 479,26 502,89 S 2819,29

3568,42 7963,13

2943,5 5303,99 6851,32

2295,36 4065,46 4499,64 4878,99

Halothane

Mean

2 1

500 475 450 425 400 375 350

CO2 1 2

Gráfico de perfis de médias

Há indicação de efeito de

interação ?

Inferência sobre um Vetor de Médias

Por que realizar comparações de “vetores” de médias ?

 Porque há interesse na análise conjunta de várias variáveis

 Realizar inferências mais precisas devido a incorporar a informação da covariância entre variáveis

 Realizar comparações entre os parâmetros associados às diferentes variáveis

 Construir níveis de significância coletivos para as comparações de interesse



Inferência sobre um Vetor de Médias

  ^{μ Σ}

Y Y

Y

₁

,

₂

,...,

_n

~ N

_p

;

Notação



 





ⁿ

j

p j

p ¹

n

₁ ^{( 1)}

1 Y

Y

amostra aleatória

  







 

 



ⁿ

j

j j

p

p

n 1

₁

1 Y Y Y Y

S

 Estatística de Hotelling T

²

:

   

 

¹

  ^ _ ^ _

_{,( )}

1 2

~ 1 F

_{p n p}

p n

p n n

T n









 

 



 



 



 





μ Y μ S

Y

μ S Y

μ Y

Correspondência com a estatística de teste univariado

Inferência sobre um Vetor de Médias



²



1 2

1

, Y ,..., Y ~ N  ; 

Y

_n

Notação

 Estatística de t de Student :   ~ t

_(n1)

n

s t Y 



₂



²

   

^{2 1}

 

₍² _{1) 1,( 1)}

2

   n Y  s

^

Y  ~ t

_n

 F

_n

n s

t Y   

 Caso Univariado (p=1)

medida de “distância”

ao quadrado

 ^{Y  }    ^s

^

ⁿ  ^{Y  } 

n

^{2 1}

Variável Normal

Variável Normal Variável Qui-

Quadrado/g.l.

Inferência sobre um Vetor de Médias

Correspondência entre as estatísticas de teste dos casos uni e multivariado

      ^{ }

1,( 1)

2 ) 1 ( 2 1

2 2

2

   n Y  s

^

Y  ~ t

_n

 F

_n

n s

t Y   

        ^ _ ^ _

,( )

1 1

2

1

~ F

_{p n p}

p n

p n n

T n

^ _





 

 



 



 



 



 S Y μ Y μ S Y μ

μ Y

 ^  _{  }





_{2 (}² _{1) 1,( 1)}

2 2 0

0

0

:      t

_n

 F

_n

n s t Y

H



₀

 

¹ ₀

 ^ _ ^ _

_{,( )}

  

2 0

0

: 1 F

_{p n p}

p n

p S n

n T

H

^ _



 

 







 μ Y μ Y μ

μ

Pode ser calculada para cada variável

Teste conjunto para

as p variáveis

Indiv. Açucar Sódio Potássio

1 3,7 48,5 9,3

2 5,7 65,1 8

3 3,8 47,2 10,9

4 3,2 53,2 12

5 3,1 55,5 9,7

6 4,6 36,1 7,9

7 2,4 24,8 14

8 7,2 33,1 7,6

9 6,7 47,4 8,5

10 5,4 54,1 11,3

11 3,9 36,9 12,7

12 4,5 58,8 12,3

13 3,5 27,8 9,8

14 4,5 40,2 8,4

15 1,5 13,5 10,1

16 8,5 56,4 7,1

17 4,5 71,6 8,2

18 6,5 52,8 10,9

19 4,1 44,1 11,2

20 5,5 40,9 9,4

Média 4,64 45,4 9,97

S 2,879

10,002 199,798

-1,81 -5,627 3,628

Inferência sobre um Vetor de Médias

 

 ^{4 , 50 , 10} 

:

10 , 50 , 4 :

1 0

 

  μ

μ H

Taxas de açucar, sódio e potássio H

sangüíneas em 20 mulheres adultas

0,586155 -0,0220857 0,257969 -0,022086 0,0060672 -0,001581 0,257969 -0,0015809 0,401847

S

^-1

=

  

¹

 ^{9 , 74}

2

 n Y  μ  S

^

Y  μ  T

18 , 8 ) 10 , 0 (

* 17 / ) 3

* 19

( F

_3,17



Estatística de teste:

Valor crítico a um nível =0,10:

Conclusão: ?

Indiv. Açucar Sódio Potássio

1 3,7 48,5 9,3

2 5,7 65,1 8

3 3,8 47,2 10,9

4 3,2 53,2 12

5 3,1 55,5 9,7

6 4,6 36,1 7,9

7 2,4 24,8 14

8 7,2 33,1 7,6

9 6,7 47,4 8,5

10 5,4 54,1 11,3

11 3,9 36,9 12,7

12 4,5 58,8 12,3

13 3,5 27,8 9,8

14 4,5 40,2 8,4

15 1,5 13,5 10,1

16 8,5 56,4 7,1

17 4,5 71,6 8,2

18 6,5 52,8 10,9

19 4,1 44,1 11,2

20 5,5 40,9 9,4

Média 4,64 45,4 9,97

S 2,879

10,002 199,798

-1,81 -5,627 3,628

Inferência sobre um Vetor de Médias

 

 ^{4 , 50 , 10} 

:

10 , 50 , 4 :

1 0

 

  μ

μ H

Taxas de açucar, sódio e potássio H

sangüíneas em 20 mulheres adultas

0,586155 -0,0220857 0,257969 -0,022086 0,0060672 -0,001581 0,257969 -0,0015809 0,401847

S

^-1

=

  

¹

 ^{9 , 74}

2

 n Y  μ  S

^

Y  μ  T

18 , 8 ) 10 , 0 (

* 17 / ) 3

* 19

( F

_3,17



Estatística de teste:

Valor crítico a um nível =0,10:

Conclusão: Rejeitar H0  Existe pelo

menos uma diferença entre as médias

populacionais, ou combinações lineares

delas, e os valores de referência

Inferência sobre um Vetor de Médias

  μ Σ Y

Y

Y

₁

,

₂

,...,

_n

~ N

_p

;

Estatística Razão de Verossimilhanças

 

     

 



 

     

 

 

 n  j

j n j

L

np

1

0 1

2 0 2 /

0 /

2 exp 1

2

| 1

; Σ Y Y μ Y μ

μ

μ 

0 0

0

0

: μ  μ  : μ  μ

 H H

 Função de Verossimilhança sob H0:

 Estatística Razão de Verossimilhanças:

 

 

  

  

2 /

1

0 0

1 2

/

, 0

0

ˆ ˆ

|

; max

|

; max

n

n

j

j j

n

j

j j

n

L L



 









 







 



 



 

















 



 











μ μ Y

Y

Y Y

Y Y

Σ Y μ

Σ Y μ

μ

2

~

0

ln

2  

_

 Resultado assintótico e sob

condições de regularidade

Estatística

Lambda de Wilks

distância generalizada ao quadrado

Inferência sobre um Vetor de Médias

  ^{μ Σ}

Y Y

Y

₁

,

₂

,...,

_n

~ N

_p

;

Estatística de Hotelling e Estatística Razão de Verossimilhanças

0 0

0

0

: μ  μ  : μ  μ

 H H

2 1

0 /

2

) 1 1 (

ˆ

ˆ

^

 

 





 





 n

n

T

Σ Σ

H0 é rejeitada para valores pequenos da estatística Lambda de Wilks e valores grandes da estatística de Hotelling

 

 ¹ 

ˆ 1 ˆ

₀

2

  

 n n

T Σ

Σ

O seguinte resultado pode ser demonstrado:

Inferência sobre um Vetor de Médias

  ^{μ Σ}

Y Y

Y

₁

,

₂

,...,

_n

~ N

_p

;

Regiões de Confiança Multivariada para o Vetor de Parâmetros 

  ^



 μ 

₁

, 

₂

,..., 

_p

    ^ _ ^ _

,( )

^{  }

2

1

1

p n

F

p

p n

p c n

n

^ _



 



 

 μ S Y μ Y

R(Y): Região de confiança a 100(1-)% para o vetor de médias de uma distribuição Normal p-dimensional  é o conjunto determinado por todos os pontos  que satisfazem:

Estes elipsóides estão centrados em  e os seus eixos estão na direção dos autovetores de S e seus comprimentos são proporcionais à raiz quadrada dos autovalores de S .

Deste modo, os elipsóides têm eixos , onde , j=1,…,p.  c 

_j

P

_kj

j j

j

P

P

S  

Inferência sobre um Vetor de Médias

Regiões de Confiança Multivariada para o Vetor de Parâmetros 

      ^ _ ^ _ ^{ }

 



 





 



 









^p

;

^{1 2}

¹ F

_p,(np)



p n

p c n

n

R Y μ Y μ S Y μ

Para determinar se algum ponto 

₀

cai na região R(Y) basta calcular a distância generalizada ao quadrado e compará-la com o valor crítico dado em função da distribuição F e do nível de significância , isto é,

    ^ _ ^ _

,( )

^{  }

2

0 1

0

1

p n

F

p

p n

p c n

n

^ _



 



 

 μ S Y μ Y

 Logo, a região R(Y) consiste de todos os pontos 

₀

para os quais a

estatística de teste T2 não deve rejeitar H0 em favor de H1 a um

nível de significância .

Indiv. Açucar Sódio Potássio

1 3,7 48,5 9,3

2 5,7 65,1 8

3 3,8 47,2 10,9

4 3,2 53,2 12

5 3,1 55,5 9,7

6 4,6 36,1 7,9

7 2,4 24,8 14

8 7,2 33,1 7,6

9 6,7 47,4 8,5

10 5,4 54,1 11,3

11 3,9 36,9 12,7

12 4,5 58,8 12,3

13 3,5 27,8 9,8

14 4,5 40,2 8,4

15 1,5 13,5 10,1

16 8,5 56,4 7,1

17 4,5 71,6 8,2

18 6,5 52,8 10,9

19 4,1 44,1 11,2

20 5,5 40,9 9,4

Média 4,64 45,4 9,97

S 2,879

10,002 199,798

-1,81 -5,627 3,628

Inferência sobre um Vetor de Médias

 

0 1

0 0

:

10 , 50 , 4 :

μ μ

μ μ

 



  H

H

Taxas de açucar, sódio e potássio sangüíneas em 20 mulheres adultas

  

0

 ^{9 , 74}

1 0

2

 n Y  μ  S

^

Y  μ 

T

      ^ _ ^ _ ^{ }

 



 





 

 





^1 _3,(17)



3 20

1

; 20 p F

n

R Y μ Y μ S Y μ

72 , 10 05

, 0

18 , 8 10

, 0













Conclusão: ?

Inferência sobre Componentes do Vetor de Médias

Comparações Simultâneas de Componentes do Vetor de Médias 

n j

Y l Y

l Y l l

Z

_j

  Y

_j



_{1 1j}



_{2 2j}

 ... 

_{p pj}

 1 , 2 ,...,

  ^{μ Σ}

Y Y

Y

₁

,

₂

,...,

_n

~ N

_p

; ^ μ ^  

₁

, 

₂

,..., 

p

 ^

Considere combinações lineares das p variáveis:

 l l l 

N l

Z

iid j

j

  Y ~

₁

 μ ;  Σ

Y l

Z   s

_Z²

 l  S l

 



 

 

 

 

 

_{ }

n l t l

n l l t l

l

_{n n}

S

S Y

Y

₁

(  / 2 ) ;

₁

(  / 2 )

  _ ^





 



  





_{ }

n t s

n t s

l 0 , 0 ,..., 1 ,..., 0 , 0 

_{k n 1}

(  / 2 )

^kk

; 

_{k n 1}

(  / 2 )

^kk

posição k

Intervalos de confiança a 100(1-)% para cada média

 qual o nível de confiança global ?

limitação

Inferência sobre Componentes do Vetor de Médias

Comparações Simultâneas de Componentes do Vetor de Medias  Intervalos de confiança Simultâneos com coeficiente de

confiança “coletivo” 100(1-)%:

 ^{μ Σ} 

Y Y

Y

₁

,

₂

,..., ~

_p

;

iid

n

N

pj p j

j j

j

l l Y l Y l Y

Z   Y 

_{1 1}



_{2 2}

 ...  Z l N  l l l 

iid j

j

  Y ~

₁

 μ ;  Σ

 

     

    _





 

 



 

 



 

 

_{ }

n l F l

p n

p l n

n l F l

p n

p

l n

_{p n p p n p}

S

S Y

Y 1

_{,( )}

 ; ¹

_{,( )}



Para garantir um nível coletivo igual a (1-), os intervalos

simultâneos são mais largos que os individuais.

Inferência sobre Componentes do Vetor de Médias

     

     

    _





 

 



 

 



 

 

 

_{ }

n l F l

p n

p l n

n l F l

p n

p l n

l C

I

_{p n p p n p}

S

S Y

Y  



 1

_{,( )}

; ¹

_{,( )}

% 1

100 a .

.

Para grandes tamanhos amostrais

       

 



 

    



 R Y μ ; n Y μ S

^1

Y μ 

²_p



   ^l   ^{l l n l}   ^{l l n} 

S C

I . . . a 100 1  %   Y 

_p²

 S / ;  Y 

_p²

 S /

     

      ^ _ ^ _ ^{ }

 



 





 



 









^p

;

^{1 2}

¹ F

_p,(np)



p n

p c n

n

R Y μ Y μ S Y μ

Inferência sobre Componentes do Vetor de Médias

Comparações Simultâneas de Componentes do Vetor de Médias 

 

     

    _





 

 



 

 



 

 

_{ }

n l F l

p n

p l n

n l F l

p n

p

l n

_{p n p p n p}

S

S Y

Y 1

_{,( )}

 ; ¹

_{,( )}



   

     

    _





 





 



 

 



_{ }

n F s

p n

p Y n

n F s

p n

p Y n

l

_k

1

_{p,(n p)}



^kk

;

_k

¹

_{p,(n p)}



^kk

0

..., 0 , 1 , 0 ,..., 0

Para a variável k  adotar a combinação canônica:

Comparações entre Médias das variáveis: (quando há interesse!):

  ^ _ ^ _ ^{ }   ^ _ ^ _ ^{ } _





 

  



 

 





 





_{ } ^{  } _{ } ^{ }

n s s

F s p n

p Y n

n Y s s

F s p n

p Y n

Y

_{k k p n p} ^{kk kk kk} _{k k}

1

_{p n p} ^kk

2

^{kk kk}

2 ; 1

) ( , )

(

,

 

Incorpora informação das covariâncias

Indiv. Açucar Sódio Potássio

1 3,7 48,5 9,3

2 5,7 65,1 8

3 3,8 47,2 10,9

4 3,2 53,2 12

5 3,1 55,5 9,7

6 4,6 36,1 7,9

7 2,4 24,8 14

8 7,2 33,1 7,6

9 6,7 47,4 8,5

10 5,4 54,1 11,3

11 3,9 36,9 12,7

12 4,5 58,8 12,3

13 3,5 27,8 9,8

14 4,5 40,2 8,4

15 1,5 13,5 10,1

16 8,5 56,4 7,1

17 4,5 71,6 8,2

18 6,5 52,8 10,9

19 4,1 44,1 11,2

20 5,5 40,9 9,4

Média 4,64 45,4 9,97

S 2,879

10,002 199,798

-1,81 -5,627 3,628

Inferência sobre um Vetor de Médias

Taxas de açucar, sódio e potássio sangüíneas em 20 mulheres adultas

      ^ _ ^ _ ^{ }

 



 





 

 





^1 _3,(17)



3 20

1

; 20 p F

n

R Y μ Y μ S Y μ

72 , 10 05

, 0 18

, 8 10

,

0   

 



    _ ^





 



  



_

20 17

3

*

; 19 20 17

3

* 19

) 3 20 ( , 3 17

, 3

kk k

kk k

F s s Y

F

Y  

 

0 1

0 0

:

10 , 50 , 4 :

μ μ

μ μ

 



  H

H

  

0

 ^{9 , 74}

1 0

2

 n Y  μ  S

^

Y  μ 

T

Calcule os intervalos de confiança

simultâneos a 100(1-)% para cada média:

Indiv. Açucar Sódio Potássio

1 3,7 48,5 9,3

2 5,7 65,1 8

3 3,8 47,2 10,9

4 3,2 53,2 12

5 3,1 55,5 9,7

6 4,6 36,1 7,9

7 2,4 24,8 14

8 7,2 33,1 7,6

9 6,7 47,4 8,5

10 5,4 54,1 11,3

11 3,9 36,9 12,7

12 4,5 58,8 12,3

13 3,5 27,8 9,8

14 4,5 40,2 8,4

15 1,5 13,5 10,1

16 8,5 56,4 7,1

17 4,5 71,6 8,2

18 6,5 52,8 10,9

19 4,1 44,1 11,2

20 5,5 40,9 9,4

Média 4,64 45,4 9,97

S 2,879

10,002 199,798

-1,81 -5,627 3,628

Inferência sobre um Vetor de Médias

Taxas de açucar, sódio e potássio sangüíneas em 20 mulheres adultas

 3 , 56 ; 5 , 73 

20 879 , 18 2 , 8 64 ,

4  



 36 , 36 ; 54 , 40 

20 798 , 18 199 , 8 4 ,

45  



 8 , 75 ; 11 , 19 

20 628 , 18 3 , 8 97 ,

9  



Intervalos de confiança simultâneos a 90%:

Para Sódio Para Potássio Para Açucar

Conclusão: As médias não diferem dos valores de referência mas, existe alguma combinação linear entre as médias que difere

significativamente (10%) do correspondente

valor de referência  contudo para estes dados

não há interesse em comparar tais medidas!

Inferência sobre um Vetor de Médias

Intervalos de Confiança Univariados e Simultâneos

      _





 

  



_{ }

n t s

n Y t s

Y C

I . 

_k

a 100(1 -  )%

_{k n 1}

 / 2

^kk

;

_{k n 1}

 / 2

^kk



_k

s   

^p

P    

 todos os p intervalos conterem os ' 1 Sob independência

     

     

    _





 





 



 





_{ }

n F s

p n

p Y n

n F s

p n

p Y n

S C

I 

_k



_k

1

_{p,(n p)}



^kk

;

_k

¹

_{p,(n p)}



^kk

% 1

100 a .

.

 1     0 , 95 , p  4 , n  15  ConfiançaC oletiva   0 , 95 

⁴

 0 , 81 t

₁₄

  / 2   2 , 145

Nível coletivo igual a (1-)  intervalos simultâneos são mais largos que os individuais:

     

% 145 93

, 2

145 , 2 14 , 100 4 14

, ) 4

(

) 1 4 (

, 15 ,

95 , 0

1

_,

   



 







  F

_{p np}



p n

p p n

n

mais largos

Inferência sobre um Vetor de Médias

O Método de Bonferroni para Comparações Múltiplas Probabilidade de erro total

para Múltiplos Testes (sob independência)  

₁

+ 

₂

+…+ 

_p

= p 

    _ ^





 



 

_



_

n p s

t n Y

p s t

Y

_{1 n 1}

 / 2

¹¹

;

_{1 n 1}

 / 2

¹¹

    _ ^





 



 

_



_

n p s

t n Y

p s t

Y

_{2 n 1}

 / 2

²²

;

_{2 n 1}

 / 2

²²

    _ ^





 



 

_



_

n p s

t n Y

p s t

Y

_{p n 1}

 / 2

^pp

;

_{p n 1}

 / 2

^pp

… …

O critério de Bonferroni para correção de múltiplos testes é

conservador

Bastante utilizado para

comparações de subconjuntos de médias (m<p)

  /2m

Intervalos e Regiões de Confiança

Intervalos de Confiança Univariados e Simultâneos

Everitt, 2002

Y1 Y2

P

Q

 Comente as vantagens de análises multivariadas.

 Comente as decisões tomadas para os pontos P e Q sob análises univariadas e multivariadas. Justifique.

 

  _ ^





 



 

_

n t s

Y C I

kk n

k k

2 /

)%

- 100(1

a .

1









   

 

    _ ^





 







 





n

F s p n

p Y n

S C I

kk p

n p k

k







) ( ,

1

% 1

100 a .

.



 ^{Y  μ}  ^{ S}  ^{Y  μ} 



^1

2

n

T

Inferência sobre um Vetor de Médias

Aptidão Musical Média d.p.

Y1: Melodia 28,1 5,76

Y2: Harmonia 26,6 5,85

Y3: Tempo 35,4 3,82

Y4: Métrica 34,2 5,12

Y5: Verbalização 23,6 3,76

Y6: Balanço 22 3,93

Y7: Estilo 22,7 4,03

Score

Um educador em Música testou 96 estudantes Finlandeses quanto às suas habilidades na música nativa. A média e desvio padrão dos

escores obtidos estão apresentados na tabela a seguir.

 Construa intervalos de confiança para os verdadeiros escores médios de cada tipo de aptidão  considere os intervalos univariados e os intervalos simultâneos.

Comente sobre os níveis de confiança coletivos em cada caso.

Aptidão Musical Média d.p. L.I. L.S.

Y1: Melodia 28,1 5,76 26,06 30,14

Y2: Harmonia 26,6 5,85 24,53 28,67

Y3: Tempo 35,4 3,82 34,05 36,75

Y4: Métrica 34,2 5,12 32,39 36,01

Y5: Verbalização 23,6 3,76 22,27 24,93

Y6: Balanço 22 3,93 20,61 23,39

Y7: Estilo 22,7 4,03 21,27 24,13

Score I.C. Simultâneo

Inferência sobre um Vetor de Médias

Para grandes tamanhos amostrais:

   

 ^{l l l n l l l n} 

S C

I . . . a 90 %   Y 

_p²

0 , 10  S / ;  Y 

_p²

0 , 10  S /

  

 O vetor de aptidões médias de um certo grupo de estudantes é:

(31, 27, 34, 31, 23, 22, 22). Há evidência de que trata-se de

estudantes Finlandeses?

Inferência sobre Vetores de Médias de Duas Populações

Generalizar os resultados do Caso Univariado para o Multivariado Caso Univariado: Apresente exemplos para as duas situações.

Comparações Pareadas:

Comparações Independentes:

 ^Y

₁j

; ^Y

₂j

 ^j  1 , 2 ,..., ⁿ

  ^{j n}

N Y

Y

D

_j



_1j



_2j

~

_D



₁



₂

;

_D²

 1 , 2 ,...,

    

1

0

~

/ 0

:   

_



_n

D

D

t

n s

t D

H 

 

21 22 2 1



2 2²



2 1 1 1 1

12

11

, ,..., ~ ; , ,..., ~ ;

2

1

N   Y Y Y N  

Y Y

Y

_{n n}

 

2

2 1

2 2 1

2 2

1

0

~

_{1 2}

1 1

; 0

:

_{ }



 









_{n n}

c

D

t

n s n

Y t Y

H   

Inferência sobre Vetores de Médias de Duas Populações

Caso Multivariado

Comparações Pareadas  respostas multivariadas são avaliadas na mesma unidade amostral nas “duas” condições (lembre da situação Antes e Depois)

 ^Y

j

^Y

j

^Y

jp



j

 ^Y

j

^Y

j

^Y

jp

 ^{j n}

j _{1 1}

,

_{1 2}

,...,

_{1 2 2 1}

,

_{2 2}

,...,

₂

1 , 2 ,...,

1

 Y  

Y

 ^{D D D}  ^{N   j n}

Y Y

D

_jk



_1jk



_2jk



_j



_j1

,

_j2

,...,

_jp

 ~

_p

,

_D

 1 , 2 ,...,

 D δ Σ

 

_D

  ^F

_{p n p}

p n

p n n

T

H

^ _



 

 







₀ ² ₀ ¹ _{0 ,}

0

( )

) 1

~ (

: δ δ D δ S D δ

   

n F S

p n

p D n

S C

I 

_k



_{k p,(n p)}



^Dkk

) (

) 1 )% (

1 ( 100 a .

.

_



 







   

n m S

t D C

I . 

_k

a 100 ( 1   )% 

_k



_n1

 / 2

^Dkk



Intervalo de Confiança Simultâneo Intervalo de Confiança com

correção de Bonferroni

Comparações Pareadas Multivariadas

X11 X12 X21 X22

10 80 13 90

11 80 15 92

9 60 16 88

8 60 19 90

Antes Depois

Produção leiteira média por animal (X1) e renda total diária de leite nas situações Antes e Depois do plano governamental “Panela Cheia”.

Dados de 4 fazendas do oeste Paulista.

 Teste a hipótese de que o plano foi ineficiente em aumentar a média dos dois índices zootécnicos

 Calcule também os intervalos de confiança simultâneos e de Bonferroni.

 Comente sobre o tamanho amostral e graus de liberdade.

Comparações Pareadas Multivariadas

X11 X12 X21 X22

10 80 13 90

11 80 15 92

9 60 16 88

8 60 19 90

Antes Depois

12,92 34,67 34,67 109,33 S

_D

=

0,520 -0,165 -0,165 0,061 S

_D^-1

=

 

 







 

20 25 , 6

2 1

D D D

    ^{4 ( 3 , 663 ) 14 , 652 0 , 1699}

0

:

^{2 1}

0

  T  n 

^

   p 

H δ D S

_D

D ^{Concl ?}

 

 19 , 45 ; 59 , 45 

45 , 39 20

4 / 23 , 109 ) 19 ( 3 20

82 , 19

; 32 , 7 57

, 13 25

, 6 4 / 92 , 12 ) 19 ( 3 25

, 6





















   

n F S

p n

p D n

S C

I

_{k k p n p}

0 , 05

^Dkk

) (

) 1

% ( 95 a .

.

_{,( )}





 



 

_



Variável 1:

Variável 2:

Concl ?

Comparações Pareadas Multivariadas

X11 X12 X21 X22

10 80 13 90

11 80 15 92

9 60 16 88

8 60 19 90

Antes Depois

12,92 34,67 34,67 109,33 S

_D

=

0,520 -0,165 -0,165 0,061 S

_D^-1

=

 

 







 

20 25 , 6

2 1

D D D

 

 ^{1 , 84 ; 41 , 84} 

84 , 21 20

) 4 / 23 , 109 ( 18 , 4 20

76 , 13

; 26 , 1 51

, 7 25 , 6 ) 4 / 92 , 12 ( 18 , 4 25 , 6





















Variável 1:

Variável 2:

Concl ?

   

n t S

D B

C

I . . .

_k

a 95 % 

_k



_n1

0 , 05 / 2 * 2

^Dkk

 