LISTA DE M´ ETODOS ESTAT´ ISTICOS Correla¸c˜ ao e Regress˜ ao Linear

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LISTA DE M´ ETODOS ESTAT´ ISTICOS Correla¸c˜ ao e Regress˜ ao Linear

Profa. Anna Regina Corbo

1. Para cinco volumes de uma solu¸c˜ ao, foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de g´ as e as respectivas temperaturas de ebuli¸c˜ ao:

Tempo (min) 20 22 19 23 17 Temperatura (

^o

C) 75 80 75 82 78

a) Calcule o coeficiente de correla¸c˜ ao. Podemos afirmar, intuitivamente, que existe uma forte correla¸c˜ ao linear entre as vari´ aveis?

b) Esta correla¸c˜ ao ´ e significativa, ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia?

2. Oito alunos sorteados entre os do segundo per´ıodo de um curso de Engenharia ob- tiveram as seguintes notas em exames de C´ alculo e F´ısica:

Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8

C´ alculo 4,5 6,0 3,0 2,5 5,0 5,5 1,5 7,0 F´ısica 3,5 4,5 3,0 2,0 5,5 5,0 1,5 6,0

Com base nesses dados, pode-se ter praticamente 99% de certeza de que os alunos mais bem preparados em C´ alculo tamb´ em o sejam em F´ısica?

3. Uma banco possui oito agˆ encias em certa pra¸ca. Desejando verificar a afirma¸c˜ ao de que um maior n´ umero de funcion´ arios leva a uma ineficiˆ encia maior no servi¸co, o gerente geral relacionou o n´ umero de funcion´ arios por agˆ encia (x) e a classifica¸c˜ ao das agˆ encias segundo sua eficiˆ encia dentre todas as agˆ encias do banco (y). Os resultados obtidos foram:

x 9 15 12 13 20 22 17 y 8

^o

13

^o

6

^o

9

^o

11

^o

14

^o

20

^o

Ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia, qual a conclus˜ ao?

4. Uma f´ abrica de concreto deseja estudar a rela¸c˜ ao entre a resistˆ encia ` a compress˜ ao (x) e a permeabilidade intr´ınseca (y) de v´ arias misturas de concreto. Um sum´ ario das quantidades ´ e: n = 14, P

y

_i

= 572, P

y

_i²

= 23530, P

x

_i

= 43, P

x

²_i

= 157, 42 e P x

_i

y

_i

= 1697, 80. Considere que as duas vari´ aveis estejam relacionadas atrav´ es de um modelo de regress˜ ao linear simples.

a) Calcule as estimativas de m´ınimos quadrados da inclina¸c˜ ao e da interse¸c˜ ao.

b) Use a equa¸c˜ ao da linha ajustada para prever que valor de permeabilidade seria observado quando a resistˆ encia ` a compress˜ ao fosse x = 4, 3.

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c) Dˆ e uma estimativa da permeabilidade m´ edia quando a resistˆ encia ` a compress˜ ao for x = 3, 7.

d) Suponha que o valor observado da permeabilidade em x = 3, 7 seja y = 46, 1.

Calcule o valor do res´ıduo (erro) correspondente.

5. M´ etodos de regress˜ ao foram usados para analisar dados provenientes de um estudo de investiga¸c˜ ao da rela¸c˜ ao entre a temperatura (x) da superf´ıcie da estrada e de deflex˜ ao (y) do pavimento. Um sum´ ario das quantidades ´ e: n = 20, P

y

_i

= 12, 75, P

y

_i²

= 8, 86, P x

i

= 1478, P

x

²_i

= 143215, 8 e P

x

i

y

i

= 1083, 67.

a) Calcule as estimativas de m´ınimos quadrados da inclina¸c˜ ao e da interse¸c˜ ao. Fa¸ca um gr´ afico da linha de regress˜ ao.

b) Use a equa¸c˜ ao da linha ajustada para prever que valor da deflex˜ ao do pavimento seria observado quando a temperatura da superf´ıcie fosse 85

^o

F .

c) Qual ser´ a a deflex˜ ao m´ edia do pavimento quando a temperatura da superf´ıcie for 90

^o

F ?

d) Que mudan¸ca na deflex˜ ao m´ edia do pavimento seria esperada para uma mu- dan¸ca de 1

^o

F na temperatura da superf´ıcie?

6. Um estudo que investiga a rela¸c˜ ao entre exposi¸c˜ ao ao barulho e hipertes˜ ao. Os seguintes dados s˜ ao representativos do estudo:

Aumento da N´ıvel de Press˜ ao Sangu´ınea Press˜ ao Sonora

(mmHg) (dB)

1 60

0 63

1 65

2 63

5 70

1 70

4 70

6 80

2 80

3 80

5 80

4 85

6 89

8 90

4 90

5 90

7 90

9 100

7 100

6 100

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a) Desenhe um diagrama de dispers˜ ao de y (aumento da press˜ ao sangu´ınea) versus x (n´ıvel da press˜ ao sonora). Parece razo´ avel propor um modelo de regress˜ ao linear simples para essa situa¸c˜ ao?

b) Ajuste o modelo de regress˜ ao linear simples usando o m´ etodo dos m´ınimos quadrados.

c) Encontre o aumento m´ edio previsto para a press˜ ao sangu´ınea, associado com o n´ıvel de press˜ ao sonora de 85 dB.

7. Uma prefeitura realizou um estudo a respeito da ocorrˆ encia de s´ odio nas correntes superficiais de um rio. Os dados a seguir se referem ` a concentra¸c˜ ao de s´ odio (em mg/l), y, e a ´ area (em %) das encostas exploradas para an´ alise, x.