Introdu¸cão à probabilidade e à estat´ıstica II

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Introdu¸c˜ ao ` a probabilidade e ` a estat´ıstica II

Vari´aveis aleat´orias Cont´ınuas;χ²,t-Student eF-Snedecor

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: [email protected] Site: www.ime.usp.br/∼patriota

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Principais Distribui¸c˜ oes cont´ınuas

As principais distribui¸c˜oes cont´ınuas:

I Uniforme

I Exponencial

I Normal,

I t-Student,

I χ² (Qui-quadrado),

I F de Snedecor.

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Distribui¸c˜ ao Uniforme

Dizemos que a variável aleatóriaX tem Distribui¸cão Uniformecom parâmetrosa e b,−∞<a<b <∞ se sua fun¸cão densidade de probabilidade é dada por

f(x) = 1

b−a, a<x<b.

Nota¸c˜ao X ∼U(a,b).

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Distribui¸c˜ ao Uniforme

Função Densidade de Probabilidade da Uniforme

Valores de X

Densidade de probabilidade

a b

1 b−a

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Distribui¸c˜ ao Uniforme

Momentos:

I Valor Esperado: E(X) = ^a+b₂

I Variância: Var(X) = ^(b−a)₁₂ ² Fun¸cão de Distribui¸cão Acumulada

F(t) =P(X ≤t) =







0, set <a

t−a

b−a, sea≤t <b 1, set≥b Observe que, sea<c <d <b ent˜ao

P(c <X <d) = Z d

c

1

b−adx =F(d)−F(c).

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Distribui¸c˜ ao Exponencial

Dizemos que a variável aleatóriaX tem Distribui¸cão Exponencial com parâmetroβ,β >0 se sua fun¸cão densidade de probabilidade

´e dada por

f(x) = 1 β exp

− 1 βx

, x >0, e zero caso contr´ario. Nota¸c˜ao X ∼Exp(β).

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Distribui¸c˜ ao Exponencial

Função Densidade de Probabilidade da Exponencial

Valores de X

0 1 2

1β

X ~ EXP(1/2) X ~ EXP(1) X ~ EXP(2)

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Distribui¸c˜ ao Exponencial

Momentos:

I Valor Esperado: E(X) =β

I Variância: Var(X) =β² Fun¸cão de Distribui¸cão Acumulada

F(t) =P(X ≤t) =







0, set <0 1−exp

−_β¹t

, set ≥0 Observe que, se 0<a<b ent˜ao

P(a<X <b) = Z b

a

1 β exp

− 1 βx

dx =F(d)−F(c).

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Distribui¸c˜ ao Normal

Dizemos que a variável aleatóriaX tem Distribui¸cão Normal com parâmetrosµ eσ²,−∞< µ <∞ e 0< σ²<∞ se sua fun¸cão densidade de probabilidade é dada por

f(x) = 1 σ√

2πe⁻

(x−µ)2

2σ2 ,−∞<x <∞.

Nota¸c˜ao X ∼N(µ, σ²).

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Distribui¸c˜ ao Normal

Função Densidade de Probabilidade da Normal

Valores de X

µ =0

X ~ N(0,0.5) X ~ N(0,1) X ~ N(0,2) X ~ N(0,3)

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Distribui¸c˜ ao Normal

Momentos:

I Valor Esperado: E(X) =µ

I Variância: Var(X) =σ² Fun¸cão de Distribui¸cão Acumulada

F(t) =P(X ≤t) = Z t

−∞

1 σ√

2πe⁻

(x−µ)2 2σ2 dx.

Observe que

P(a<X <b) = Z b

a

1 σ√

2πe⁻

(x−µ)2

2σ2 dx =F(b)−F(a).

IMPORTANTE: A distribui¸cão normal padrão é tabelada e podemos obterP(a<X <b) da tabela.

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Distribui¸c˜ ao Qui-Quadrado

Dizemos que a variável aleatória cont´ınuaY temDistribui¸cão Qui-Quadradocom ν graus de liberdade, ν >0 inteiro, se sua fun¸cão densidade de probabilidade é dada por

f(y) =

( ₁

Γ(ν/2)2^ν/2y^ν/2−1e^−y^/2, y >0 0,y <0.

em que Γ(·) é a fun¸cão gama. Nota¸cãoY ∼χ²(ν).

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Distribui¸c˜ ao Qui-Quadrado

Função Densidade de Probabilidade da Qui−quadrado

Valores de Y

X ~ χ²₍2) X ~ χ²₍4) X ~ χ²₍8) X ~ χ²₍16)

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Distribui¸c˜ ao Qui-Quadrado

Momentos:

I Valor Esperado: E(Y) =ν

I Variˆancia: Var(Y) = 2ν

IMPORTANTE: A distribui¸cão de Qui-Quadrado é tabelada para vários valores deν (graus de liberdade). A tabula¸cão em geral é diferente da tabula¸cão da distribui¸cão normal.

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Distribui¸c˜ ao Qui-Quadrado

RESULTADOS:

1. SejaZ ∼N(0,1). Então a variável aleatóriaY =Z² tem distribui¸cão de Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade.

2. SejaX ∼χ²(ν), ent˜ao X−ν

√

2ν ≈N(0,1).

Se n≥30 a aproxima¸c˜ao pela normal ser´a boa.

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Exerc´ıcios

1. SejaY o tempo de vida, em anos, de uma lˆampada fluorescentes compacta. Assuma que Y ∼χ²(5). Calcule

1.1 Os quantis deY (0,1; 0,2; 0,5; 0,8; 0,9) 1.2 A esperan¸ca e variˆancia deY

1.3 P(Y <3)

Use a tabela.

2. SejaX ∼N(0,2), utilizando as propriedades da distribui¸c˜ao Qui-quadrado calcule

2.1 E(X²) eE(X⁴)

2.2 P(X²>1) eP(X²<2) (se a tabela n˜ao permitir o valor exato, apresente intervalos)

Repita o exerc´ıcio 1. aproximando os resultados para a distribui¸c˜ao normal. Considere tamb´em ν = 50 e compare os resultados.

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Distribui¸c˜ ao t de Student

TEOREMA:

SejaZ uma v.a. N(0,1) e Y uma v.a. χ²(ν), comZ e Y independentes. Ent˜ao a v.a.

T = Z pY/ν

tem distribui¸c˜ao t de Studentcom ν graus de liberdade, com densidade de probabilidade dada por

f(t) = Γ ((ν+ 1)/2) Γ(ν/2)√

πν 1 +t²/ν−(ν+1)/2

,−∞<t<∞.

Nota¸c˜ao T ∼t(ν)

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Distribui¸c˜ ao t de Student

Momentos:

I Valor Esperado: E(T) = 0, ν >1

I Variˆancia: Var(T) = _ν−2^ν , ν >2.

IMPORTANTE: A distribui¸cãot de Student é tabelada para vários valores deν.

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Distribui¸c˜ ao t de Student

Função Densidade de Probabilidade da t−Student

Valores de T

0

T ~ t(1) T ~ t(3) T ~ t(8) T ~ t(30) X ~ N(0,1)

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Exerc´ıcios

1. SejaT ∼t(5). Calcule

1.1 Os quantis deT (0,1; 0,2; 0,5; 0,8; 0,9) 1.2 A esperan¸ca e variˆancia deT

1.3 P(T <−3) eP(T >3) (se a tabela n˜ao permitir o valor exato, apresente intervalos)

Use a tabela. Refa¸ca considerandoν = 30 graus de liberdade.

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Distribui¸c˜ ao F de Snedecor

TEOREMA:

SejamU eV duas variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribui¸cão qui-quadrado com ν1 e ν2 graus de liberdade, respectivamente. Então a v.a.

W = U/ν1

V/ν2

tem distribui¸c˜ao F de Snedecorcom ν₁ graus de liberdade no numerador eν₂ graus de liberdade no denominador. A densidade de probabilidade ´e dada por

f(w) = Γ ((ν1+ν2)/2) Γ(ν₁/2)Γ(ν₂/2)

ν1

ν₂ ν1/2

w^ν¹^/2−1

(1 +ν1w/ν2)^(ν¹^+ν²^)/2,w >0.

Nota¸c˜ao W ∼F(ν₁, ν₂)

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Distribui¸c˜ ao F de Snedecor

Momentos:

I Valor Esperado: E(W) = _ν^ν²

2−2 paraν2 >2

I Variˆancia: Var(W) = _ν^2ν²²^(ν¹^+ν²⁻²⁾

1(ν2−2)²(ν2−4) para ν₂>4

IMPORTANTE: A distribui¸c˜aoF de Snedecor ´e tabelada para alguns valores deν1 e ν2.

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Distribui¸c˜ ao F de Snedecor

Função Densidade de Probabilidade da F

Valores de W

W ~ F(5,5) W ~ F(10,10) W ~ F(10,20) W ~ F(20,10) W ~ F(20,20)

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Propriedades

I Se W ∼F(ν1, ν2), ent˜ao W⁻¹∼F(ν2, ν1).

I Se W ∼F(ν1, ν2), ent˜ao

Y = lim

ν2→∞ν1W tem distribui¸c˜aoχ²(ν₁)

I Se T ∼t(ν), ent˜aoT² ∼F(1, ν).

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Exerc´ıcios

1. SejaW ∼F(2,7). Calcule 1.1 Os quantis deW (0,05; 0,025) 1.2 A esperan¸ca e variˆancia deW

1.3 P(W <3),P(W >1/3) (usando computador)

Refa¸ca considerandoW ∼F(7,2).

Use o programa estat´ıstico R para calcular as probabilidades das distribui¸c˜oes Uniforme, Exponencial, Normal,

Qui-quadrado, t-Student, F de Snedecor.