LISTA DE EXERC´ICIOS 03 – v. 1.0 Assuntos:

(1)

UFPE — MA989 — 2013.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 03 – v. 1.0

Assuntos: Simboliza¸cão lógica; uso de proposi¸cões e predicados com conectivos e quantificadores.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Só conferir a solu¸cão de um item após tentar resolvê-lo seriamente.

Considerem-se os seguintes predicados, onde = indica que o s´ımbolo à b esquerda denota a expressão entre aspas à direita para efeito desta questão:

P

1

(x, y) = “x b = y”; P

2

(x, y ) = “x < y”; b P

3

(x, y, z) = “xy b = z”.

Utilizando apenas conectivos, quantifica¸c˜ao no dom´ınio de discurso

¹

R , e 0 e 1 como constantes reais

²

(e n˜ ao como constantes l´ogicas) como achar apropri- ado, simbolizar as 15 proposi¸c˜oes S

_ı

abaixo como express˜oes bem formadas diretamente a partir dos predicados dados P

_

dados acima, moldando sua sintaxe convenientemente e, se necessário, usando equivalências lógicas:

S

1

= “0 n˜ao possui inverso (multiplicativo)”; b

S

2

= “Se um n´ b umero real r n˜ao possui inverso, ent˜ao r tem que ser nulo”;

S

3

= “0 ´e o ´ b unico n´ umero real que pode n˜ao possuir inverso”;

S

4

= “0 ´e o ´ b unico n´ umero real que n˜ao possui inverso”;

S

5

= “Para todo n´ b umero real r, apenas uma das trˆes situa¸c˜oes ocorre: ou r

é positivo, ou r é negativo, ou r é nulo” (Tricotomia do sinal: todo n´ umero real r possui um ´ unico sinal);

S

6

= “O inverso de um n´ b umero real n˜ao-nulo r tem o mesmo sinal que r”;

S

7

= “Todo n´ b umero real n˜ao-negativo r possui uma raiz quadrada”;

S

8

= “Todo n´ b umero real r possui, no m´aximo, uma raiz quadrada”;

S

9

= “A raiz quadrada de um n´ b umero real r, quando existe, ´e ´ unica”;

S

10

= “1 ´e o ´ b unico n´ umero real positivo igual ao seu pr´oprio quadrado”;

S

11

= “0 e 1 s˜ao os ´ b unicos n´ umeros reais iguais aos seus respectivos quadrados”;

S

12

= “Se a raiz quadrada de um n´ b umero real r é menor que r , então r é maior que 1”;

1Apenas com instâncias de ∃ e ∀, já se combinando variáveis quando conveniente.

Ex.: As duas senten¸cas a seguir poderiam ser usadas como partes de uma expressão bem formada: “∃z ∈R :” para denotar “existe um número real z tal que”; e “∀x, y ∈R” para denotar “para todo número real x, para todo número real y,”. Observe-se que z é uma variável, masz²e 1/znão o são.

2Ex.: P¹(r,1) denota o predicado “r= 1”, enquantoP¹(0,1) denota a proposi¸c˜ao (falsa)

“0 = 1”.

1

(2)

S

13

= “Se a raiz quadrada de um n´ b umero real r é maior que r, então r está estritamente entre 0 e 1”;

S

14

= “A fun¸cão quadrado de um n´ b umero é crescente nos n´ umeros reais não- negativos”;

S

15

= “A fun¸cão raiz quadrada é crescente nos n´ b umeros reais não-negativos”.

Solu¸ c˜ ao. Antes de tudo, deve-se ter em mente que este ´e um exerc´ıcio de simboliza¸ c˜ ao, e n˜ ao de dedu¸ c˜ ao. Observe-se que um n´ umero real s ser inverso multiplicativo de um n´ umero real r traduz-se por “ sr = 1 = rs ” que, neste contexto, simboliza-se como P

3

( s, r, 1) ∧ P

3

( r, s, 1). A inexistˆ encia de algo é a nega¸cão da existência daquilo. Finalmente, a unicidade é reproduzida matematicamente como: se dois objetos satisfazem a condi¸cão em questão, então eles são iguais. Mas:

S

1

= ∄s ∈ R : s0 = 1 = 0s ∴ S

1

= ¬ ∃ s ∈ R : P

3

(s, 0, 1) ∧ P

3

(0, s, 1).

S

3

=

³

S

2

= ∀ r ∈ R, ( ∄s ∈ R : sr = 1 = rs) → r = 0 ∴

S

3

= S

2

= ∀ r ∈ R, ¬ ( ∃ s ∈ R : P

3

(s, r, 1) ∧ P

3

(r, s, 1)) → P

1

(r, 0).

S

4

= S

1

∧ S

2

(inexistˆencia e unicidade, respectivamente). Pode-se tamb´em moldar S

4

como: ∀ r ∈ R, ¬ ( ∃ s ∈ R : P

3

(s, r, 1) ∧ P

3

(r, s, 1)) ↔ P

1

(r, 0).

Para a proposi¸c˜ao S

5

, é tentador o uso do conectivo lógico “ou exclusivo”, aqui denotado por ˙ ∨ . Ele é associativo e comutativo, o que pode ser facilmente deduzido a partir de sua tabela lógica, ou de expressões dele em termos de outros operadores, tais como A ∨ ˙ B = (A ∨ B) ∧ ( ¬ A ∨ ¬ B) = ( A ∨ B ) ∧ ¬ ( A ∧ B ). No entanto, deve-se ter cuidado com o fato de que V ∨ ˙ V ∨ ˙ V = V , expressando algo diferente do que se deseja com S

5

. Esta é mais próxima do senso comum a respeito do “ou exclusivo”. Isto pode ser contornado ao se suplementar A ∨ ˙ B ∨ ˙ C com o termo análogo à ´ ultima rees- critura de A ∨ ˙ B acima, a saber, com ¬ (A ∧ B ∧ C). Isto elimina o valor V quando A = B = C = V : (A ∨ ˙ B ∨ ˙ C) ∧ ¬ (A ∧ B ∧ C) é verdadeira quando uma e apenas uma das três variáveis proposicionais é verdadeira

⁴

. Assim:

S

5

= ∀ r ∈ R, (P

²

(0, r) ˙ ∨ P

2

(r, 0) ˙ ∨ P

1

(r, 0)) ∧ ¬ (P

²

(0, r) ∧ P

2

(r, 0) ∧ P

1

(r, 0)).

A rigor, S

6

deveria ser simbolizada sem que se assumissem outras proposi¸c˜oes (S

⁴

, por exemplo) ou algum conhecimento sobre a rela¸c˜ao de ordem,

3Há lógicas mais ricas do que a de predicados, como as lógicas modais que a estendem e incluem as idéias (duais) denecessidadeepossibilidade. Nelas, S² eS³ seriam distintas da expressão acima.

4Isto tamb´em pode ser facilmente escrito em formal normal disjuntiva ou conjuntiva.

2

(3)

apenas se usando a no¸c˜ao de sinal introduzida imediatamente ap´os S

5

: S

6

= ∀ r, s ∈ R, ( ¬ P

1

(r, 0) ∧ P

3

(s, r, 1) ∧ P

3

(r, s, 1)) →

[(P

2

(0, s) ↔ P

2

(0, r)) ∧ (P

2

(s, 0) ↔ P

2

(r, 0))].

Obs.: Assumir a tricotomia do sinal leva a:

S

6

↔ ∀ r, s ∈ R, ( ¬ P

1

(r, 0) ∧ P

3

(s, r, 1) ∧ P

3

(r, s, 1)) → (P

²

(0, s) ↔ P

2

(0, r)).

Um n´ umero real r ser quadrado de um n´ umero real s traduz-se por “ s

²

= r ” que, neste contexto, simboliza-se como P

3

( s, s, r ). s ser raiz quadrada de r também se traduz assim, embora s ser “a raiz quadrada (principal)” de r acrescenta a condi¸cão “ s é não-negativo” ( ¬ P

2

( s, 0)). Assim, no primeiro sentido (“uma”), S

8

´e falsa, enquanto no segundo (“a”), ela ´e verdadeira.

Ambas as versões serão consideradas, embora a distin¸cão apare¸ca na solu¸cão abaixo (onde S

8

´e falsa). Da´ı: S

7

= ∀ r ∈ R, ¬ (r < 0) → ∃ s ∈ R : s

²

= r ∴

S

7

= ∀ r ∈ R, ¬ P

2

(r, 0) → ∃ s ∈ R : P

3

(s, s, r).

S

8

= ∀ r, s, t ∈ R, s

²

= r = t

²

→ s = t ∴

S

8

= ∀ r, s, t ∈ R, (P

³

(s, s, r) ∧ P

3

(t, t, r)) → P

1

(s, t).

A menos de “uma” vs. “a”, S

9

parece-se com S

8

: Matemáticos costumam expressar unicidade (“dados dois (...), eles são iguais”) com uma implica¸cão (“se existe (...), então ele é ´ unico”, como em S

9

, identificando-se “quando A, (tem-se) B ” com “se A , (então) B ”). Neste caso, costuma-se ter em mente apenas a unicidade pois, do ponto-de-vista ontológico, unicidade sem exis- tência é in´ util. Porém, a rigor:

S

9

= ∀ r ∈ R, ( ∃ q ∈ R : ¬ ( q < 0) ∧ q

²

= r ) →

( ∀ s, t ∈ R, ( ¬ ( s < 0 ∨ t < 0) ∧ s

²

= r = t

²

) → s = t ) ∴ S

9

= ∀ r ∈ R, ( ∃ q ∈ R : ¬ P

2

(q, 0) ∧ P

3

(q, q, r)) →

( ∀ s, t ∈ R, ( ¬ ( P

2

( s, 0) ∨ P

2

( t, 0)) ∧ P

3

( s, s, r ) ∧ P

3

( t, t, r )) → P

1

( s, t )).

S

10

= ∀ r ∈ R, (0 < r ∧ r

²

= r) ↔ r = 1 ∴

S

10

= ∀ r ∈ R, ( P

2

(0 , r ) ∧ P

3

( r, r, r )) ↔ P

1

( r, 1).

S

11

= ∀ r ∈ R, r

²

= r ↔ (r = 0 ∨ r = 1) ∴

S

11

= ∀ r ∈ R, P

3

(r, r, r) ↔ (P

¹

(r, 0) ∨ P

1

(r, 1)).

O(a) leitor(a) poderia pensar as duas próximas proposi¸cões com o envolvi- mento da existência: Para S

12

, ∀ r ∈ R, ( ∃ s ∈ R : s

²

= r ∧¬ (s < 0) ∧ s < r) → 1 < r e, para S

13

, ∀ r ∈ R, ( ∃ s ∈ R : s

²

= r ∧ ¬ (s < 0) ∧ r < s) → 0 < r < 1.

Contudo, uma vez que elas não fazem referência a questões existenciais, elas

3

(4)

correspondem a:

S

12

= ∀ r, s ∈ R, (s

²

= r ∧ ¬ (s < 0) ∧ s < r) → 1 < r ∴

S

12

= ∀ r, s ∈ R, ( P

3

( s, s, r ) ∧ ¬ P

2

( s, 0) ∧ P

2

( s, r )) → P

2

(1 , r );

S

13

= ∀ r, s ∈ R, (s

²

= r ∧ ¬ (s < 0) ∧ r < s) → 0 < r < 1 ∴

S

13

= ∀ r, s ∈ R, ( P

3

( s, s, r ) ∧ ¬ P

2

( s, 0) ∧ P

2

( r, s )) → ( P

2

(0 , r ) ∧ P

2

( r, 1)).

Observe-se a falta da palavra “estritamente” antes de “crescente” nas duas

´

ultimas proposi¸cões. a ≤ b é obtido como ( a < b ∨ a = b ) ou, alternativa- mente, ¬ (b < a): ambas as expressões modelam a ≤ b corretamente para a descri¸cão do crescimento das fun¸cões. Deseja-se simbolizar (já se usando uma das leis de De Morgan) ∀ q, r ∈ R, ¬ (q < 0 ∨ r < 0 ∨ r < q) → A, onde A = b ¬ (r

²

< q

²

) para S

14

, e A = b ¬ ( √

r < √ q) para S

15

. Os quadrados são fá- ceis de representar fielmente: introduzem-se s´ımbolos s e t iguais aos seus respectivos valores. Já a fun¸cão raiz quadrada é a raiz principal (não-negativa), for¸cando a combina¸cão de condi¸cões ¬ (s < 0 ∨ t < 0) ∧ s

²

= q ∧ t

²

= r:

S

14

= ∀ q, r, s, t ∈ R,

( ¬ [ P

2

(q, 0) ∨ P

2

(r, 0) ∨ P

2

(r, q)] ∧ P

3

(q, q, s) ∧ P

3

(r, r, t)) → ¬ P

2

(t, s);

S

15

= ∀ q, r, s, t ∈ R,

¬ [ P

2

(q, 0) ∨ P

2

(r, 0) ∨ P

2

(s, 0) ∨ P

2

(t, 0) ∨ P

2

(r, q)]

∧ P

3

( s, s, q ) ∧ P

3

( t, t, r )

→ ¬ P

2

( t, s ).

4