Estes símbolos podem ser 0 s e 1 s, ou podem ser símbolos quaternários (M = 4),

5. Deteção e Estimação

5.1 – Modelo do Sistema Digital

Cada símbolo de mensagem mi (i = 1, 2, …, M) é transmitido a cada Tp segundos, onde Tp é o tempo de duração de qualquer uma das mensagens mi.

Estes símbolos podem ser 0’s e 1’s, ou podem ser símbolos quaternários (M = 4), ou etc.

Considera-se que todos os símbolos têm igual probabilidade: pi = 1/M = Pr (emitir mi), i = 1, …, M. Isso pode ser conseguido com a codificação de Huffman, por exemplo.

O vetor de transmissão produz M símbolos (M formas de onda, uma para cada mi) sendo que cada símbolo terá N números (devido à decomposição das formas de onda em uma combinação linear de N funções base).

M

N

M

,

2,

1,

i

s

s

s

s

m

iN i2 i1 i produz i

=

≤

























=

⇒

L

M

Tendo si como entrada, o modulador produz si(t), o qual tem energia finita

dt

(t)

s

E

Tp 0 2 i i

=

∫

O canal de transmissão consegue enviar todos os si(t) possíveis. Entram no canal sinais indesejáveis (diferentes de si(t)) chamados de ruído. Esse ruído é considerado aditivo, de média zero, estacionário, branco, formando um processo Gaussiano denotado por w(t). Este ruído é simbolizado por AWGN (Aditive White Gaussian Noise).

No receptor chega, então, o sinal x(t) = si(t) + w(t), 0 ≤ t ≤ Tp, i = 2, …, M.

O receptor observado x(t) produz a melhor estimativa de mi num tempo de Tp segundos. Esta estimativa é simbolizada por

m

ˆ

_i. Tp é a duração do sinal (pulso).

A estimativa leva em conta as probabilidades pi e o conhecimento sobre si, tendo em vista que temos um ruído branco somado ao sinal de informação. Essa estimativa produz um erro médio que pode ser interpretado como tendo em média 1 bit errado de tantos em tantos bits (ou símbolos M-ários).

(

i i

)

r

e

P

m

ˆ

m

P

=

≠

Por exemplo: Pe = 10-4 significa que em média tem-se um bit errado a cada 10.000 bits transmitidos.

O que se deseja fazer é obter um algoritmo (uma maneira de se estimar) que faça com que a estimativa produza um erro mínimo (aceitável na estimativa da informação).

O procedimento que se segue faz com que se tenha uma melhor manipulação dos sinais que chegam ao receptor, e dessa forma uma melhor relação sinal/ruído de recepção. Esse procedimento é baseado em se obter sinais ortogonais (ortonormais) que fazem com que o ruído no receptor fique fracionado em partes estatisticamente independentes.

5.2 – Ortogonalização de Gram-Schmidt

Tem-se M sinais (si(t), i = 1, 2, …, M) de energia e deseja-se obtê-los como (função) combinação linear de N funções bases (N ≤ M).

∑

=

≤

≤

=

=

N 1 j ij j p i

(t)

s

(t)

0

t

T

i

1,

2,

,

M

s

φ

L

As funções bases são φj(t) j = 1, …, N, sendo sij coeficientes constantes dados pela projeção de si(t) em φj(t). p T t ij ₀ j

i 1, 2, , M

s

s (t) (t) dt

j 1, 2, , N

φ

  

=

=

_∫

₌

L

_L

As funções bases são ortonormais, isto é,

p

T

k

l

0

1 se k l

(k) (t) dt =

0 se k l

φ

φ

  

=

≠

∫

Procedimentos para se obter a ortogonalização de Gram-Schmidt:

É claro que se um determinado sinal (exemplo sM(t)) é linearmente dependente dos outros, então obtém-se

aM sM(t) + a1 s1(t) + a2 s2(t) + … + aN sN+1(t) = 0 0 ≤ 1 ≤ Tp

onde aM e alguns outros coeficientes ai são diferentes de zero.

Exemplo: É dado o conjunto abaixo:

É claro que s1(t) + s3(t)= s4(t). Logo teremos pelo menos 3 sinais L.I. Retiremos s4(t). Será que entre s1, s2, s3 existe independência linear ? Neste caso, eles são L.I. (s1, s2, s3), até porque estão em intervalos de tempo diferentes.

Dentre os possíveis conjuntos

( )

C

3₄ :

1. s1 s2 s3 Poderíamos escolher qualquer um desses, exceto o terceiro, pois os sinais não são L.I. 2. s1 s2 s4

3. s1 s3 s4 4. s2 s1 s4

20) Obtenção das funções bases φ(t)

Estas funções são ortonormais. Escolhe-se qualquer um dos si(t) L.I. para formar φ1(t). Escolhamos s1(t) e normalizemos:

∫

=

Tp 0 2 1 1

s

(t)

dt

E

1 1 1

E

)

(

s

(t)

=

t

φ

Neste caso s1(t) =

E

₁

φ

₁

(t)

, ou seja, s11 =

E

e s1j = 0 para j = 2, …, N.

Tendo-se φ1(t) podemos obter o coeficiente s21 de s2(t).

∫

=

Tp

0 2 1 21

s

(t)

(t)

dt

s

φ

Defina-se uma função intermediária g2(t) que será igual a s2(t) menos o vetor s2(t) projetado em φ1(t)

g

2

(t) = s

2

(t) - s

21

φ

1

(t)

Essa função é ortogonal a

φ

₁

(t)

em (0, Tp), pois:

0

s

-s

dt

(t)

s

-(t)

(t)

s

dt

(t)

(t)

g

₁2 _{21 21} T 0 T 0 T 0 21 1 2 1 2 p

=

p p

=

=

∫

φ

∫

φ

∫

φ

Como g2(t) é ortogonal a φ1(t), podemos escolher φ2(t) igual a g2(t) normalizado, ou seja: p T 0 2 2 2 2

0

t

T

dt

(t)

g

(t)

g

(t)

p

≤

≤

=

∫

φ

[

s

(t)

-

s

(t)

]

dt

(t)

s

-(t)

s

(t)

p T 0 2 1 21 2 1 21 2 2

∫

=

φ

φ

φ

O denominador será igual a:

∫

Tp

∫

p

+

∫

p 0 T 0 T 0 2 1 2 21 1 21 2 2 2

dt

-

2

s

(t)

s

(t)

dt

s

(t)

dt

s

φ

φ

2 21 2 2 21 2 21 2

-

2s

s

E

-

s

E

+

=

=

2 21 2 1 21 2 2

s

-E

(t)

s

-(t)

s

(t)

φ

φ

=

onde E2 é a energia de s2(t).

Prosseguindo, definamos a função intermediária:

g

3

(t) = s

3

(t) – s

31

φ

1

(t) – s

32

φ

2

(t)

onde

s

₃₁

=

∫

₀Tp

s

₃

(t)

φ

₁

(t)

dt

e

s

₃₂

=

∫

₀Tp

s

₃

(t)

φ

₂

(t)

dt

Vê-se que

g

3

(t)

é ortogonal a

φ

1

(t)

e a

φ

2

(t)

. Logo, basta normalizar

g

3

(t)

para

se obter

φ

3

(t)

.

Continuando dessa maneira, vamos obter um conjunto ortonormal. Assim os sinais s1(t), s2(t), …, sM(t) podem ser obtidos como combinação linear de φ1(t), φ2(t), …, φN(t), ou seja:

(t)

E

(t)

s

₁

=

₁

φ

₁

(t)

s

-E

s

(t)

s

₂

=

₂₁

φ

_t

+

₂ 2₂₁

φ

₂

onde

s

₂₂

=

E

₂

-

s

2₂₁

(t)

dt

(t)

g

(t)

s

(t)

s

(t)

s

₃

=

₃₁

φ

₁

+

₃₂

φ

₂

+

_∫

₀Tp ₃2

φ

₃ onde

s

₃₃

=

∫

₀Tp

g

₃2

(t)

dt

No exemplo anterior tinhamos:

Escolhendo s1(t), s2(t) e s3(t) como L.I., teremos após cálculos sobre esse conjunto:

Para melhor estimar si(t) no receptor, estimamos si1, si2, …, siN e com base nestes valores, dizemos o que foi transmitido (bits enviados pelo transmissor).

5.3 – Resposta do Detetor à Entrada com Ruído

Na figura anterior, devido às imperfeições do canal de comunicações, não chega somente si(t), chega também ruído, ou seja:

x(t) = s2(t) + w(t)

onde w(t) é um ruído AWGN de média zero e densidade espectral de potência igual a N0/2.

A saída do detetor (correlatores) não é somente si1, si2, …, siN mas por causa do ruído será:

N

,

2,

1,

j

w

s

dt

(t)

x(t).

x

_j

=

_∫

₀Tp

φ

_j

=

_ij

+

_j

=

_L

sij ≡ si1, si2, si3, …, siN

xj é uma variável aleatória onde sij é constante em termos de variável aleatória e wj é aleatório. Como w(t) é AWGN, wj também será e por consequência, xj também será. Basta então descobrirmos a média e a variância de xj para que o processo aleatório esteja definido, já que se a entrada do sistema linear é Guassiana, a saída também será:

E[xj] = E[sij + wj] = sij + E[wj] = sij

[ ]

w

E

[

w(t)

(t)

dt

]

E

[ ]

w(t)

dt

0

E

_j

=

_∫

₀Tp

φ

_j

=

_∫

₀Tp

φ

_j

=

sendo a média de wj é igual a zero, a variância é calculada como

E

[

(

x

_j

-

x

_j

)

2

]

=

σ

_x2_j

(

)

[

] [ ]

2 j 2 j j ij 2 x_j

=

E

s

+

w

-

x

=

E

w

σ

porém,

w

_j

=

∫

₀Tp

w(t)

φ

_j

(t)

dt

∫

∫

=

∫ ∫

=

Tp p p p 0 T 0 T 0 T 0 j j j j 2

j

w(t)

(t)

dt

w(u)

(u)

du

w(t)

w(u)

(t)

(u)

dt

du

w

φ

φ

φ

φ

p p p p T T 2 j _{0 0} j j T T j j 0 0

E w E

w(t) w(u). (t). (u) dt du

(t). (u).E w(t) w(u) dt du

φ

φ

φ

φ

          _{ }    

=

_{∫ ∫}

=

∫ ∫

du

dt

u)

-(t

.R

(u)

(t).

_w T 0 T 0 j j p p

∫ ∫

=

φ

φ

Rw(t-u) é a função de autocorrelação do ruído w(t). A densidade espectral é constante igual a Sw(f) = N0/2. Logo:

[

]

.

(t

-

u)

2

N

(f)

S

F

u)

-(t

R

_w

=

-1 _w

=

0

δ

onde a função delta







≠

=

∞

=

u

t

0

u

t

u)

-(t

δ

Então:

[ ]

N

₂

dt

(t)

.

2

N

du

dt

u)

-(t

2

N

(u)

(t)

w

E

T 0 0 2 j 0 T 0 T 0 j j 0 2 j

=

∫ ∫

p p

φ

φ

δ

=

∫

p

φ

=

2

N

₀ 2 x_j

=

σ

No detetor, à cada variável sij será somado um ruído Gaussiano cuja média é zero e variância N0/2, ou seja:

(

)





















=

2

.

2

N

s

-x

-exp

.

2

N

.

2

1

)

/m

(x

f

0 2 ij j 0 i j j X

π

para j = 1, 2, ..., N.

5.4 – Deteção de Sinais Conhecidos em Presença de Ruído

Cada sinal si(t) i = 1, 2, …, M tem duração de Tp segundos. Nesse tempo, um desses sinais foi transmitido com igual probabilidade Prob(transmitir mi) = 1/M. Como o canal não é ideal, entra ruído, que é considerado aditivo e Gaussiano.

Logo, chega ao receptor:

M

.

2,

1,

i

T

t

0

w(t)

(t)

s

x(t)

=

_i

+

≤

≤

_p

=

L

As coordenadas de si(t), função das N funções bases podem ser representadas no espaço Euclidiano. Os M pontos (M sinais si(t)) formam a constelação de sinais. Cada si(t) é um vetor de N coordenadas.

Devido ao ruído, teremos no receptor, um sinal x(t) que também terá N coordenadas mas que nesse caso é aleatório. Esse vetor x(t) é chamado de vetor recebido ou vetor de observação. A orientação desse vetor no espaço Euclidiano é completamente aleatória.

5.4.1 – Detetor de Máxima Verossimilhança (Maximum-Likelihood) ou Máxima Probabilidade

Quando mi é transmitido, o detetor tenta estimar mi pelo vetor de observação de x(t). Caso o receptor faça a decisão m = mi, haverá uma probabilidade de erro associada, dada por:

Pe(mi, x) → Prob(mi não tenha sido transmitido/x) = 1 – Prob(mi ter sido transmitido/x)

Uma decisão ótima seria fazer:

Escolha-se m = mi, se

Prob(mi transmitido/x) ≥ Prob(mk transmitido/x)

Que é equivalente a achar:

f(mk/x) máximo

M

,

2,

1,

k

k,

=

L

∀

Esta decisão é chamada de probabilidade máxima a posteriori. Essa condição também pode ser colocada como (utilizando a regra de Bayes)

Faça m = mi, se

i

k

para

máximo

for

(x)

f

)

m

(x

f

p

x k x k

₌

onde pk é a probabilidade de se transmitir o símbolo mk.

fx(x|mk) é a função densidade de probabilidade dado um valor mk; também chamada neste caso de função de verossimilhança.

Como o denominador da expressão acima não depende de mk podemos suprimí-lo já que desejamos achar qual o valor de mk que torna máxima a expressão. Da mesma forma, como pk é constante (símbolos equiprováveis), a maximização da expressão acima, independe de pk, logo tem-se:

Escolha-se m = mi, se

fx(x|mk) é máximo para k = i.

É comum usar-se também a decisão:

Escolha-se m = mi, se

ln[fx(x|mk)] é máximo para k=i,

porque a dependência em mk está, normalmente, no argumento de exp[ ... ].

Para exemplificar, viu-se que a resposta de um detetor de correlação à entrada com ruído AWGN de média zero e densidade espectral de potência igual a N0/2 era

(

)

















=













0 2 0 j 0 i j xj

_N

s

-x

-exp

.

N

1

m

x

f

π

A probabilidade do vetor x que tem como coordenadas x1, x2, …, xj, …, xN é a probabilidade conjunta dessas variáveis aleatórias que, neste caso são independentes.

Logo:

(

x

m

)

)

f

)

m

f

)

m

(x

).f

m

(x

f

)

m

(x

f

N _{j i} 1 j x i x i 2 x i 1 x i X _{1 2 N}

∏

_j =

=

=

L

(

)

(

)













=

∑

= N 1 j 2 ij j 0 N/2 0 i X

_N

.

x

-

s

1

-exp

.

N

.

1

)

m

(x

f

π

Então teremos como decisão:

Decide-se por mi, se

(

)

[

]

(

)

(

x

-

s

)

k

1,

2,

,

M

N

1

-.N

ln

.

2

N

-m

x

f

ln

2 N 1 j j kj 0 0 k x

=

∑

=

L

=

π

for máxima para k = i, ou

Decide-se por mi, se

(

x

-

s

)

k

1,

2,

,

M

N

1

-2 N 1 j j kj 0

L

=

∑

=

for máxima para k = i, já que

ln

(

N

₀

)

2

N

-

π

é constante; ou ainda: Decide-se por mi se

(

)

∑

N

=

j1 2 kj j

-

s

k

1,

2,

,

M

x

L

for mínima para k = i

Porém,

(

)

2 N 1 j j kj k

x

-

s

s

-x

∑

=

=

representa a distância entre o ponto de sinal recebido x e o ponto de mensagem sk no espaço Euclidiano.

Continuando-se, tem-se:

(

x

-

s

)

tem

que

ser

mínimo

2 N 1 j j kj

∑

=

(

)

∑

∑

∑

∑

=

=

= =

+

= N 1 j N 1 j N 1 j N 1 j 2 kj kj j 2 j 2 kj j

-

s

x

-

2

.

x

.

s

s

x

Como estamos tentando obter o valor de k que torna mínima essa expressão, vemos que podemos suprimir o termo

∑

= N 1 j 2 j

x

pois não depende de k.

Por outro lado, o termo

∑

= N 1 j 2 kj

s

representa a energia do sinal transmitido sk(t).

Então

∑

(

)

= N 1 j 2 kj j

-

s

x

tem que ser mínimo, é equivalente a

∑

=

+

N 1 jh j kj k

E

s

.

x

2

-

ser mínimo, que é equivalente a

∑

= n 1 j j kj k

E

2

1

-s

.

x

ser máximo para k = i.

Resumindo, decide-se por k = i, se

∑

= N 1 j j kj k

E

2

1

-s

.

x

for máximo para k = i.

Como exemplo, se tivermos N = 2 funções bases e M = 4 sinais a serem transmitidos da seguinte forma:

Sendo as bases: p c 1

.

cos(2

f

t)

0

t

T

T

2

(t)

=

π

≤

≤

φ

p c 2

_T

.

sin(2

f

t)

0

t

T

2

(t)

=

π

≤

≤

φ

Sendo os sinais transmitidos iguais a:

(t)

.

E

(t)

s

(t)

.

E

(t)

s

₁

=

φ

_{1 2}

=

φ

₂

(t)

.

E

-(t)

s

t)

.

E

-(t)

s

₃

=

φ

_{1 4}

=

φ

₂

5.5 – Probabilidade de Erro

Um êrro ocorre quando mi foi transmitido porém o sinal recebido não cai na região Zi.

Esse êrro tem uma chance de ocorrer dado pelo sua probabilidade Pe.

∑

=

=

M 1 i e

Pr

P

(mi ter sido transmitido).Pr(x recebido não cai na região Zimi foi

transmitido)

(

)

M

e i i

i 1

1

P

Pr x não estar em Z m foi transmitido

M

₌

=

∑

(

)

M e i i i 1

1

P 1 -

Pr x estar em Z m foi transmitido

M

₌

=

∑

Porém

(

)

=

∫

i Z x i i i

m

foi

transmiti

do

f

(x

m

)

dx

Z

em

estar

x

Pr

Logo

∑ ∫

=

=

M 1 i Z i i e _i

f

(x

m

)

dx

M

1

-

1

P

Exemplo 2: Sinalização M-ária

Suponha que se deseja transmitir os seguintes sinais:

p 2 1

a

0

t

T

2

1

-(t)

s

a

2

3

-(t)

s

=

=

≤

≤

constante

é

a

a

2

3

(t)

s

a

2

1

(t)

s

₃

=

₄

=

Neste caso só temos φ1(t) igual a

T

t

0

T

1

(t)

1

=

≤

≤

φ

T

2

a

s

T

2

a

-s

T

a

2

3

-s

₁₁

=

₂₁

=

₃₁

=

T

1

0

(t)

.

s

(t)

s

T

a

2

3

s

₄₁

=

_i

=

_i1

φ

₁

≤

≤

__________________________________________________________ 3 a a 3a - T - T T _a T 2 2 2

1

(t)

φ

Os sinais si(t) i = 1, … 4 são transmitidos e chega ao receptor x(t) = si(t) + w(t) 0 ≤ 1 ≤ T onde w(t) é um ruído AWGN.

Neste caso cada par de dígitos (dibit) transmitidos se somará ao ruído branco de densidade espectral igual a N0/2.

Forma de Onda Símbolo Dibit (Código de Gray)

s1(t) m1 00

s2(t) m2 01

s3(t) m3 11

s4(t) m4 10

Suponha que se transmita o dibit 00 (código m1). Neste caso no receptor, teremos a variável aleatória X1 que é uma função amostra de x(t), que neste caso só tem uma coordenada.

[ ]

a

T

2

3

-s

w

s

X

E

x

₁

=

₁

=

₁₁

+

_i

=

₁₁

=

Então

[ ]

2 x1 0 1

₂

N

X

var

=

=

σ

Então a função densidade de probabilidade

1 X

f

(x1/m1) será igual a

(

)













=













₂ 11 1 0 0 i j X1

_N

x

-

s

1

-exp

.N

1

m

x

f

π

T

2

3a

s

T

2

a

s

T

2

a

-s

T

a

3a

-s

₁₁

=

₂₁

=

₃₁

=

₄₁

=

A probabilidade de êrro na certeza que se transmite o símbolo m1 (dibit 00) é dada pelo receptor ter decidido que fora transmitido m2 (dibit 01) ou m3 (dibit 11), ou m4 (dibit 10), ou seja,

00)

(10

P

00)

(11

P

00)

(01

P

(00)

P

_e

=

_e

+

_e

+

_e Porém, temos:

(

)

_-0_{a T} 1 2 1 0 0 1 1 1 X e

a

T

dx

2

3

-x

N

1

-exp

N

1

dx

/m

x

f

(01/00)

P

2 1

∫

∫









































=

=

π

Z

(

)

1 T a 0 2 1 0 0 1 1 1 X e

₂

a

T

dx

3

-x

N

1

-exp

N

1

dx

/m

x

f

(11/00)

P

3 1

∫

∫









































=

=

π

Z

(

)

_{a T} 1 2 1 0 0 1 1 1 X e

a

T

dx

2

3

-x

N

1

exp

N

1

dx

/m

x

f

(10/00)

P

4 1

∫

∫

∞









































=

=

π

Z

Define-se as funções erro [erf(u)] e erro complementar [erfc)u)], como sendo (vide apêndice A dessa apostila):

erfc(u)

-1

dy

e

2

erf(u)

=

∫

₀u -y2

=

π

)

2

Q(u

2

dy

e

2

erfc(u)

=

∫

_u∞ -y2

=

π

onde

dy

e

2

1

)

Q(y

)

y

Prob(Y

_{0 0 y} -y2/2 0

∫

∞

=

=

≥

π

Assim como a distribuição normal, as funções erf(u) e erfc(u) são tabeladas. Neste exemplo, tem-se então:

















































=

0 0 e

_N

T

2

3a

erfc

-N

T

2

a

erfc

2

1

(01/00)

P

















































=

0 0 e

_N

T

2

5a

erfc

-N

T

2

3a

erfc

2

1

(11/00)

P

















=

0 e

_N

T

2

5a

erfc

2

1

(10/00)

P

Logo

( )

_















=

0 e

N

T

2

a

erfc

2

1

00

P

Analogamente, podem-se obter Pe(01), Pe(11) e Pe(10).

∑

=

=

4 1 i i e i e

p(m

)

P

(m

)

P

Assumindo-se que os dígitos mi são equiprováveis (p(mi) = ¼) e somando-se todos os termos de Pe, teremos:

















=

0 e

N

T

2

a

erf

4

3

P

Este exemplo pode ser generalizado para:

2

a

1)

-(M

,

3a/2,

a/2,

(t)

s

_i

=

±

±

L

±

Obtendo-se:

















=

0

N

T

2

a

erfc

M

1

-M

Pe

5.6 – Receptor de Correlação

Para um canal com ruído AWGN, e os sinais de transmissão s1(t), s2(t), …, etc, o receptor ótimo é o receptor de correlação visto anteriormente. Consiste de duas partes:

1. Um banco de N produtórios e integradores (chamados conjuntamente de correlatores) com as funções bases φ1(t), φ2(t), … φN(t) geradas localmente, produzindo-se então o vetor X. Vide figura abaixo:

2. A segunda parte consiste da deteção de máxima verossimilhança. Multiplica-se cada xj do vetor de observação por cada componente skj do sinal sk(t) j = 1, …, N. Após

soma-los e diminuir de

E

_k

2

1

, escolhe-se o maior valor como sendo a estimativa

m

ˆ

do sinal transmitido, conforme figura a seguir.

A figura acima representa o vetor de observação X multiplicado (produto interno) pelos vetores dos M sinais possíveis de serem transmitidos s1(t), s2(t), ..., sM(t). Após feito o produto interno, este valor é diminuido da metade da energia do sinal si(t). Feito isso, escolhe-se o maior resultado. Cada braço da figura calcula a distância do vetor X ao vetor do sinal si(t).

Cada um dos M braços da figura acima é, na verdade, decomposto conforme mostra a figura a seguir.

5.7 – Receptor com Filtro Casado

A idéia do filtro casado é se obter um filtro cuja relação sinal-ruído num determinado instante de tempo (t = T) seja máxima (na saída do filtro). Dessa forma as multiplicações no detetor de correlação são eliminadas, pois são difíceis de serem realizados na prática.

Seja o sinal recebido x(t) entrando no filtro hj(t) e produzido a saída yj(t). O filtro hj(t) é linear e invariante no tempo, logo:

Como s(t) e correspondentemente x(t) é formando pelas funções bases φj(t), vamos substituir s(t) por φ(t) representando qualquer das j = 1, …, N funções bases.

A relação sinal-ruído (SNR) em t = T será:

Substitui-se w(t) por n(t) pois w(t) é uma amostra (função amostra) de n(t), que tem média zero e densidade espectral de potência igual a N0/2.

∫

+_∞∞

=

∫

+_∞∞

Φ

=

_{- -} j2 ft 0

(t)

φ

(

τ

)

h(t

-

τ

)

d

τ

H(f)

(f)

e

π

df

φ

[ ]

2

=

∫

_-+_∞∞ N

=

∫

_-+_∞∞

₂

0

H(f)

2

df

N

df

(f)

S

(t)

n

E

Logo

(

)

df

H(f)

2

N

df

e

(f)

H(f)

SNR

₂ 0 2 -fT 2 OUTPUT

∫

∫

∞ + ∞ − ∞ + ∞

Φ

=

π j

Pela desigualdade de Schwarz, tem-se que:

(

)

[ ]

2 2 OUTPUT 0 OUTPUT 2 (T) (T) SNR VAR n(t) E n (t) φ φ = =    

dr

Y(r)

.

dr

X(r)

dr

Y(r)

X(r)

2

∫

_- 2

∫

_- 2

∫

₋+_∞∞

≤

+_∞∞ +_∞∞

A igualdade se dará quando X(r) = Y*(r).

Aplicando-se essa desigualdade a SRN acima tem-se

(

)

2 2 OUTPUT ₂ 0 -H(f) df (f) df SNR N H(f) df 2 +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ ∞ Φ ≤

∫

∫

∫

(

)

≤

∫

_-+_∞∞

Φ

2 0 OUTPUT

_N

(f)

df

2

SNR

O máximo para (SNR)0 será:

(

)

2 OUTPUTmáx -0 2 SNR (f) df N +∞ ∞ =

_∫

Φ isso se dá quando:

[

_(f)

_e

j2 fT

]

* *

_(f)

_e

-j2 fT

H(f)

=

φ

π

=

Φ

π

Logo a resposta impulsional que torna (SNR)0 máxima, será:

( )

∫

₋+_∞∞

=

∫

₋+_∞∞

Φ

=

∫

₋+_∞∞

Φ

=

H(f)

e

df

(f)

e

e

df

(f)

e

df

(t)

h

_opt j2πft * -j2πfT j2πft * -j2πf T-t Como φ(t) é real, Φ*(f) = Φ(-f),

logo _opt -j2 f(T-t)

-h (t)

+∞

(-f) e

π

df (T- t)

φ

∞

=

_∫

Φ

=

Ou seja, o filtro ótimo tem resposta impulsional igual às das funções bases, porém invertidas (rebatidas) e deslocadas de T segundos. φ(t) é rebatido → φ(-t) e deslocado de T → φ(-t + T). Diz-se então que o filtro é casado às funções bases ortonormais.

A saída do filtro casado y(t) será:

∫

+_∞∞

+

=

_{- j} j

(t)

x(

)

(T

-

t

)

d

y

τ

φ

τ

τ

Amostrando-se em t = T, tem-se:

∫

+_∞∞

=

_{- j} j

(T)

x(

)

(

)

d

y

τ

φ

τ

τ

Nota-se que yj(T) = xj, onde xj é a j-ésima saída do correlator (do detetor de correlação) produzida pelo sinal recebido x(t). Logo o detetor de correlação pode ser substituído pelo detetor de filtro casado, produzindo o mesmo resultado.

Exemplo: Filtro casado para o pulso de RF definido abaixo:

Seja o seguinte pulso de RF:

c 2 _{cos (2 f )} (t) _T 0 t T 0 outros intervalos de t t π φ   =  ≤ ≤   onde fc é um múltiplo de

T

1

T

t

0

T)

(0,

t

0

t)

f

cos(2

T

2

t)

-(T

h(t)

c

_≤

_≤









∉

=

=

φ

π



















∉

≤

≤













≤

≤













=

=

2T)

(0,

t

0

T

2

t

T

t)

f

cos(2

T

t

-2

T

t

0

t)

f

cos(2

T

t

y(t)

(t)

*

h(t)

_c c

π

π

φ

h(t) = φ(T-t) H(f) = Φ*(f) . e-j2πfT

1. A saída do filtro casado tem espectro proporcional à densidade espectral de energia das funções bases (entrada do filtro)

fT j2 -2 fT j2 -

_(f)

_(f)

_e

e

(f)

*

(f)

.

H(f)

Y(f)

=

Φ

=

Φ

π

Φ

=

Φ

π

2. A saída do filtro casado (no domínio do tempo) é proporcional à versão deslocada da função autocorrelação das funções bases (supondo que não há ruído).

(t)

*

t)

-(T

(t)

*

h(t)

y(t)

=

φ

=

φ

φ

T)

-(t

R

d

T)

-(t

)

(

T 0

φ

τ

φ

+

τ

τ

=

φ

=

∫

(t).

de

energia

E

(0)

R

y(T)

=

_φ

=

φ

3. A relação sinal-ruído na saída do filtro casado depende somente da energia da função φ(t) e da densidade espectral de potência do ruído na saída do filtro.

dt

(t)

N

2

df

(f)

N

2

(SNR)

₀T 2 0 2 -0 0

=

∫

+_∞∞

Φ

=

∫

φ

E

N

2

(SNR)

0 0

=

5.8 – Deteção de Sinais com Fase Desconhecida (Aleatória) e Ruído Branco Aditivo

Algumas vezes, o sinal transmitido pode sofrer de ruído aditivo mas também de uma fase aleatória. Neste caso, o filtro casado ou o correlator sozinhos não são suficientes para se ter uma deteção ótima.

Suponha que se transmita

T

t

0

t)

f

cos(2

T

2E

(t)

s

_i

=

π

_i

≤

≤

onde E é a energia de si(t), T o tempo de duração do pulso e fi uma frequência múltipla de

T

1

. No receptor chega:

T

t

0

w(t)

)

t

f

cos(2

T

2E

x(t)

=

π

_i

+

θ

+

≤

≤

onde θ e w(t) são variáveis aleatórias. Normalmente modela-se o sistema com w(t) sendo AWGN e θ uniformemente distribuída em (0, 2π).

Podemos escrever x(t) como:

T

t

0

w(t)

t)

f

sen(2

sen

T

2E

-t

f

cos2

cos

T

2E

x(t)

=

θ

π

_i

θ

π

_i

+

≤

≤

Uma maneira de se eliminar θ seria ter um correlator com funções bases cos2πfit e sen(2πfit). Após multiplicar x(t) por essas funções e integrar no tempo de duração T do pulso, teríamos como saída

E

cos

θ

e

-

E

sen

θ

(sem ruído aditivo).

Poderíamos obter E como:

E

)

sen

E

(-)

cos

E

(

θ

2

+

θ

2

=

Então uma maneira de se eliminar essa fase aleatória sem levar em conta o ruído aditivo, seria usar o seguinte sistema:

Outra maneira de se fazer isso seria substituir os multiplicadores e integradores da

figura acima por filtros casados a

t

f

sen2

T

2

(t)

a

e

t

f

cos2

T

2

(t)

_{i 2 i} i

π

φ

π

φ

=

=

e por amostradores em t = T.

Uma outra maneira seria fazer:

Saída do filtro casado a somente a função transmitida

cos

2

f

t

T

2E

i

π

:

onde x(τ) contém a fase aleatória θ. Podemos escrever também:

∫

=

cos2

f

i

(T

-

t)

₀T

x(

)

cos2

f

i

d

T

2E

y(t)

π

τ

π

τ

τ

∫

₀T i i

(T

-

t)

x(

)

sen2

f

d

f

sen2

T

2E

-

π

τ

π

τ

τ

Como a envoltória de y(t) não é afetada por θ, podemos calculá-la e avaliá-la em t = T.

d

)

f

sen(2

T

2

)

x(

d

)

f

cos(2

T

2

)

x(

l

2 i T 0 2 0 i 2 i













+













=

∫

T

τ

π

τ

τ

∫

τ

π

τ

τ

que é a saída do filtro em quadratura. Logo podemos ter o seguinte detetor:

(

)

[

2

f

T

-

t

]

d

cos

)

x(

T

2E

y(t)

=

∫

₀T

τ

π

_i

+

τ

τ

APÊNDICE A Definição:

∫

∆

=

2

₀x

_e

-t

_dt

erf(x)

2

π

∫

∞ ∆

=

=

2

_x

_e

-t

_dt

₁

_-

_erf(x)

erfc(x)

2

π

Relação com a distribuição normal de média m e variância σ2_:

























+

=

∫

_∞

σ

σ

π

σ

2

m

-x

erf

1

2

1

dt

e

2

1

x -/2 m) -(t -2 2 2

Expressão assintótica de erfc(x) quando x → ∞













+

∑

∞ =1 i 2 i i x

-)

(2x

1)

-(2i

1.3.5

(-1)

1

x

e

~

erfc(x)

2

L

π

Algumas probabilidades de uma variável aleatória X e seus relacionamentos com as funções erf e erfc:

























+

=

<

σ

2

m

-x

erf

1

2

1

x)

P(X













=

>

σ

2

m

-x

erfc

2

1

x)

P(X

{

}

























+

+













=

<

σ

σ

2

m

x

erf

2

m

-x

erf

2

1

x

X

P

{

}

























+

+













=

>

σ

σ

2

m

x

erfc

2

m

-x

erfc

2

1

x

X

P