universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2018.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas q1 e q7

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universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2018.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas q1 e q7

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^o

EXERC´ICIO ESCOLAR v. 1.0 – 11/05/2017

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´ e estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao ´ e importante. Apenas solu¸c˜ oes leg´ıveis e justificadas re- ceber˜ ao pontos: escrever os passos, detalhes e propriedades relevantes. Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circundar as respostas !

Dura¸ c˜ ao: 120 minutos.

Quest˜ ao 1 (2,0 pontos por item). Encontrar a solu¸cão completa se o item só apresentar a EDO, e resolver o PVI (dando todas as solu¸cões globais) se o item contiver condi¸cões iniciais. Em todos, y é fun¸cão de t. Dar solu¸cões expl´ıcitas e simplificadas! Todos os métodos estudados podem ser utilizados.

1.a. d

²

y dt

²

+ dy

dt = 24 e

^3t

− t 1.b. d

²

y

dt

²

− 10 dy

dt + 9 y = 20 cos (3t) 1.c. d

²

y

dt

²

− 2 dy

dt + y = e

^t

t

²

, t > 0 1.d. d

²

y

dt

²

+ 9 y =

1 , se t < π;

0 , se t ≥ π; y(0) = 0; y

^′

(0) = 2.

Quest˜ ao 2 (1,0 ponto por item).

2.a. Aplicando o m´etodo dos coeficientes a determinar, encontrar o formato mais simples que uma solu¸c˜ao particular para a EDO abaixo precisa ter.

N˜ao calcular os coeficientes da express˜ao!

d

²

y

dt

²

+ 4 dy

dt + 20 y = 5 t e

⁻^2t

cos (4t) 2.b. Calcular e simplificar:

L

⁻¹

20 e

⁻^2s

s

³

(s

²

+ 4)

(t)

(2)

Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parˆametros e o n´ umero de cada regra no passo em que ´e utilizada. (Ex.: “Regra 01, a = 3”).

A tabela abaixo é um extrato da tabela dos arquivos permanentes do portal web do professor, e contém apenas as regras referentes à 2

^a

Unidade (Da´ı, a numera¸c˜ao irregular).

Regra f (t) = L

⁻¹

{F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f(t)}(s)

01 e

^at

a ∈ R (a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈ R (0, +∞) s/(s

²

+ ω

²

)

03 sen(ωt) ω ∈ R (0, +∞) ω/(s

²

+ ω

²

)

04 cosh (ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) s/(s

²

− ω

²

) 05 senh(ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) ω/(s

²

− ω

²

)

06 t

ⁿ

n ∈ N (0, +∞) n! / s

ⁿ⁺¹

Regra f (t) = L

⁻¹

{F (s)}(t) Const. F (s) = L{f (t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈ R a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F (s/a) / a

11 e

^at

f (t) a ∈ R F (s − a)

12 t

ⁿ

f(t) n ∈ N (−1)

ⁿ

F

⁽ⁿ⁾

(s)

14 f

^(k)

(t) k ∈ N s

^k

F (s) −

k−1

X

=0

f

^()

(0) s

^k⁻¹⁻^

16 u

c

(t) f (t) c ∈ (0, +∞) e

⁻^cs

L{f (t + c)}(s) 17 u

c

(t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e

⁻^cs

F (s)

Regra 20 lim

s→+∞