Função de Transferência

Função de Transferência

Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS 1

Prof^aNinoska Bojorge

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF

Função de Transferência

1. Introdução Definição

Sumário

Definição Vantagens Propriedades

Ganho da Função de Transferência Exemplos de Entradas

2. Função de transferência de Primeira Ordem

3. Resposta de Unidades de Processo de Integração 3. Resposta de Unidades de Processo de Integração 4. Resposta de Sistemas de Segunda Ordem

Transformada de Laplace

Relembrando Técnicas de Expansão Parcial

Caso I: Todos os polos, pi são distintos e real

) (

)

)

(

(

s D

s N

i

i s p

−

=

+

α =

L

) (s D

pi

s=−

t p n t

p t

p _n

e e

e t

f ^{( )} = α

+ α

+ ^... + α

L

Transformada de Laplace

Relembrando Técnicas de Expansão Parcial

Caso II: Algumas raízes são repetidos

 

 



 +

−

=

− =

) (

) ) (

)

(

( ) (

! 1

s D

s p N

ds s

d

i i i

p s i

αr ( i = 0, .. , r-1)

L

L

pt r r

pt

pt t e

e r e

t

f ^{− − − −}

+ − + +

= _{1 2} ¹

)!

1 ... (

)

(

α α α

Transformada de Laplace

Relembrando Técnicas de Expansão Parcial

Caso III: Algumas raízes são complexas

2 1 2

2 1 2

2 2

1 1

) (

) (

) (

) (

) (

ω β ω

α ω ω β ω α

+ + +

+ +

= + +

+

+ +

b s b

s

b s b

s

b s

Cada fatores repetidos devem ser separados em primeiro lugar. Logo,

−

=

= ω

onde:

L

:

t sen e

t e

t

f ( ) ⁼

α

ω

β

ω 4 / ,

2

/

1

d d

d

b = ω = −

ω α

β

α

= ^c

^,

= ^{( c}

−

^{b ) /}

Função de Transferência

A dinâmica de processos tem como objetivo avaliar o comportamento do processo durante variações nas suas entradas (alimentação ou carga) do processo.

Várias plantas industriais são bem representadas por funções de transferência (modelos matemáticos) de primeira ou segunda ordem.

Os sinais podem ser representados utilizando:

Variáveis contínuas ou discretas.

As funções de transferência através das

As funções de transferência através das

transformadas de Laplace e transformada z.

Função de Transferência

Uma função de transferência é um modelo matemático que através de um cociente que relaciona a resposta de um sistema (Y(s ) ) a uma sinal de entrada ou excitação (U(s)).

(U(s)).

Por definição uma função de transferência se pode determinar segundo a expressão:

onde:

G (s) é a função de transferência (também denotada como H (s) ); Y (s) é a transformada de Laplace da resposta do processo e

U (s) é a transformada de Laplace da sinal de entrada ao processo.

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8

•

Se usa extensivamente na análise e projeto de sistemas lineais invariantes no tempo.

A função de transferencia de um sistema:

Função de Transferência

lineais invariantes no tempo.

•

É um modelo matemático do sistema, no sentido de que expressa a equação diferencial que relaciona a variável de saída com respeito às variáveis de entrada.

•

É uma propriedade do sistema, completamente independente do sinal de entrada.

•

Relaciona as variáveis de entrada e de saída, mas não

proporciona informação sobre a estrutura física do

sistema.

9

•

Pode definir-se também como a transformada de Laplace da resposta ao impulso do sistema.

A função de transferência de um sistema:

Função de Transferência

•

Se a função de transferência de um sistema é conhecida, pode estudar-se o comportamento do sistema para

diferentes funções de entrada.

Entradas

Saídas

Perturbações

VM VP

PROCESSO

Saídas

U(s) PROCESSO Y(s) ou X(s) G(s)

) (

) ) (

( U s

s s Y

G =

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Função de Transferência

Para encontrar a função de transferência, vamos : 1) Encontrar o ponto de operação (ou de equilíbrio), 2) Se o sistema não for linear, então se vai linearizar 2) Se o sistema não for linear, então se vai linearizar

em torno ao ponto de equilíbrio, 3) Introduzir variáveis de desvio,

4) Aplicar transformada de Laplace e resolver para a saída,

5) Aplicar a transformada Inversa de Laplace e

recuperar as variáveis originais das variáveis de

desvio.

Função de Transferência

A FT é uma expressão algébrica para a relação dinâmica entre a entrada e a saída do modelo de processo

1 ) 0 (

; 4

5 + y =u y =

dt Exemplo: dy

dt





 =

  + 











 ^{^} _{^ ^}

4

5 L y L u

dt y L d

4 1

^

^ = y− e u = u − y

seja

U(s) _{Função de} /fu Y(s) transferência

transformando:

[

( )

]

5 sY s − y + Y s =U s )

( )

( ) 4 5

( s+ Y s =U s ) 4 5 (

1 )

( ) (

= + s s

U s Y

) 1 25 . 1 (

25 . 0

= +

s

/fu

G

transferência

) (s

= G

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Uma vez conhecida a FT, a resposta de saída para várias entradas pode ser obtido facilmente.

Vantagens da Função de Transferência

[ ] ^{( )} [ ^{( ) ( )} ] [ ^{( )} ] [ ^{( )} ]

)

( t L

Y s L

G s U s L

G s L

U s

y =

=

≠

Sistema interligado podem ser analisadas facilmente. Por álgebra de diagrama de blocos;

Analisar facilmente o comportamento qualitativo de um processo,

) ( ) ( ) ( 1

) ( ) ( )

( ) (

3 2

1

2 1

s G s G s G

s G s G s

U s Y

= +

G1 G₂ G3

u y

-

Analisar facilmente o comportamento qualitativo de um processo, tal como a estabilidade, velocidade de resposta, oscilação, etc.

Ao inspecionar "polos" e "zeros"

Polos: todas raízes satisfazendo, D (s) = 0 Zeros: todas raízes satisfazendo, N (s) = 0

13

Propriedade Aditiva

Propriedades da Função de Transferência

) ( ) ( )

( ) (

) ( )

( )

(

2 2

1 1

2 1

s x s G s x s G

s Y s Y s Y

+

=

+

= ^G1

x₁(s)

y(s) x₂(s)

y₁(s)

y₂(s)

G2

Realizabilidade física Propriedade Multiplicativa

2

G1

x₁(s) x₂(s) x₃(s)

G2

[

]

) (

) ( ) ( )

(

1 1

2 1

1 2

2 2

3

s X s G s G s

x s G s G

s X s G s

X

=

=

=

-

- A ordem da derivada para a entrada for mais elevada do que a da saída.

(requer futuros valores de entrada para corrente de saída)

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Degrau: ocorre uma variação abrupta da entrada. Pode ser executada na prática. Por exemplo, uma variação degrau em uma vazão

volumétrica pode ser obtida pela abertura brusca de uma válvula.

Tipos de Entradas

Impulso: é uma variação abrupta da entrada, entretanto de curtíssima

14

Impulso: é uma variação abrupta da entrada, entretanto de curtíssima duração (instantânea). Perturbação ideal.

Pulso: é uma variação na entrada, de duração finita (instantânea).

Pode ser executada na prática. Utilizada em identificação de sistemas.

Rampa: a entrada varia linearmente com o tempo.

s s M

X_s( ) = _{( ) (1 exp( t s))}

s s h

X_RP = − −_w ( ) ₂

s s a X_R = 1

) (s = X_impulse

Ganho do processo

Ganho em estado estacionário: A relação entre as mudanças finais na entrada e saída.

15

( )

(

)

K Ganho

−

∞

−

= ∞

=

Para uma mudança degrau unitário na entrada, o ganho é a mudança na saída,

Ganho não podem ser definidos: por exemplo, processos de integração e processos com oscilação constante na saída

A partir do teorema do valor final, para uma variação degrau na entrada com condição inicial de zero tem se:

(

)

1 )

( y ∞

) ( 1 lim

) ( lim )

( 1 lim

) (

0 0

0 G s

s s sG s

y sY

K = ∞ = s→ = s→ ⋅ = s→

( )

) ( ) ( ) ( )

(s G s U s G s L t G s

Y = ⋅ = δ =

A resposta para a mesma função de transferência para um impulso na entrada, será

Profa. NinoskaBojorge - TEQ/UFF

16

Qualquer descrição de um processo pode ser considerada como seu modelo;

Modelos do Processo

Função de Transferência

como seu modelo;

Em termos de propósitos de controle, o modelo deve conter informações que permitam predizer as consequências das mudanças das condições operacionais dos processos;

dos processos;

Um modelo pode ser desde uma descrição matemática ou

até qualitativa do comportamento de um processo.

Uma das técnicas mais simples para modelar a dinâmica do escoamento de líquidos em tubos e tanques é através da associação com circuitos elétricos:

Modelos de Processos

1)

Resistência Fluídica

resistência elétrica

2)

Capacitância Fluídica

capacitância elétrica

3)

Variação de Pressão

tensão elétrica

4)

Fluxo

corrente elétrica

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Resistência fluídica – é a resistência a passagem de líquido

através de um tubo ou restrição sendo definida por

Modelos de Processos

R = variação de pressão variação de fluxo

Q1 = Q2 = Q

Q1 Q2

P1 PP1 1 > > PP22 PP22

A relação entre a variação de pressão e a variação de fluxo difere para escoamentos laminares e turbulentos

Modelos de Processos

19

Resistência fluídica – também definida em termo da dife-

rencia de alturas de colunas de água em tanques acoplados, pois a pressão na saída do tanque é proporcional a altura da coluna de líquido.

Modelos de Processos

coluna de líquido.

Profa. Ninoska Bojorge - TEQ/UFF

Por simplicidade suporemos que a diferença de pressão é causada pela diferença das colunas de líquidos nos dois tanques.

Modelos de Processos

20

Desta forma, pode-se redefinir a resistência pela relação:

dQ R = dH

Quando o escoamento é laminar, a relação em regime permanente entre H e Q é linear:

R K KH

dQ Q

R dH 1

, ₁

1 = = ⇒ =

onde K é um coeficiente em m²/s que depende das dimensões da tubulação.

Função de Transferência de Primeira Ordem

- Modelo de Primeira Ordem

21

u(t)

qi : vazão volumétrica de entrada;

q : vazão volumétrica de saída;

A : área de seção transversal do tanque;

ρ

h(t)

qi

A q

ρ : densidade do líquido;

R : resistência à passagem do fluxo de saída devido à força de atrito na tubulação de saída;

h : nível de líquido no tanque (variável de saída do processo), aquela que temos o interesse em controlar.

Esquema de um tanque de fluxo por gravidade R

Aplicando Leis de Conservação e de relações constitutivas:

dt t t dh A t

t q t t

q_{i i} ( )

) ( )

( ).

( ) ( ).

( ρ − ρ = ρ

Aplicando Leis de Conservação e de relações constitutivas:

R t t h

q ( )

) ( =

(1)

(2)

Profa. Ninoska Bojorge - TEQ/UFF

22

Subst. (2) em (1) e reordenando:

Função de Transferência de Primeira Ordem

- Modelo de Primeira Ordem... cont.

) ( ).

( )

( ). ( ) ) (

( dh t h t t q t t

t

Aρ + ρ = ρ

u(t)

) ( )

) (

( h t Rq t

dt t

RAdh + = _i

Esquema de um tanque de fluxo por gravidade L

) ( ).

( )

( ). ( ) ) (

( t q t t

R t h dt

t t dh

Aρ + ρ = _i ρ_i

h(t)

qi

A ^R q

) . (

. ) 1

( q s

s A R s R

h _i

= +

L^-1 τ

) 1

( )

(t Rq_i e ^t/τ

h = − ⁻

23

) 1

( )

(t Rq_i e ^t/τ

h = − ⁻

Função de Transferência de Primeira Ordem

- Modelo de Primeira Ordem... cont.

u(t)

) 1

( )

(t Rq_i e ^t/τ

h = − ⁻

h(t)

Esquema de um tanque de fluxo por gravidade

h(t)

qi

A ^R q

Resposta a degrau para um sistema de 1ª ordem

Profa. Ninoska Bojorge - TEQ/UFF

- Forma Geral de uma Função de Transferência de Primeira Ordem )

1 . 5 1 (

) (

) (

= + s

K s

X s Y

τ

Função de Transferência de Primeira Ordem

onde K é o ganho estático o processo e

τ

Encontrar Y(s) e y(t) para alguma entrada particular X(s)?

1. Resposta degrau.

1 )

(s s+

X τ

) 2 . 5 ( )

( M

s

X( ) = (5.2)

s s

X =

) 3 . 5 1 (

)

( s

M s

s K

Y ⋅

= + τ

) 4 . 5 ( ))

exp(

1 ( )

(^{t KM t} τ

y = − −

Resposta ao Degrau

t y/KM = 1 – e ^-t/τ

0 0

τ 0,6321

2τ 0,8647

Resposta de sistema de 1ª ordem a entrada degrau

Uma característica de sistema de primeira ordem é que não responde instantaneamente a uma súbita mudança na sua entrada e depois de um intervalo de tempo igual à constante de tempo do processo (τ), a resposta do processo é apenas 63,2% da variação total.

3τ 0,9502

4τ 0,9817

5τ 0,9933

processo é apenas 63,2% da variação total.

Teoricamente, o resultado do processo nunca atinge o novo valor do estado estacionário, uma aproximação do novo valor obtém-se quando t é igual a 3 - 5 vezes a constante de tempo do processo.

2. Resposta Rampa

τ

) 5 . 5 ( )

( 2

s s a

X =

2 2

2( 1) 1

) (

s Ka s

Ka s

Ka s

s s Ka

Y − +

= +

= + τ

τ τ τ

1τ 2 =−

= s s

A Ka

1 ₌0

= + s s

C Ka τ

τ B=−A

Propriedade interessante para grandes valores de tempo (t >>τ^).

) 7 . 5 ( )

1 ) (exp(

)

(t Ka t kat

y = τ − τ − +

) 8 . 5 ( )

( )

(t ≈ Kaτ t −τ y

Após um período inicial transitório, a entrada Rampa produz uma saída rampa com inclinação igual a Ka, mas deslocada no tempo, pela cte de tempo do processo,τ^. Figura resposta Rampa

- Comparação de entrada e saída

3. Resposta Senoidal

) 10 . 5 1 (

1 )

1 )(

) (

( _{2 2 2 2}

2 2

2 2

2 









+ +

− + +

= + +

= +

ω ω ω

ωτ τ

ωτ τ

ω τ

ω ω

s s

s s

KA s

s s KA Y

) 9 . 5 ( )

( _{2 2}

ω ω

= + s s A X

– Por identidades trigonométricas.

onde:

[

]

) 1

( ₂KA₂ t t t

t

y ωτ τ ωτ ω ω

τ

ω + ^{− − +}

=

) 12 . 5 ( )

sin(

1 )

1exp(

)

( 2 2 2 2 ω φ

τ τ ω

τ

ω ωτ ₊

+ + + −

= KA t

KA t t

y

- Por identidades trigonométricas

onde:

) ( tan ¹ ωτ φ = ⁻

) 13 . 5 ( )

sin(

cos

sinθ +b θ = a² +b² θ +φ a

) ( tan⁻¹ b a φ =

Observações:

Em ambos (5.11) e (5.12), qdo t → ∞ o termo exponencial, tende para zero e fica como uma resposta pura senoidal.

28

Forma Geral de uma Função de Transferência de Primeira Ordem

Resposta de Frequência! (será discutida em unidades posteriores).

2 2

) (t

u y(t) −φ(ω)

Fase lag

1 )

( = 2 2 +

τ ω

Resposta típica senoidal

Processo

1 1

2 2

3 3

) (t

u y(t)

ωt ωt

) (ω φ

−

A

5.3 Resposta de Unidades de Processo de Integração O que é um processo de integração?

Processo de integração tem um fator (1/s) em sua função de transferência.

- Em malha aberta o processo é instável (não-auto-regulação) .

u(t) q

u(t) q

Um processo que não pode chegar a um novo estado de equilíbrio quando é sujeito a mudanças degrau na entradas é chamado de “processo em malha aberta instável“ ou “Processo não-auto-regulatório".

(a) (b)

Qual sistema é um processo de integração?

Sistema de nível de líquido com uma bomba (a) ou válvula (b).

h(t)

qi

q h(t)

qi

q

29

Resposta: (a) é o processo de integração!

A vazão do efluente em (b) aumenta automaticamente se o nível aumenta . Portanto, se a vazão do afluente é maior, então o nível vai aumentar, e a vazão do efluente também aumentará. Se a vazão de efluentes aumenta também a vazão afluente aumentou de modo que o nível irá convergir.

também a vazão afluente aumentou de modo que o nível irá convergir.

◊ Sistema de nível de líquido com uma válvula é um processo estável (ou auto- regulatório).

Mas, no sistema (a), independentemente do nível, a vazão do efluente é constante devido à bomba. Assim, se a vazão do afluente é maior que a vazão do efluente o nível sempre aumentará, e vice-versa. ou seja, a diferença entre a vazão do afluente e a vazão de efluente é integrado ao diferença entre a vazão do afluente e a vazão de efluente é integrado ao processo de saída (o nível).

◊ Sistema de nível de líquido com uma bomba é um processo instável (ou não-auto-regulatório).

30

• Exemplo (para o caso A)

) 14 . 5 ( q

dt q

Adh = _i −

) 15 . 5 ( )

( ) ( )

(s Q s Q s

AsH = −

onde q é independente do h

) 15 . 5 ( )

( ) ( )

(s Q s Q s AsH = _i −

) 16 . 5 ( ) 1 (

) 1 1 (

) 1

( Q s

s s A

sQ S A

H = _i −

Processo de Integração

u(t) q

A

Figura – Sistema de Nível de Liquido com um bomba

31 h(t)

qi

q

1. Definição de sistema de segunda ordem

Um sistema de segunda ordem é aquele cuja saída y(t) é descrita pela solução de uma equação diferencial de segunda ordem.

5.4 Resposta de Sistemas de Segunda Ordem

onde u(t) é a entrada (ou função forçada).

Se a_{0 é} diferente de zero, a equação anterior se escreverá:

( ) ^t

bu y

dt a a dy dt

y

a

d

+

+

=

( ) ^t

u K dt y

dy dt

y d

=

+ + ξτ

τ

²

onde:

b K

a e

a = =

=

2

, 2 ξτ

τ

( ) ^t

u K dt y

dy dt

y d

=

+ + ξτ

τ

²

5.4 Resposta de Sistemas de Segunda Ordem ...cont.

a equação (5.18) é a forma normal de um sistema de segunda ordem, onde

o o

o

e K a

a

a =

=

=

, 2 ξτ

τ

τ

Kp

ξ

: período de oscilação normal do sistema, : fator de amortecimento

: ganho estacionário, ou ganho simples do sistema.

( ) ( ) ^{s = u y} ( ) ^{s s =}

^s

^{+ K 2 s + 1}

G

ξτ

τ

33 A função de transferência padrão de um sistema de segundo ordem:

A função de transferência de segunda ordem pode surgir fisicamente

Dois processo de 1^a- ordem conectados em séries.

5.4 Resposta de Sistemas de Segunda Ordem ...cont.

Figura – Dois sistemas de primeira ordem em série resulta num sistema

) 20 . 5 ) (

1 )(

1 (

) 1 )(

1 (

) (

) ) (

(

2 1

2 1

2 1

+

= + +

= +

= s s

K s

s

K K s

X s s Y

G τ τ τ τ

1 1

1

+ s K

τ 2 ¹

2

+ s K τ

U(s) U⁺(s) Y(s)

Figura – Dois sistemas de primeira ordem em série resulta num sistema de segunda ordem.

– O modelo do processo: equação diferencial de segunda ordem

( ) ( )

( )

G ^P

ξτ

τ ^5.19

34

5.4 Resposta de Sistemas de Segunda Ordem

35 Sistema de dois tanques em série

Três subcasos importantes.

Denominador de eq.(5.19):

) 21 . 5 ( )

1 1 )(

1 1 (

1

2 2 2

2

2 +

− + +

−

= − +

+ ζ ζ

τ ζ

ζ ζτ τ

τ ^{s s s s}

τ τ

– Raízes ;

) 22 . 5 (

2 1

1 = − −

ζ ζ

τ τ (5.23)

2 1

2 = + −

ζ ζ

τ τ

4 ; sistema de segunda ordem instável que teria uma resposta sem limites para qualquer entrada. <0

ζ

Resposta da FT 2ª ordem para entrada tipo Degrau

) 24 . 5 ) (

1 2

) ( ( , )

( _{2 2}

s s

s s KM s Y

s M

X = = + +

ζτ τ

>1 ζ

1

1 ^{2 2}

t ζ ζ ζ

ζ − −

Caso a , raízes são reais e distintas:Sobreamortecida

=1 ζ

) 26 . 5 ( )]

exp(

) 1 ( 1 [ )

( τ

ζ τ

t KM t

t

y = − + −

Caso b. , raízes duplas : Criticamente amortecida

) 25 . 5 ( 1 )]}

sinh(

1 1 )

)[cosh(

exp(

1 { )

(

2 2

2

t t t

KM t

y τ

ζ ζ

ζ τ

ζ τ

ζ −

+ −

− −

−

=

Caso c. , raízes complexas: Subamortecida

1

1 ^{2 2}

t ζ ζ ζ

ζ ^{− −}

1 0≤ζ <

1 )]}

sin(

1 1 )

)[cos(

exp(

1 { )

( t t 2 t

KM t

y τ

ζ ζ

ζ τ

ζ τ

ζ ⁻

+ −

− −

−

=

) 27 . 5 ( )}

1 sin(

) exp(

1 1 1

{ ²

2 ψ

ζ τ τ

ζ

ζ ^{− − +}

− −

= t t

KM

onde ψ =tan⁻¹( 1−ζ² ζ)

(a) (b)

Figura - Resposta de processos de segunda ordem para perturbação Degrau (a) sobreamortecida e criticamente amortecida (b) subamortecida

Observação

Respostas que exibem oscilação e overshoot ( ) são obtidas apenas para valores de inferiores a hum.

>1 KM ζ y

obtidas apenas para valores de inferiores a hum.

Valores grandes de resulta uma resposta lenta.

Resposta mais rápida, sem overshoot é obtida para o caso de amortecimento crítico.

ζ ζ

=1

ζ

Uma série de termos que descrevem a dinâmica dos processos subamortecidos.

1. Tempo de elevação (t_r) é o tempo a saída processo leva a primeira atingir o valor de estado estacionário de novo.

2. Tempo do 1º pico (t_P) é o tempo

Resposta características do desempenho de um

2. Tempo do 1º pico (t_P) é o tempo necessário para a saída para atingir o seu valor máximo em primeiro lugar. 3. Tempo de assentamento (t_s) é definido

como o tempo necessário para atingir a saída do processo e permanecem dentro de uma banda cuja largura é = ± 5% da alteração total em y.

Resposta características do desempenho de um processo 2^da-ordem a um Degrau.

4. Overshoot.

5. Tempo de Decaimento

6. Período (P) é o tempo entre dois picos sucessivos da resposta.

b a

OS = DR =c a

) 1 2

exp(

)

( ² = − πζ −ζ ²

= OS DR

Tempo de subida.

) 36 . 5 ( )

(

1 ² π ψ

ζ

τ ₋

= − tr







 − − +

− −

= exp( )sin( 1 )

1 1 1

1 ²

2 ψ

ζ τ τ

ζ ζ

t Q t





 



 − + =

−

0 ) 1

sin(

1

2 ψ

ζ τ ζ t

• Tempo do 1^ro pico

) 37 . 5 ( 1 ζ ²

τπ

= − tp

[

]

1−ζ

• Overshoot.

) 38 . 5 ( ) 1

exp(−πζ −ζ ²

= OS

] ) 1

exp(

) (

[Qa = y t = t_p −b = KM −πζ −ζ ²

• Razão de decaimento DR = (OS)² = exp(−2

πζ

ζ

] ) 1

3 exp(

) 1

3 (

[Qc= y t = τπ −ζ ² −b = KM − πζ −ζ ²

• Período de oscilação ₂ 1

2

ζ τπ

= − P

1−

ζ

Funções de Transferências comuns

42 K=

K=GanhoGanho; ; ττ = = constanteconstante de tempo; ζ= de tempo; ζ= fatorfator de de amortecimentoamortecimento; ; tt_DD=tempo =tempo mortomorto

Entradas Saídas

VM VC

U(s) PROCESSO Y(s) G(s)

ou X(s)

VM VC s

U s s Y

G = =

) (

) ) (

(

Funções de Transferências comuns

43

Sistema de primeira ordem

( )

(

= + s

K s

VM s VC

τ

K=

K=GanhoGanho; ; ττ = = constanteconstante de tempo; ζ= de tempo; ζ= fatorfator de de amortecimentoamortecimento; ; tt_DD=tempo =tempo mortomorto

Sistema de segunda ordem

Primeira ordem mais tempo morto

( )

VM τ

( )

VM s

VC ₋

= +

1 )

(

τ

( )

(

2

2 + +

= s s

K s

VM s VC

τζ τ

Segunda ordem mais tempo morto

( )

VM s

VC ₋

+

= +

1 2

) (

2

2 τζ

τ

( )

VM

τ

Profa. Ninoska Bojorge - TEQ/UFF