EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Acetatos de apoio às aulas de Optimização – GA2 / EA2 / FCA3 / MKA2
Sofia Lopes Portela DMQ – ISCTE
Ano lectivo 2010/11
1. DEFINIÇÕES
Equação diferencial – é uma igualdade que estabelece uma relação entre a variável independente x e a variável dependente y e as suas derivadas.
Equação diferencial ordinária – quando a variável independente é função de apenas uma variável.
Equação diferencial às derivadas parciais – quando a variável independente é função de mais do que uma variável.
Ordem de uma equação diferencial – é a ordem da derivada mais elevada que aparece na equação.
Grau da equação diferencial – é a potência mais alta a que está elevada a derivada de maior ordem que aparece na equação.
Exemplos:
2 3
2 20 cos
d y y x
d x + = equação diferencial de ordem 2 e grau 1
3
30 0
dy sen y tg x d x
+ + =
equação diferencial de ordem 1 e grau 3
Resolver uma equação diferencial – consiste em determinar uma relação entre a variável dependente y e a variável independente x. Nem sempre é possível explicitar y como
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM
2.1. Conceitos
Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem – são equações em que apenas aparecem y , x e 'y . Pode-se escrever na forma:
(
', ,)
0F y y x =
ou
( )
' ,
y = f x y
Integral geral (ou solução geral) – é uma expressão do tipo ϕ
(
x y c, ,)
=0. Esta expressão utiliza-se quando se consegue explicitar y em função de x.Nota:
Para haver uma solução, y deve ser solução da equação qualquer que seja c.
Integral particular (ou solução particular) – é a solução que se obtém quando se concretiza o valor de c e que só é conseguido por meio de condições iniciais.
Teorema da existência e unicidade de solução – Seja uma equação diferencial de 1ª ordem escrita na forma y'= f x y
( )
, . Se f x y( )
, e f forem contínuas num certo domínio y'D⊂ ℜ2e
( )
a b, ∈D, existe uma solução única y=ϕ( )
x que satisfaz b=ϕ( )
a .2.2. Equações Diferenciais de Variáveis Separadas
Equações diferenciais de variáveis separadas – são equações do tipo y'= f x g y
( ) ( )
. Estasequações podem ser escritas como
( ) ( ) ( )
1( )
dy f x g y dx
dy f x dx g y
=
⇔ =
Esta última igualdade significa que o diferencial de uma certa função de y é igual ao de uma outra de x.
Integral geral das equações diferenciais de variáveis separadas
( )
1( )
,P P f x c c
g y = + ∀ ∈ℜ
2.3. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis
Forma geral das equações diferenciais de variáveis separáveis
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 0
f x g y dx+ f x g y dy=
Estas equações podem ser escritas como:
Integral geral das equações diferenciais de variáveis separáveis
( ) ( ) ( )
2 1
( )
1 2
g y f x ,
P P c c
g y = − f x + ∀ ∈ℜ
2.4. Equações lineares de 1ª ordem
Forma geral das equações lineares de 1ª ordem
( ) ( )
dy A x y B x
dx+ =
em que A x
( )
e B x( )
são funções apenas de x, contínuas. O nome desta equação deriva do facto de termos uma equação linear em relação à função que queremos determinar ( y ) e à sua derivada ( 'y ).Integral geral das equações lineares de 1ª ordem
( ). ( ) . ( )
P A P A
P A
y e P B c e
e
− −
−
= +
2.5. Equações de Bernoulli
Forma geral das equações de Bernoulli
( ) ( )
ndy A x y B x y
dx+ =
em que A x
( )
e B x( )
são funções apenas de x, contínuas e n≠0 e n≠1. Nota: Se n=0 ou n=1, temos uma equação linear de 1ª ordem.Integral geral das equações de Bernoulli
O integral geral das equações de Bernoulli resulta da sua transformação em equação diferencial linear e tem a seguinte expressão:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1
. 1 1 .
n P A n P A
n
n P A
y e n P B c e
e
− −
− −
= − +
3. EXERCÍCIOS DE EXAMES
Determine o integral geral da equação diferencial ordinária tg y
( ) ( )
ln x dx+xdy=01º Teste 6/Abril/2010
Determine o integral particular da equação diferencial ordinária y' 2+ xy+x3 =0 sujeito à condição inicial y
( )
0 =3.1º Teste 6/Abril/2010
Determine o integral particular da equação diferencial ordinária x dy2 +ydx=2x e2 1xdx sujeito à condição inicial y
( )
1 =0.Exame 4/Jun/2010
