A equação de Schroedinger IV
Aula 13
Reflexão e Transmissão
Vamos estudar agora estados não ligados, ou seja, estados para os quais E > V(x) quando x tende a ±∞. Funções de onda nesta situação não são normalizáveis, pois a probabilidade tende a ∞.
Para solucionar isto, precisaríamos de um número infinito de ondas planas em um pacote de ondas de largura finita que seja normalizável. Ou podemos limitar a integral a dois limites arbitrários finitos a e b, o que faz a função normalizável.
Funções de onda deste tipo são encontradas no espalhamento de feixes de partículas por potenciais, assim, normalizamos em termos da densidade de partículas do feixe.
Mesmo neste caso, que a energia não é quantizada, a eq. de Schroedinger apresenta comportamento ondulatório.
Reflexão e Transmissão
Potencial Degrau
Vejamos o que acontece com uma partícula que se move da esquerda para a direita e encontra o degrau.
Reflexão e Transmissão
Potencial Degrau
Para E > V0
Na região I, o primeiro termo representa o feixe original, um feixe de partículas se movendo para a direita. O segundo termo representa partículas se movendo para a esquerda.
A mecânica quântica prevê que ao chegar em x = 0, a partícula tem uma possibilidade apreciável de ser refletida pelo degrau de volta para a região x < 0.
• Região I
• Região II
Reflexão e Transmissão
Potencial Degrau
Como a onda incide no sentido crescente de x, o segundo termo na solução da região I indica que a onda é refletida em algum ponto com x grande, bem depois de x =0. Há então uma onda transmitida na região II e podemos fazer D = 0.
Combinando as soluções podemos encontrar as constantes A, B e C, que podem ser usadas para calcular as amplitudes relativas da onda refletida e da onda transmitida.
Também é possível definir os coeficientes de reflexão (R) e transmissão (T), como as intensidades relativas dos feixes refletido e transmitido:
Reflexão e Transmissão
Potencial Degrau
R não é nulo para E > V0. Ao contrário do caso clássico, algumas partículas são refletidas pelo degrau do potencial mesmo que tenham energia suficiente para ultrapassá-lo (Análogo à reflexão de ondas na interface entre meios com índice de refração diferentes).
R depende da diferença entre k1 e k2, mas não depende do sinal da diferença. O coeficiente seria o mesmo se as partículas estivessem se movendo de uma região de potencial maior para uma região de potencial menor.
Como , o comprimento de onda muda quando as partículas passam pelo degrau. As partículas se movem mais lentamente na região II pois k2 < k1.
Reflexão e Transmissão
Potencial Degrau
Para E < V0
Classicamente, em x = 0, todas as partículas são refletidas, pois R = 1 e T = 0.
Reflexão e Transmissão
Potencial Degrau
Em concordância com o resultado clássico, todas as partículas são refletidas de volta para a região I, no entanto nem todas as partículas são refletidas no ponto x = 0.
A função de onda não se anula para x > 0, mas a amplitude diminui exponencialmente.
A onda penetra ligeiramente na região classicamente proibida (x > 0), mas em seguida é totalmente refletida.
Esta situação é semelhante ao caso de reflexão interna total na ótica clássica.
Reflexão e Transmissão
Barreira de Potencial
Vamos considerar uma partícula que se move da esquerda p/ direita, na região I.
No caso clássico, se E > V0 a partícula continua a se mover da região I para II, com velocidade menor, e ao chegar na região III, recupera a velocidade inicial.
Ela é totalmente transmitida.
Se E < V0, a partícula não consegue penetrar a região II, mas é refletida na fronteira e passa a se mover da direita para esquerda.
Reflexão e Transmissão
Barreira de Potencial
No caso quântico, quando E > V0 a partícula tem probabilidade de se refletida.
Se E < V0 quando a partícula encontra a barreira de potencial:
Reflexão e Transmissão
Barreira de Potencial
A amplitude da função de onda não cai bruscamente para zero na fronteira das regiões I e II, mas sofre um decaimento exponencial.
A partir da fronteira das regiões II e III, a função de onda volta a apresentar comportamento senoidal, o que significa que existe uma probabilidade finita de que a partícula seja encontrada no outro lado da barreira.
- Efeito túnel ou tunelamento.
Reflexão e Transmissão
Barreira de Potencial
Probabilidade de que o tunelamento ocorra é expressa através do coeficiente de transmissão.
Para
Reflexão e Transmissão
Barreira de Potencial – Análogo Clássico
No primeiro prisma espera-se ter reflexão interna total da luz e não teríamos luz sendo transmitida.
Colocando outro prisma próximo, o espaço vazio funciona como uma barreira de potencial, e a luz é transmitida através do segundo prisma.
Este fenômeno é chamado reflexão interna total frustrada.
