Matemática. Resolução de Exercícios de Provas Anteriores 4. Exercícios

Exercícios

1.

(Enem - 2019) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores.

O quadro mostra a escala de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.

Descrição Magnitude local (𝑀_𝑠)

(𝜇𝑚 ∙ 𝐻𝑧)

Pequeno 0 ≤ 𝑀_𝑠≤ 3,9

Ligeiro 4,0 ≤ 𝑀_𝑠≤ 4,9

Moderado 5,0 ≤ 𝑀_𝑠≤ 5,9

Grande 6,0 ≤ 𝑀_𝑠≤ 9,9

Extremo 𝑀_𝑠≤ 10,0

Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula 𝑀_𝑠 = 3,30 + 𝑙𝑜𝑔(𝐴 × 𝑓), em que A representa a amplitude máxima da onda registada por um sismógrafo em micrômetro (μm) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 000 μm e frequência de 0,2 Hz.

(Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).)

Utilize 0,3 como aproximação para log 2.

De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como:

a) Pequeno.

b) Ligeiro.

c) Moderado.

d) Grande.

e) Extremo.

2.

(Enem PPL - 2018) Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é R = log (^A

A0) , em que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, 𝐴₀ é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10.

(Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado).)

A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é:

a) 1,28 b) 2,0 c) 10⁹⁷ d) 100 e) 10⁹− 10⁷

3.

(Enem - 2018) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

(Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).)

Considere 0,30 como aproximação para log102.

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

a) 1999 b) 2002 c) 2022 d) 2026 e) 2146

neutra, alcalina ou muito alcalina, dependendo do seu pH, dado pela expressão 𝑝𝐻 = 𝑙𝑜𝑔₁₀

𝐻 em que H é a concentração de íons de hidrogênio, em mol por decímetro cúbico. A classificação da água de acordo com seu pH é mostrada no quadro.

pH Classificação

𝑝𝐻 ≥ 9 Muito alcalina 7,5 ≤ 𝑝𝐻 < 9 Alcalina 6 ≤ 𝑝𝐻 < 7,5 Neutra 3,5 ≤ 𝑝𝐻 < 6 Ácida

𝑝𝐻 < 3,5 Muito ácida

Para o cálculo da concentração H, uma distribuidora mede dois parâmetros A e B, em cada fonte, e adota H como sendo o quociente de A por B. Em análise realizada em uma fonte, obteve A = 10^-7 e a água dessa fonte foi classificada como neutra. O parâmetro B, então, encontra-se no intervalo

a) (- 10^14,5, - 10^1,3] b) [10⁶⁷, 10⁻¹) c) [10⁻¹, 10¹²) d) 10^1,3, 10^14,5 e) [10^10×6, 10^7,5×107)

5.

(Enem PPL - 2019) Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é ℎ = 5 × log₂(𝑡 + 1) em que t é o tempo contado em dia e h, a altura da planta em centímetro.

A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima?

a) 63 b) 96 c) 128 d) 192 e) 255

6.

(Enem - 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão 𝑀(𝑡) = 𝐴 × (2,7)^𝑘𝑡, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log102.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10%

da quantidade inicial?

a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100

7.

(Enem - 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula:

𝑉 = 𝑃(1 + 𝑖)^𝑛

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para In ⁴₃ e 0,0131 como aproximação para In(1,0132) . A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a:

a) 56ª b) 55ª c) 52ª d) 51ª e) 45ª

8.

(Enem - 2019) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto em solo alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8.

Sabe-se que pH = - log10x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H⁺).

Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma:

a) qualquer valor acima de 10^-8.

b) qualquer valor positivo inferior a 10^-7. c) valores maiores que 7 e menores que 8.

d) valores maiores que 70 e menores que 80.

e) valores maiores que 10^-8 e menores que10^-7.

9.

(Enem - 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

𝑀 =2 3𝑙𝑜𝑔 (𝐸

𝐸₀)

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1

e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

(Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).)

Qual a relação entre E1 e E2? a) 𝐸₁ = 𝐸2 + 2

b) 𝐸₁ = 10²× 𝐸₂ c) 𝐸₁ = 10³× 𝐸₂ d) 𝐸₁ = 10^9/7× 𝐸₂ e) 𝐸₁ =⁹

7× 𝐸₂

10.

(Enem - 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de 𝑅$5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, 𝑅$400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (𝑃) é calculado em função do número de prestações (𝑛) segundo a fórmula

𝑃 =5000 × 1,013^𝑛× 0,013 (1,013^𝑛− 1)

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para 𝑙𝑜𝑔1,013; 2,602 como aproximação para 𝑙𝑜𝑔400;

2,525 como aproximação para 𝑙𝑜𝑔335. De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

a) 12.

b) 14.

c) 15.

d) 16.

e) 17.

1. C

𝑀 = 3,30 + log(𝐴 ∙ 𝑓) 𝑀 = 3,30 + log (2000 ∙ 0,2) 𝑀 = 3,30 + log (400)

𝑙𝑜𝑔400 = log(4 ∙ 100) = 𝑙𝑜𝑔4 + log (100) = 𝑙𝑜𝑔2²+ 𝑙𝑜𝑔10²= 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 + 2 ∙ log1010 = 2 ∙ (0,3) + 2 ∙ 1 = 2,6 𝑀 = 3,30 + 2,60 = 5,90

De acordo com a tabela, 5,90 está classificado como Moderado.

2. D

Tem-se que 𝑅 = 𝑙𝑜𝑔 (𝐴

𝐴₀) ↔ 𝐴

𝐴₀= 10^𝑅↔ 𝐴 = 𝐴₀∙ 10^𝑅

Logo, se 𝐴_𝑗 𝑒 𝐴_𝑎 são, respectivamente, as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina, então:

𝐴_𝑗= 𝐴₀∙ 10⁹ 𝑒 𝐴_𝑎= 𝐴₀∙ 10⁷ Portanto:

𝐴_𝑗

𝐴_𝑎=𝐴₀∙ 10⁹

𝐴₀∙ 10⁷= 10⁹⁻⁷= 10²= 100

3. C

Em 1986, o número de transístores por centímetro quadrado era igual a 100000

0,25 = 400000

Desse modo, o número de transístores ao longo do tempo constitui uma progressão geométrica de primeiro termo 4 ∙ 10⁵ e razão 2. Ademais, se n é o número de períodos de 2 anos após 1986, então:

4 ∙ 10⁵∙ 2^𝑛≥ 10¹¹↔ 2²∙ 2^𝑛≥10¹¹

10⁵ ↔ 2^𝑛+2≥ 10⁶ Aplicando log nos dois lados, temos:

𝑙𝑜𝑔 (2^𝑛+2) ≥ 𝑙𝑜𝑔 (10⁶) ↔ (𝑛 + 2) ∙ 𝑙𝑜𝑔2 ≥ 6 ∙ 𝑙𝑜𝑔 10 (𝑛 + 2) ∙ 0,3 ≥ 6

𝑛 + 2 ≥ 6 0,3 𝑛 ≥ 20 − 2 𝑛 ≥ 18

A resposta é 1986 + 2 ∙ 18 = 2022

4. C

Se 𝐴 = 10⁻⁷, 𝐻 =^𝐴_𝐵 e a água dessa fonte foi classificada como neutra, então:

6 ≤ 𝑙𝑜𝑔₁₀ 𝐵

10⁻⁷< 7,5 𝑙𝑜𝑔₁₀10⁶≤ 𝑙𝑜𝑔₁₀ 𝐵

10⁻⁷< 𝑙𝑜𝑔₁₀10^7,5 10⁶≤ 𝐵

10⁻⁷< 10^7,5 10⁶≤ 𝐵

10⁻⁷< 10^7,5 10⁻¹≤ 𝐵 < 10^1⁄2

5. D

O tempo necessário, em dias para que a planta atinja 30 centímetros de altura é dado por:

30 = 5 ∙ log₂(𝑡 + 1) ↔ 6 = log₂(𝑡 + 1) ↔ 2⁶= 𝑡 + 1 ↔ 𝑡 = 64 − 1 = 63

Por outro lado, o tempo para que ela atinga 40 centímetros é, em dias, igual a:

40 = 5 ∙ log₂(𝑡 + 1) ↔ 8 = log₂(𝑡 + 1) ↔ 2⁸= 𝑡 + 1 ↔ 𝑡 = 256 − 1 = 255

Portanto, temos 255 − 63 = 192 6. E

Queremos calcular t para o qual se tem 𝑀(𝑡) = 0,1𝐴

Sabendo que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos, encontramos 𝑀(30) =𝐴

2↔ 𝐴 ∙ (2,7)^30𝑘 =𝐴

2↔ (2,7)^30𝑘 =1 2 (2,7)^30𝑘 = 2⁻¹

(2,7)^𝑘 = 2⁻³⁰¹

Assim, tomando 0,3 como aproximação para 𝑙𝑜𝑔₁₀2, vem 𝑀(𝑡) = 0,1 ∙ 𝐴 ↔ 𝐴 ∙ [(2,7)^𝑘]^𝑡= 0,1𝐴

[2⁻³⁰¹]

𝑡

= 10⁻¹

lo g 2^−30𝑡 = lo g 10⁻¹

− 𝑡

30∙ lo g 2 = −1 ∙ lo g 10

− 𝑡

30∙ 0,3 = −1 𝑡 ≅ 100

Ou seja, o resultado procurado é, aproximadamente, 100 anos.

Sendo 𝑖 = 0,0132 ao mês, temos:

𝑃 < 0,75𝑉 ↔ 𝑃 < 0,75 ∙ 𝑃(1 + 𝑖)^𝑛

↔ (1,0132)^𝑛>4 3

↔ 𝑙𝑛(1,0132)^𝑛> 𝑙𝑛4 3

↔ 𝑛 ∙ 𝑙𝑛(1,0132) > 0,2877

↔ 0,0131𝑛 > 0,2877 𝑛 >0,2877

0,0131↔ 𝑛 > 21 +126 131

Por conseguinte, como o menor inteiro maior do que 21 +¹²⁶₁₃₁ é 22, segue que a primeira parcela que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a (30 + 22)ª=52ª.

8. E

Analisando as informações do enunciado, para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor

comercial devemos o pH do solo precisa ser maior que 7 e menor que 8. Temos que pH = - log10 x e que x = [H⁺]

𝑝𝐻 = 7 − log₁₀[ℎ⁺] → −7 = log₁₀[𝐻⁺] → [𝐻⁺] = 10⁻⁷ 𝑝𝐻 = 8 − log₁₀[ℎ⁺] → −8 = log₁₀[𝐻⁺] → [𝐻⁺] = 10⁻⁸

Sendo assim, 10^-8 < x < 10^-7 9. C

Temos 2

3∙ log (𝐸₁

𝐸₀) = 9 → log (𝐸₁ 𝐸₀) =27

2 →𝐸₁ 𝐸₀= 10²⁷² 𝑒

2

3∙ log (𝐸₂

𝐸₀) = 7 → log (𝐸₂ 𝐸₀) =21

2 →𝐸₂ 𝐸₀= 10²¹² Então,

𝐸₁ 𝐸₀ 𝐸₂ 𝐸₀

= 10^272−212

𝐸₁

𝐸₂ = 10⁶²= 10³↔ 𝐸₁= 10³∙ 𝐸₂

10. D

Calculando:

𝑃_𝑚á𝑥= 400

400 =5000 ∙ 1,013^𝑛 ∙ 0,013

(1,013^𝑛−1) → 400 ∙ (1,013^𝑛− 1) = 65 ∙ 1,013^𝑛→ 400 ∙ 1,013^𝑛− 400 = 65 ∙ 1,013^𝑛 335 ∙ 1,013^𝑛= 400 → 1,013^𝑛=⁴⁰⁰

335→ 𝑙𝑜𝑔1,013^𝑛= log (⁴⁰⁰

335) → 𝑛 ∙ 𝑙𝑜𝑔1,013 = 𝑙𝑜𝑔400 − 𝑙𝑜𝑔335 𝑛 ∙ 0,005 = 2,602 − 2,525 → 𝑛 = 15,4 → 16 parcelas.