A história dos números
Aparecimento dos números reais
Adaptado por Paulo Almeida @ 2005
Alguma vez parou para pensar nisso?
Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de repente inventou o número.
Mas, não foi bem assim.
A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha.
O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e seres.
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso...
Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número.
Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números
Até ao final da história saberá em que época e porque é que o homem inventou cada um desses números.
Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio.
Veja estes caçadores.
C
ontando objectos com outros objectos
Para registar os animais mortos numa caçada, eles limitavam-se a fazer
marcas numa vara. Nessa época o homem alimentava-se daquilo que a
natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo,
apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.
A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num
pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar
bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e apanhar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor.
E para dedicar-se às actividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas
margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia.
Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe,
divisão do trabalho entre as pessoas, etc..
Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.
C
ontando objectos com outros objectos
O
trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã
bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia
as ovelhas, guardando-as dentro de uma cerca.
Mas como controlar o rebanho? Como Ter certeza de que
nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum
animal selvagem?
O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi
contar as ovelhas com pedras. Assim:
Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O
pastor colocava todas as pedras num saquinho. No fim do dia,
à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando
as pedras do saquinho. Que susto levaria se após todas as
ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra!
Construindo o conceito de número
Foi contando objectos com outros objectos que a
humanidade começou a construir o conceito de número. Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, estaria sempre ligado a alguma coisa concreta: cinco
dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão.
Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.
Do mesmo modo os caçadores contavam os
animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda, também de cinco em cinco.
Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas colecções de objectos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.
O
s egípcios criam os símbolos (?)
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de
bronze. Aldeias situadas nas
margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas
actividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio.
Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades
superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a outras actividades,
O
s egípcios criam os símbolos (?)
Como consequência desse
desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita
intensidade e rapidez no Egipto.
Para fazer os projectos de
construção das pirâmides e dos
templos, o número concreto não era nada prático.
Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos num osso?
Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objectos de uma colecção através de desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.
3 + 5 = 8
Muitas vezes não sabemos nem que objectos estamos a somar. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira.
Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egipto tinha um súbdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egipto. Entre os cientistas, ele é
chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contém 80 problemas, todos resolvidos.
A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.
Observando e estudando como eram efectuados os cálculos no Papiro
Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o sistema de
numeração egípcio. Além disso, a
decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egipto – no século XVIII também foi muito útil.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
Um traço vertical representava 1 unidade:
Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:
Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000:
Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:
Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
Na escrita dos números que usamos actualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.
O
s egípcios criam os símbolos (?)
Se tomarmos um número, como por exemplo:
256
e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes:
265 526 562 625 652
Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos.
Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egipto estão escrevendo o mesmo número:
A técnica de calcular dos egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.
Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição.
Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
Número de
parcelas Resultado
1 9
2 18
4 36
8 72
A técnica de calcular dos egípcios
Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13
O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
9 + 36 + 72 = 117
Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.
Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
Descobrindo a fracção
Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...
“... repartiu o solo do Egito nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava
funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exacta da perda.”
Estas palavras foram escritas pelo
historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.
O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo das suas margens.
Quando as águas baixam, deixam
descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo.
Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egipto. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se
desenvolveu a civilização egípcia.
Descobrindo a fracção
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até
Setembro.
Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
Usavam cordas para fazer a medição.
Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam
quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.
No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fraccionário.
Contando com os Romanos
De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.
O seu centro era a cidade de Roma. Desde da sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos.
Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquista de novos territórios.
Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.
Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.
O sistema de numeração Romana
Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
I V X L C D M
Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o valor 1. V valia 5.
X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades.
C valia 100. D valia 500. M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
O sistema de numeração Romana
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
O sistema de numeração Romana
Ao lermos o cartaz, ficamos a saber que o exército de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.
M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
O sistema de numeração Romana
Como acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.
Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.
E os números maiores que 3.000?
Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
O sistema de numeração romano foi adoptado por muitos povos. Mas ainda era difícil efectuar cálculos com este sistema.
Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar
intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.
E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de
Afinal nos nossos dias…
No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.
Ao participar numa conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o facto de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo: “Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos
fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”.
A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de
numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.
A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do
século VI . Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que é que os árabes têm a ver com isso? E por que é que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum
al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.
Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma série de guerras de conquista. E como prémios de guerra, livros de diversos
centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.
“Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”. Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.
Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi.
Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso!
Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos
seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da
Matemática.
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.
Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.
Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram
conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome
algarismo.
São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de
numeração decimal conhecidos como algarismos indo-arábicos.
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98 1.024 3.645.872
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números
naturais.
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fraccionários.
Não havia mais necessidade de escrever um número
fraccionário por meio de uma adição de dois fraccionários, como faziam os matemáticos egípcios.
O número fraccionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fraccionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de
números racionais.
A descoberta dos números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
Os pitagóricos são confrontados com os números irracionais.
Depois de durante milénios ter utilizado os números para contar, medir, calcular, o homem começou a
especular sobre a natureza e propriedades dos próprios números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos
Números, um dos ramos mais profundos da matemática. A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitágoras e os seus discípulos
começaram a estudar as propriedades dos números
inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem actual, números racionais). Aliás, na antiguidade a designação número aplicava-se só aos inteiros maiores do que um. Esta crença foi
profundamente abalada quando usaram o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitário.
Como eles apenas conheciam os números racionais (naturais e fracções de naturais) foi com grande surpresa e choque que descobriram que havia
segmentos de recta cuja medida não pode ser expressa por um número racional. Essa descoberta é atribuída a um aluno de Pitágoras que tentava descobrir a medida da diagonal de um quadrado de lado 1.
Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 não era uma razão entre dois inteiros (em linguagem actual, que a raíz quadrada de 2 é um número irracional) os Pitagóricos consideraram quebrada a
harmonia do universo, já que não podiam aceitar a raíz quadrada de dois como um número, mas não podiam negar que esta raíz era a
medida da diagonal de um quadrado unitário. Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhes parecia uma imperfeição divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Segundo reza a lenda, o primeiro membro da seita Pitagórica que divulgou esta
descoberta morreu afogado num naufrágio sendo a sua alma açoitada pelas ondas para todo o sempre.
Assim, o número terá sido o primeiro número irracional com que a humanidade se deparou. O número de ouro é outro irracional…
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D
ízimas infinitas periódicas
N
úmeros Reais
R
esumindo…
Uma
construção geométrica
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2
