I, (2) e para que haja rolamento sem

Corpos que rolam

Rolamento com escorregamento

Quando um corpo escorrega ao mesmo tempo em que rola, não vale a condição de ausência de escorregamento. Imaginemos uma bola que unicamente escorrega, sem rotação inicial. À medida que a bola escorrega, vá perdendo velocidade linear devido ao atrito cinético ente sua superfície e o chão. Esta força de atrito é a causante da rotação.

Assim, a velocidade linear diminui e ao mesmo tempo, a velocidade angular aumenta até que se chega à condição v

_cm

 R  quando o escorregamento desaparece. Daí por diante a bola rola sem escorregar.

Outro exemplo é o da bola de bilhar ou de boliche que rola com efeito.

Ver os exercícios resolvidos no livro texto!!.

Problema 11 lista 3. (Tipler Cap 9, E 103) Uma bola de bilhar, de raio r, está inicialmente em repouso sobre a mesa horizontal, como mostra a figura ao lado. Esta bola é atingida por uma tacada horizontal, que proporciona uma força de módulo F

0

durante um intervalo de tempo muito pequeno  t. O taco atinge a bola a uma altura h acima do ponto de contato com a mesa. a) Mostrar que a velocidade angular inicial da bola 

0

está relacionada com a velocidade linear inicial do centro de massa v

0

por 

₀

 5 v

₀

 h  r  / 2 r

²

.

Se o taco atingir a bola a uma altura igual à do CM,

x = 0, fazendo coincidir a origem de coordenadas com o CM da bola, esta se moverá inicialmente com um movimento de translação, sem rotação. Se o taco atingir a bola abaixo do CM, haverá inicialmente uma rotação para trás. Com um certo valor de d, a bola recebe um impulso ocasionando uma quantidade de movimento para se transladar e um torque para girar e, que satisfazem a condição de rolamento sem escorregamento. O valor de d determina o torque exercido sobre a bola, e assim, a aceleração angular  que é fornecida no momento do golpe. A aceleração linear considerando unicamente a força da tacada é: a = F/m que resulta independente de d. A força de atrito é muito menor que a força de colisão da tacada e pode ser desprezada.

Para que a bola role sem escorregar, desde o início do movimento, deve-se cumprir a relação: s   R ; v   R ; a   R . O peso e a força normal atuam numa reta que passa pelo centro de massa e, portanto, não contribuem com torques em torno desse ponto.

Vou escolher os seguintes sistemas de referência:

- Para a rotação, positivo de acordo a regra da mão direita;

- Para a translação, positivo para a esquerda.

Isso nos fornece a relação ^s   ^R isto é: se a força está aplicada para a esquerda, ela é negativa e o seu torque, ao estar acima do CM, também será negativo.

Assim, aplicando a 2ª lei de Newton à translação do CM,

CM

CM

ma F

a m F ma F











 

0

0

 

. (1) Desde o ponto de vista da rotação:  ^{   I  } , (2) e para que haja rolamento sem escorregamento, s   R ; v   R ; a   R (3).

h r

r d

r

Chamando: v

_i

 velocidade inicial antes da tacada = 0

v

₀

 velocidade imediatamente após a tacada

e sabendo que o produto de uma força pelo intervalo de tempo em que ela é aplicada é:

 ^{v v}

_i



m p t

F .    

₀

 (4). Como inicialmente a bola estava em repouso e a força aplicada foi F

0

, a expressão (4) fica: F

₀

.  t  mv

_0,CM

, onde desprezamos a força de atrito durante a colisão.

Da expressão (2), como a tacada é realizada a uma distância (h-R) do CM,

 I R h

F

₀

(  )   ,

desprezando o torque causado pelo atrito durante a colisão. Multiplicando ambos os

membros por  t, ^ _

I R h mv

t I R h t F

CM

  











) (

) (

, 0

0

. Substituindo a inércia rotacional de uma esfera maciça na expressão:

2 0 2

0

2

5 5

2

R

) R h ( mR v

) R h (

mv

_,CM ^,CM

















 .

Onde o sinal estará dado pela escolha do referencial de translação. Se para a translação o positivo estiver para a esquerda, a velocidade inicial será -v

0

, nesse caso  e v

0

terão o mesmo sinal.

14

⁰

aula 08/04/19

12. (Tipler Cap 9, E 107) Uma bola de bilhar inicialmente em repouso, recebe um golpe seco do taco. A força aplicada é horizontal e está à distância 2R/3 abaixo da linha central, como mostra a figura ao lado. A velocidade inicial da bola é v

0

e o coeficiente de atrito cinético é 

k

. a) Qual é a velocidade angular inicial 

0

? b) Que velocidade tem a bola no instante em que principia a rolar sem escorregar? c) Qual a energia cinética inicial da bola? d) Que trabalho efetuou a força de atrito enquanto a bola escorregava sobre a mesa?

a) Utilizaremos a solução do problema anterior, sabendo que a velocidade inicial é v

0

. Por comparação com o problema anterior, sendo h a distância do solo até a posição onde bate o taco, e sendo a distância fornecida a partir do centro da bola, h=R-2/3R=R/3.

R v R

R R

v R

R ) ( R

R v R

) R R ( v

3 5 2

3 2 5 2

3 5 3 2

5 3

0 0

0 2

0

0

 





 







b) As forças que atuam sobre a bola são: o peso, a normal e a força de atrito.

Aplicando a 2ª lei de Newton à translação do CM no referencial solo após a tacada, onde a única força que atua na direção do deslocamento é a de atrito, cujo módulo é: 𝑓 = 𝜇mg

   

m a f

ma f

ma

F 

_CM

  

_CM



_CM

 

 ^{. (1)}

Desde o ponto de vista da rotação que é acelerado:

2R/3 R

r

f +

S

+

       

mR f mR

R f I

R I f

R f

I 2

5 5

2

₂

 

 

 









 ^  ^{  } _{, (2)}

As velocidades linear e angular enquanto o tempo t < t

r

(tempo de rolamento sem escorregamento) dependerão das acelerações correspondentes, assim:

   

m t v f

t a v

v

_{CM S}



₀



_CM



₀

  _(3),

e    

mR t f R

t v

CM b

 





 2

5 3

5

₀

0





 ₍₄₎

As expressões (3) e (4) relacionam v e ω para tempos iguais.

Assim de (3) e (1)

   

  f m v t v

m t v f

v 

 

 





₀ ⁰

_(5),

que substituindo em (4),

   

   

3 (6) 1 2

5 2

5 6

5 2

5 6

15 10 2

5 2

5 3

5

2 5 3

5 2

5 3

5

0 0

0 0 0

0 0

0 0

 

 

  









 









 



 



 



v R v

R v R

v R

v R

v R v R

v R

v

R v v R

v f

m v v R m

f R

 v

Relação que vale para qualquer t entre 0 e t

r

. Onde t

r

é o tempo do início do rolamento sem escorregamento.

A condição de rolamento sem escorregamento, respeitando os sinais dos referenciais

adotados,

R a

R v

R s

CM b S

CM

CM b S

CM

CM b S

CM

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

;



















(7). So para t  t

r

.

No instante em que principia a rodar sem escorregar v

_r

  

_r

R . Substituindo ω obtido da expressão (6),

0 0

0 0

0 0

0

21 5 7

2 6 5 6

5 2

7 6

5 2

1 5

6 5 2

5 2

5 6

5 2

5 6

5

v v

v v

v v

v

v v v

v R R

v R

v v

r r

r

r r

r r







 



 



 



 



 

  









 

 

  





(8)

Substituindo o valor da velocidade de translação v pelo valor da velocidade de translação no rolamento, v

r

, na expressão (6).

R v R

v R

v v R v

v R v

^r

r

21

5 21

2 2 5 21

5 3 1 2 5 3

1 21

5 2

5 3

1 2

5

_{0 0 0}

0 0

0

  



 



 

 



 

  



 



 



 

 



 

  

 







Que era de esperar por ser

R v

_{CM S}

CM b

) ( )

(

 



Com esses dados podemos encontrar o tempo de rolamento:

 

      f

m v f

m v v f

m v t

_r

v

^r

 

 

 

 



 

 

 

⁰

0 0 0

21 16 21

5

(10) c) Qual a energia cinética inicial da bola?

2 0 2

0 2

0 2

0 2

0 2

0

2 0 2

0 2

0 2

0 2

2 0 2

0 2

0 2

0

05556 ,

9 1 2

19 18

19 9

19 2

1 9

10 9 2

1 9 1 10 2

1

9 5 2

1 9 25 5

1 2

1 3

5 5

2 2 1 2

1 2

1 2

1

mv mv

mv mv

mv mv

mv mv

mv R mv

mR v mv

I mv

K

_i

 



 



 



 

 

 



  

 

 

  











 







 



 





 

a) Que trabalho efetuou a força de atrito enquanto a bola escorregava sobre a mesa?

i f

f

K K K

W    

2 0 2

0 2

0 2

0

2 0 2

0 2

0 2

0

2 0 2

0 2

0 2

0 2

0 2

0

2 2

2 2 2

2 2

0159 , 2 1

1 63 128 7

128 9

1 2 1 7

133 5 9

1 2 1

7 19

* 7 5 9 1 2 19 1 7 5 9 1 2 1 9

2 19 63

5 2 1

0396 , 126 0

5 63

5 2 1 3 21

5 2 1 5 7 21 21

25 2

1 5 7 21

5 2 1

5 7 2

1 5 1 2 2 1 5

2 2 1 2

1 2

1 2

1

mv mv

mv mv

mv mv

mv v

m W

mv mv

v m v

m v

m v

m K

mv R mv

mR v mv

I mv K

f

r r

r r

r r

f



 



 



 

 



 



 

 



 



  

 



 



  

 

 

  

 











 

 

 



 



 



 



 

 

 



 

 

 

  

 



 



 





 

Outra forma de obter o trabalho do atrito e realizar o produto de 𝑤

_𝑓

= 𝑓⃗ ∙ 𝑑⃗ = −𝑓𝑑 porque a velocidade de translação é positiva o tempo todo.

Como podemos verificar a distância percorrida num movimento uniformemente acelerado?

“Área entre a curva da velocidade em função do tempo, e o eixo do tempo”!!!

Desta maneira, para a distância percorrida pelo CM (fig 1) ou para o ângulo descrito (fig 2)

Localizando dois referenciais, o do CM e o referencial solo, podemos observar que:

t v

v0

5v0/21

tr t



b(CM)

0

-v0(5/21)/R

tr

0 0

Figura 1

Figura 2

t para  = 0

) ( ) ( )

(S pCM CM S

p

v v

v   , (11)

onde v

_p(S)

é a velocidade do ponto de contato. Quando roda sem escorregar, se deve satisfazer a relação:

R

v

_p(CM)

 

_CM

, como tínhamos expressado em (7), sendo



CM

a velocidade de rotação da bola em relação ao CM.

Substituindo (7) em (11),

  ( )

)

( S CM CM S

p R v

v    , onde o primerio somando é positivo porque o  primeiro é positivo, depois zero e finalmente negativo antes de rolar sem escorregar, mas como estamos analisando o ponto p, a bola escorrega no sentido positivo do x

 

^{R v dx} 

 

^{R v}  ^dt

dt dx dt

v  dx 

^p(S)

 

_bCM



_CM(S)



_p(S)

 

_bCM



_CM(S)

Integrando a ambos lados da expressão anterior,

 

 ^



 x

_p(S)



_b(CM)

R v

_CM(S)

dt

Agora, sabemos que podemos obter o quanto se deslocou um corpo quando está uniformemente acelerado e se conhecem a velocidade inicial, a velocidade final e o tempo percorrido. Pode ser obtido como a área sob a curva de v(t), assim, da primeira figura e da equação

 

  f m v t v



 

⁰

_{, para t=t}

r

, ^t

^r

^{  16 21}   ^{v }

⁰

^{m f por (10)}

 

  ^{m f v}   ^{m f}

v v

f m v v

t v v x

o o

o

o o

r o o S

CM

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 



 







 



 





 







 



 





2 2 )

(

21 13

* 16 21

16 21

2 26

21 16 2

21 21 5 2

21 5

Por outro lado, enquanto o corpo desliza na horizontal, a roda gira inicialmente com  positivo, passa por zero e finaliza com  negativo. Observando a figura 2, vemos que também se trata de um movimento uniformemente acelerado. Podemos calcular o ângulo descrito por:

 

   



 



 



 





_bCM ^f

R t

_r

v R v

t 2

3 5 21

5 2

0 0



0

 

por (10)

   

 

⁰

 

⁰²

 

⁰²

0

0 0

0 0

7 21

16 5 21

21

16 15 21

16 21

15

21 16 2

21 30 21

16 2

21 35 5

R mv mv f

R f f

m v R

v

f m v R

v f

m R v

v





 

 



 

 



 





 



 



 





 

 

 



 





 







x

y ω

S

    f R mv

CM

b

  



⁰²

147

 80 dado que ΔS p(S) = Δ  b(CM) .R ,

    f

m S v

R R f

m S v

R

S

_{p S bCM p S} ^o _{p S} ^o

 





 



 





 













_{( ) ( ) ( )} ² _{( )} ²

147 80 147

 80

Desta maneira, a distância percorrida pelos dois movimentos será:

   

 

    f m v f

m v

f m v f

m v

f m v f

v m S

x d

o o

o o

o o

 

 





 

 









 

 

 

 











2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

0159 , 21 1

448

21 240 208

21

3 80 13 16

147 80 21

13 16

e o trabalho da forca,

2 0 2

2 0 2

2 0

1 . 0159

21 448 )

( 21

* 448 ) ( ).

( v mv mv

f f m

d

f     



 





 





