2. Gráfico de Funções
As funções que vimos podem ser expressas por fórmulas. Uma fórmula é concisa, mas esta forma condensada de representarmos matematicamente uma relação pode ser muito “densa”
para percebermos facilmente certas características das funções. Os gráficos nos permitem visualizar a relação em determinado intervalo da variável independente. O intervalo do gráfico pode ser bem extenso, nos permitindo visualizar a forma da função para todos os pontos importantes. Mas também pode ser estreito, de forma que se possa observar cuidadosamente alguma característica importante. Podemos controlar a parte do gráfico que queremos visualizar modificando o comando plot.
O comando plot requer duas coisas: a expressão (ou função) a ser representada, e o valor do intervalo. Existem campos extras que podem ser adicionados ao comando plot, mas estes dois são obrigatórios. Portanto, a forma essencial do comando plot é plot (expressão, intervalo) ou plot(função, intervalo). Apresentamos os passos a serem seguidos.
1. Na linha de comando do Maple, escrevemos a palavra plot, abrindo parênteses em seguida.
> plot(
2. Escrevemos a expressão, ou o nome da expressão, se esta já tiver sido definida.
> plot(
(Escrevemos a fórmula depois de aberto o parêntese.)
Por exemplo, a expressão x^2 + 2*x + 2. Desta forma, teríamos:
> plot(x^2 + 2*x + 2
3. Depois da expressão, colocamos uma vírgula para separar a expressão do que vem depois.
> plot(x^2 + 2*x + 2,
Preste bastante atenção à vírgula. Ela deve estar presente no comando.
4. Agora, definimos o intervalo. O identificador do intervalo depende do nome escolhido para a variável independente. No exemplo dado, a variável independente é x. Depois, vem o sinal de igual e, em seguida, o valor inicial e o valor final do intervalo. O gráfico começa pelo valor inicial e termina no valor final. O valor inicial e final de x estão separados por dois pontos (...).
É preciso estar atento à forma como é definido o intervalo. Escreve-se o nome da variável independente, o sinal de igual, o valor inicial do eixo x, dois pontos (sem espaço entre eles), e a seguir o valor final do eixo x. Para a visualização do gráfico desta expressão de –1 até 3, o intervalo deveria ser definido da seguinte forma:
x = -1..3
5. Finalmente, fechamos o parêntese e acrescentamos ponto-e-vírgula para completar o comando. O comando completo é escrito assim
> plot(x^2 + 2*x + 2, x = -1..3);
Tente construir o gráfico! Escreva a expressão na linha de comando do Maple e pressione Enter. O gráfico resultante é mostrado na Figura:
Figura O gráfico de x2 + 2x +2 no intervalo x = -1..3
Pode-se utilizar a notação de funções no lugar de uma expressão no comando plot.
Utilizaremos um nome para a função. Para isso, começamos definindo a função e dando-lhe um nome.
> f := x -> x^2 + 2*x + 2;
: 2 2 2
f x x x
Portanto, f é um nome para a regra que "transforma x em x ao quadrado mais duas vezes x mais dois". O valor de f no ponto x é f(x). O gráfico da função pode ser representado para valores de x; em particular, para x crescendo de -1 até 3.
> plot( f(x), x = -1..3);
O comando acima produz o mesmo gráfico da Figura 2.3.
Não é necessário especificar a variável x.2 Porém, se for omitido o nome da função, também deve-se omitir o identificador do intervalo. Desta forma, o comando fica como demonstramos abaixo:
> plot(f, -1..3);
Teste o comando. A única diferença do plot da versão anterior é que o eixo x não possui mais rótulo.
Vimos três formas diferentes, mas quase equivalentes, de escrever-se o comando plot. Portanto, podemos escolher que forma usar.
Atenção ! Em todos os três exemplos utilizamos expressões, e não equações. Não podemos usar um comando como
> plot (y = 3*x^2 + 2*x + 1, x = 0..2);
Pois o comando plot requer uma expressão como primeiro parâmetro, e não uma equação. Se tivéssemos atribuído um nome a uma equação polinomial como abaixo:
> F := y = x^2 + 2*x + 4;
e quiséssemos fazer o gráfico do polinômio para x = 0 até 4, só precisaríamos utilizar o lado direito da equação. Isto pode ser feito facilmente, usando o comando:
2 Sempre será necessário um identificador para o intervalo, da forma x = a..b, na representação de gráficos de expressões. Se o comando em Maple for emitido “>plot (x^2, 1..2);” , obtém-se uma mensagem de erro, “Warning in iris-plot: empty plot.”
> plot (rhs(F), x = 0..4)/
O comando rhs extrai o lado direito da equação polinomial chamada F. Experimente utilizar estes dois comandos:
> F := y = x^2 + 2*x +4;
: 2 2 4
F y x x
> rhs(F);
2 2 4
x x
Verificamos que o comando rhs extraiu apenas o lado direito da equação. É o mesmo que tivéssemos escrito
> rhs (y = x^2 + 2*x +4);
2 2 4
x x
Obtemos o mesmo resultado em ambos os casos.
O importante agora é deixar que o Maple trabalhe pra você. Não é necessário um professor em sala de aula para que você ganhe sua compreensão, o Maple está aí !...
Exemplo: As funções podem ser classificadas de várias formas. Até agora encontramos em várias ocasiões um grupo chamado de polinômio. Um polinômio em x é formado pela soma e diferença de seus termos. Cada termo é um produto de uma constante vezes uma potência de x.
Alguns exemplos de polinômios são:
1. 3x2 – 72x – 54
2. 7.3x3 – 5.02x2 + .024x – 3.41
3.
4 1 3 22
17 4.6692016
6 7
x x x
4.
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1
1 x 2x 6x 24x 120x 720x
Em cada um desses quatro casos, temos um polinômio em x. Em (1), os coeficientes são inteiros, o que não é indispensável. O caso (2) é um polinômio cujos coeficientes são números decimais. Em (3), os coeficientes são um número irracional, duas frações e um número decimal. Em (4), o polinômio é escrito de forma que a constante venha primeiro, seguida das potências crescentes de x. A ordem dos termos não é importante, nem o tipo de constante que multiplica cada potência de x, contanto que seja um número ou que possa ser transformado em um número. Os comandos em Maple e os gráficos resultantes são mostrados nas Figuras a seguir. Note que o intervalo é diferente em cada gráfico. Como escolher estes intervalos?
Usaremos o caso (1) como exemplo.
O Maple fará todo o trabalho ! Examine a expressão (1) e faça alguma aritmética mentalmente.
Se escolhermos x = 0, todos os termos serão zero, exceto o termo constante. (Geralmente usamos zero como menor valor para o intervalo.). Escolhendo um número positivo pequeno como valor superior do intervalo, obtivemos o primeiro gráfico. Examine este gráfico cuidadosamente. Escolha novos valores para os intervalos, de forma que se obtenha melhor visualização do gráfico. Quando temos um problema real, alguma informação adicional deve ser fornecida, como, por exemplo, descobrir os valores para os quais a função é zero. Isto significa que procura-se pelos valores de x onde o gráfico da função corta (ou simplesmente toca) o eixo x. Ou pode-se estar procurando pelo valor máximo da função em um intervalo.
Este conhecimento adicional pode ajudar a escolher o melhor intervalo para construir-se um gráfico.
Figura Polinômio (1): plot(3*x^2 - 72*x – 54, x = -5..30);
Figura Polinômio (2): plot(7.3*x^3-5.0*x^2+0.024*x-3.41,x=-0.5..1.5);
Figura Polinômio (3): plot(sqrt(17)*x^4 + Pi/6*x^3 – 27/7*x – 4.6692016, x = -
1..1.3);
Figura Polinômio (4): plot(1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/4! + x^5/5! + x^6/6!, x = -1..3);
