UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO MA054 (GEOMETRIA ANAL´ITICA L1) – 2013.2
2o EXERC´ICIO ESCOLAR – 05/02/2014
Dura¸c˜ao: 90 minutos. Valor: 10,0 pontos.
Orienta¸c˜ao: O exame ´e estritamente individual e sem consulta. S´o receber˜ao pon- tos as solu¸c˜oes leg´ıveis e justificadas pelas t´ecnicas alg´ebricas apresentadas neste curso (as justificativas podem ser concisas). A ordem dos itens n˜ao ´e importante.
Responder a caneta preta ou azul, ou a l´apis.
Identificar o lugar geom´etrico dos pontos (x, y) que satisfazem as condi-
¸c˜oes dadas. Se necess´ario, preparar as coordenadas por meio de uma trans- la¸c˜ao, completando os quadrados, e calcular as coordenadas do vetor que descreve tal transla¸c˜ao. Al´em disto, conforme o tipo de curva cˆonica:
• Se for um ponto, dar suas coordenadas;
• se for(em) reta(s), dar uma equa¸c˜ao para cada uma. Al´em disto, se for um par de retas concorrentes, dar o ponto em que elas se interceptam;
• Se for uma curva cˆonica n˜ao-degenerada, dar a equa¸c˜ao reduzida (car- tesiana) e a excentricidade. Al´em disto:
• Se for uma circunferˆencia, dar o centro e o raio;
• Se for uma par´abola, dar o v´ertice, o foco, o eixo, a reta diretriz, o parˆametro focal p e a amplitude focal 2ℓ;
• Se for uma elipse, dar o centro, os focos, os v´ertices (as extremidades de ambos os eixos maior e menor), os comprimentos dos eixos (2ado maior e 2b do menor), a distˆancia focal 2c, as retas diretrizes, o parˆametro focal p, a amplitude focal 2ℓ e os c´ırculos diretores; e
• Se for uma hip´erbole, dar o centro, os focos, os v´ertices (isto ´e, as extremidades do eixo transverso (real), as extremidades do eixo conju- gado (imagin´ario), os comprimentos dos eixos (2a do transverso e 2b do conjugado), a distˆancia focal 2c, as retas diretrizes e ass´ıntotas, o parˆametro focal p, a amplitude focal 2ℓ e os c´ırculos diretores.
a. (1,5 pontos). O L.G. dos centros (x, y) das circunferˆencias de raio 2 que tangenciam exteriormente a circunferˆencia de centro (1,2) e raio 10.
b. (1,5 pontos). x2−4y2−4y−1 = 0.
c. (2,5 pontos). (x−1)2+ (y+ 1)2 = (y−5)2. d. (2,5 pontos). 4x2−3y2−24x−24y= 0.
e. (2,0 pontos). (x, y) = (2 + 6 cost, 2 + 8 sent), onde t∈R.
