O M´ etodo do Espalhamento Quˆ antico Inverso
Douglas Rodrigues Silva
IFT-Unesp, S˜ ao Paulo, Brazil drs@ift.unesp.br
Em 1967 no famoso trabalho de Gardner et al [1], foi criado um m´etodo para se obter solu¸c˜oes exatas da equa¸c˜ao KdV ut − uux + uxxx = 0 tais solu¸c˜oes destas como de outras equa¸c˜oes diferenciais n˜ao lineares em 1+1 dimens˜oes s˜ao conhecidas como solitons. Logo ap´os em [2], desenvolveram a formula¸c˜ao Hamiltoniana do m´etodo do espalhamento inverso, deste modo conseguindo obter uma condi¸c˜ao de consistˆencia perante analogia com o teorema de Arnold-Liouville, eles conseguiram mostrar que para uma teoria de campos escalar ser ”integr´avel”em 1+1 dimens˜oes, no sentido do espalhamento inverso deveriam existir infinitas quantidades conservadas em involu¸c˜ao, muito al´em disso, foram desenvolvidas tanto m´etodos alg´ebricos como anal´ıticos pela escola de S˜ao Petersburgo no contexto da teoria de soliton em duas dimens˜oes [3]. No final da d´ecada de 70 Faddeev e seus alunos desenvolveram um m´etodo cuja motiva¸c˜ao inicial era a de se quantizar o m´etodo do espalhamento inverso em sua formula¸c˜ao Hamiltoniana, o qual ficou conhecido como o m´etodo do espalhamento quˆantico inverso e o m´etodo para solucionar o problema espectral ficou conhecido como o Ansatz de Bethe Alg´ebrico, pois algo muito bem vindo, contudo que n˜ao se era esperado foi a conex˜ao do novo m´etodo com resultados obtidos anteriormente por Baxter [4], no contexto da mecˆanica estat´ıstica por´em a diferen¸ca ´e que eles n˜ao utilizavam mais o Ansatz conhecido como o Ansatz de Bethe Coordenada, por´em uma constru¸c˜ao alg´ebrica o qual ao final se obtia as equa¸c˜oes de Bethe [5].
Introdu¸ c˜ ao
Iremos explicar o m´etodo de forma geral para modelos simples, ao mesmo tempo iremos dar um escopo sobre a ´area. Nossa abordagem ser´a baseada sobre uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de McGuire- Yang-Baxter e apartir da mesma o desenvolvimento aqui esta relacionado a modelos com fronteiras peri´odicas tais modelos desta classe o qual est˜ao associados a nossa constru¸c˜ao s˜ao modelos de cadeias de spin como XXX e XXZ.
Desta forma a parte principal e mais profunda, esta associada a equa¸c˜ao de McQuire-Yang-Baxter R12(u, v)R13(u, w)R23(v, w) = R23(v, w)R13(u, w)R12(u, v) (1) tal equa¸c˜ao surgiu inicialmente no trabalho de McGuire [6], na maioria dos modelos utilizados em pesquisa nossa matriz R ∈ End(C2 ⊗ C2) tem a seguinte forma R(u, v) = R(u − v) o qual ´e a diferen¸ca dos parˆametros espectrais associados a cada subespa¸co auxiliar do espa¸co tensorial, por´em solu¸c˜oes mais complexas da equa¸c˜ao (1) n˜ao pertence a esta fam´ılia um exemplo not´avel ´e o modelo de Hubbard (supercondutividade) o qual sua primeira solu¸c˜ao foi encontrada por Shastry [7] e o m´etodo do espalhamento quˆantico inverso foi realizado pela escola de S˜ao Carlos [8].
A equa¸c˜ao (1) ´e a parte fundamental da constru¸c˜ao de todo o m´etodo, encontrar e classificar solu¸c˜oes de (1) ´e um t´opico ativo de pesquisa em matem´atica, o mesmo ´e muito rico, pois utilizaram e desenvolveram nova matem´atica o qual est˜ao ligadas por diversas ´areas como ´algebra quˆantica [9], teoria dos n´os [11], geometria alg´ebrica [12] e a cohomologia quˆantica [13].
Por´em aqui assumiremos uma solu¸c˜ao, deste modo tendo R, iremos fazer uma constru¸c˜ao alg´ebrica para podermos diagonalizar a matriz de transferˆencia τ, pois dado que nossa matriz de transferˆencia seja gerada por C[u], τ(u) = Pn
j=0 un−jHj atrav´es de
[τ(u), τ(v)] = 0 (2)
obtemos um crit´erio de soluvabilidade [Hi, Hj] = 0, ou seja, nosso an´el de polinˆomios ´e gerado pelo an´el comutativo, que s˜ao nossos operadores independentes do tempo que atuam no espa¸co de Hilbert H = C2⊗N, deste modo observamos que ´e suficiente diagonalizar a fam´ılia (2), para isto utilizaremos a equa¸c˜ao (1) para construir uma estrutura alg´ebrica o qual satisfa¸ca (2) e do qual possamos obter as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao.
Nossa estrutura ´e a ´algebra de McGuire-Yang-Baxter,
R12(u, v)L1j(u)L2j(v) = L2j(v)L1j(u)R12(u, v) (3) onde os L para cada j = 1, . . . , N, s˜ao os Lax locais, podemos interpretar os mesmos como se cada s´ıtio da cadeia ´e representado por Laj(u) onde a esta associado ao espa¸co auxiliar e j ao espa¸co quˆantico, o Lax local faz o papel de conex˜ao entre o j-´esimo sitio e o j + 1-´esimo s´ıtio e os elementos do mesmo atuam no j-´esimo subespa¸co hj = C2 ⊂ H, desta forma a ´algebra (3) ´e v´alida para cada j, por´em para tomarmos toda a cadeia construimos a monodromia T (u) = Q1
j=N Laj(u) o qual ser´a a conex˜ao ao longo de toda a cadeia, assim como a ´algebra (3) ´e v´alida para cada s´ıtio j isto implica que T satisfaz a mesma ´algebra,
R12(u, v)T 1(u)T 2(v) = T 2(v)T 1(u)R12(u, v) (4) conhecida como rela¸c˜ao RTT, em tal estrutura nosso R ´e autom´orfico e T ∈ End(C2 ⊗ C2) ⊕ H, desta forma nossa matriz de transferˆencia ´e
τ(u) = tr[T (u)] (5)
atrav´es de (4) e (5) chegamos em (2), demonstrando a consistˆencia da constru¸c˜ao.
De (1) utilizaremos a solu¸c˜ao mais simples da mesma
R(u, v) =
f(u, v) 0 0 0
0 g(u, v) 1 0
0 1 g(u, v) 0
0 0 0 f(u, v)
(6)
onde f(u, v) = −f(v, u) e g(u, v) = −g(v, u).
Desta forma a representa¸c˜ao da monodromia com rela¸c˜ao ao espa¸co auxiliar ´e da seguinte forma, T (u) =
A(u) B(u) C(u) D(u)
(7) e os elementos da matriz de monodromia s˜ao operadores que atuam no espa¸co H. Desta forma podemos obter as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao a partir de (4).
O m´ etodo do espalhamento quˆ antico inverso
Um dos resultados que obtemos no m´etodo foram as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao a partir de (4) o qual nos fornece 16 rela¸c˜oes, pois ao tomar o produto direto de duas matrizes 4 × 4 teremos matrizes 16 × 16.
Assim destas 16 rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao, somente trˆes ir´a nos interessar [B(u), B(v)] = 0
A(u)B(v) = f(u, v)B(v)A(u) − g(u, v)B(u)A(v) D(u)B(v) = f(v, u)B(v)D(u) + g(u, v)B(u)D(v)
(8) para o pr´oximo passo o ABA.
Dado que temos (2) e o mesmo esta associado ao conjunto de observ´aveis compat´ıveis, ent˜ao temos que nossos autoestados s˜ao simultˆaneos, logo basta resolver o problema espectral para a matriz de transferˆencia que ´e o caso mais geral.
A aplica¸c˜ao do m´etodo do ABA, se baseia na existˆencia do pseudov´acuo |0i, (apesar de a prova disto ser um problema em aberto) o qual para cadeias de spins ser´a o alinhamento de todos os spins para cima (baixo), logo o primeiro estado de cria¸c˜ao, ser´a um spin para baixo (cima) e todos os outros spin para cima (baixo), logo podemos obter todos os demais autoestados excitados a partir de um operador de cria¸c˜ao.
Desta maneira de (5) e (7), temos
τ(u) = A(u) + D(u) (9)
logo nosso operador de cria¸c˜ao ser´a B e aniquila¸c˜ao C, ser˜ao o inverso um do outro, caso apliquemos os mesmos nos espa¸cos duais. Portanto com isto podemos obter os autoestados e autovalores da matriz de transferˆencia, sendo assim
|ψN({uj})i =
N
Y
j=1
B(uj)|0i, C(u)|0i = 0, A(u)|0i = a(u)|0i, D(u)|0i = d(u)|0i (10) o primeiro termo em (10), vai gerar os estados excitados e da primeira rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao em (8) vemos que este ´e sim´etrico para a troca dos parˆametros espectrais, tal que N corresponde a qual estado de part´ıculas nos referimos sendo assim para cada N temos que resolver (9) e encontrar o respectivo autovalor, como o que desenvolvemos aqui ´e simples podemos resolver diretamente para o caso de N part´ıculas, sendo assim a partir de (10) e (8), temos
A(u)|ψN({uj})i = Λ|ψN({uj})i +
N
X
n=1
ΛnB(u)
N
Y
j=1,j6=n
B(uj)|0i
D(u)|ψN({uj})i = ˜Λ|ψN({uj})i +
N
X
n=1
Λ˜nB(u)
N
Y
j=1,j6=n
B(uj)|0i
(11)
onde
Λ = a(u)
N
Y
j=1
f(u, uj), Λn = a(un)g(un, u)
N
Y
j=1,j6=n
f(un, uj) Λ =˜ d(u)
N
Y
j=1
f(uj, u), Λ˜n = d(un)g(u, un)
N
Y
j=1,j6=n
f(uj, un)
deste modo utilizando (11),
τ(u)|ψN({uj})i = (Λ + ˜Λ)|ψN({uj})i +
N
X
j=1
(Λn + ˜Λn)B(u)
N
Y
j=1,j6=n
B(uj)|0i (12) em (12) observamos que n˜ao temos uma equa¸c˜ao de autovalor, pois temos um termo n˜ao diagonal a mais, assim para obtermos a diagonaliza¸c˜ao da matriz de transferˆencia, fazemos Λn + ˜Λn = 0 deste obtemos as equa¸c˜oes de Bethe,
d(un) a(un) =
N
Y
j=1,j6=n
f(un, uj)
f(uj, un), n = 1, . . . , N (13) deste modo observamos que para |ψN(uj)i serem autoestados, temos que especificar os valores dos parˆametros espectrais, ou seja, para um conjunto particular dos parˆametros espectrais temos que
|ψN(uj)i ´e autoestado de τ(u) talque satisfa¸camos (13) o qual ainda nos garante a analiticidade dos autovalores Λ + ˜Λ = a(u) QN
j=1 f(u, uj) + d(u) QN
j=1 f(uj, u).
Ansatz de Bethe Alg´ ebrico
Foi mostrado como o m´etodo do espalhamento quˆantico inverso funciona no caso mais simples de fronteiras peri´odicas, uma pr´oxima etapa seria analisar como o m´etodo trabalha para fronteiras abertas [14]. Com rela¸c˜ao ao ABA, o objetivo final ´e encontrarmos as equa¸c˜oes de Bethe e os autovalores, com estes fazemos a conex˜ao com a f´ısica tomando-se o limite termodinˆamico N → ∞, ap´os o ABA, as pr´oximas etapas ´e obter os produtos internos [15] e as fun¸c˜oes de correla¸c˜ao [16].
O m´etodo do ABA ´e um dos m´etodos Bethe Ansatz o qual vimos no caso mais simples resultar nas equa¸c˜oes de Bethe, por´em estas equa¸c˜oes para demais casos j´a se tornam muito complicadas, assim existem outros m´etodos Bethe Ansatz com outras constru¸c˜oes como o m´etodo SOV [17].
Conclus˜ ao
https://sites.google.com/site/ansatzdebethealgebrico/
