Introdu¸cão à probabilidade e à estat´ıstica II

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Introdu¸c˜ ao ` a probabilidade e ` a estat´ıstica II

Revis˜ao

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/∼patriota

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Estat´ıstica

Estat´ıstica: É uma ciência que se dedica à coleta, organiza¸cão, análise e interpreta¸cão de dados. É um conjunto de técnicas e procedimentos que auxilia a compreender/descrever/inferir quantidades de interesse que a priori são desconhecidas.

Estat´ıstica descritiva: Consiste em apresentar, descrever e resumir os dados obtidos (seja de uma amostra ou popula¸c˜ao).

Geralmente é a primeira etapa da análise de dados e permite tirar algumas conclusões iniciais.

Probabilidade: A teoria das probabilidades auxilia na modelagem de fenômenos aleatórios, ou seja, aqueles em que está presente a incerteza.

Estat´ıstica indutiva: Consiste na extrapola¸c˜ao para a popula¸c˜ao dos resultados obtidos em uma amostra.

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Exemplos

I Analisar a toxicidade de um extrato vegetal em larvas do mosquitos da dengue;

I Verificar se um rem´edio ´e mais eficaz que outro dispon´ıvel no mercado;

I Verificar quais fatores de risco (fumar, obesidade, colesterol alto, etc) est˜ao relacionados com problemas cardiovasculares;

I Calcular a probabilidade de um indiv´ıduo pagar um empr´estimo;

I Prever lucros e despesas de uma empresa;

I Prever o tempo de sobrevida de doentes ou materiais;

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Popula¸c˜ ao e Amostra

Popula¸cão: A cole¸cão de todos os poss´ıveis elementos sob investiga¸cão é denominada de popula¸cão ou universo.

Em todos os problemas estat´ısticos devemos inicialmente definir qual a popula¸c˜ao alvo. Com ela, estar˜ao relacionadas as

quantidades de interesse.

Amostra: E um subconjunto da popula¸´ c˜ao.

A amostra é utilizada quando não temos acesso a popula¸cão toda e serve como base para inferir sobre quantidades de interesse relacionadas à popula¸cão.

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Amostra representativa da Popula¸c˜ ao

Uma amostra é representativa da popula¸cão quando nela estão contidas idealmente todas as caracter´ısticas e/ou propriedades da popula¸cão alvo.

Ou seja, uma amostra representativa deve ter um comportamento parecido com o da popula¸c˜ao.

Caso contr´ario, diremos que a amostra ´e enviesada ou viciada.

Os m´etodos estat´ısticos para a retirada de amostras representativas s˜ao estudados na disciplina de amostragem.

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Tipos de vari´ aveis

Há dois tipos de variáveis, a saber: variáveis quantitativas e qualitativas.

Vari´aveis quantitativas descrevem quantidades (discretas e cont´ınuas)

Vari´aveis qualitativasdescrevem qualidades (ordinais e nominais).

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Diagrama

Fonte: Bussab, W.O. e Morettin, P.A. (2012). Estat´ıstica B´asica.

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Vari´ aveis aleat´ orias

Variáveis aleatórias são fun¸cões reais dos elementos do espa¸co amostral Ω podendo ser

I Discretas (o suporte é enumerável): número de filhos, número de falhas ocorridas, etc.

I Cont´ınuas (o suporte é não-enumerável): peso, tempo de vida, lucro, etc.

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Vari´ aveis aleat´ orias Discretas

Exemplo 1: SejaX a variável aleatória que assume os valores 0,1,2 com fun¸cão de probabilidades P tal que

P(X = 0) =P(X = 1) =P(X = 2) = 1 3.

Exemplo 2: SejaX a variável aleatória que assume os valores 0,1,2 com fun¸cão de probabilidades P tal que

P(X = 0) =p0, P(X = 1) =p1, P(X = 2) =p2. Note que as condi¸cões necessárias para queP seja uma fun¸cão de probabilidades são

p₀+p₁+p₂= 1 e 0<p_i <1

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Vari´ aveis aleat´ orias Discretas

Exemplo 3: SejaX a variável aleatória que assume os valores x₀,x₁,x₂, . . . ,x_k com fun¸cão de distribui¸cão de probabilidades P tal que

P(X =x_i) =p_i, i = 0,1,2, . . . ,k

com k

X

i=0

pi = 1 e 0<pi <1

Exemplo 4: SejaX a variável aleatória que assume os valores x₀,x₁,x₂, . . . com fun¸cão de distribui¸cão de probabilidadesP tal que

P(X =x_i) =p_i, i = 0,1,2, . . . com

X

i≥0

p_i = 1 e 0<p_i <1

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Apresenta¸c˜ ao da fun¸c˜ ao de probabilidades

Uma forma simples de apresenta¸cão da fun¸cão de probabilidades de uma variável discreta X é dada abaixo

X x₀ x₁ . . . x_k

P(X =x) p0 p1 . . . pk

X P(X =x) x₀ p₀ x₁ p₁ ... ... x_k p_k

Notem a semelhan¸ca com tabelas de frequˆencias. Qual a diferen¸ca?

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Lan¸camentos de dados

Suponha o seguinte experimento: lan¸car um dado de 10 faces.

Defina a variável aleatóriaX como sendo o valor numérico da face voltada para cima. Note que não conhecemos o valor antes de executar o experimento.

Neste caso podemospostular um modelo probabil´ıstico para os poss´ıveis valores observados.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X =x) ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ ₁₀¹ A fim de verificar o modelo postulado poderemos executar o experimentoN vezes e criar uma tabela de frequˆencias.

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Valor esperado e variˆ ancia de uma v.a. discreta

SejaX a vari´avel aleat´oria que tem suporteS_X ={x₁,x₂, . . . ,x_k} com

P(X =x_i) =p_i, i = 1,2, . . . ,k Esperan¸ca matem´atica de X ´e dada por

E(X) =x1p1+x2p2+. . .+xkpk =

k

X

i=1

xipi

Variˆancia de X ´e definida por

Var(X) = (x₁−E(X))²p₁+ (x₂−E(X))²p₂+. . .+ (x_k−E(X))²p_k

=

k

X

i=1

(xi −E(X))²pi

O desvio-padrão DP(X) é dado pela raiz quadrada da variância.

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Fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao acumulada

SejaX a vari´avel aleat´oria que assume os valoresx1,x2, . . . ,xk com P(X =xi) =pi, i = 1,2, . . . ,k

A fun¸cão de distribui¸cão acumulada é definida por F(t) =P(X ≤t) t∈R

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Principais distribui¸c˜ oes discretas

Fonte: Bussab, W.O. e Morettin, P.A. (2012). Estat´ıstica B´asica.

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Vari´ aveis aleat´ orias Cont´ınuas

Exemplo 1: SejaX uma v.a. cont´ınua com fun¸c˜ao densidade de probabilidades

f(x) = ₁

b−a, sex∈(a,b) 0, caso contr´ario

f(x) =

3x², sex∈(0,1) 0, caso contr´ario

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Vari´ aveis aleat´ orias Cont´ınuas

f(x) = ₁

β exp(−x/β), sex>0 0, caso contr´ario

f(x) = 1

σ√

2πexp

− 1

2σ²(x−µ)²

Lembre-se dafun¸c˜ao gama: Γ(k) =R∞

0 x^k−1exp(−x)dx e suas propriedades: 1. Γ(k+ 1) =kΓ(k); 2. parak inteiro, Γ(k+ 1) =k!; 3.

Γ(1/2) =√ π.

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Valor esperado e variˆ ancia de uma v.a. cont´ınua

SejaX a variável aleatória cont´ınua com suporteSX e fun¸cão densidadef.

Esperan¸ca matem´atica de X ´e dada por E(X) =

Z ∞

−∞

xf(x)dx

Variˆancia de X ´e definida por Var(X) =

Z ∞

−∞

[x−E(X)]²f(x)dx

O desvio-padrão DP(X) é dado pela raiz quadrada da variância.

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Fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao acumulada

A fun¸cão de distribui¸cão acumulada é definida por F(t) =P(X ≤t) =

Z t

−∞

f(x)dx, t ∈R.

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Quantis

Op-quantil é o valor que divide a densidade de dados em duas regiões onde a primeira (a região à esquerda) tem áreap e a segunda (a região à direita) tem área 1−p.

Ou seja, o p-quantil ´e o valorqp tal que p =F(qp)

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Principais Distribui¸c˜ oes

Principais distribui¸c˜oes cont´ınuas:

I Uniforme

I Exponencial

I Normal,

I t-Student,

I χ² (Qui-quadrado),

I F de Snedecor.

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Pacotes Estat´ısticos

Alguns pacotes estat´ısticos: MINITAB, SAS, SPLUS, SPSS, MATLAB, Maple, R.

Neste curso, sempre que necess´ario, eu utilizarei o R que pode ser obtido gratuitamente no endere¸co: http://CRAN.R-project.org

Aprenda a usar o R:

http://www.feferraz.net/files/Rlang-PT.pdf