x  5log13  54

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Lista de equações e problemas com Logaritmos - GABARITO 1) (Cesgranrio) Se log10123 = 2,09 calcule o valor de log101,23 é:

Solução. Desenvolvendo o logaritmo pedido e aplicando as propriedades, vem:

09 , 0 ) 1 ( 2 09 , 2 10 log 2 09 , 2 10 log 09 , 2 100 log 123 100 log

log 123 23 , 1

log₁₀  ₁₀  ₁₀  ₁₀   ₁₀ ²   ₁₀   

2) (Unifor-CE) Se log 2 = 0,30 calcule o valor real de x que satisfaz a sentença 4^3x1 5^2x1 Solução. As bases são diferentes não permitindo igualar os expoentes.

i) Aplicando a definição de logaritmo em relação ao 1º membro da equação vem: 3x1log₄5^2x1. ii) Pela propriedade da potência a expressão temos: 3x1(2x1)log₄5

iii) Escrevendo o logaritmo na base 10 vem: log22

) 2 / 10 ).log(

1 2 ( 1 4 3

log 5 ).log 1 2 ( 1

3x  x  x  x

iv) Aplicando as propriedades e resolvendo a equação vem:

25 , 4 0 , 0

1 , 1 0

, 0 4 , 0 7 , 0 4 , 1 6 , 0 8 , 6 1 , 0

7 , ).0 1 2 ( 1 3

) 30 , 0 ( 2

30 , 0 ).1 1 2 ( 1 2 3

log 2

2 log 10 ).log 1 2 ( 1 2 3

log ) 2 / 10 ).log(

1 2 ( 1

3 ₂



























 







 















x x

x x

x x

x x

x x

x x

3) Resolva, em IR, as equações.

a) log₂(x4)5log₂ x b) log₂ xlog₄ x4 c) log₄(x3)log₄(2x)1

Solução. Em cada caso, é necessário delimitar as condições de existência dos logaritmos e verificar a validade do valor de “x”.

a)

} 4 . {

4 0 0 8

)4 )(

8 ( 0 32 4

2 )4 ( 5 )4 ( log 5 log )4 ( log log

5 )4 ( log

0 4

0 4 : log

5 )4 ( log

2

5 2

2 2

2 2

2 2



 

 











 

































































ok S x

satisfaz não

x x x x

x

x x x

x x

x x

x

x e x

x Condições x

x

b)

 

³

23

3 8

3 / 8 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

4 2

4 2

4 . 4 4

. 2 2

3 2 log 8 8 log 3 8 log log

2 2 4

log log

2 4 log 2 log log 2 4

log log log

4 4 log log log

4 log log

0 : 4

log log





































































S x

x

x x

x x

x x x

x x x x

x x x

x

x Condição x

x

c)

} 2

;1 2 {

0 1 ) 2 )(

1(

0 2 0

4 6 1

) 2 )(

3 ( log 1 ) 2 ( log )3 ( log

2 0

2 3 0

3 : 1

) 2 ( log )3 ( log

2 2

4 4

4

4 4





 

 









 













































































ok S x

ok x x

x

x x x

x x

x x

x

x x

e x

x Condição x

x

4) (UF-SE) Encontre o conjunto de valores reais x satisfazem o sistema

 

 









0 )2 ( log

125 25 1

2 1

x

x

.

Solução. O valore de “x” além de satisfazer a condição de existência deve ser solução de ambas as equações. Pela 2ª equação, x > – 2.

2 [1 ] 3 1

2 3 1 ;2

12 1log )2(

log 0)2 (log

2 3 3 2)1 (

125 55 25 1

2 1 2

1 2

1

3 2



 

 





 

 



 



























 ^

S x x x x x x

x

x x

x base

x

5) Encontre os valores de x que satisfazem logxlog(x5)log36. Solução. As condições de existência são: x > 0 e x > 5.

}9 0 {

4 0 9

)4 )(

9 (

0 36 5 36

5 36

log )5 ( log 36 log )5 log(

log

^{2 2}



 

 









 



































satisfaz S não

x

ok x x

x

x x x

x x

x x

x

6) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010).

Solução. Um capital C aplicado com uma taxa de juros compostos de i rende após um tempo n gera um montante calculado pela fórmula: M C(1i)ⁿ. Se o montante esperado é o dobro do capital inicial então seu valor será M = 2C. Substituindo na fórmula e desenvolvendo, temos:

0086 35 , 0

3010 , 0 02 , 1 log

2 2 log

log )

02 , 0 1 ( 2 ) 02 , 0 1 ( 2 ) 1

(          _1,02    

C i C C n n

M ^{n n n}

Logo, o capital dobra após 35 meses.

7) (Cesgranrio) O pH de uma solução é definido por pH = log(1/H⁺) onde H⁺ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Calcule o pH de uma solução tal que H⁺ = 1,0 × 10^-8 .

Solução. Substituindo o valor indicado e aplicando as propriedades, vem:

8 ) 1 ( 8 10 log ).

8 ( 0 10 log 1 10 log

0 , 1 log 1

log 1 ₈   ⁸     

 

 _{ } ^

pH H

8) (UERJ-2010) A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa de laranja apresenta pH = 2,3. Considerando log 2 = 0,3 calcule a concentração de íons hidrogênio nessa amostra, em mol.L^-1.

Solução. O cálculo será o inverso do exercício anterior.

005 200 ,0

200 1 1

)2 ).(

100 ( 10.

1 10 10

2 3,0 2 log

1 10 1 10

1 3,2 log

3,2

_{2 3,0}

3,0

3,0 2 3,2

















 



 















 



 



 



















H H H

H H H

pH H

9) (PEB II) O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pela média aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do PIB em dólares. Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível analisar a qualidade de vida e o desenvolvimento humano no planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através da seguinte fórmula mostrada, onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o valor máximo de renda per capita no mundo.

Calcule aproximadamente o PIB per capta de um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79.

Índice do PIB = log(PIB per capita) – log 100 log 40000 – log 100

Solução. Substituindo o valor fornecido e resolvendo a equação, temos:

dólares PIB

PIB PIB

PIB

PIB PIB PIB

PIB PIB

Índice PIB

capta per

capta per capta

per capta

per

capta per capta

per capta

per

capta per capta

per capta

per PIB

11200

10 054

, 4 log

2 054 , 2 log

2 log

) 79 , 0 ).(

6 , 2 2 (

) 3 , 0 .(

2

2 79 log

, 10 0

log 2 log

2 79 log

, 0

400 log

2 79 log

, 0 100

40000 log

10 log 79 log

, 100 0

log 40000 log

100 log log

054 , 4 2

2

2

























 

 

 

 



 



 



 

 

10) O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca de 10 ^-12 w/m² (que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m² (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por 



 



  _12

10.log 10

G I

, onde I é a intensidade do som.

a) Calcule nessa escala, o limiar de audição. b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa.

Solução. Substituindo os valores em cada caso, temos:

a)

   

decibéis G

G G

I G G

I

0 1 log .10

10 log .10 10.

10 log 10 .10

log 10 .10 log 10

.10 10

0 12

12 12

12

12 12













 



 



 

 



 



 

 



 













b)

  ^{ }

decibéis G

G G

I G G

dolorosa I

120

10 log )12 ).(

10(

10 log 10 .10

log. 1 10 log. 10

10

) (

1

12 12

12











 



 



 

 

 



 

 



 









11) (FESP) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 500(2)^0,75p, onde p é o período em dias. Calcule o valor de p no qual o número de formigas chegará a 256.000.

Solução. Igualando o número de formigas desejado a expressão da função, temos:

dias p

p p f

p

f ^p _{p p p p}

75, 12 0 9 9 75, 0

2 2 512 500 2

256000 2

256000 2.

256000 500 )(

2.

500

)( ^{0 75,} _{0 75, 0 75, 0 75, 0 75, 9}



























 

 



