A equação de Schroedinger

A equação de Schroedinger

Aula 10

Teoria Ondulatória

Werner Heisenberg propôs teoria que incluia apenas grandezas mensuráveis, tais como energia, posição e momento, representadas por matrizes. Os elementos diagonais representavam os resultados possíveis das medidas.

Erwin Schroedinger, e 1926, publicou sua equação de onda, que governa a propagação das ondas de matéria.

Schroedinger provou mais tarde que as duas teorias são equivalentes e uma pode ser obtida a partir da outra.

A teoria resultante é a Mecânica Quântica.

A equação de Schroedinger

Os entes quânticos são descritos pela função de onda

A função de onda possui toda a informação que pode ser extraída sobre a partícula quântica.

A equação de onda deve ser uma equação diferencial linear em relação a função de onda, de modo a assegurar o princípio da superposição.

A linearidade garante que diferentes funções de onda se somem para produzir interferência construtiva e destrutiva, o que é característica das ondas de matéria.

Todos os termos da equação devem ser lineares em relação a e todas as

derivadas de devem ser lineares em relação a .

Vamos considerar uma partícula de massa m. Em uma dimensão, a equação da onda tem a seguinte forma

Esta é a equação de Schroedinger, que dadas as condições de contorno, determina a função de onda de um sistema. Ela não pode ser deduzida, assim como as Leis de Newton, mas está em concordância com experimentos.

Esta equação precisa ser satisfeita por uma função de onda para uma partícula livre, isto é, quando não existe força sobre ela, tal que V(x,t)=V

As funções seno e cosseno não satisfazem esta equação, mas a forma exponencial da função de onda harmônica sim!

A equação de Schroedinger

Vejamos as derivadas

A equação de Schroedinger

Faz surgir a energia total da partícula

Faz surgir a energia cinética da partícula

A função de onda de Schroedinger não é mensurável (é uma função complexa).

A grandeza observável é a densidade de probabilidade (distribuição de probabilidade) P(x), que se relaciona à função de onda por

Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda, então a probabilidade P(x,t)dx de que a partícula seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dc é igual a

A função de onda é um artifício matemático e o que tem sentido real é (amplitude de probabilidade) .

A equação de Schroedinger

Como o elétron deve estar necessariamente em algum ponto do espaço, a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de x deve ser 1,

Esta é a condição de normalização.

A função de onda deve ser normalizável e, portanto

De maneira suficientemente rápida.

A equação de Schroedinger

A equação de Schroedinger envolve derivadas parciais, então é importante procurar soluções na forma e produto de funções, cada uma delas contendo apenas uma única das variáveis independentes.

A técnica é dita separação de variáveis, e separa a função de onde num produto,

Estas solução existem desde que a energia potencial não dependa explicitamente do tempo t.

Separação de Variáveis

Podemos escrever

Dividindo por

Temos agora que cada lado da equação é função de apenas uma variável e variações de t não afetam o resultado do lado de x, e variações de x não afetam o resultado do lado de t.

Os dois lados devem ser iguais a uma mesma constante C, a constante de separação.

Separação de Variáveis

A solução da parte temporal

Descreve função oscilatória de frequência , comparando com , vemos que a constante de separação C deve ser igual a energia total E da partícula,

Separação de Variáveis

A parte espacial pode ser escrita como

E é conhecida como equação de Schroedinger independente do tempo. É uma forma mais fácil de lidar do que a equação geral de Schroedinger.

A função de onda fica

Para normalizar precisamos do produto da função de onda pelo seu complexo conjugado

Tal que agora,

Separação de Variáveis

As funções são chamadas autofunções e devem ser bem comportadas.

1. deve ser finita, deve ser finita;

2. deve ser unívoca, deve ser unívoca;

3. deve ser contínua, deve ser contínua.

4.

Se e sua derivada não fossem finitas e unívocas, quando calcularmos valores esperados para posição e momento, não obteremos valores finitos. Ou seja, quando calcularmos valores de grandezas mensuráveis não teremos valores finitos, o que não é aceitável. Se e sua derivada não fossem continuas, a probabilidade de encontrar uma partícula poderia variar descontinuamente.

Propriedades da função de onda